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1. [2025 南通] 综合与实践:学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动,已知花圃一边靠墙(墙的长度不限),其余部分用总长为60 m 的栅栏围成,兴趣小组设计了以下两种方案:
方案一
如图①,围成一个面积为 450 m²的矩形花圃.
方案二
如图②,围成矩形花圃,用栅栏(栅栏宽度忽略不计)将该花圃分隔为两个不同矩形区域,用来种植不同花卉,并在花圃两侧各留一个宽 为3 m 的进出口(此处不用栅栏).
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度.
(2)要使方案二中花圃的面积最大,则与墙平行的边的长度为多少米?
方案一
如图①,围成一个面积为 450 m²的矩形花圃.
方案二
如图②,围成矩形花圃,用栅栏(栅栏宽度忽略不计)将该花圃分隔为两个不同矩形区域,用来种植不同花卉,并在花圃两侧各留一个
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度.
(2)要使方案二中花圃的面积最大,则与墙平行的边的长度为多少米?
答案
(1)设与墙垂直的边的长度为x m，则与墙平行的边的长度为(60−2x) m，
根据题意得x(60−2x)=450，解得x₁=x₂=15。
答：与墙垂直的边的长度为15 m。
(2)设与墙平行的边的长度为t m，花圃的面积为S m²，
根据题意得S=$\frac{1}{3}$t(66−t)=−$\frac{1}{3}$t²+22t，
∴S=−$\frac{1}{3}$(t−33)²+363。
∵−$\frac{1}{3}$＜0，
∴当t=33时，S有最大值363。
答：当与墙平行的边的长度为33 m时，花圃的面积最大。
根据题意得x(60−2x)=450，解得x₁=x₂=15。
答：与墙垂直的边的长度为15 m。
(2)设与墙平行的边的长度为t m，花圃的面积为S m²，
根据题意得S=$\frac{1}{3}$t(66−t)=−$\frac{1}{3}$t²+22t，
∴S=−$\frac{1}{3}$(t−33)²+363。
∵−$\frac{1}{3}$＜0，
∴当t=33时，S有最大值363。
答：当与墙平行的边的长度为33 m时，花圃的面积最大。
2. 一块三角形材料如图所示，$∠ A=30°,∠ C=90°,AB=12$. 九年级(8)班的同学在劳动课上用这块材料剪出一个矩形$CDEF$,其中点$D,E,F$分别在边$AC,AB,BC$上. 设$AE$的长为$x$,矩形$CDEF$的面积为$S$.
(1)求出$S$关于$x$的函数表达式,并写出$x$的取值范围;
(2)当矩形$CDEF$的面积为$8\sqrt{3}$时,求$AE$的长;
(3)若矩形$CDEF$的面积不小于$5\sqrt{3}$,请直接写出$AE$的长$x$的取值范围.
(1)求出$S$关于$x$的函数表达式,并写出$x$的取值范围;
(2)当矩形$CDEF$的面积为$8\sqrt{3}$时,求$AE$的长;
(3)若矩形$CDEF$的面积不小于$5\sqrt{3}$,请直接写出$AE$的长$x$的取值范围.
答案
(1)
∵四边形CDEF为矩形，
∴∠CDE=90°,
∴∠ADE=90°。
∵在Rt△ADE中，∠A=30°,AE=x，
∴DE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$x，
∴AD=$\sqrt{AE^2-DE^2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x。
∵在Rt△ABC中，∠A=30°,∠C=90°,AB=12，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×12=6，
∴AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}$=$6\sqrt{3}$，
∴CD=AC−AD=$6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∴S=CD·DE=$(6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)·\frac{1}{2}x=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x$（0＜x＜12）。
(2)由题意,得$-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x=8\sqrt{3}$，
整理,得$x^2-12x+32=0$，
解得$x_1=4,x_2=8$，
即AE的长为4或8。
(3)$2≤ x≤10$。【点拨】由题意,得$-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x≥5\sqrt{3}$，
整理,得$x^2-12x+20≤0$，
解得$2≤ x≤10$。
∵四边形CDEF为矩形，
∴∠CDE=90°,
∴∠ADE=90°。
∵在Rt△ADE中，∠A=30°,AE=x，
∴DE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$x，
∴AD=$\sqrt{AE^2-DE^2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x。
∵在Rt△ABC中，∠A=30°,∠C=90°,AB=12，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×12=6，
∴AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}$=$6\sqrt{3}$，
∴CD=AC−AD=$6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x$，
∴S=CD·DE=$(6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)·\frac{1}{2}x=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x$（0＜x＜12）。
(2)由题意,得$-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x=8\sqrt{3}$，
整理,得$x^2-12x+32=0$，
解得$x_1=4,x_2=8$，
即AE的长为4或8。
(3)$2≤ x≤10$。【点拨】由题意,得$-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x≥5\sqrt{3}$，
整理,得$x^2-12x+20≤0$，
解得$2≤ x≤10$。
3. [2025南通] 如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D,E,F，使$AD=BE=CF$。若$AB=4$，$AD=x$，$△ DEF$的面积为$y$，则$y$关于$x$的函数图象大致为（
A
B
C
D
B
）A
B
C
D
答案
B 【点拨】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=AC。
∵AD=BE=CF，
∴AB−AD=BC−BE=AC−CF，即BD=CE=AF。
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS)。
∴DE=EF=DF，如图，过点A作AG⊥BC于点G，则∠AGB=90°,
∴∠BAG=30°。
∴BG=$\frac{1}{2}$AB=2。
∴AG=$\sqrt{AB^2-BG^2}=2\sqrt{3}$。
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AG=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$，过点D作DH⊥BC于点H，则∠DHB=90°,
∴∠BDH=30°。
∴BH=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}(4-x)$。
∴DH=$\sqrt{BD^2-BH^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}(4-x)$。
∴$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}BE· DH=\frac{1}{2}x·\frac{\sqrt{3}}{2}(4-x)=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+\sqrt{3}x$。
∴$y=S_{△ ABC}-3S_{△ BDE}=4\sqrt{3}-3(-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+\sqrt{3}x)=\frac{3\sqrt{3}}{4}x^2-3\sqrt{3}x+4\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}(x-2)^2+\sqrt{3}(0≤ x≤4)$。
∴y关于x的函数图象开口向上，当x=0时$y=4\sqrt{3}$，当x=4时$y=4\sqrt{3}$，当x=2时y的最小值为$\sqrt{3}$。
∴选项A,C,D均不符合题意，选项B符合题意，故选B。
