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1. (2025河南中考)观察$2x,4x^2,6x^3,8x^4,\dots,$根据这些式子的变化规律,可得第$n$个式子为
$2nx^n$
.答案
1. $2nx^n$
2. 趋势情境 数学文化 大衍数列来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论:按一定规律排列的数:0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则第30个数是 (
A.900
B.450
C.449
D.320
B
)A.900
B.450
C.449
D.320
答案
2. B 【解析】因为$0=\frac{1^2-1}{2},2=\frac{2^2}{2},4=\frac{3^2-1}{2},8=\frac{4^2}{2},12=\frac{5^2-1}{2},18=\frac{6^2}{2},24=\frac{7^2-1}{2},32=\frac{8^2}{2},\dots,$所以奇数项的数表示为$\frac{n^2-1}{2}$,偶数项的数表示为$\frac{n^2}{2}$,因为第30个为偶数项,所以第30个数是$\frac{30^2}{2}=450$.
3. 观察下列等式：
第1个等式：$4^2 - 4^1 = 3×4^1$；
第2个等式：$4^3 - 4^2 = 3×4^2$；
第3个等式：$4^4 - 4^3 = 3×4^3$；
第4个等式：$4^5 - 4^4 = 3×4^4$；
….
按照上述规律，回答下列问题：
(1)第9个等式为
(2)写出第n个等式：
第1个等式：$4^2 - 4^1 = 3×4^1$；
第2个等式：$4^3 - 4^2 = 3×4^2$；
第3个等式：$4^4 - 4^3 = 3×4^3$；
第4个等式：$4^5 - 4^4 = 3×4^4$；
….
按照上述规律，回答下列问题：
(1)第9个等式为
$4^{10}-4^9=3×4^9$
；(2)写出第n个等式：
$4^{n+1}-4^n=3×4^n$
.(用含n的等式表示)答案
3. (1)$4^{10}-4^9=3×4^9$;(2)$4^{n+1}-4^n=3×4^n$.
4.（教材尝试·思考改编）如图是某月的月历，用阴影“X”字型框住5个数字，设中间的数字为a，则所框住的这5个数字之和是
$5a$
.(用含a的代数式表示)答案
4. $5a$ 【解析】因为中间的数字为$a$,所以阴影中左上角的数字可以表示为$a-8$,右上角的数字可以表示为$a-6$,左下角的数字可以表示为$a+6$,右下角的数字可以表示为$a+8$,所以所框住的这5个数字之和为$a-8+a-6+a+a+6+a+8=5a$.
5. (2025山西省实验中学期中改编)如图是由$8×4$个数字组成的偶数方阵,如阴影部分所示,对于框中的4个数,按照从大到小依次记为$a,b,c,d$,小明说:“我观察到$a+d=b+c$,请你判断小明的说法是否正确,并说明理由.
答案
5. 解:小明的说法正确,理由如下:
由题意可得$b=a-2,c=a-14,d=a-16$,
所以$a+d=a+a-16=2a-16$,
$b+c=a-2+a-14=2a-16$,
所以$a+d=b+c$.
由题意可得$b=a-2,c=a-14,d=a-16$,
所以$a+d=a+a-16=2a-16$,
$b+c=a-2+a-14=2a-16$,
所以$a+d=b+c$.
6. (2025江苏徐州中考)如图所示,用黑白两色棋子摆图形,依此规律,第n个图形中黑色棋子的个数为
$(3n+1)$
.(用含n的代数式表示)答案
6. $3n+1$
7.（黑白卷）数学美的表现形式是多种多样的，如图是由一些火柴搭成的“美”字的图案.图①中用了9根火柴，图②中用了17根火柴，图③中用了25根火柴，…，按照此规律，图ⓝ中用了
$(8n+1)$
根火柴（用含n的代数式表示）.答案
7. $8n+1$
8. 某游乐场入口门上是由相同的3块灰色等边三角形和4块正方形大理石搭建形成的1个门洞，如图①所示，如图②用5块等边三角形大理石和7块正方形大理石搭建形成的2个门洞；以此类推，若要搭建25个门洞，需要的正方形和等边三角形大理石总块数为
$127$
块。答案
8. $127$
