8. 根据下列条件,能画出唯一$△ ABC$ 的是（）

A.$∠ A=30°,∠ B=70°,∠ C=80°$
B.$AB=6,BC=5,∠ A=30°$
C.$∠ C=60°,∠ B=45°,AB=4$
D.$∠ C=90°,AB=6$

8.C

【分析】
要判断能否画出唯一的△ABC，本质是判断给出的条件是否符合全等三角形的判定定理：若符合，则三角形的形状、大小完全固定，能画出唯一三角形；若不符合，则无法确定唯一三角形。全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS、HL，其中AAA（仅三个角相等）、SSA（两边及其中一边的对角相等）无法判定三角形全等，不能得到唯一三角形，我们逐一分析各选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 仅给出三个内角的度数，属于AAA的情况，只能固定三角形的形状，无法固定大小，可画出无数个相似的三角形，不唯一，不符合要求；
B. 给出AB=6，BC=5，∠A=30°，属于SSA（两边及其中一边的对角）的情况，该条件下可画出两种不同的三角形，不能确定唯一三角形，不符合要求；
C. 给出∠C=60°，∠B=45°，AB=4，属于AAS（两角及其中一角的对边）的全等判定条件，三角形的形状和大小完全固定，能画出唯一的△ABC，符合要求；
D. 仅给出直角∠C和斜边AB=6，直角顶点C可在以AB为直径的圆上任意移动，能画出无数个直角三角形，不唯一，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定、确定唯一三角形的条件
【点评】
本题核心是结合全等三角形判定定理判断三角形是否唯一，解题时要牢记AAA、SSA不能判定三角形全等，无法得到唯一三角形，这类题目是全等判定的基础常考题型。
【难度系数】
0.7

9. 新考向 情境题 如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端，点O至地面的距离是50 cm.当跷跷板从水平位置CD运动到AB位置时，小敏所处高度下降了40 cm，则小明离地面的高度是 cm.

9.90

【分析】
解题思路：首先提取已知条件：支点O是AB的中点，因此OA=OB；O到地面的高度为50cm，小敏下降的40cm即点B到水平位置CD的垂直距离。我们可以通过过A、B两点分别作CD的垂线构造直角三角形，证明两个直角三角形全等，得到A到CD的垂直距离等于B到CD的垂直距离，再结合O到地面的高度即可求出小明离地面的高度。
【解析】
分别过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，因此$∠ AEO=∠ BFO=90°$。
在$△ AEO$和$△ BFO$中：
$\begin{cases}∠ AEO=∠ BFO \\∠ AOE=∠ BOF\quad (\mathrm{对顶角相等}) \\OA=OB\quad (\mathrm{O是AB的中点})\end{cases}$
$\therefore △ AEO≌△ BFO(\mathrm{AAS})$
$\therefore AE=BF$
由题意得小敏下降高度为40cm，即$BF=40\mathrm{cm}$，因此$AE=40\mathrm{cm}$。
又知点O到地面的距离为50cm，CD为水平直线，因此小明离地面的高度为$50+40=90\mathrm{cm}$。
【答案】
90
【知识点】
全等三角形的判定与性质，对顶角的性质，中点的定义
【点评】
本题结合生活中常见的跷跷板场景，考查全等三角形的实际应用，需要我们将实际问题转化为几何问题，通过构造全等三角形找到线段的等量关系求解，实用性较强。
【难度系数】
0.7

10.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC≌△FDE,点A的坐标为(a,1),点B的坐标为(b,-2),BC//x轴,且D,E两点都在y轴上,则点F到y轴的距离为个单位长度.

10.3

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先求点A到BC的距离：已知BC平行x轴，点A、B的纵坐标已知，两点纵坐标差的绝对值就是A到BC的竖直距离；第二步，结合全等三角形的性质：全等三角形对应边上的高相等，△ABC≌△FDE，所以点F到对应边DE的距离和点A到BC的距离相等；第三步，结合DE在y轴上的条件，F到DE的距离就是F到y轴的距离，即可得到结果。
【解析】
1. 计算点A到BC的距离：
∵ BC//x轴，点B的坐标为(b,-2)，
∴ BC上所有点的纵坐标均为-2，
又
∵ 点A的坐标为(a,1)，
∴ 点A到BC的距离为 $ |1 - (-2)| = 3 $。
2. 利用全等三角形性质推导：
∵ △ABC≌△FDE，DE是△FDE的边，且D、E两点都在y轴上，即DE在y轴上，
∴ 点F到对应边DE的距离 = 点A到对应边BC的距离 = 3，
即点F到y轴的距离为3个单位长度。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的性质，坐标与图形性质，平行线的性质
【点评】
本题解题的核心是利用全等三角形对应边上的高相等的性质，将求点F到y轴的距离转化为求点A到BC的距离，无需计算各点具体横坐标，简化了计算过程，需要注意准确找到全等三角形的对应边。
【难度系数】
0.7

11.如图,在$△ ABC$中,D是AC边上一点,AE平分$∠ BAC$交BD于点E,$EF // BC$交AC于点F,$∠ ABE = ∠ C$.
(1)求证:$△ ABE ≌ △ AFE$;
(2)若$BD=8$,$AB=7$,$AD=5$,则$△ DEF$的周长为.

11.(1)证明: $\because AE$平分$∠BAC,\therefore ∠BAE=∠FAE.$
$\because EF// BC,\therefore ∠AFE=∠C.$
$\because ∠ABE=∠C,\therefore ∠ABE=∠AFE.$
在$△ ABE$和$△ AFE$中,$\because \begin{cases} ∠ABE=∠AFE, \\ ∠BAE=∠FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌ △ AFE.(AAS)$
(2)10

【分析】
(1) 要证明△ABE≌△AFE，先梳理已知条件：AE是角平分线可得一组角相等，公共边AE为一组等边，再结合EF//BC的性质和已知∠ABE=∠C，可推导出另一组角相等，满足AAS全等判定条件即可完成证明。(2) 求△DEF的周长时，先利用全等三角形对应边相等的性质，将未知的线段长度转化为已知线段：由全等得AB=AF、BE=FE，先求出DF的长度，再将DE+EF转化为BD的长度，两者相加即可得到周长。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ AE平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ BAE=∠ FAE$，
$\because EF// BC$，根据两直线平行，同位角相等，$\therefore ∠ AFE=∠ C$，
又$\because ∠ ABE=∠ C$，$\therefore ∠ ABE=∠ AFE$，
在$△ ABE$和$△ AFE$中：
$\begin{cases}∠ ABE=∠ AFE \\∠ BAE=∠ FAE \\AE=AE \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ AFE(\mathrm{AAS})$。
(2) 解：
由(1)的全等结论可得：$AB=AF=7$，$BE=FE$，
$\because AD=5$，$\therefore DF=AF-AD=7-5=2$，
$△ DEF$的周长$=DE+EF+DF$，
$\because EF=BE$，$\therefore DE+EF=DE+BE=BD=8$，
$\therefore △ DEF$的周长$=8+2=10$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{10}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形部分的常见综合题，解题的核心是通过角平分线、平行线的性质找到全等所需的等角，再借助全等的性质完成线段的转化，能很好地考查学生对基础定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

12. 新考向 类比探究【问题背景】如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C在△ABC外作直线MN,过点A作AM⊥MN于点M,过点B作BN⊥MN于点N,易证MN=AM+BN.
(1)【拓展延伸】如图②,在△ABC中,AC=BC,M,C,N三点都在同一条直线上,并且有∠ACB=∠AMC=∠CNB.猜想MN与AM,BN之间的数量关系,并说明理由.
(2)【拓展探究】如图③,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线MN与线段AB相交,过点A作AM⊥MN于点M,过点B作BN⊥MN于点N.(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请写出正确的结论.

12.解:(1)猜想:$MN=AM+BN$.理由如下:
$\because ∠CBN+∠CNB=∠ACB+∠ACM,∠ACB=∠CNB$,
$\therefore ∠ACM=∠CBN.$
在$△ ACM$和$△ CBN$中,$\because \begin{cases} ∠AMC=∠CNB, \\ ∠ACM=∠CBN, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ACM≌ △ CBN.(AAS)$
$\therefore CM=BN,AM=CN,\therefore MN=CN+CM=AM+BN.$
(2)(1)中的结论不成立;正确的结论是$MN=AM-BN$.
$\because AM⊥ MN,BN⊥ MN$,
$\therefore ∠AMN=∠AMC=∠CNB=90°.$
$\because ∠ACB=90°,\therefore ∠AMN=∠ACB$,
$\therefore ∠ACM+∠CAM=∠ACM+∠BCN=90°$,
$\therefore ∠CAM=∠BCN.$
在$△ ACM$和$△ CBN$中,$\because \begin{cases} ∠AMC=∠CNB, \\ ∠CAM=∠BCN, \\ AC=CB, \end{cases}$
$\therefore △ ACM≌ △ CBN.(AAS)$
$\therefore CM=BN,AM=CN,\therefore MN=CN-CM=AM-BN.$

【分析】
本题属于三角形类比探究类问题，解题核心是通过证明三角形全等转化线段关系：
(1) 要推导MN与AM、BN的数量关系，观察图形可知MN=CM+CN，因此只需证明AM=CN、BN=CM即可。结合已知的角相等和AC=BC的条件，先推导△ACM和△CBN的两组对应角相等，利用AAS证明两三角形全等，即可得到对应边相等，进而推出线段和的关系。
(2) 观察图形可知，此时MN与AB相交，MN的长度是CN与CM的差，依然先通过同角的余角相等推导对应角相等，证明△ACM≌△CBN，得到对应边相等后结合线段差的关系即可得到正确结论，注意不要照搬第一问的结论，要结合图形位置变化分析。
【解析】
(1) 猜想：$\boldsymbol{MN=AM+BN}$，理由如下：
$\because ∠ CBN+∠ CNB+∠ BCN=180°$，$∠ ACM+∠ ACB+∠ BCN=180°$，且$∠ ACB=∠ CNB$
$\therefore ∠ ACM=∠ CBN$
在$△ ACM$和$△ CBN$中：
$\begin{cases}∠ AMC=∠ CNB \\∠ ACM=∠ CBN \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ACM ≌ △ CBN \ (\mathrm{AAS})$
$\therefore CM=BN$，$AM=CN$
$\because MN=CN+CM$
$\therefore MN=AM+BN$
(2) (1)中的结论不成立，正确结论为$\boldsymbol{MN=AM-BN}$，证明如下：
$\because AM⊥ MN$，$BN⊥ MN$
$\therefore ∠ AMC=∠ CNB=90°$
$\because ∠ ACB=90°$
$\therefore ∠ CAM+∠ ACM=90°$，$∠ BCN+∠ ACM=90°$
$\therefore ∠ CAM=∠ BCN$
在$△ ACM$和$△ CBN$中：
$\begin{cases}∠ AMC=∠ CNB \\∠ CAM=∠ BCN \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ACM ≌ △ CBN \ (\mathrm{AAS})$
$\therefore CM=BN$，$AM=CN$
$\because MN=CN-CM$
$\therefore MN=AM-BN$
【答案】
(1) $MN=AM+BN$；
(2) (1)中的结论不成立，正确结论为$MN=AM-BN$。
【知识点】
AAS判定全等
全等三角形性质
一线三等角模型
【点评】
本题是典型的“一线三等角”模型探究题，通过改变直线与三角形的位置关系，考查全等三角形的证明和线段关系的推导，解题时要注意结合图形分析线段的和差变化，不要盲目套用之前的结论，掌握类比探究的思路，可从特殊情况延伸推导一般规律。
【难度系数】
0.6