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1. 魔术师请观众心里想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：
结果告诉魔术师
魔术师能立刻说出观众想的那个数。
小玲告诉魔术师的数是2，那么她心里想的数是 （
A.0
B.−1
C.−2
D.−3
结果告诉魔术师魔术师能立刻说出观众想的那个数。
小玲告诉魔术师的数是2，那么她心里想的数是 （
D
）A.0
B.−1
C.−2
D.−3
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以采用顺向列方程的思路：先设观众心里想的数为未知数，再严格按照题目给出的运算步骤依次列出对应的代数式，最终运算结果等于小玲告诉魔术师的数2，据此列一元一次方程求解即可；也可以用逆向倒推的思路，从结果2出发，将每一步运算逆转化（加变减、减变加、乘变除、除变乘），倒推得到初始数字。
【解析】
设小玲心里想的数是$ x $，根据操作步骤列方程：
$\frac{3x - 6}{3} + 7 = 2$
第一步化简分式：$\frac{3x - 6}{3} = x - 2$，方程可简化为：
$x - 2 + 7 = 2$
合并同类项得：
$x + 5 = 2$
移项计算得：
$x = 2 - 5 = -3$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用，解一元一次方程
【点评】
本题是典型的程序运算类题型，解题关键是准确梳理运算顺序，顺向列方程的方法更易理解，不容易出错，计算时注意移项要变号，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以采用顺向列方程的思路：先设观众心里想的数为未知数，再严格按照题目给出的运算步骤依次列出对应的代数式，最终运算结果等于小玲告诉魔术师的数2，据此列一元一次方程求解即可；也可以用逆向倒推的思路，从结果2出发，将每一步运算逆转化（加变减、减变加、乘变除、除变乘），倒推得到初始数字。
【解析】
设小玲心里想的数是$ x $，根据操作步骤列方程：
$\frac{3x - 6}{3} + 7 = 2$
第一步化简分式：$\frac{3x - 6}{3} = x - 2$，方程可简化为：
$x - 2 + 7 = 2$
合并同类项得：
$x + 5 = 2$
移项计算得：
$x = 2 - 5 = -3$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用，解一元一次方程
【点评】
本题是典型的程序运算类题型，解题关键是准确梳理运算顺序，顺向列方程的方法更易理解，不容易出错，计算时注意移项要变号，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.7
2. 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤：
列方程解应用题的基本思路为：问题$\xrightarrow[\mathrm{抽象}]{\mathrm{分析}}$方程$\xrightarrow[\mathrm{检验}]{\mathrm{求解}}$解答。由此可得解决此类题的一般步骤为：
列方程解应用题的基本思路为：问题$\xrightarrow[\mathrm{抽象}]{\mathrm{分析}}$方程$\xrightarrow[\mathrm{检验}]{\mathrm{求解}}$解答。由此可得解决此类题的一般步骤为：
审
、设
、列
、解
、答。答案
2. 审 设 列 解 验
解析
【分析】
本题考查一元一次方程解决实际问题的步骤，我们可以按照解应用题的先后顺序梳理思考：首先拿到题目需要先读懂题意，明确已知量、未知量和核心等量关系，这是第一步审题；接下来需要把未知量用字母表示，也就是设未知数；再根据找到的等量关系列出对应的一元一次方程；随后解方程得到未知数的值；得到结果后不能直接使用，要先检验结果是否是方程的解、是否符合实际场景的要求，最后再写出正式答案。结合题目已给出的最后一步“答”，即可推出前面的对应步骤。
【解析】
列一元一次方程解实际问题的步骤按先后顺序为：
1. 审：审题，弄清题意，梳理已知量、未知量，找出题目中的等量关系；
2. 设：根据问题合理设未知数，可直接设所求量为未知数，也可间接设相关量为未知数；
3. 列：依据找到的等量关系，代入已知量和所设未知数，列出一元一次方程；
4. 解：求解所列的一元一次方程，得到未知数的取值；
5. 验：检验所得的取值是否满足原方程，同时判断其是否符合实际问题的意义；
最后一步为“答”，即写出完整的答案表述。因此空缺处依次填写审、设、列、解、验。
【答案】
审、设、列、解、验
【知识点】
1. 列方程解应用题步骤
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础识记类题目，考查用方程解决实际问题的基本流程，熟练掌握这些步骤是后续解决各类复杂方程应用题的前提。
【难度系数】
0.9
本题考查一元一次方程解决实际问题的步骤，我们可以按照解应用题的先后顺序梳理思考：首先拿到题目需要先读懂题意，明确已知量、未知量和核心等量关系，这是第一步审题；接下来需要把未知量用字母表示，也就是设未知数；再根据找到的等量关系列出对应的一元一次方程；随后解方程得到未知数的值；得到结果后不能直接使用，要先检验结果是否是方程的解、是否符合实际场景的要求，最后再写出正式答案。结合题目已给出的最后一步“答”，即可推出前面的对应步骤。
【解析】
列一元一次方程解实际问题的步骤按先后顺序为：
1. 审：审题，弄清题意，梳理已知量、未知量，找出题目中的等量关系；
2. 设：根据问题合理设未知数，可直接设所求量为未知数，也可间接设相关量为未知数；
3. 列：依据找到的等量关系，代入已知量和所设未知数，列出一元一次方程；
4. 解：求解所列的一元一次方程，得到未知数的取值；
5. 验：检验所得的取值是否满足原方程，同时判断其是否符合实际问题的意义；
最后一步为“答”，即写出完整的答案表述。因此空缺处依次填写审、设、列、解、验。
【答案】
审、设、列、解、验
【知识点】
1. 列方程解应用题步骤
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础识记类题目，考查用方程解决实际问题的基本流程，熟练掌握这些步骤是后续解决各类复杂方程应用题的前提。
【难度系数】
0.9
3. 某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍。前年这个学校购买了多少台计算机？
问:如何列方程？分哪些步骤？
①认真审题，弄清题意；
②找出等量关系：；
；
③找未知量，设未知数：；
；
④列方程：。
问:如何列方程？分哪些步骤？
①认真审题，弄清题意；
②找出等量关系：；
；
③找未知量，设未知数：；
；
④列方程：。
答案
3. ②前年购买计算机台数＋去年购买计算机台数＋今年购买计算机台数＝140
③设前年这个学校购买了$x$台计算机
④$x+2x+4x=140$
③设前年这个学校购买了$x$台计算机
④$x+2x+4x=140$
解析
【分析】
这是列一元一次方程解应用题的基础题，按照列方程的常规逻辑思考即可：首先审题明确已知条件：三年共买计算机140台，去年购买量是前年的2倍，今年购买量是去年的2倍；接着找核心等量关系，题目明确给出了总购买量，因此等量关系为三年购买量之和等于总购买量；再选择合适的未知量设为未知数，因为前年购买量是基础量，去年、今年的购买量都和前年相关，所以设前年购买量为x，就能依次表示出去年、今年的购买量；最后把三个量代入等量关系即可列出方程。
【解析】
我们按照列方程的步骤逐一填写：
②等量关系由总购买量可得：前年购买计算机台数＋去年购买计算机台数＋今年购买计算机台数＝140；
③前年的购买量是核心基础未知量，因此设前年这个学校购买了$x$台计算机，由此可推出去年购买量为$2x$台，今年购买量为$4x$台；
④将三个年份的购买量代入上述等量关系，即可列出方程：$x+2x+4x=140$。
【答案】
②前年购买计算机台数＋去年购买计算机台数＋今年购买计算机台数＝140；③设前年这个学校购买了$x$台计算机；④$x+2x+4x=140$
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系识别，设未知数
【点评】
本题是方程应用的入门题型，主要考察列方程解应用题的基本步骤，解题关键是找准总量的等量关系，选对基础未知量设未知数，容易上手。
【难度系数】
0.9
这是列一元一次方程解应用题的基础题，按照列方程的常规逻辑思考即可：首先审题明确已知条件：三年共买计算机140台，去年购买量是前年的2倍，今年购买量是去年的2倍；接着找核心等量关系，题目明确给出了总购买量，因此等量关系为三年购买量之和等于总购买量；再选择合适的未知量设为未知数，因为前年购买量是基础量，去年、今年的购买量都和前年相关，所以设前年购买量为x，就能依次表示出去年、今年的购买量；最后把三个量代入等量关系即可列出方程。
【解析】
我们按照列方程的步骤逐一填写：
②等量关系由总购买量可得：前年购买计算机台数＋去年购买计算机台数＋今年购买计算机台数＝140；
③前年的购买量是核心基础未知量，因此设前年这个学校购买了$x$台计算机，由此可推出去年购买量为$2x$台，今年购买量为$4x$台；
④将三个年份的购买量代入上述等量关系，即可列出方程：$x+2x+4x=140$。
【答案】
②前年购买计算机台数＋去年购买计算机台数＋今年购买计算机台数＝140；③设前年这个学校购买了$x$台计算机；④$x+2x+4x=140$
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系识别，设未知数
【点评】
本题是方程应用的入门题型，主要考察列方程解应用题的基本步骤，解题关键是找准总量的等量关系，选对基础未知量设未知数，容易上手。
【难度系数】
0.9
4. 甲、乙、丙三人按如下步骤摆放硬币：
第一步：每个人都发若干枚硬币（每个人的硬币数一样，且不少于2枚）；
第二步：甲拿出2枚硬币给丙；
第三步：乙拿出1枚硬币给丙；
第四步：甲有几枚硬币，丙就拿出几枚硬币给甲。
完成上述步骤后，若甲的硬币数是丙的硬币数的2倍，则此时（
A.乙有4枚硬币
B.乙有5枚硬币
C.乙有6枚硬币
D.乙的硬币数无法确定
第一步：每个人都发若干枚硬币（每个人的硬币数一样，且不少于2枚）；
第二步：甲拿出2枚硬币给丙；
第三步：乙拿出1枚硬币给丙；
第四步：甲有几枚硬币，丙就拿出几枚硬币给甲。
完成上述步骤后，若甲的硬币数是丙的硬币数的2倍，则此时（
C
）A.乙有4枚硬币
B.乙有5枚硬币
C.乙有6枚硬币
D.乙的硬币数无法确定
答案
4. C 【解析】设每个人都发 $x$ 枚硬币,由题意知,第一步中,甲有 $x$ 枚硬币,乙有 $x$ 枚硬币,丙有 $x$ 枚硬币,
第二、三步后,甲有 $(x-2)$ 枚硬币,乙有 $(x-1)$ 枚硬币,丙有 $(x+3)$ 枚硬币,
第四步后,甲有 $2(x-2)$ 枚硬币,丙有 $x+3-(x-2)=5$ 枚硬币,
依题意有 $2(x-2)=5×2$,
解得 $x=7$,
故此时乙有 $x-1=7-1=6$ 枚硬币。
第二、三步后,甲有 $(x-2)$ 枚硬币,乙有 $(x-1)$ 枚硬币,丙有 $(x+3)$ 枚硬币,
第四步后,甲有 $2(x-2)$ 枚硬币,丙有 $x+3-(x-2)=5$ 枚硬币,
依题意有 $2(x-2)=5×2$,
解得 $x=7$,
故此时乙有 $x-1=7-1=6$ 枚硬币。
解析
【分析】
这是一道操作类的方程应用问题，解题时可先设初始每人的硬币数为x枚，再跟着题目给出的四个操作步骤，依次用含x的代数式表示出每一步后甲、乙、丙三人的硬币数量，最后根据“最终甲的硬币数是丙的2倍”这一等量关系列出方程，求解得到x的值后，就能算出乙最终的硬币数。
【解析】
设第一步时每个人都发了x枚硬币（x≥2）。
1. 第一步结束后：甲、乙、丙各有x枚硬币；
2. 第二步（甲拿出2枚给丙）后：甲有(x-2)枚，乙有x枚，丙有(x+2)枚；
3. 第三步（乙拿出1枚给丙）后：甲有(x-2)枚，乙有(x-1)枚，丙有x+2+1=(x+3)枚；
4. 第四步（丙拿出和甲当前数量相等的硬币给甲）后：
甲的硬币数为：(x-2)+(x-2)=2(x-2)枚，
丙的硬币数为：(x+3)-(x-2)=5枚。
根据题意，最终甲的硬币数是丙的2倍，可列方程：
$2(x-2) = 2×5$
解得$x=7$
则此时乙的硬币数为$x-1=7-1=6$枚。
【答案】
C
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，整式的加减
【点评】
本题属于操作型的代数应用题，核心解题思路是跟随操作步骤逐步梳理各对象的数量变化，找准等量关系列方程求解，计算过程中可发现丙的最终数量为固定值，能有效降低计算难度。
【难度系数】
0.7
这是一道操作类的方程应用问题，解题时可先设初始每人的硬币数为x枚，再跟着题目给出的四个操作步骤，依次用含x的代数式表示出每一步后甲、乙、丙三人的硬币数量，最后根据“最终甲的硬币数是丙的2倍”这一等量关系列出方程，求解得到x的值后，就能算出乙最终的硬币数。
【解析】
设第一步时每个人都发了x枚硬币（x≥2）。
1. 第一步结束后：甲、乙、丙各有x枚硬币；
2. 第二步（甲拿出2枚给丙）后：甲有(x-2)枚，乙有x枚，丙有(x+2)枚；
3. 第三步（乙拿出1枚给丙）后：甲有(x-2)枚，乙有(x-1)枚，丙有x+2+1=(x+3)枚；
4. 第四步（丙拿出和甲当前数量相等的硬币给甲）后：
甲的硬币数为：(x-2)+(x-2)=2(x-2)枚，
丙的硬币数为：(x+3)-(x-2)=5枚。
根据题意，最终甲的硬币数是丙的2倍，可列方程：
$2(x-2) = 2×5$
解得$x=7$
则此时乙的硬币数为$x-1=7-1=6$枚。
【答案】
C
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，整式的加减
【点评】
本题属于操作型的代数应用题，核心解题思路是跟随操作步骤逐步梳理各对象的数量变化，找准等量关系列方程求解，计算过程中可发现丙的最终数量为固定值，能有效降低计算难度。
【难度系数】
0.7
5. 【问题】将$0.\dot{1}$化为分数形式。
【探求】步骤①:设$x=0.\dot{1}$。
步骤②:$10x=10×0.\dot{1}$。
步骤③:$10x=1.\dot{1}$，则$10x=1+0.\dot{1}$。
步骤④:$10x=1+x$，解得$x=\frac{1}{9}$。
【解答】(1)将$0.\dot{3}$化为分数形式，得
(2)将$0.1\dot{3}$化为分数形式，得
【探求】步骤①:设$x=0.\dot{1}$。
步骤②:$10x=10×0.\dot{1}$。
步骤③:$10x=1.\dot{1}$，则$10x=1+0.\dot{1}$。
步骤④:$10x=1+x$，解得$x=\frac{1}{9}$。
【解答】(1)将$0.\dot{3}$化为分数形式，得
$\frac{1}{3}$
。(2)将$0.1\dot{3}$化为分数形式，得
$\frac{2}{15}$
。答案
5. (1)$\frac{1}{3}$ (2)$\frac{2}{15}$ 【解析】(1)设 $x=0.\dot{3}$,
$10x=3.\dot{3}=3+0.\dot{3}$,即 $10x=3+x$,
解得 $x=\frac{1}{3}$。
(2)$0.1\dot{3}=0.1+0.0\dot{3}=\frac{1}{10}+\frac{1}{30}=\frac{2}{15}$。
$10x=3.\dot{3}=3+0.\dot{3}$,即 $10x=3+x$,
解得 $x=\frac{1}{3}$。
(2)$0.1\dot{3}=0.1+0.0\dot{3}=\frac{1}{10}+\frac{1}{30}=\frac{2}{15}$。
解析
【分析】
解题核心是利用扩倍消去循环节的思路，将无限循环小数转化为可计算的等式求解。对于(1)的纯循环小数，直接仿照例题方法，设未知数列方程，扩倍后消去循环部分，解方程即可得到分数；对于(2)的混循环小数，先拆分出不循环的有限小数部分和循环部分，循环部分可参照纯循环小数化分数的方法计算，再将两部分对应的分数通分化简即可。
【解析】
(1) 设$ x=0.\dot{3} $，
两边同时乘10得：$ 10x = 3.\dot{3} $，
因为$ 3.\dot{3} = 3 + 0.\dot{3} $，所以$ 10x = 3 + x $，
移项合并得：$ 9x=3 $，
解得$ x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} $。
(2) 将$ 0.1\dot{3} $拆分为$ 0.1 + 0.0\dot{3} $，
其中$ 0.1 = \frac{1}{10} $，
由(1)知$ 0.\dot{3}=\frac{1}{3} $，则$ 0.0\dot{3} = \frac{1}{3} ÷ 10 = \frac{1}{30} $，
因此$ 0.1\dot{3} = \frac{1}{10} + \frac{1}{30} = \frac{3}{30} + \frac{1}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} $。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$ (2)$\frac{2}{15}$
【知识点】
循环小数化分数，一元一次方程应用，分数运算
【点评】
本题通过将无限循环小数转化为分数的考查，渗透了转化的数学思想，只要掌握扩倍消去循环节的核心方法，就能灵活处理纯循环、混循环小数化分数的问题。
【难度系数】
0.7
解题核心是利用扩倍消去循环节的思路，将无限循环小数转化为可计算的等式求解。对于(1)的纯循环小数，直接仿照例题方法，设未知数列方程，扩倍后消去循环部分，解方程即可得到分数；对于(2)的混循环小数，先拆分出不循环的有限小数部分和循环部分，循环部分可参照纯循环小数化分数的方法计算，再将两部分对应的分数通分化简即可。
【解析】
(1) 设$ x=0.\dot{3} $，
两边同时乘10得：$ 10x = 3.\dot{3} $，
因为$ 3.\dot{3} = 3 + 0.\dot{3} $，所以$ 10x = 3 + x $，
移项合并得：$ 9x=3 $，
解得$ x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} $。
(2) 将$ 0.1\dot{3} $拆分为$ 0.1 + 0.0\dot{3} $，
其中$ 0.1 = \frac{1}{10} $，
由(1)知$ 0.\dot{3}=\frac{1}{3} $，则$ 0.0\dot{3} = \frac{1}{3} ÷ 10 = \frac{1}{30} $，
因此$ 0.1\dot{3} = \frac{1}{10} + \frac{1}{30} = \frac{3}{30} + \frac{1}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} $。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$ (2)$\frac{2}{15}$
【知识点】
循环小数化分数，一元一次方程应用，分数运算
【点评】
本题通过将无限循环小数转化为分数的考查，渗透了转化的数学思想，只要掌握扩倍消去循环节的核心方法，就能灵活处理纯循环、混循环小数化分数的问题。
【难度系数】
0.7
6. 陈老师和学生做一个猜数游戏，他让学生按照以下步骤进行计算：
①任想一个两位数$a$，把$a$乘2，再加上9，把所得的和再乘2；
②把$a$乘2，再加上30，把所得的和除以2；
③把①所得的结果减去②所得的结果，这个差即为最后的结果。
陈老师说：只要你告诉我最后的结果，我就能猜出你最初想的两位数$a$。
学生周晓晓计算的结果是96，陈老师立即猜出周晓晓最初想的两位数是31。
(1)请用含$a$的式子表示游戏的过程。
(2)学生小明计算的结果是120，你能猜出他最初想的两位数是多少吗？
(3)请用自己的语言解释陈老师猜数的方法。
①任想一个两位数$a$，把$a$乘2，再加上9，把所得的和再乘2；
②把$a$乘2，再加上30，把所得的和除以2；
③把①所得的结果减去②所得的结果，这个差即为最后的结果。
陈老师说：只要你告诉我最后的结果，我就能猜出你最初想的两位数$a$。
学生周晓晓计算的结果是96，陈老师立即猜出周晓晓最初想的两位数是31。
(1)请用含$a$的式子表示游戏的过程。
(2)学生小明计算的结果是120，你能猜出他最初想的两位数是多少吗？
(3)请用自己的语言解释陈老师猜数的方法。
答案
6. 解:(1)由题意可知,第①步计算的结果为$2(2a+9)=4a+18$;
第②步计算的结果为$\frac{1}{2}(2a+30)=a+15$;
第③步计算的结果为$(4a+18)-(a+15)=3a+3$。
(2)因为小明计算的结果为 120,
所以 $3a+3=120$,
解得 $a=39$。
答:小明最初想的两位数是 39。
(3)陈老师猜数的方法是:将学生所得的最后结果减去 3,再除以 3。
第②步计算的结果为$\frac{1}{2}(2a+30)=a+15$;
第③步计算的结果为$(4a+18)-(a+15)=3a+3$。
(2)因为小明计算的结果为 120,
所以 $3a+3=120$,
解得 $a=39$。
答:小明最初想的两位数是 39。
(3)陈老师猜数的方法是:将学生所得的最后结果减去 3,再除以 3。
解析
【分析】
(1) 按照题目给出的三步运算规则，依次将每一步的文字描述转化为含a的代数式，再通过整式的加减运算化简，即可得到最终结果与a的关系式。
(2) 已知最终计算结果，将其代入(1)得到的关系式中，解一元一次方程即可求出最初想的两位数a。
(3) 根据(1)得到的最终结果和a的等量关系，将a用最终结果表示，即可总结出陈老师的猜数方法。
【解析】
(1) 根据题意分步计算：
第①步运算结果：$2(2a+9)=4a+18$
第②步运算结果：$\frac{1}{2}(2a+30)=a+15$
第③步运算结果：$(4a+18)-(a+15)=3a+3$
(2) 小明计算的最终结果为120，代入上述最终结果的表达式可得：
$3a+3=120$
移项得：$3a=117$
解得：$a=39$
(3) 由最终结果$=3a+3$，变形可得$a=(\mathrm{最终结果}-3)÷3$，即陈老师用学生给出的结果先减3，再除以3，就能得到最初的两位数a。
【答案】
(1) 第①步结果为$4a+18$，第②步结果为$a+15$，第③步结果为$3a+3$；
(2) 39；
(3) 将学生所得的最后结果减去3，再除以3。
【知识点】
列代数式；整式的加减；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合趣味游戏场景考查代数式化简与方程的应用，解题时需要准确理解运算顺序，正确完成整式化简，掌握逆推的思想即可快速解题，贴近生活，趣味性较强。
【难度系数】
0.8
(1) 按照题目给出的三步运算规则，依次将每一步的文字描述转化为含a的代数式，再通过整式的加减运算化简，即可得到最终结果与a的关系式。
(2) 已知最终计算结果，将其代入(1)得到的关系式中，解一元一次方程即可求出最初想的两位数a。
(3) 根据(1)得到的最终结果和a的等量关系，将a用最终结果表示，即可总结出陈老师的猜数方法。
【解析】
(1) 根据题意分步计算：
第①步运算结果：$2(2a+9)=4a+18$
第②步运算结果：$\frac{1}{2}(2a+30)=a+15$
第③步运算结果：$(4a+18)-(a+15)=3a+3$
(2) 小明计算的最终结果为120，代入上述最终结果的表达式可得：
$3a+3=120$
移项得：$3a=117$
解得：$a=39$
(3) 由最终结果$=3a+3$，变形可得$a=(\mathrm{最终结果}-3)÷3$，即陈老师用学生给出的结果先减3，再除以3，就能得到最初的两位数a。
【答案】
(1) 第①步结果为$4a+18$，第②步结果为$a+15$，第③步结果为$3a+3$；
(2) 39；
(3) 将学生所得的最后结果减去3，再除以3。
【知识点】
列代数式；整式的加减；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合趣味游戏场景考查代数式化简与方程的应用，解题时需要准确理解运算顺序，正确完成整式化简，掌握逆推的思想即可快速解题，贴近生活，趣味性较强。
【难度系数】
0.8
