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1. [2025连云港中考]如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线$y=a(x-3)^2 +2.5$运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球掷出时离地面的高度OA为1.6 m，则铅球掷出的水平距离OB为
8
m.答案
由题意可知A(0,1.6),将(0,1.6)代入$y=a(x-3)^2 +2.5$,得$9a+2.5=1.6$,解得$a=-0.1$. 令$-0.1(x-3)^2 +2.5=0$,解得$x_1=-2$(舍去),$x_2=8$,$\therefore B(8,0)$,$\therefore OB=8\ \mathrm{m}$.
2. [2026合肥经开区期末]一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线是一条抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系.
(1)求抛物线的表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处？
(1)求抛物线的表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处？
答案
解:(1)由题意可得抛物线的顶点坐标为(2,3),设抛物线的表达式为$y=a(x-2)^2 +3$,
把(8,0)代入,得$36a+3=0$,解得$a=-\frac{1}{12}$,
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2 +3$,
当$x=0$时,$y=\frac{8}{3}＞2.44$,
$\therefore$ 球不能射进球门.
(2)设小明带球向正后方移动$b\ \mathrm{m}$,则移动后的抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-2-b)^2 +3$(平移规律:“左加右减”自变量),
把$(0,2.25)$代入,得$2.25=-\frac{1}{12}(0-2-b)^2 +3$,
解得$b_1=-5$(舍去),$b_2=1$,
$\therefore$ 当时他应该带球向正后方移动1 m射门,才能让足球经过点O正上方2.25 m处.
把(8,0)代入,得$36a+3=0$,解得$a=-\frac{1}{12}$,
$\therefore$ 抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-2)^2 +3$,
当$x=0$时,$y=\frac{8}{3}＞2.44$,
$\therefore$ 球不能射进球门.
(2)设小明带球向正后方移动$b\ \mathrm{m}$,则移动后的抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{12}(x-2-b)^2 +3$(平移规律:“左加右减”自变量),
把$(0,2.25)$代入,得$2.25=-\frac{1}{12}(0-2-b)^2 +3$,
解得$b_1=-5$(舍去),$b_2=1$,
$\therefore$ 当时他应该带球向正后方移动1 m射门,才能让足球经过点O正上方2.25 m处.
3. [2026合肥包河区期末]某种商品每件进价为20元，调查表明:在某段时间内若以每件$ x $元($ 20 ≤ x ≤ 30 $，且$ x $为整数)出售，可卖出$ (30 - x) $件，要使利润最大，每件的售价应为 (
A.24元
B.25元
C.28元
D.30元
B
)A.24元
B.25元
C.28元
D.30元
答案
B 设在该段时间内商品的利润为$w$元,由题意可得$w=(x-20)(30-x)=-x^2 +50x-600=-(x-25)^2 +25$.
$\because -1＜0,20≤ x≤ 30$,$\therefore$ 当$x=25$时,$w$最大,即要使利润最大,每件的售价应为25元.
$\because -1＜0,20≤ x≤ 30$,$\therefore$ 当$x=25$时,$w$最大,即要使利润最大,每件的售价应为25元.
4. 新情境“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展. 某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型. 已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件. 经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价
8
元，才能使每日利润最大，最大利润为288
元.答案
8 288 设当涨价$a$元时,单日利润为$w$元,则$w=(a+24-20)(40-2a)=-2(a-8)^2 +288$.$\because -2＜0$,$\therefore$ 当$a=8$时,$w_{\mathrm{最大值}}=288$,即每件模型应涨价8元,才能使每日利润最大,最大利润为288元.
5. [2025徐州中考]急刹车时,停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离,记作$y$ m;反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离,记作$d_1$ m;刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离,记作$d_2$ m,已知$y = d_1 + d_2$,$d_1$与骑行速度成正比,$d_2$与骑行速度的平方成正比.当骑行速度为13 km/h时,反应距离为2.6 m,刹车距离为1 m.
(1)若骑行速度为26 km/h,则$d_1 = $
(2)设骑行速度为$x$ km/h,求$y$关于$x$的函数表达式.
(3)当刹车距离为2 m时,停车距离为多少?(精确到0.1 m,参考数据:$\sqrt{2} \approx 1.41$,$\sqrt{3} \approx 1.73$,$\sqrt{5} \approx 2.24$)
(1)若骑行速度为26 km/h,则$d_1 = $
5.2
m, $d_2 = $4
m.(2)设骑行速度为$x$ km/h,求$y$关于$x$的函数表达式.
(3)当刹车距离为2 m时,停车距离为多少?(精确到0.1 m,参考数据:$\sqrt{2} \approx 1.41$,$\sqrt{3} \approx 1.73$,$\sqrt{5} \approx 2.24$)
答案
(1)5.2 4
由题意可设$d_1=k_1x$,$d_2=k_2x^2$,且$k_1≠0$,$k_2≠0$. $\because$ 当骑行速度为13 km/h时,反应距离为2.6 m,$\therefore 13k_1=2.6$,解得$k_1=0.2$,$\therefore d_1=0.2x$. 当$x=26$时,$d_1=0.2×26=5.2$. $\because$ 当骑行速度为13 km/h时,刹车距离为1 m,$\therefore 1=13^2× k_2$,解得$k_2=\frac{1}{169}$,$\therefore d_2=\frac{1}{169}x^2$. 当$x=26$时,$d_2=\frac{1}{169}×26^2=4$.
(2)设骑行速度为$x$ km/h,由(1)知$d_1=0.2x$,$d_2=\frac{1}{169}x^2$,
$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=d_1 + d_2=\frac{1}{169}x^2 + 0.2x$.
(3)当刹车距离为2 m时,得$2=\frac{1}{169}x^2$,
解得$x=13\sqrt{2}$或$x=-13\sqrt{2}$(舍去),
$\therefore y=\frac{1}{169}x^2 + 0.2x\approx2 + 0.2×13×1.41=5.666\approx5.7$,
$\therefore$ 停车距离约为5.7 m.
由题意可设$d_1=k_1x$,$d_2=k_2x^2$,且$k_1≠0$,$k_2≠0$. $\because$ 当骑行速度为13 km/h时,反应距离为2.6 m,$\therefore 13k_1=2.6$,解得$k_1=0.2$,$\therefore d_1=0.2x$. 当$x=26$时,$d_1=0.2×26=5.2$. $\because$ 当骑行速度为13 km/h时,刹车距离为1 m,$\therefore 1=13^2× k_2$,解得$k_2=\frac{1}{169}$,$\therefore d_2=\frac{1}{169}x^2$. 当$x=26$时,$d_2=\frac{1}{169}×26^2=4$.
(2)设骑行速度为$x$ km/h,由(1)知$d_1=0.2x$,$d_2=\frac{1}{169}x^2$,
$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=d_1 + d_2=\frac{1}{169}x^2 + 0.2x$.
(3)当刹车距离为2 m时,得$2=\frac{1}{169}x^2$,
解得$x=13\sqrt{2}$或$x=-13\sqrt{2}$(舍去),
$\therefore y=\frac{1}{169}x^2 + 0.2x\approx2 + 0.2×13×1.41=5.666\approx5.7$,
$\therefore$ 停车距离约为5.7 m.
