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1. [2024·马鞍山期末]如图，抛物线$y=x^2+mx+n$的对称轴为直线$x=2$，下列结论正确的是（
A.$m=4$
B.当$n=3$时，顶点的坐标为$(2,1)$
C.当$x=-1$时，$y＜0$，则$n＜-5$
D.当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小
C
）A.$m=4$
B.当$n=3$时，顶点的坐标为$(2,1)$
C.当$x=-1$时，$y＜0$，则$n＜-5$
D.当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
C
2. 一次函数 $ y = kx + b $ 的图象如图所示，则二次函数 $ y = x^2 - 2kx - b $ 的图象大致为 （
B
）答案
B
3. 已知二次函数$y=ax^2 -6ax +9(a＞0)$.
(1) 该二次函数的图象的对称轴为直线________;
(2) 若$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(2,3)$,$B(3,6)$,$C(4,3)$,且此函数的图象与$△ ABC$只有两个交点,则$a$的取值范围是________.
(1) 该二次函数的图象的对称轴为直线________;
(2) 若$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(2,3)$,$B(3,6)$,$C(4,3)$,且此函数的图象与$△ ABC$只有两个交点,则$a$的取值范围是________.
答案
(1)$x=3$
(2)$\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}$或$a=\frac{3}{4}$
提示:(2)由条件可知点 B(3,6)在抛物线对称轴上，
∵点 A(2,3)，C(4,3)，
∴点 A,C 关于对称轴对称，
∴△ABC 是等腰三角形，由二次函数 $y=ax^2 -6ax +9=a(x-3)^2+9-9a,a＞0$，得抛物线的开口向上，顶点坐标为(3,9-9a). ①抛物线的顶点在三角形的内部时，$3＜9-9a＜6$，解得$\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}$；②抛物线的顶点在线段 AC 下方且恰好经过点 A(2,3)和点 C(4,3)，此函数的图象与△ABC 只有两个交点，将 A(2,3)代入，得$y=-8a+9=3$，解得$a=\frac{3}{4}$，满足$9-9a＜3$，
∴a的取值范围是$\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}$或$a=\frac{3}{4}$.
(2)$\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}$或$a=\frac{3}{4}$
提示:(2)由条件可知点 B(3,6)在抛物线对称轴上，
∵点 A(2,3)，C(4,3)，
∴点 A,C 关于对称轴对称，
∴△ABC 是等腰三角形，由二次函数 $y=ax^2 -6ax +9=a(x-3)^2+9-9a,a＞0$，得抛物线的开口向上，顶点坐标为(3,9-9a). ①抛物线的顶点在三角形的内部时，$3＜9-9a＜6$，解得$\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}$；②抛物线的顶点在线段 AC 下方且恰好经过点 A(2,3)和点 C(4,3)，此函数的图象与△ABC 只有两个交点，将 A(2,3)代入，得$y=-8a+9=3$，解得$a=\frac{3}{4}$，满足$9-9a＜3$，
∴a的取值范围是$\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}$或$a=\frac{3}{4}$.
4.[2025·六安霍邱月考]如图，二次函数$y=-x^2+bx+c$的部分图象如图所示，则关于$x$的不等式$-x^2+bx+c＜0$的解集为（
A.$-4＜x＜1$
B.$-3＜x＜1$
C.$x＜-4$或$x＞1$
D.$x＜-3$或$x＞1$
D
）A.$-4＜x＜1$
B.$-3＜x＜1$
C.$x＜-4$或$x＞1$
D.$x＜-3$或$x＞1$
答案
D
5. [2025·亳州涡阳校级月考]如图，二次函数$y=x^2+x-m$的图象与$x$轴的一个交点的横坐标为$-2$，则关于$x$的一元二次方程$(x+1)^2+(x+1)-m=0$的解是（
A.$x_1=0,x_2=3$
B.$x_1=-1,x_2=2$
C.$x_1=-1,x_2=-4$
D.$x_1=-3,x_2=0$
D
）A.$x_1=0,x_2=3$
B.$x_1=-1,x_2=2$
C.$x_1=-1,x_2=-4$
D.$x_1=-3,x_2=0$
答案
D
6. [2025·安庆太湖三模]如图是某座抛物线型拱桥的示意图，已知水面宽AB为20米，抛物线最高点C到水面AB的距离为5米，景观灯D，E在该抛物线上，DE//AB.若两盏灯之间的距离DE为$4\sqrt{5}$米，则直线DE与AB的距离为
4
米.答案
4
7. [新课标—项目式学习题]项目主题:从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”.
实验过程:如图所示,一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动,从小球运动到点A处开始,用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x(单位:s)、运动速度v(单位:cm/s)、滑行距离y(单位:cm)的数据.
任务一:数据收集
记录的数据如下:
任务二:数据分析
观察分析发现,小球运动速度v(单位:cm/s)与小球运动时间x(单位:s)满足关系式$v=kx+b_1$.小球滑行距离y(单位:cm)与运动时间x(单位:s)满足关系式$y=ax^2+b_2x$;
(1)$k=$
任务三:问题解决
(2)当小球在水平木板上停下来时,求此时小球的滑动距离;
(3)当小球到达木板点A的同时,在点A的前方n cm处有一辆电动小车,以4 cm/s的速度匀速向右直线运动,若小球不能撞上小车,求n的取值范围.
实验过程:如图所示,一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动,从小球运动到点A处开始,用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x(单位:s)、运动速度v(单位:cm/s)、滑行距离y(单位:cm)的数据.
任务一:数据收集
记录的数据如下:
任务二:数据分析
观察分析发现,小球运动速度v(单位:cm/s)与小球运动时间x(单位:s)满足关系式$v=kx+b_1$.小球滑行距离y(单位:cm)与运动时间x(单位:s)满足关系式$y=ax^2+b_2x$;
(1)$k=$
$-\frac{1}{2}$
,$b_1=$$10$
,$a=$$-\frac{1}{4}$
,$b_2=$$10$
.任务三:问题解决
(2)当小球在水平木板上停下来时,求此时小球的滑动距离;
(3)当小球到达木板点A的同时,在点A的前方n cm处有一辆电动小车,以4 cm/s的速度匀速向右直线运动,若小球不能撞上小车,求n的取值范围.
答案
解:(1)$-\frac{1}{2};10;-\frac{1}{4};10.$
(2)由 $v=-\frac{1}{2}x+10$,当 $v=0$ 时,$0=-\frac{1}{2}x+10$,解得 $x=20$.
把 $x=20$ 代入 $y=-\frac{1}{4}x^2+10x$,得 $y=-\frac{1}{4}×20^2+10×20=100(\mathrm{cm}).$
(3)小球滑行距离 $y=-\frac{1}{4}x^2+10x$,小车行驶距离 $s=4x$.
∵球不能撞上小车，
∴$-\frac{1}{4}x^2+10x＜4x+n$ 在 $0≤ x≤20$ 时恒成立，即$-\frac{1}{4}x^2+6x＜n$ 在 $0≤ x≤20$ 时恒成立，
令 $y'=-\frac{1}{4}x^2+6x$，
∴$y'=-\frac{1}{4}(x-12)^2+36$，易得当 $0≤ x≤20$ 时，$y'$最大值为 36，
∴$n＞36$.
(2)由 $v=-\frac{1}{2}x+10$,当 $v=0$ 时,$0=-\frac{1}{2}x+10$,解得 $x=20$.
把 $x=20$ 代入 $y=-\frac{1}{4}x^2+10x$,得 $y=-\frac{1}{4}×20^2+10×20=100(\mathrm{cm}).$
(3)小球滑行距离 $y=-\frac{1}{4}x^2+10x$,小车行驶距离 $s=4x$.
∵球不能撞上小车，
∴$-\frac{1}{4}x^2+10x＜4x+n$ 在 $0≤ x≤20$ 时恒成立，即$-\frac{1}{4}x^2+6x＜n$ 在 $0≤ x≤20$ 时恒成立，
令 $y'=-\frac{1}{4}x^2+6x$，
∴$y'=-\frac{1}{4}(x-12)^2+36$，易得当 $0≤ x≤20$ 时，$y'$最大值为 36，
∴$n＞36$.
