1. 如图,经过$A(1,0),B(4,0)$两点的抛物线$y=-x^2 -bx +c$与$y$轴交于点$C$.
(1)求抛物线的函数表达式及点$C$的坐标;
(2)若线段$BC$上有一动点$M$(不与端点$B,C$重合),过点$M$作$MN ⊥ x$轴交抛物线于点$N$.当线段$MN$的长度最大时,求此时点$M$的坐标.

(1)将点$A(1,0),B(4,0)$代入$y=-x^2 -bx +c$，得$\begin{cases}-1-b+c=0,\\-16-4b+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-5,\\c=-4,\end{cases}$
∴抛物线的函数表达式为$y=-x^2+5x-4$.
当$x=0$时,$y=-4$,即点$C$的坐标为$(0,-4)$.
(2)设直线$BC$的函数表达式为$y=kx-4$,
将点$B(4,0)$代入,得$4k-4=0$,解得$k=1$,
∴直线$BC$的函数表达式为$y=x-4$.
设点$M$的坐标为$(m,m-4)$,则点$N(m,-m^2+5m-4),0＜m＜4$,
∴$MN=(-m^2+5m-4)-(m-4)=-m^2+4m=-(m-2)^2+4$.
∵$-1＜0$,
∴当$m=2$时,$MN$取得最大值,
此时点$M$的坐标为$(2,-2)$.

2. [2025·马鞍山三模节选]如图，抛物线$y=ax^2+bx$与直线$y=-x+b$交于A，B两点，且点A的坐标为$(4,0)$，点B的横坐标为1.

(1)求抛物线的表达式.
(2)P为直线AB上方的抛物线上一动点，过点P作$PQ⊥ y$轴交直线AB于点Q.
①当线段PQ取最大值时，求点Q的坐标.

(1)
∵点$A(4,0)$在直线$y=-x+b$上，
∴$-4+b=0$,解得$b=4$,
∴直线$y=-x+b$的表达式为$y=-x+4$,
当$x=1$时,$y=-1+4=3$,
∴点$B$的坐标为$(1,3)$.
∵$b=4$,
∴$y=ax^2+bx=ax^2+4x$,
将点$B(1,3)$代入$y=ax^2+4x$,得$a+4=3$,解得$a=-1$,
∴抛物线的表达式为$y=-x^2+4x$.
(2)①如图,过点$P$作$PE⊥x$轴于点$E$,交直线$AB$于点$D$.

设直线$y=-x+4$与$y$轴交于点$C$,则点$C$的坐标为$(0,4)$.
∵$A(4,0)$,
∴$∠OAC=45°$.
∵$PQ// OA$,$PE⊥OA$,
∴$∠QPD=90°$,$∠PQD=∠OAC=45°$,
∴$PQ=PD$.
设点$P(m,-m^2+4m)(1＜m＜4)$,则点$D(m,-m+4)$,
∴$PQ=PD=-m^2+4m-(-m+4)=-m^2+5m-4=-(m-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{9}{4}$,
∴当$m=\dfrac{5}{2}$时,$PQ$取得最大值,此时点$P(\dfrac{5}{2},\dfrac{15}{4})$,
∴点$Q$的纵坐标为$\dfrac{15}{4}$.
令$y=-x+4=\dfrac{15}{4}$,解得$x=\dfrac{1}{4}$,
∴点$Q$的坐标为$(\dfrac{1}{4},\dfrac{15}{4})$.