8. 印卷时,工人不小心把一道化简题前面一个数字遮住了,结果变成:$\blacksquare x^2 y - [5xy^2 - 2(-\frac{2}{3}xy + \frac{3}{2}x^2 y) - \frac{4}{3}xy] + 5xy^2$.
(1)某同学辨认后把“$\blacksquare$”猜成10,请你帮他算算化简后该式是多少;
(2)老师说:“你猜错了,我看到该题目遮挡部分是单项式$-\frac{4m^2 n}{3}$的系数和次数之积.”遮挡部分是多少?
(3)若化简结果是一个常数,请算算遮挡部分又该是多少?

8. 解:(1)根据题意,得原式 $= 10x^2y - ( 5xy^2 + \frac{4}{3}xy - 3x^2y - \frac{4}{3}xy ) + 5xy^2 = 10x^2y - 5xy^2 - \frac{4}{3}xy + 3x^2y + \frac{4}{3}xy + 5xy^2 = 13x^2y $;
(2)单项式 $-\frac{4m^2n}{3}$ 的系数和次数之积为 $-\frac{4}{3} × 3 = -4$,
答:遮挡部分是-4;
(3)设遮挡部分为 $a$,
原式 $= ax^2y - 5xy^2 + 3x^2y + 5xy^2 = ax^2y + 3x^2y = ( a + 3 ) x^2y $,
因为结果为常数,所以 $a+3=0$,解得 $a=-3$,
所以遮挡部分为-3.

9. (2025四川成都西川中学期末)小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据$x=8$时，加密后的数据是253；当原始数据$x=40$时，加密后的数据是235。如果输入的原始数据$x$是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据$x$的值可以是。

9. 2或7或37 【解析】如果输入的原始数据 $x$ 是正整数,加密后的数据是 217,则 $(217+5) ÷ 6 = 37$; $(37+5) ÷ 6 =7$; $(7+5) ÷ 6 =2$. 所以原始数据 $x$ 的值可以是 2 或 7 或 37.

10. 按如图所示的程序计算,把答案填写在表格内,然后观察有什么规律,想一想:为什么会有这个规律?

(1)填写表内空格:

(2)发现的规律:输入数据$x$,则输出的答案是;
(3)请验证你发现的规律.

10. 解:(1)补全表格如下；
| 输入 | -3 | -2 | -1 | 0 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 输出答案 | 9 | 4 | 1 | 0 | … |
(2)$x^2$;
(3)验证:当输入数据为 $x$ 时,将进行以下计算,
$\frac{1}{3}[ 6(-x) + 3( x^2 + 2x ) ] = \frac{1}{3}( -6x + 3x^2 + 6x ) = x^2 $.

11. 如果一个两位数的个位数是$b$,十位数是$a$,那么我们可以把这个两位数简记为$\overline{ab}$,即$\overline{ab}=10a+b$.
一个三位自然数$\overline{abc}$,若满足$a+c=b$,则称这个三位数为“位和数”,试说明:任意一个“位和数”都能被11整除.

11. 解:因为 $\overline{abc}$ 是“位和数”,所以 $a+c=b$,
因为 $\overline{abc} = 100a + 10b + c$
$= 99a + 10b + a + c$
$= 99a + 10b + b$
$= 99a + 11b$
$= 11( 9a + b )$,
显然 $11(9a+b)$ 能被 11 整除,
所以任意一个“位和数”都能被 11 整除.