3. [2024·六安一模]如图,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交于$O(O$为坐标原点$)$,$A(4,0)$两点,且经过点$(-2,6)$.
(1)求二次函数的表达式.
(2)已知$y$轴上一点$B(0,4)$,$P$是二次函数图象上位于$x$轴下方的一点,连接$PA$,$PB$,$AB$.设点$P$的横坐标为$t$,$△ PAB$的面积为$S$.
①求直线$AB$的表达式;
②当$S$取最大值时,求点$P$的坐标.

(1)由题意,得$\begin{cases}c=0,\\4a-2b+c=6,\\16a+4b+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{2},\\b=-2,\\c=0,\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=\dfrac{1}{2}x^2-2x$.
(2)①设直线$AB$的表达式为$y=kx+d$.
将点$A(4,0),B(0,4)$代入,得$\begin{cases}4k+d=0,\\d=4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1,\\d=4,\end{cases}$
∴直线$AB$的表达式为$y=-x+4$.
②过点$P$作$PH// y$轴交$AB$于点$H$.
∵点$P$的横坐标为$t$,
∴点$P(t,\dfrac{1}{2}t^2-2t),H(t,-t+4)$,
∴$S=\dfrac{1}{2}PH· AO=\dfrac{1}{2}×(-t+4-\dfrac{1}{2}t^2+2t)×4=-t^2+2t+8=-(t-1)^2+9$.
∵$-1＜0,0＜t＜4$,
∴当$t=1$时,$S$有最大值,
∴此时点$P$的坐标为$(1,-\dfrac{3}{2})$.

4. [2026·合肥包河区一模]已知抛物线$G:y=ax^2-2ax(a≠0)$与直线$l:y=x-2$交于A，B两点，其中点B在x轴上.
(1)若点A横坐标为－1，直线$l$与$y$轴交于点C.
①求$a$的值；
②$P$为线段$BC$上一点，过点$P$作$PQ// y$轴交抛物线于点$Q$，求四边形$PBQO$面积最大时点$P$的坐标.
【选做】(2)若$M(s,t),N(m,n)$为该抛物线上不同的两点，$a＞0$，且满足$\frac{s-1}{m}=\frac{s}{m-1}(sm≠0,m≠1,s≠1)$.已知抛物线$G$存在最小值$-2a^2+1$，设$\frac{(t-n+1)^2}{t+1}=k$，请判断$k$是否为定值？若为定值，请求出$k$；若不是定值，请确定其范围.

(1)①由题意,得点$A(-1,-3),B(2,0)$,
把点$A(-1,-3)$代入$y=ax^2-2ax$,得$-3=a×(-1)^2-2a×(-1)$,解得$a=-1$.
②如图：

由①得抛物线的表达式为$y=-x^2+2x$,
在$y=x-2$中,令$x=0$得$y=-2$,
∴点$C(0,-2)$.
设点$P(p,p-2),0＜p＜2$.
∵$PQ// y$轴交抛物线于点$Q$,
∴点$Q(p,-p^2+2p)$,
∴$PQ=-p^2+2p-(p-2)=-p^2+p+2$,
∴$S_{\mathrm{四边形}PBQO}=\dfrac{1}{2}PQ·|x_B-x_O|=\dfrac{1}{2}(-p^2+p+2)×2=-p^2+p+2=-(p-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{9}{4}$,
∴当$p=\dfrac{1}{2}$时,$S_{\mathrm{四边形}PBQO}$取最大值$\dfrac{9}{4}$,此时点$P$的坐标为$(\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{2})$.
(2)$k$为定值4.理由如下：
∵$y=ax^2-2ax=a(x-1)^2-a$,且抛物线$G$的最小值为$-2a^2+1$,
∴$-a=-2a^2+1$,解得$a=1$或$a=-\dfrac{1}{2}$(舍去),
∴抛物线的表达式为$y=x^2-2x$.
∵点$M(s,t),N(m,n)$在抛物线上,
∴$t=s^2-2s$,$n=m^2-2m$,
∵$\dfrac{s-1}{m}=\dfrac{s}{m-1}$,
∴$ms-s-m+1=ms$,
∴$m=1-s$,
∴$n=m^2-2m=(1-s)^2-2(1-s)=s^2-1$,
∴$t-n=s^2-2s-(s^2-1)=-2s+1$,
∴$t-n+1=-2s+2=-2(s-1)$,
又$t+1=s^2-2s+1=(s-1)^2$,
∴$k=\dfrac{(t-n+1)^2}{t+1}=\dfrac{4(s-1)^2}{(s-1)^2}=4$.