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8. 如图,两个长方形重叠部分的面积等于大长方形面积的$\frac{1}{7}$,等于小长方形面积的$\frac{1}{4}$。已知阴影部分的面积是9 cm²,求重叠部分的面积。
答案
8. 解: 设重叠部分的面积为 $x(\mathrm{cm}^2)$。
由题意,得 $7x+4x-9=2x$,
解得 $x=1$。
答:重叠部分的面积为 $1\ \mathrm{cm}^2$。
由题意,得 $7x+4x-9=2x$,
解得 $x=1$。
答:重叠部分的面积为 $1\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解题时我们采用方程法求解：首先设重叠部分的面积为未知数$x$，根据重叠部分和大、小长方形的面积比例关系，可分别表示出大长方形面积为$7x$、小长方形面积为$4x$。再梳理等量关系：阴影部分是两个长方形去掉重叠区域后的面积之和，即阴影面积=大长方形面积+小长方形面积-2×重叠部分面积，代入已知阴影面积即可列方程求解。
【解析】
解：设重叠部分的面积为 $x\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得大长方形面积为$7x\ \mathrm{cm}^2$，小长方形面积为$4x\ \mathrm{cm}^2$，结合阴影面积为$9\ \mathrm{cm}^2$可列方程：
$7x+4x-2x=9$
合并同类项得$9x=9$，
系数化为1得$x=1$。
答：重叠部分的面积为$1\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$1\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元一次方程应用；容斥原理；面积比例计算
【点评】
本题属于代数与几何结合的基础应用题，解题核心是准确梳理各部分面积的等量关系，通过设未知数将不同图形的面积用统一参数表示后列方程求解，掌握该类题的解题思路可以提升综合运用代数、几何知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时我们采用方程法求解：首先设重叠部分的面积为未知数$x$，根据重叠部分和大、小长方形的面积比例关系，可分别表示出大长方形面积为$7x$、小长方形面积为$4x$。再梳理等量关系：阴影部分是两个长方形去掉重叠区域后的面积之和，即阴影面积=大长方形面积+小长方形面积-2×重叠部分面积，代入已知阴影面积即可列方程求解。
【解析】
解：设重叠部分的面积为 $x\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得大长方形面积为$7x\ \mathrm{cm}^2$，小长方形面积为$4x\ \mathrm{cm}^2$，结合阴影面积为$9\ \mathrm{cm}^2$可列方程：
$7x+4x-2x=9$
合并同类项得$9x=9$，
系数化为1得$x=1$。
答：重叠部分的面积为$1\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$1\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元一次方程应用；容斥原理；面积比例计算
【点评】
本题属于代数与几何结合的基础应用题，解题核心是准确梳理各部分面积的等量关系，通过设未知数将不同图形的面积用统一参数表示后列方程求解，掌握该类题的解题思路可以提升综合运用代数、几何知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
9. 下图是两人的对话记录，则小南买平板电脑的预算是（
A.3 800元
B.4 800元
C.5 800元
D.6 800元
C
）A.3 800元
B.4 800元
C.5 800元
D.6 800元
答案
9. C
解析
【分析】
本题属于一元一次方程的实际应用类题目，解题核心是找到不变量建立等量关系。题目中小南的预算、平板电脑的原价均为固定值，我们可以通过设平板电脑原价为未知数，根据“预算固定”这一点列等式求解，也可直接设预算为未知数列方程。
【解析】
设这台平板电脑的原价为$x$元。
根据题意，小南的预算固定，可得等量关系：原价-1200元=八折后售价+200元，列方程为：
$x - 1200 = 0.8x + 200$
移项得：$x - 0.8x = 1200 + 200$
合并同类项得：$0.2x = 1400$
解得：$x = 7000$
则小南的预算为$7000 - 1200 = 5800$（元）
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用；打折销售问题
【点评】
本题结合生活购物场景，考查学生提取有效信息、建立等量关系解决实际问题的能力，只要抓住预算不变这一关键条件，就能顺利列出方程求解，是方程应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
本题属于一元一次方程的实际应用类题目，解题核心是找到不变量建立等量关系。题目中小南的预算、平板电脑的原价均为固定值，我们可以通过设平板电脑原价为未知数，根据“预算固定”这一点列等式求解，也可直接设预算为未知数列方程。
【解析】
设这台平板电脑的原价为$x$元。
根据题意，小南的预算固定，可得等量关系：原价-1200元=八折后售价+200元，列方程为：
$x - 1200 = 0.8x + 200$
移项得：$x - 0.8x = 1200 + 200$
合并同类项得：$0.2x = 1400$
解得：$x = 7000$
则小南的预算为$7000 - 1200 = 5800$（元）
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用；打折销售问题
【点评】
本题结合生活购物场景，考查学生提取有效信息、建立等量关系解决实际问题的能力，只要抓住预算不变这一关键条件，就能顺利列出方程求解，是方程应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
10. 自编一个符合方程$10 - 2.8x = 1.6$的实际情境：
文具店某品牌水笔的售价是2.8元/支，小丽付给店员10元钱，找回1.6元，小丽共买多少支水笔？
。(答案不唯一)
。答案
10. 文具店某品牌水笔的售价是2.8元/支,小丽付给店员10元钱,找回1.6元,小丽共买多少支水笔?(答案不唯一)
解析
【分析】
首先拆解方程中各部分的数量含义：10代表初始总数量（比如总钱数、总重量等），2.8是单位计量值（比如商品单价、单位消耗量等），x是未知数量，2.8x是总共消耗的量，1.6是剩余的量，整个方程满足“总数量-单位量×未知数量=剩余数量”的等量关系。我们只需要结合生活中符合这个等量关系的场景编写即可，场景逻辑通顺、数量对应正确即可，答案不唯一。
【解析】
我们可以选取常见的购物场景匹配方程的数量关系：将10设定为付款总金额，2.8设定为商品单价，x设定为购买商品的数量，1.6设定为付款后找回的余额，就能编写出符合要求的实际情境。也可以结合其他场景编写，只要满足对应等量关系都正确。
【答案】
文具店某品牌水笔的售价是2.8元/支,小丽付给店员10元钱,找回1.6元,小丽共买多少支水笔?(答案不唯一)
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系分析
【点评】
本题是开放型题型，打破了常规列方程解应用题的考查形式，需要学生逆向分析方程的等量关系，将抽象的数学式子转化为具象的生活场景，能很好地考查学生对一元一次方程本质的理解和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
首先拆解方程中各部分的数量含义：10代表初始总数量（比如总钱数、总重量等），2.8是单位计量值（比如商品单价、单位消耗量等），x是未知数量，2.8x是总共消耗的量，1.6是剩余的量，整个方程满足“总数量-单位量×未知数量=剩余数量”的等量关系。我们只需要结合生活中符合这个等量关系的场景编写即可，场景逻辑通顺、数量对应正确即可，答案不唯一。
【解析】
我们可以选取常见的购物场景匹配方程的数量关系：将10设定为付款总金额，2.8设定为商品单价，x设定为购买商品的数量，1.6设定为付款后找回的余额，就能编写出符合要求的实际情境。也可以结合其他场景编写，只要满足对应等量关系都正确。
【答案】
文具店某品牌水笔的售价是2.8元/支,小丽付给店员10元钱,找回1.6元,小丽共买多少支水笔?(答案不唯一)
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系分析
【点评】
本题是开放型题型，打破了常规列方程解应用题的考查形式，需要学生逆向分析方程的等量关系，将抽象的数学式子转化为具象的生活场景，能很好地考查学生对一元一次方程本质的理解和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
11. 某中学为进一步推进素质教育，把素质教育落到实处，现利用课外兴趣小组开展棋类教学活动，以提高学生的思维能力，开发智力。七年级一班有50名同学，通过活动发现只有1人象棋、围棋都不会下，有30人象棋、围棋都会下，且会下象棋的学生比会下围棋的学生多7人。
(1)设会下围棋的有$ x $人，请列出方程并求出$ x $的值。
(2)求只会下象棋的人数。
(1)设会下围棋的有$ x $人，请列出方程并求出$ x $的值。
(2)求只会下象棋的人数。
答案
11. 解:(1)由题意,会下象棋的学生有 $(x+7)$ 人,
则 $x+x+7-30=50-1$,
解得 $x=36$。
(2)只会下象棋的学生有 $36+7-30=13$(人)。
答:只会下象棋的学生有 13 人。
则 $x+x+7-30=50-1$,
解得 $x=36$。
(2)只会下象棋的学生有 $36+7-30=13$(人)。
答:只会下象棋的学生有 13 人。
解析
【分析】
解决本题首先要理清各数量间的关系：总人数共50人，仅1人两种棋都不会下，因此至少会下一种棋的人数为总人数减去都不会的人数；已知两种棋都会下的有30人，设会下围棋的有x人，那么会下象棋的人数就是(x+7)人。根据两个集合的容斥关系：会下围棋的人数+会下象棋的人数-两种都会下的人数=至少会下一种棋的人数，据此列方程即可求解x的值。第二问求只会下象棋的人数，用会下象棋的总人数减去两种棋都会下的人数即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意得，会下象棋的学生人数为$(x+7)$人，
至少会下一种棋的人数为：$50-1=49$（人）
根据容斥关系列方程：
$x + (x+7) - 30 = 49$
化简得：$2x -23 = 49$
移项得：$2x = 72$
解得：$x=36$
(2) 会下象棋的总人数为：$36+7=43$（人）
只会下象棋的人数 = 会下象棋的总人数 - 两种都会下的人数，即：
$43 - 30 =13$（人）
【答案】
(1) $x=36$；(2) 13人
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 容斥原理
【点评】
本题是结合实际场景的方程应用题，解题的核心是准确梳理各数量的逻辑关系，注意两种棋都会下的人数不能重复计数，熟练掌握容斥原理的数量关系和一元一次方程的解法即可快速解题。
【难度系数】
0.75
解决本题首先要理清各数量间的关系：总人数共50人，仅1人两种棋都不会下，因此至少会下一种棋的人数为总人数减去都不会的人数；已知两种棋都会下的有30人，设会下围棋的有x人，那么会下象棋的人数就是(x+7)人。根据两个集合的容斥关系：会下围棋的人数+会下象棋的人数-两种都会下的人数=至少会下一种棋的人数，据此列方程即可求解x的值。第二问求只会下象棋的人数，用会下象棋的总人数减去两种棋都会下的人数即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意得，会下象棋的学生人数为$(x+7)$人，
至少会下一种棋的人数为：$50-1=49$（人）
根据容斥关系列方程：
$x + (x+7) - 30 = 49$
化简得：$2x -23 = 49$
移项得：$2x = 72$
解得：$x=36$
(2) 会下象棋的总人数为：$36+7=43$（人）
只会下象棋的人数 = 会下象棋的总人数 - 两种都会下的人数，即：
$43 - 30 =13$（人）
【答案】
(1) $x=36$；(2) 13人
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 容斥原理
【点评】
本题是结合实际场景的方程应用题，解题的核心是准确梳理各数量的逻辑关系，注意两种棋都会下的人数不能重复计数，熟练掌握容斥原理的数量关系和一元一次方程的解法即可快速解题。
【难度系数】
0.75
12. 在某次活动中，主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天活动的纪念品。折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各是多少把。
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各是多少把。
答案
12. 解: 如果两次邮购都是 100 把,
那么共花费 $200×8×0.9=1\ 440$(元)$≠1\ 504$(元),
所以一次购买多于 100 把,另一次购买少于 100 把。
设一次邮购折扇 $x(x＞100)$ 把,则另一次邮购折扇 $(200-x)$ 把,
根据题意,得 $0.9×8x+8×(1+10\%)×(200-x)=1\ 504$,
解得 $x=160$,则 $200-x=40$。
答:两次邮购的折扇分别是 160 把和 40 把。
那么共花费 $200×8×0.9=1\ 440$(元)$≠1\ 504$(元),
所以一次购买多于 100 把,另一次购买少于 100 把。
设一次邮购折扇 $x(x＞100)$ 把,则另一次邮购折扇 $(200-x)$ 把,
根据题意,得 $0.9×8x+8×(1+10\%)×(200-x)=1\ 504$,
解得 $x=160$,则 $200-x=40$。
答:两次邮购的折扇分别是 160 把和 40 把。
解析
【分析】
解题首先需要判断两次邮购数量所属的收费区间：先假设两次邮购数量都不少于100把，计算对应总花费，和题干给出的1504元对比，发现二者不相等，因此可确定两次邮购必然是一次数量大于100把、另一次数量小于100把。接下来设数量大于100把的那次邮购了x把，则另一次邮购了(200-x)把，分别按照两个区间的计费规则计算两次的花费，根据总花费为1504元的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：若两次邮购数量均≥100把，总花费为：
$200×8×0.9=1440$（元）
$1440≠1504$，因此两次邮购一次数量大于100把，另一次小于100把。
设其中一次邮购$x(x＞100)$把，则另一次邮购$(200-x)$把，根据题意列方程：
$0.9×8x+8×(1+10\%)×(200-x)=1504$
整理得：$7.2x+8.8(200-x)=1504$
去括号：$7.2x+1760-8.8x=1504$
移项合并同类项：$-1.6x=-256$
解得：$x=160$
则$200-x=200-160=40$
【答案】
两次邮购的折扇分别是160把和40把。
【知识点】
一元一次方程应用、分段计费问题、方案合理性判断
【点评】
解题关键是先通过假设验证排除不符合题意的购买方案，确定两次购买数量所属的计费区间，再根据总费用的等量关系列方程求解，计算时要注意区分不同区间的计费规则，避免混淆优惠和邮费的计算逻辑。
【难度系数】
0.7
解题首先需要判断两次邮购数量所属的收费区间：先假设两次邮购数量都不少于100把，计算对应总花费，和题干给出的1504元对比，发现二者不相等，因此可确定两次邮购必然是一次数量大于100把、另一次数量小于100把。接下来设数量大于100把的那次邮购了x把，则另一次邮购了(200-x)把，分别按照两个区间的计费规则计算两次的花费，根据总花费为1504元的等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：若两次邮购数量均≥100把，总花费为：
$200×8×0.9=1440$（元）
$1440≠1504$，因此两次邮购一次数量大于100把，另一次小于100把。
设其中一次邮购$x(x＞100)$把，则另一次邮购$(200-x)$把，根据题意列方程：
$0.9×8x+8×(1+10\%)×(200-x)=1504$
整理得：$7.2x+8.8(200-x)=1504$
去括号：$7.2x+1760-8.8x=1504$
移项合并同类项：$-1.6x=-256$
解得：$x=160$
则$200-x=200-160=40$
【答案】
两次邮购的折扇分别是160把和40把。
【知识点】
一元一次方程应用、分段计费问题、方案合理性判断
【点评】
解题关键是先通过假设验证排除不符合题意的购买方案，确定两次购买数量所属的计费区间，再根据总费用的等量关系列方程求解，计算时要注意区分不同区间的计费规则，避免混淆优惠和邮费的计算逻辑。
【难度系数】
0.7
