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8 已知线段$OA ⊥ OB$，点$C$为$OB$中点，$D$为线段$OA$上一点，连接$AC$，$BD$交于点$P$.
(1)如图(1)，当$OA=OB$，且$D$为$OA$中点时，求$\frac{AP}{PC}$的值.
(2)如图(2)，当$OA=OB$，且$\frac{AD}{AO}=\frac{1}{4}$时，求$\tan ∠ BPC$的值.
(3)如图(3)，当$AD:AO:OB=1:n:2\sqrt{n}$时，直接写出$\tan ∠ BPC$的值.
(1)如图(1)，当$OA=OB$，且$D$为$OA$中点时，求$\frac{AP}{PC}$的值.
(2)如图(2)，当$OA=OB$，且$\frac{AD}{AO}=\frac{1}{4}$时，求$\tan ∠ BPC$的值.
(3)如图(3)，当$AD:AO:OB=1:n:2\sqrt{n}$时，直接写出$\tan ∠ BPC$的值.
答案
【解】(1)如图(1),过$D$作$DE// BO$交$AC$于$E$,则$△AED∽△ACO$,$\therefore \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{CO}=\dfrac{AD}{AO}$.
$\because D$为$OA$中点,$\therefore AD=DO$,$\therefore AE=CE=\dfrac{1}{2}AC$,$\dfrac{DE}{CO}=\dfrac{1}{2}$. $\because$ 点$C$为$OB$中点,$\therefore BC=CO$,$\therefore \dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{2}$.
$\because DE// BC$,$\therefore △EDP∽△CBP$,$\therefore \dfrac{PE}{PC}=\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{2}$,$\therefore PC=\dfrac{2}{3}CE=\dfrac{1}{3}AC$,$\therefore \dfrac{AP}{PC}=\dfrac{AC-PC}{PC}=\dfrac{\dfrac{2}{3}AC}{\dfrac{1}{3}AC}=2.$
(2)如图(2),过点$D$作$DE// BO$交$AC$于$E$,则$△AED∽△ACO$.
$\because \dfrac{AD}{AO}=\dfrac{1}{4}$,$\therefore \dfrac{DE}{CO}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{4}$,$\therefore CE=\dfrac{3}{4}AC.$
$\because$ 点$C$为$OB$中点,$\therefore BC=CO$,$\therefore \dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{4}.$
$\because DE// BC$,$\therefore △EDP∽△CBP$,$\therefore \dfrac{PE}{PC}=\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{4}$,$\therefore PC=\dfrac{4}{5}CE=\dfrac{3}{5}AC.$
过$D$作$DF⊥AC$,垂足为$F$,设$AD=a$,则$AO=4a$.
$\because OA=OB$,点$C$为$OB$中点,$\therefore CO=2a$,$\therefore$ 在$Rt△ACO$中,$AC=\sqrt{AO^2+CO^2}=\sqrt{(4a)^2+(2a)^2}=2\sqrt{5}a.$
$\because ∠A=∠A$,$∠AFD=∠O=90°$,$\therefore △ADF∽△ACO$,$\therefore \dfrac{AF}{AO}=\dfrac{DF}{CO}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{a}{2\sqrt{5}a}$,$\therefore AF=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}a$,$DF=\dfrac{\sqrt{5}}{5}a$,$\therefore PF=AC-AF-PC=2\sqrt{5}a-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}a-\dfrac{3}{5}×2\sqrt{5}a=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}a$,$\therefore \tan∠BPC=\tan∠FPD=\dfrac{DF}{PF}=\dfrac{1}{2}.$
(3)$\tan∠BPC=\dfrac{\sqrt{n}}{n}$. 如图(3),过$D$作$DE// BO$交$AC$于$E$,作$DF⊥AC$于$F$.
设$AD=b$,同(2)可得$DF=\dfrac{\sqrt{n+1}}{n+1}b$,$PF=\dfrac{\sqrt{n^2+n}}{n+1}b$,$\therefore \tan∠BPC=\tan∠FPD=\dfrac{\sqrt{n}}{n}.$
解析
【分析】
(1) 求$\frac{AP}{PC}$的比值，可通过作平行线构造相似三角形求解：过D作$DE// BO$交AC于E，先由$△ AED∽△ ACO$得到线段比例，结合D、C为中点的条件，再证$△ EDP∽△ CBP$，即可推导出AP与PC的比例关系。
(2) 求$\tan∠ BPC$，沿用第一问构造平行线的方法先得到PC与AC的比例，再作$DF⊥ AC$，将$∠ BPC$转化为其对顶角$∠ FPD$，通过相似三角形求出直角三角形DFP的两条直角边的比值，即可得到正切值。
(3) 为第二问的一般化情况，沿用第二问的辅助线做法和推导思路，设AD为参数，代入对应比例关系计算即可得到结果。
【解析】
(1) 如图(1)，过$D$作$DE// BO$交$AC$于$E$，则$△AED∽△ACO$，$\therefore \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{CO}=\dfrac{AD}{AO}$。
$\because D$为$OA$中点，$\therefore AD=DO$，$\therefore AE=CE=\dfrac{1}{2}AC$，$\dfrac{DE}{CO}=\dfrac{1}{2}$。 $\because$ 点$C$为$OB$中点，$\therefore BC=CO$，$\therefore \dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{2}$。
$\because DE// BC$，$\therefore △EDP∽△CBP$，$\therefore \dfrac{PE}{PC}=\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{2}$，$\therefore PC=\dfrac{2}{3}CE=\dfrac{1}{3}AC$，$\therefore \dfrac{AP}{PC}=\dfrac{AC-PC}{PC}=\dfrac{\dfrac{2}{3}AC}{\dfrac{1}{3}AC}=2$。
(2) 如图(2)，过点$D$作$DE// BO$交$AC$于$E$，则$△AED∽△ACO$。
$\because \dfrac{AD}{AO}=\dfrac{1}{4}$，$\therefore \dfrac{DE}{CO}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{4}$，$\therefore CE=\dfrac{3}{4}AC$。
$\because$ 点$C$为$OB$中点，$\therefore BC=CO$，$\therefore \dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{4}$。
$\because DE// BC$，$\therefore △EDP∽△CBP$，$\therefore \dfrac{PE}{PC}=\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{4}$，$\therefore PC=\dfrac{4}{5}CE=\dfrac{3}{5}AC$。
过$D$作$DF⊥AC$，垂足为$F$，设$AD=a$，则$AO=4a$。
$\because OA=OB$，点$C$为$OB$中点，$\therefore CO=2a$，$\therefore$ 在$Rt△ACO$中，$AC=\sqrt{AO^2+CO^2}=\sqrt{(4a)^2+(2a)^2}=2\sqrt{5}a$。
$\because ∠A=∠A$，$∠AFD=∠O=90°$，$\therefore △ADF∽△ACO$，$\therefore \dfrac{AF}{AO}=\dfrac{DF}{CO}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{a}{2\sqrt{5}a}$，$\therefore AF=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}a$，$DF=\dfrac{\sqrt{5}}{5}a$，$\therefore PF=AC-AF-PC=2\sqrt{5}a-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}a-\dfrac{3}{5}×2\sqrt{5}a=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}a$，$\therefore \tan∠BPC=\tan∠FPD=\dfrac{DF}{PF}=\dfrac{1}{2}$。
(3) 如图(3)，过$D$作$DE// BO$交$AC$于$E$，作$DF⊥AC$于$F$。
设$AD=b$，同(2)的推导方法，结合$AD:AO:OB=1:n:2\sqrt{n}$的比例关系，可得$DF=\dfrac{\sqrt{n+1}}{n+1}b$，$PF=\dfrac{\sqrt{n^2+n}}{n+1}b$，$\therefore \tan∠BPC=\tan∠FPD=\dfrac{DF}{PF}=\dfrac{\sqrt{n}}{n}$。
【答案】
(1) $\dfrac{AP}{PC}=2$
(2) $\tan∠BPC=\dfrac{1}{2}$
(3) $\tan∠BPC=\dfrac{\sqrt{n}}{n}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 解直角三角形
3. 勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，从特殊情况到一般情况逐层递进，通过构造平行线转化线段比例、作垂线将所求角放入直角三角形中，考查了转化思想和数形结合思想，需熟练掌握构造辅助线处理边角关系的方法。
【难度系数】
0.5
(1) 求$\frac{AP}{PC}$的比值，可通过作平行线构造相似三角形求解：过D作$DE// BO$交AC于E，先由$△ AED∽△ ACO$得到线段比例，结合D、C为中点的条件，再证$△ EDP∽△ CBP$，即可推导出AP与PC的比例关系。
(2) 求$\tan∠ BPC$，沿用第一问构造平行线的方法先得到PC与AC的比例，再作$DF⊥ AC$，将$∠ BPC$转化为其对顶角$∠ FPD$，通过相似三角形求出直角三角形DFP的两条直角边的比值，即可得到正切值。
(3) 为第二问的一般化情况，沿用第二问的辅助线做法和推导思路，设AD为参数，代入对应比例关系计算即可得到结果。
【解析】
(1) 如图(1)，过$D$作$DE// BO$交$AC$于$E$，则$△AED∽△ACO$，$\therefore \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{CO}=\dfrac{AD}{AO}$。
$\because D$为$OA$中点，$\therefore AD=DO$，$\therefore AE=CE=\dfrac{1}{2}AC$，$\dfrac{DE}{CO}=\dfrac{1}{2}$。 $\because$ 点$C$为$OB$中点，$\therefore BC=CO$，$\therefore \dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{2}$。
$\because DE// BC$，$\therefore △EDP∽△CBP$，$\therefore \dfrac{PE}{PC}=\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{2}$，$\therefore PC=\dfrac{2}{3}CE=\dfrac{1}{3}AC$，$\therefore \dfrac{AP}{PC}=\dfrac{AC-PC}{PC}=\dfrac{\dfrac{2}{3}AC}{\dfrac{1}{3}AC}=2$。
(2) 如图(2)，过点$D$作$DE// BO$交$AC$于$E$，则$△AED∽△ACO$。
$\because \dfrac{AD}{AO}=\dfrac{1}{4}$，$\therefore \dfrac{DE}{CO}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{4}$，$\therefore CE=\dfrac{3}{4}AC$。
$\because$ 点$C$为$OB$中点，$\therefore BC=CO$，$\therefore \dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{4}$。
$\because DE// BC$，$\therefore △EDP∽△CBP$，$\therefore \dfrac{PE}{PC}=\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{1}{4}$，$\therefore PC=\dfrac{4}{5}CE=\dfrac{3}{5}AC$。
过$D$作$DF⊥AC$，垂足为$F$，设$AD=a$，则$AO=4a$。
$\because OA=OB$，点$C$为$OB$中点，$\therefore CO=2a$，$\therefore$ 在$Rt△ACO$中，$AC=\sqrt{AO^2+CO^2}=\sqrt{(4a)^2+(2a)^2}=2\sqrt{5}a$。
$\because ∠A=∠A$，$∠AFD=∠O=90°$，$\therefore △ADF∽△ACO$，$\therefore \dfrac{AF}{AO}=\dfrac{DF}{CO}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{a}{2\sqrt{5}a}$，$\therefore AF=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}a$，$DF=\dfrac{\sqrt{5}}{5}a$，$\therefore PF=AC-AF-PC=2\sqrt{5}a-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}a-\dfrac{3}{5}×2\sqrt{5}a=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}a$，$\therefore \tan∠BPC=\tan∠FPD=\dfrac{DF}{PF}=\dfrac{1}{2}$。
(3) 如图(3)，过$D$作$DE// BO$交$AC$于$E$，作$DF⊥AC$于$F$。
设$AD=b$，同(2)的推导方法，结合$AD:AO:OB=1:n:2\sqrt{n}$的比例关系，可得$DF=\dfrac{\sqrt{n+1}}{n+1}b$，$PF=\dfrac{\sqrt{n^2+n}}{n+1}b$，$\therefore \tan∠BPC=\tan∠FPD=\dfrac{DF}{PF}=\dfrac{\sqrt{n}}{n}$。
【答案】
(1) $\dfrac{AP}{PC}=2$
(2) $\tan∠BPC=\dfrac{1}{2}$
(3) $\tan∠BPC=\dfrac{\sqrt{n}}{n}$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 解直角三角形
3. 勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，从特殊情况到一般情况逐层递进，通过构造平行线转化线段比例、作垂线将所求角放入直角三角形中，考查了转化思想和数形结合思想，需熟练掌握构造辅助线处理边角关系的方法。
【难度系数】
0.5
9[2026安徽合肥质检]如图,小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树FH.小乐沿着水平面步行17 m到达点B时拍到树顶F,仰角为63°;小静沿着坡度i=5:12的斜坡步行13 m到达点C时拍到树顶F,仰角为45°,那么这棵木棉树的高度约为(参考数据:$\sin63°\approx0.9,\cos63°\approx0.5,\tan63°\approx2.0$) (
A.22 m
B.21 m
C.20 m
D.19 m
C
)A.22 m
B.21 m
C.20 m
D.19 m
答案
【解析】如图,过点$C$作$CD⊥AH$,垂足为$D$,过点$C$作$CE⊥FH$,垂足为$E$,则$CD=EH$,$CE=DH$.
$\because$ 斜坡$AC$的坡度$i=5:12$,$\therefore \dfrac{CD}{AD}=\dfrac{5}{12}$,$\therefore$ 设$CD=5x\ \mathrm{m}$,则$AD=12x\ \mathrm{m}$, 在$Rt△ACD$中,$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{(5x)^2+(12x)^2}=13x\ (\mathrm{m})$. $\because AC=13\ \mathrm{m}$,$\therefore 13x=13$,解得$x=1$,$\therefore CD=EH=5\ \mathrm{m}$,$AD=12\ \mathrm{m}$. 设$CE=DH=y\ \mathrm{m}$,$\therefore BH=AD+DH-AB=12+y-17=(y-5)\ \mathrm{m}$. 在$Rt△BFH$中,$∠FBH=63°$,$\therefore FH=BH·\tan 63°≈2(y-5)\ \mathrm{m}$. 在$Rt△CEF$中,$∠FCE=45°$,$\therefore FE=CE·\tan 45°=y\ \mathrm{m}$. $\because EF+EH=FH$,$\therefore y+5=2(y-5)$, 解得$y=15$,$\therefore FH=FE+EH=15+5=20(\mathrm{m})$,$\therefore$ 这棵木棉树的高度约为 20 m,故选 C.
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的实际应用题，解题思路如下：首先通过作辅助线将实际问题转化为几何模型，过点C作CD⊥AH、CE⊥FH，构造出矩形CDHE和三个直角三角形；其次利用斜坡AC的坡度和长度，先算出CD、AD的长度；再设CE为未知量，分别利用45°直角三角形的性质和63°的正切值，写出FH的两种表达形式，根据FH长度相等列方程求解未知量，最后代入计算得到FH的高度即可。
【解析】
如图，过点$C$作$CD⊥AH$，垂足为$D$，过点$C$作$CE⊥FH$，垂足为$E$，则$CD=EH$，$CE=DH$。
$\because$ 斜坡$AC$的坡度$i=5:12$，$\therefore \dfrac{CD}{AD}=\dfrac{5}{12}$，$\therefore$ 设$CD=5x\ \mathrm{m}$，则$AD=12x\ \mathrm{m}$， 在$Rt△ACD$中，$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{(5x)^2+(12x)^2}=13x\ (\mathrm{m})$。
$\because AC=13\ \mathrm{m}$，$\therefore 13x=13$，解得$x=1$，$\therefore CD=EH=5\ \mathrm{m}$，$AD=12\ \mathrm{m}$。
设$CE=DH=y\ \mathrm{m}$，$\therefore BH=AD+DH-AB=12+y-17=(y-5)\ \mathrm{m}$。
在$Rt△BFH$中，$∠FBH=63°$，$\therefore FH=BH·\tan 63°≈2(y-5)\ \mathrm{m}$。
在$Rt△CEF$中，$∠FCE=45°$，$\therefore FE=CE·\tan 45°=y\ \mathrm{m}$。
$\because EF+EH=FH$，$\therefore y+5=2(y-5)$，
解得$y=15$，$\therefore FH=FE+EH=15+5=20(\mathrm{m})$。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用，坡度坡角，仰角俯角
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的应用，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形与矩形，将坡度、仰角条件转化为边长关系，再利用方程思想求解未知量，注重考查学生的建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.6
这是一道解直角三角形的实际应用题，解题思路如下：首先通过作辅助线将实际问题转化为几何模型，过点C作CD⊥AH、CE⊥FH，构造出矩形CDHE和三个直角三角形；其次利用斜坡AC的坡度和长度，先算出CD、AD的长度；再设CE为未知量，分别利用45°直角三角形的性质和63°的正切值，写出FH的两种表达形式，根据FH长度相等列方程求解未知量，最后代入计算得到FH的高度即可。
【解析】
如图，过点$C$作$CD⊥AH$，垂足为$D$，过点$C$作$CE⊥FH$，垂足为$E$，则$CD=EH$，$CE=DH$。
$\because$ 斜坡$AC$的坡度$i=5:12$，$\therefore \dfrac{CD}{AD}=\dfrac{5}{12}$，$\therefore$ 设$CD=5x\ \mathrm{m}$，则$AD=12x\ \mathrm{m}$， 在$Rt△ACD$中，$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{(5x)^2+(12x)^2}=13x\ (\mathrm{m})$。
$\because AC=13\ \mathrm{m}$，$\therefore 13x=13$，解得$x=1$，$\therefore CD=EH=5\ \mathrm{m}$，$AD=12\ \mathrm{m}$。
设$CE=DH=y\ \mathrm{m}$，$\therefore BH=AD+DH-AB=12+y-17=(y-5)\ \mathrm{m}$。
在$Rt△BFH$中，$∠FBH=63°$，$\therefore FH=BH·\tan 63°≈2(y-5)\ \mathrm{m}$。
在$Rt△CEF$中，$∠FCE=45°$，$\therefore FE=CE·\tan 45°=y\ \mathrm{m}$。
$\because EF+EH=FH$，$\therefore y+5=2(y-5)$，
解得$y=15$，$\therefore FH=FE+EH=15+5=20(\mathrm{m})$。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用，坡度坡角，仰角俯角
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的应用，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形与矩形，将坡度、仰角条件转化为边长关系，再利用方程思想求解未知量，注重考查学生的建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.6
10[2025安徽宿州期末]人爬坡时，坡面与水平面夹角为α，则每爬1米耗能$(1.025-\cosα)\mathrm{J}$.如图，若某人爬坡时，其坡面的垂直高度为500米，坡面与水平面夹角为$30°$，则他爬完斜坡耗能约
$159$
$\mathrm{J}$(参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$).答案
【解析】如图. 在$Rt△ABC$中,$∠B=30°$,$AC=500$ 米,则$AB=2AC=1\ 000$ 米,每爬 1 米耗能$1.025-\cos 30°=1.025-\dfrac{\sqrt{3}}{2}≈0.159(\mathrm{J})$,$\therefore$ 他爬完斜坡耗能约$0.159×1\ 000=159(\mathrm{J})$,故答案为 159.
解析
【分析】
要计算爬完斜坡的总耗能，需先求出两个关键量：一是斜坡的总长度，二是每爬1米的耗能，最后将两个量相乘即可得到结果。首先由题图可知是含30°角的直角三角形，已知30°角所对的垂直高度为500米，利用含30°角直角三角形的性质可求出斜边即斜坡的长度；再将$α=30°$代入题干给出的单位耗能公式，算出每米的耗能，最后乘斜坡总长度就能得到总耗能。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，垂直高度$AC=500$米，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得斜坡长度$AB=2AC=2×500=1000$米。
已知每爬1米耗能为$(1.025-\cosα)\ \mathrm{J}$，将$α=30°$代入计算：
$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx\frac{1.732}{2}=0.866$，
则每米耗能为$1.025 - 0.866=0.159\ \mathrm{J}$，
因此爬完斜坡的总耗能为$0.159×1000=159\ \mathrm{J}$。
【答案】
159
【知识点】
30°直角三角形性质，锐角三角函数，解直角三角形应用
【点评】
本题结合生活中的爬坡场景考查解直角三角形的实际应用，解题关键是先求出斜坡的总长度，再结合给定的单位耗能公式计算，侧重对基础性质和特殊角三角函数值的掌握考查。
【难度系数】
0.7
要计算爬完斜坡的总耗能，需先求出两个关键量：一是斜坡的总长度，二是每爬1米的耗能，最后将两个量相乘即可得到结果。首先由题图可知是含30°角的直角三角形，已知30°角所对的垂直高度为500米，利用含30°角直角三角形的性质可求出斜边即斜坡的长度；再将$α=30°$代入题干给出的单位耗能公式，算出每米的耗能，最后乘斜坡总长度就能得到总耗能。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，垂直高度$AC=500$米，
根据直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得斜坡长度$AB=2AC=2×500=1000$米。
已知每爬1米耗能为$(1.025-\cosα)\ \mathrm{J}$，将$α=30°$代入计算：
$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx\frac{1.732}{2}=0.866$，
则每米耗能为$1.025 - 0.866=0.159\ \mathrm{J}$，
因此爬完斜坡的总耗能为$0.159×1000=159\ \mathrm{J}$。
【答案】
159
【知识点】
30°直角三角形性质，锐角三角函数，解直角三角形应用
【点评】
本题结合生活中的爬坡场景考查解直角三角形的实际应用，解题关键是先求出斜坡的总长度，再结合给定的单位耗能公式计算，侧重对基础性质和特殊角三角函数值的掌握考查。
【难度系数】
0.7
11[2025安徽合肥质检]如图,小亮为测量某铁桥的长度BC,乘车在与该铁桥平行且处于同一水平面的一段东西走向的公路上行驶时,在A处发现铁桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上,并测得AB＝160米,当车前进146米到达D处时,测得铁桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上,求该铁桥的长度BC.（结果保留整数,参考数据：$\sin 55° \approx 0.82,\cos 55° \approx 0.57,\tan 55° \approx 1.43,\sqrt{3} \approx 1.73$）
答案
【解】如图,过$B$作$BE⊥AD$于$E$,过$C$作$CF⊥AD$于$F$.
由题意可得$BE=CF$,$BC=EF$,$∠BAD=90°-30°=60°$,$∠DCF=55°$,$AB=160$ 米,$AD=146$ 米,$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AB=80$ 米,$\therefore BE=\sqrt{160^2-80^2}=80\sqrt{3}$(米),$\therefore CF=80\sqrt{3}$米.
$\because ∠DCF=55°$,$\therefore DF=CF·\tan 55°≈197.9$ 米,$\therefore BC=EF=AD-AE+DF=146-80+197.9=263.9≈264$(米).
答:该铁桥的长度$BC$约为 264 米.
解析
【分析】
要计算与公路AD平行的铁桥BC的长度，可通过作辅助线构造矩形和直角三角形转化问题：首先过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，可得四边形BEFC是矩形，因此BC=EF、BE=CF，将求BC的问题转化为求EF的长度。接下来先在Rt△ABE中，利用已知的AB长度和∠BAD的度数，求出AE和BE的长度，即可得到CF的长度；再在Rt△CDF中，利用∠DCF的正切值求出DF的长度；最后根据线段的和差关系计算EF的长度，即为BC的长度。
【解析】
解：如图，过$B$作$BE⊥AD$于$E$，过$C$作$CF⊥AD$于$F$.
由题意可得$BE=CF$，$BC=EF$，$∠ BAD=90°-30°=60°$，$∠ DCF=55°$，$AB=160$ 米，$AD=146$ 米.
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，$∠ BAE=60°$，
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AB=80$ 米，
$\therefore BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{160^2-80^2}=80\sqrt{3}$（米），
$\therefore CF=BE=80\sqrt{3}$米.
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$∠ CFD=90°$，$∠ DCF=55°$，
$\because \tan∠ DCF=\dfrac{DF}{CF}$，
$\therefore DF=CF·\tan 55°≈80×1.73×1.43≈197.9$ 米，
$\therefore BC=EF=AD-AE+DF=146-80+197.9=263.9≈264$(米).
【答案】
该铁桥的长度$BC$约为 264 米.
【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的性质；锐角三角函数
【点评】
本题是方向角背景下的解直角三角形实际应用题，解题关键是通过作高构造直角三角形和矩形，将未知线段转化为可通过三角函数计算的线段，考查了将实际问题转化为几何问题的能力，以及对锐角三角函数的运用能力。
【难度系数】
0.6
要计算与公路AD平行的铁桥BC的长度，可通过作辅助线构造矩形和直角三角形转化问题：首先过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，可得四边形BEFC是矩形，因此BC=EF、BE=CF，将求BC的问题转化为求EF的长度。接下来先在Rt△ABE中，利用已知的AB长度和∠BAD的度数，求出AE和BE的长度，即可得到CF的长度；再在Rt△CDF中，利用∠DCF的正切值求出DF的长度；最后根据线段的和差关系计算EF的长度，即为BC的长度。
【解析】
解：如图，过$B$作$BE⊥AD$于$E$，过$C$作$CF⊥AD$于$F$.
由题意可得$BE=CF$，$BC=EF$，$∠ BAD=90°-30°=60°$，$∠ DCF=55°$，$AB=160$ 米，$AD=146$ 米.
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ AEB=90°$，$∠ BAE=60°$，
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AB=80$ 米，
$\therefore BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{160^2-80^2}=80\sqrt{3}$（米），
$\therefore CF=BE=80\sqrt{3}$米.
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$∠ CFD=90°$，$∠ DCF=55°$，
$\because \tan∠ DCF=\dfrac{DF}{CF}$，
$\therefore DF=CF·\tan 55°≈80×1.73×1.43≈197.9$ 米，
$\therefore BC=EF=AD-AE+DF=146-80+197.9=263.9≈264$(米).
【答案】
该铁桥的长度$BC$约为 264 米.
【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的性质；锐角三角函数
【点评】
本题是方向角背景下的解直角三角形实际应用题，解题关键是通过作高构造直角三角形和矩形，将未知线段转化为可通过三角函数计算的线段，考查了将实际问题转化为几何问题的能力，以及对锐角三角函数的运用能力。
【难度系数】
0.6
