6. [2025盐城中考]【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图1、图2所示.

【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线.羽毛球运动轨迹的剖面如图3所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离$AO=2.4\ \mathrm{m}$，球网上端点B到地面的距离$BC=1.55\ \mathrm{m}$，人与球网之间的距离$OC=1.6\ \mathrm{m}$，假设两种击球路线都经过点B正上方0.05 m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E,F.
(1)请在图3中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式.
【模型应用】
(2)网前吊球的落点到球网的距离$CE$的长是 m.
(3)甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为$36\ \mathrm{m/s}$，网前吊球时，羽毛球下降的高度$h$(单位:m)与时间$t$(单位:s)之间的关系式为$h=5t^2$.乙在看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5 s.请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球.

(1)以$O$为坐标原点,$OF$所在的直线为$x$轴,$OA$所在的直线为$y$轴,建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可知$A(0,2.4)$,$D(1.6,1.6)$.(建系方式不唯一)
设直线$AD$的函数表达式为$y=kx+n$,
$\therefore \begin{cases}n=2.4,\\1.6k + n=1.6,\end{cases}$ $\therefore \begin{cases}k=-\frac{1}{2},\\n=2.4,\end{cases}$
$\therefore$ 扣杀球击球路线的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x + 2.4$.
设网前吊球击球路线的函数表达式为$y=ax^2 + 2.4$,
$\therefore 1.6=a×1.6^2 + 2.4$,$\therefore a=-\frac{5}{16}$,
$\therefore$ 网前吊球击球路线的函数表达式为$y=-\frac{5}{16}x^2 + 2.4$.
(2)$(\frac{8\sqrt{3}}{5}-1.6)$
令$y=0$,则$-\frac{5}{16}x^2 + 2.4=0$,解得$x=\frac{8\sqrt{3}}{5}$或$x=-\frac{8\sqrt{3}}{5}$(舍去),$\therefore E(\frac{8\sqrt{3}}{5},0)$,$\therefore OE=\frac{8\sqrt{3}}{5}\ \mathrm{m}$,$\therefore CE=OE-OC=(\frac{8\sqrt{3}}{5}-1.6)\ \mathrm{m}$.
(3)对于$y=-\frac{1}{2}x + 2.4$,令$y=0$,则$-\frac{1}{2}x + 2.4=0$,解得$x=\frac{24}{5}$,
$\therefore F(\frac{24}{5},0)$,$\therefore OF=\frac{24}{5}\ \mathrm{m}$,
$\therefore AF=\sqrt{OF^2 + OA^2}=\sqrt{(\frac{24}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2}=\frac{12\sqrt{5}}{5}(\mathrm{m})$.
$\because$ 扣杀球时,羽毛球的平均速度约为36 m/s,
$\therefore \frac{\frac{12\sqrt{5}}{5}}{36}=\frac{\sqrt{5}}{15}$(秒).
$\because \frac{\sqrt{5}}{15}＜0.5$,$\therefore$ 乙不能接到扣杀球的击球.
$\because$ 从$A$点击球,击球点是抛物线的最高点,
$\therefore 2.4=5t^2$,解得$t=\frac{2\sqrt{3}}{5}$或$t=-\frac{2\sqrt{3}}{5}$(舍去).
$\because \frac{2\sqrt{3}}{5}＞0.5$,$\therefore$ 乙能接到网前吊球的击球.

7. [应用意识][2024青岛中考]5月中旬,樱桃相继成熟,果农们迎来了繁忙的采摘销售季.为了解樱桃的收益情况,从第1天销售开始,小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析.
A樱桃园,第x天的单价、销售量与x的关系如下表:
| | 单价/(元/盒) | 销售量/盒 |
|----------|--------------|-----------|
| 第1天 | 50 | 20 |
| 第2天 | 48 | 30 |
| 第3天 | | 40 |
| 第4天 | 44 | 50 |
| … | … | … |
| 第x天 | | $10x + 10$|
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系,已知每天的固定成本为745元.
B樱桃园,第x天的利润$y_2$(元)与x的关系可以近似地用二次函数$y_2 = ax^2 + bx +25$刻画,其图象如图.

(1)A樱桃园第x天的单价是元/盒(用含x的代数式表示).
(2)求A樱桃园第x天的利润$y_1$(元)与x的函数表达式.(利润=单价×销售量-固定成本)
(3)①$y_2$与x的函数表达式是.
②求第几天两处樱桃园的利润之和(即$y_1 + y_2$)最大,最大是多少元.
(4)这15天中,共有天B樱桃园的利润$y_2$比A樱桃园的利润$y_1$大.

(1)$(-2x + 52)$
设第$x$天的单价为$m$元,设$m$与$x$之间的函数表达式为$m=kx + b$,由题中表格可知当$x=1$时,$m=50$,当$x=2$时,$m=48$,$\therefore \begin{cases}k + b=50,\\2k + b=48,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-2,\\b=52,\end{cases}$ $\therefore m=-2x + 52$.
(2)根据题意,得$y_1=(-2x + 52)(10x + 10)-745=-20x^2 + 500x - 225$,
$\therefore$ A樱桃园第$x$天的利润$y_1$(元)与$x$的函数表达式为$y_1=-20x^2 + 500x - 225$.
(3)①$y_2=-30x^2 + 500x + 25$
由题中图象可知,二次函数$y_2=ax^2 + bx + 25$的图象经过点$(1,495)$,$(2,905)$,
$\therefore \begin{cases}a + b + 25=495,\\4a + 2b + 25=905,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-30,\\b=500,\end{cases}$ $\therefore y_2=-30x^2 + 500x + 25$.
②由题意可得$y_1 + y_2=(-20x^2 + 500x - 225)+(-30x^2 + 500x + 25)=-50x^2 + 1000x - 200=-50(x - 10)^2 + 4800$.
$\because -50＜0$,
$\therefore$ 当$x=10$时,$y_1 + y_2$有最大值,最大值为4 800,
即第10天两处樱桃园的利润之和最大,最大是4 800元.
(4)4
由题可知$y_2＞y_1$,$\therefore -30x^2 + 500x + 25 ＞ -20x^2 + 500x - 225$,
即$-10x^2 ＞ -250$,解得$-5 ＜ x ＜ 5$.
$\because x$取正整数(保证实际问题有意义),$\therefore x$可取值1,2,3,4,
$\therefore$ 这15天中共有4天B樱桃园的利润$y_2$比A樱桃园的利润$y_1$大.