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三、解答题(共44分)
13. (14分)已知抛物线$y=x^2+bx+c$经过点(1,0)和(5,8).
(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
(2)若点$P(-2,a)$和点$Q(n,d)$是该抛物线上两个不同的点，已知$a+d=30$，则$n$的值为
13. (14分)已知抛物线$y=x^2+bx+c$经过点(1,0)和(5,8).
(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
(2)若点$P(-2,a)$和点$Q(n,d)$是该抛物线上两个不同的点，已知$a+d=30$，则$n$的值为
6
.答案
13.【解】(1)
∵抛物线 $y=x^2+bx+c$ 经过点 $(1,0)$ 和 $(5,8)$,
∴ $\begin{cases}8=25+5b+c,\\0=1+b+c,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-4,\\c=3.\end{cases}$
∴ $y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$.
∴该抛物线的顶点坐标为 $(2,-1)$.
(2)6 【点拨】由(1)知 $y=(x-2)^2-1$,把 $P(-2,a)$ 的坐标代入,得 $a=(-2-2)^2-1=15$.
∵$a+d=30$,
∴$d=15$. 把 $Q(n,15)$ 的坐标代入 $y=(x-2)^2-1$,得 $15=(n-2)^2-1$,解得 $n=6$ 或 $n=-2$. 当 $n=-2$ 时,$P,Q$ 两点重合,不符合题意.
∴$n=6$.
∵抛物线 $y=x^2+bx+c$ 经过点 $(1,0)$ 和 $(5,8)$,
∴ $\begin{cases}8=25+5b+c,\\0=1+b+c,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-4,\\c=3.\end{cases}$
∴ $y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$.
∴该抛物线的顶点坐标为 $(2,-1)$.
(2)6 【点拨】由(1)知 $y=(x-2)^2-1$,把 $P(-2,a)$ 的坐标代入,得 $a=(-2-2)^2-1=15$.
∵$a+d=30$,
∴$d=15$. 把 $Q(n,15)$ 的坐标代入 $y=(x-2)^2-1$,得 $15=(n-2)^2-1$,解得 $n=6$ 或 $n=-2$. 当 $n=-2$ 时,$P,Q$ 两点重合,不符合题意.
∴$n=6$.
14. ★★ (14分)如图，二次函数$y=(x+2)^2+m$的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数$y=kx+b$的图象经过该二次函数图象上的点A(-1,0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
(2)在对称轴上求作一点P，使PA+PC的值最小的点P的坐标为
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
(2)在对称轴上求作一点P，使PA+PC的值最小的点P的坐标为
(-2,1)
.答案
14.【解】(1)把点 $A(-1,0)$ 的坐标代入 $y=(x+2)^2+m$,得 $1+m=0$,解得 $m=-1$,
∴二次函数的表达式为 $y=(x+2)^2-1$. 令 $x=0$,得 $y=3$.
∴点 C 的坐标是 $(0,3)$. 易得抛物线的对称轴是直线 $x=-2$. 又
∵点 B 与点 C 关于抛物线的对称轴对称,
∴$B(-4,3)$. 把点 $A(-1,0)$,$B(-4,3)$ 的坐标分别代入 $y=kx+b$,得 $\begin{cases}-k+b=0,\\-4k+b=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=-1.\end{cases}$
∴一次函数的表达式是 $y=-x-1$.
(2)$(-2,1)$ 【点拨】
∵点 B 和点 C 关于直线 $x=-2$ 对称,
∴易知直线 AB 与直线 $x=-2$ 的交点即为点 P. 当 $x=-2$ 时,$y=-x-1=-(-2)-1=1$,
∴点 P 的坐标是 $(-2,1)$.
点规律 当点 A,C 在直线 l 同侧时,要在直线 l 上找一点 P 使 PA+PC 的值最小,可先找出点 A(或点 C)关于直线 l 的对称点,再将找出的对称点与点 C(或点 A)连接,连线与直线 l 的交点就是所求的点.
∴二次函数的表达式为 $y=(x+2)^2-1$. 令 $x=0$,得 $y=3$.
∴点 C 的坐标是 $(0,3)$. 易得抛物线的对称轴是直线 $x=-2$. 又
∵点 B 与点 C 关于抛物线的对称轴对称,
∴$B(-4,3)$. 把点 $A(-1,0)$,$B(-4,3)$ 的坐标分别代入 $y=kx+b$,得 $\begin{cases}-k+b=0,\\-4k+b=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=-1.\end{cases}$
∴一次函数的表达式是 $y=-x-1$.
(2)$(-2,1)$ 【点拨】
∵点 B 和点 C 关于直线 $x=-2$ 对称,
∴易知直线 AB 与直线 $x=-2$ 的交点即为点 P. 当 $x=-2$ 时,$y=-x-1=-(-2)-1=1$,
∴点 P 的坐标是 $(-2,1)$.
点规律 当点 A,C 在直线 l 同侧时,要在直线 l 上找一点 P 使 PA+PC 的值最小,可先找出点 A(或点 C)关于直线 l 的对称点,再将找出的对称点与点 C(或点 A)连接,连线与直线 l 的交点就是所求的点.
15. (16分)[2025安徽] 已知抛物线 $y=ax^2+bx$（$a≠0$）经过点$(4,0)$.
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$分别在抛物线$y=ax^2+bx$和$y=x^2-2x$上（$A,B$与原点都不重合）.
①若$a=\frac{1}{2}$，且$x_1=x_2$，比较$y_1$与$y_2$的大小；
②当$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$时，若$\frac{x_2}{x_1}$是一个与$x_1$无关的定值，求$a$与$b$的值.
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$分别在抛物线$y=ax^2+bx$和$y=x^2-2x$上（$A,B$与原点都不重合）.
①若$a=\frac{1}{2}$，且$x_1=x_2$，比较$y_1$与$y_2$的大小；
②当$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$时，若$\frac{x_2}{x_1}$是一个与$x_1$无关的定值，求$a$与$b$的值.
答案
15.【解】(1)将点 $(4,0)$ 代入 $y=ax^2+bx$ 得 $16a+4b=0$,即 $b=-4a$,
∴$-\frac{b}{2a}=2$,故所求抛物线的对称轴是直线 $x=2$.
(2)①由(1)知 $b=-4a=-4×\frac{1}{2}=-2$,
∴抛物线的表达式为 $y=\frac{1}{2}x^2-2x$.
又
∵$x_1=x_2$,故 $y_2-y_1=(x_2^2-2x_2)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\frac{1}{2}x_1^2$.
∵抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2-2x$ 过原点,且点 A 与原点不重合,
∴$x_1≠0$.
∴$\frac{1}{2}x_1^2＞0$.
∴$y_2＞y_1$.
②由题意知,$y_1=ax_1^2-4ax_1$,$y_2=x_2^2-2x_2$.
∵$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$,
∴$\frac{x_2^2-2x_2}{a(x_1^2-4x_1)}=\frac{x_2}{x_1}$.
∵两条抛物线均过原点,且 A,B 与原点都不重合,
∴$x_1≠0$,$x_2≠0$.
∴$\frac{x_2-2}{a(x_1-4)}=1$,即 $x_2=a(x_1-4)+2$.
∴$\frac{x_2}{x_1}=\frac{a(x_1-4)+2}{x_1}=a+\frac{2-4a}{x_1}$.
依题意知,$a+\frac{2-4a}{x_1}$ 是与 $x_1$ 无关的定值.
∴$2-4a=0$,解得 $a=\frac{1}{2}$.
经检验,当 $a=\frac{1}{2}$ 时,$\frac{x_2}{x_1}=\frac{1}{2}$ 是一个与 $x_1$ 无关的定值,符合题意.
∴$a=\frac{1}{2}$,$b=-4a=-2$.
∴$-\frac{b}{2a}=2$,故所求抛物线的对称轴是直线 $x=2$.
(2)①由(1)知 $b=-4a=-4×\frac{1}{2}=-2$,
∴抛物线的表达式为 $y=\frac{1}{2}x^2-2x$.
又
∵$x_1=x_2$,故 $y_2-y_1=(x_2^2-2x_2)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\frac{1}{2}x_1^2$.
∵抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2-2x$ 过原点,且点 A 与原点不重合,
∴$x_1≠0$.
∴$\frac{1}{2}x_1^2＞0$.
∴$y_2＞y_1$.
②由题意知,$y_1=ax_1^2-4ax_1$,$y_2=x_2^2-2x_2$.
∵$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$,
∴$\frac{x_2^2-2x_2}{a(x_1^2-4x_1)}=\frac{x_2}{x_1}$.
∵两条抛物线均过原点,且 A,B 与原点都不重合,
∴$x_1≠0$,$x_2≠0$.
∴$\frac{x_2-2}{a(x_1-4)}=1$,即 $x_2=a(x_1-4)+2$.
∴$\frac{x_2}{x_1}=\frac{a(x_1-4)+2}{x_1}=a+\frac{2-4a}{x_1}$.
依题意知,$a+\frac{2-4a}{x_1}$ 是与 $x_1$ 无关的定值.
∴$2-4a=0$,解得 $a=\frac{1}{2}$.
经检验,当 $a=\frac{1}{2}$ 时,$\frac{x_2}{x_1}=\frac{1}{2}$ 是一个与 $x_1$ 无关的定值,符合题意.
∴$a=\frac{1}{2}$,$b=-4a=-2$.
