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1. 小亮把1 000元按一定的年利率存入银行，两年后，他应得到的本金和利息为1 033元。设年利率为x，则下面所列方程正确的是 （
A.$1000x=1033$
B.$(1000x+1000)×2=1033$
C.$1000×x×2+1000=1033$
D.$1000×12x=1033$
C
）A.$1000x=1033$
B.$(1000x+1000)×2=1033$
C.$1000×x×2+1000=1033$
D.$1000×12x=1033$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确储蓄问题的核心等量关系：本息和=本金+利息，其中利息的计算规则为利息=本金×年利率×存款年限。我们先从题目中提取已知量：本金为1000元，存款年限是2年，年利率为x，到期本息和为1033元，将对应量代入等量关系后，再和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
根据储蓄问题的计算规则分步推导：
1. 计算利息：利息=本金×年利率×存期，代入已知量可得利息为$1000× x×2$；
2. 列本息和方程：本息和=本金+利息，已知本息和为1033元，因此可列方程$1000× x×2 + 1000 = 1033$，和选项C的表达式一致。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用、储蓄本息计算
【点评】
本题考查实际问题中一元一次方程的列写，核心是掌握储蓄类问题的等量关系，注意利息计算时不要漏乘存款年限，整体属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确储蓄问题的核心等量关系：本息和=本金+利息，其中利息的计算规则为利息=本金×年利率×存款年限。我们先从题目中提取已知量：本金为1000元，存款年限是2年，年利率为x，到期本息和为1033元，将对应量代入等量关系后，再和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
根据储蓄问题的计算规则分步推导：
1. 计算利息：利息=本金×年利率×存期，代入已知量可得利息为$1000× x×2$；
2. 列本息和方程：本息和=本金+利息，已知本息和为1033元，因此可列方程$1000× x×2 + 1000 = 1033$，和选项C的表达式一致。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用、储蓄本息计算
【点评】
本题考查实际问题中一元一次方程的列写，核心是掌握储蓄类问题的等量关系，注意利息计算时不要漏乘存款年限，整体属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 某平台将一件商品按进价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利68元，问：这件商品的进价是多少元？若设这种商品每件的进价是x元，则可列方程 （
A.$40\%(1+80\%)x=68$
B.$80\%(1+40\%)x - x=68$
C.$x -80\%(1+40\%)x=68$
D.$80\%(1-40\%)x -x=68$
B
）A.$40\%(1+80\%)x=68$
B.$80\%(1+40\%)x - x=68$
C.$x -80\%(1+40\%)x=68$
D.$80\%(1-40\%)x -x=68$
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这道列方程的题目，首先要明确利润问题的核心等量关系：利润=实际售价-进价。接下来我们逐步把相关量用含x的式子表示：首先已知进价为x元，按进价提高40%后的标价为(1+40%)x元；再以八折优惠卖出，实际售价就是标价的80%，即80%(1+40%)x元；最后将售价、进价、利润代入等量关系，就能列出对应方程，再匹配选项即可。
【解析】
设这种商品每件的进价是x元：
1. 计算标价：按进价提高40%后标价，因此标价为$(1+40\%)x$元；
2. 计算实际售价：以八折优惠卖出，即售价为标价的80%，因此实际售价为$80\%×(1+40\%)x$元；
3. 根据利润的计算公式：$\mathrm{利润}=\mathrm{售价}-\mathrm{进价}$，已知每件获利68元，代入可得方程：
$80\%(1+40\%)x - x=68$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
打折销售问题，利润计算公式，列一元一次方程
【点评】
本题是典型的销售类应用题，解题关键是理清进价、标价、售价、利润之间的数量关系，明确打折是对标价进行折扣，熟练掌握核心等量关系就能快速列出方程。
【难度系数】
0.8
要解决这道列方程的题目，首先要明确利润问题的核心等量关系：利润=实际售价-进价。接下来我们逐步把相关量用含x的式子表示：首先已知进价为x元，按进价提高40%后的标价为(1+40%)x元；再以八折优惠卖出，实际售价就是标价的80%，即80%(1+40%)x元；最后将售价、进价、利润代入等量关系，就能列出对应方程，再匹配选项即可。
【解析】
设这种商品每件的进价是x元：
1. 计算标价：按进价提高40%后标价，因此标价为$(1+40\%)x$元；
2. 计算实际售价：以八折优惠卖出，即售价为标价的80%，因此实际售价为$80\%×(1+40\%)x$元；
3. 根据利润的计算公式：$\mathrm{利润}=\mathrm{售价}-\mathrm{进价}$，已知每件获利68元，代入可得方程：
$80\%(1+40\%)x - x=68$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
打折销售问题，利润计算公式，列一元一次方程
【点评】
本题是典型的销售类应用题，解题关键是理清进价、标价、售价、利润之间的数量关系，明确打折是对标价进行折扣，熟练掌握核心等量关系就能快速列出方程。
【难度系数】
0.8
3. 某班有 40 名学生,会骑车的人数是会游泳的人数的 3.5 倍,两种都会的有 8 人,两种都不会的有 3 人,则只会游泳的学生有（
A.2名
B.5名
C.10名
D.18名
A
）A.2名
B.5名
C.10名
D.18名
答案
3. A
解析
【分析】
这是一道结合容斥计数的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先明确总人数的构成关系：总人数=会骑车的总人数+会游泳的总人数-两种都会的人数（两种都会的人数被重复计算了1次，所以要减去重复部分）+两种都不会的人数。我们可以先设会游泳的总人数为未知数，根据倍数关系表示出会骑车的人数，代入等量关系列方程求解出会游泳的总人数，最后用会游泳的总人数减去两种都会的人数，就能得到只会游泳的人数。
【解析】
解：设会游泳的总人数为$ x $人，则会骑车的总人数为$ 3.5x $人。
根据总人数的等量关系列方程：
$ x + 3.5x - 8 + 3 = 40 $
合并同类项，得：$ 4.5x - 5 = 40 $
移项计算，得：$ 4.5x = 45 $
解得：$ x = 10 $
题目要求的是只会游泳的人数，需减去两种都会的8人：
$ 10 - 8 = 2 $（名）
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用、两集合容斥问题
【点评】
本题是方程结合计数问题的典型基础题，解题核心是找准人数的等量关系，注意规避两个易错点：一是列方程时没有减去重复计数的两种都会的人数，二是误将求出的会游泳总人数直接作为答案，忽略“只会游泳”的限定条件。
【难度系数】
0.6
这是一道结合容斥计数的一元一次方程应用题，解题思路如下：首先明确总人数的构成关系：总人数=会骑车的总人数+会游泳的总人数-两种都会的人数（两种都会的人数被重复计算了1次，所以要减去重复部分）+两种都不会的人数。我们可以先设会游泳的总人数为未知数，根据倍数关系表示出会骑车的人数，代入等量关系列方程求解出会游泳的总人数，最后用会游泳的总人数减去两种都会的人数，就能得到只会游泳的人数。
【解析】
解：设会游泳的总人数为$ x $人，则会骑车的总人数为$ 3.5x $人。
根据总人数的等量关系列方程：
$ x + 3.5x - 8 + 3 = 40 $
合并同类项，得：$ 4.5x - 5 = 40 $
移项计算，得：$ 4.5x = 45 $
解得：$ x = 10 $
题目要求的是只会游泳的人数，需减去两种都会的8人：
$ 10 - 8 = 2 $（名）
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用、两集合容斥问题
【点评】
本题是方程结合计数问题的典型基础题，解题核心是找准人数的等量关系，注意规避两个易错点：一是列方程时没有减去重复计数的两种都会的人数，二是误将求出的会游泳总人数直接作为答案，忽略“只会游泳”的限定条件。
【难度系数】
0.6
4. 七年级一班有40人报名参加曲艺社或天文社。已知参加曲艺社的人数比参加天文社的人数多7人，两个社都参加的有15人。若设参加曲艺社的人数为x，则可列方程 （
A.$ x+(x-7)-15=40 $
B.$ x+(x+7)-15=40 $
C.$ x+(x-7)+15=40 $
D.$ x+(x+7)+15=40 $
A
）A.$ x+(x-7)-15=40 $
B.$ x+(x+7)-15=40 $
C.$ x+(x-7)+15=40 $
D.$ x+(x+7)+15=40 $
答案
4. A
解析
【分析】
解题时首先根据题干给出的数量关系，用含x的式子表示出参加天文社的人数，再结合容斥原理的数量关系：参加两类活动的总人数=参加A类的人数+参加B类的人数-两类都参加的人数，代入对应数值即可列出方程。
【解析】
设参加曲艺社的人数为x，
∵参加曲艺社的人数比参加天文社的人数多7人，
∴参加天文社的人数为(x-7)人。
已知两个社都参加的有15人，这部分人在统计曲艺社和天文社人数时被重复计算了1次，总报名人数为40人，因此可列方程：
$x+(x-7)-15=40$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用；容斥原理
【点评】
本题考查列一元一次方程，解题核心是理清数量关系，正确处理两个社都参加的重叠人数，避免出现重复计数或漏算的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据题干给出的数量关系，用含x的式子表示出参加天文社的人数，再结合容斥原理的数量关系：参加两类活动的总人数=参加A类的人数+参加B类的人数-两类都参加的人数，代入对应数值即可列出方程。
【解析】
设参加曲艺社的人数为x，
∵参加曲艺社的人数比参加天文社的人数多7人，
∴参加天文社的人数为(x-7)人。
已知两个社都参加的有15人，这部分人在统计曲艺社和天文社人数时被重复计算了1次，总报名人数为40人，因此可列方程：
$x+(x-7)-15=40$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用；容斥原理
【点评】
本题考查列一元一次方程，解题核心是理清数量关系，正确处理两个社都参加的重叠人数，避免出现重复计数或漏算的错误。
【难度系数】
0.8
5. 某商品的进价是每件80元，标价是每件125元，现商店打折后出售，仍可获得20%的毛利率（毛利率=$\frac{售价-进价}{售价}$），设该商店对该商品打x折，则可列方程（
A.$125x - 80 = 80 × 20\%$
B.$125x - 80 = 125x × 20\%$
C.$125 × \frac{x}{10} - 80 = 80 × 20\%$
D.$125 × \frac{x}{10} - 80 = 125 × \frac{x}{10} × 20\%$
D
）A.$125x - 80 = 80 × 20\%$
B.$125x - 80 = 125x × 20\%$
C.$125 × \frac{x}{10} - 80 = 80 × 20\%$
D.$125 × \frac{x}{10} - 80 = 125 × \frac{x}{10} × 20\%$
答案
5. D
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心要点：一是打折的含义，打x折是指标价乘以$\frac{x}{10}$得到实际售价，而非直接乘以x；二是严格按照题目给出的毛利率公式列等量关系，不能用惯性思维的成本利润率计算。第一步先表示出打折后的实际售价，第二步根据毛利率公式变形得到“售价-进价=售价×毛利率”的等量关系，最后代入对应数值即可得到方程。
【解析】
1. 计算打折后的售价：商品标价125元，打x折后的实际售价为$125×\frac{x}{10}$元。
2. 根据题目给出的毛利率公式$\mathrm{毛利率}=\frac{\mathrm{售价}-\mathrm{进价}}{\mathrm{售价}}$，已知毛利率为20%、进价为80元，将公式变形可得：$\mathrm{售价}-\mathrm{进价}=\mathrm{售价}×\mathrm{毛利率}$。
3. 代入对应数值列方程：$125×\frac{x}{10} - 80 = 125×\frac{x}{10} × 20\%$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 打折销售计算
2. 一元一次方程应用
3. 毛利率公式应用
【点评】
本题是销售类方程应用的典型题型，易错点有两处：一是容易忽略打折的计算规则，误将售价写成$125x$；二是容易惯性使用成本利润率（除以进价）计算，忽略题目给定的毛利率公式，解题时需注意审题，严格按照题目给出的公式列等量关系。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确两个核心要点：一是打折的含义，打x折是指标价乘以$\frac{x}{10}$得到实际售价，而非直接乘以x；二是严格按照题目给出的毛利率公式列等量关系，不能用惯性思维的成本利润率计算。第一步先表示出打折后的实际售价，第二步根据毛利率公式变形得到“售价-进价=售价×毛利率”的等量关系，最后代入对应数值即可得到方程。
【解析】
1. 计算打折后的售价：商品标价125元，打x折后的实际售价为$125×\frac{x}{10}$元。
2. 根据题目给出的毛利率公式$\mathrm{毛利率}=\frac{\mathrm{售价}-\mathrm{进价}}{\mathrm{售价}}$，已知毛利率为20%、进价为80元，将公式变形可得：$\mathrm{售价}-\mathrm{进价}=\mathrm{售价}×\mathrm{毛利率}$。
3. 代入对应数值列方程：$125×\frac{x}{10} - 80 = 125×\frac{x}{10} × 20\%$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 打折销售计算
2. 一元一次方程应用
3. 毛利率公式应用
【点评】
本题是销售类方程应用的典型题型，易错点有两处：一是容易忽略打折的计算规则，误将售价写成$125x$；二是容易惯性使用成本利润率（除以进价）计算，忽略题目给定的毛利率公式，解题时需注意审题，严格按照题目给出的公式列等量关系。
【难度系数】
0.6
6. 小龙去年年初把压岁钱存入银行，定期一年，到期得到本息和2 150元。已知这种储蓄的年利率为1.45‰，若小龙存入压岁钱x元，则可列方程
$x+1.45\%x=2\ 150$
。（免去利息税）答案
6. $x+1.45\%x=2\ 150$
解析
【分析】
本题属于储蓄类一元一次方程应用问题，解题时首先要明确储蓄问题的核心等量关系：无利息税时，本息和=本金+利息，其中利息=本金×年利率×存款年数。本题已知本金为x元，存期1年，年利率1.45%，本息和为2150元，将对应量代入等量关系即可列出方程。
【解析】
已知小龙存入的本金为x元，这种储蓄的年利率为1.45%，定期一年，所以到期后得到的利息为：$x × 1.45\% × 1 = 1.45\%x$。
因为本息和=本金+利息，且到期本息和为2150元，因此可列方程：
$x + 1.45\%x = 2150$
【答案】
$x+1.45\%x=2\ 150$
【知识点】
一元一次方程应用，储蓄本息计算
【点评】
本题考查储蓄问题中数量关系的应用，解题关键是找准本息和、本金、利息之间的等量关系，代入对应数据列方程即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
本题属于储蓄类一元一次方程应用问题，解题时首先要明确储蓄问题的核心等量关系：无利息税时，本息和=本金+利息，其中利息=本金×年利率×存款年数。本题已知本金为x元，存期1年，年利率1.45%，本息和为2150元，将对应量代入等量关系即可列出方程。
【解析】
已知小龙存入的本金为x元，这种储蓄的年利率为1.45%，定期一年，所以到期后得到的利息为：$x × 1.45\% × 1 = 1.45\%x$。
因为本息和=本金+利息，且到期本息和为2150元，因此可列方程：
$x + 1.45\%x = 2150$
【答案】
$x+1.45\%x=2\ 150$
【知识点】
一元一次方程应用，储蓄本息计算
【点评】
本题考查储蓄问题中数量关系的应用，解题关键是找准本息和、本金、利息之间的等量关系，代入对应数据列方程即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
7. 某班有学生45名，若要选择甲、乙两人作为班干部，结果有40人赞成甲做班干部，有37人赞成乙做班干部，对甲、乙两人都不赞成的人数是都赞成的人数的$\frac{1}{9}$（甲、乙两人也参与投票），则对甲、乙两人都赞成的人数是
36
。答案
7. 36
解析
【分析】
本题是容斥原理与一元一次方程结合的应用问题，解题思路如下：首先明确全班总人数由四部分构成：只赞成甲的、只赞成乙的、甲乙都赞成的、甲乙都不赞成的，四部分之和等于总人数45。我们设对甲乙都赞成的人数为未知数$ x $，根据“都不赞成的人数是都赞成人数的$\frac{1}{9}$”可表示出都不赞成的人数，再结合容斥原理的等量关系“赞成甲的人数+赞成乙的人数-都赞成的人数+都不赞成的人数=总人数”列方程求解即可。
【解析】
设对甲、乙两人都赞成的人数是$ x $，则对甲、乙两人都不赞成的人数为$ \frac{1}{9}x $。
根据题意列方程：
$ 40 + 37 - x + \frac{1}{9}x = 45 $
化简得：
$ 77 - \frac{8}{9}x = 45 $
移项计算：
$ \frac{8}{9}x = 77 - 45 $
$ \frac{8}{9}x = 32 $
解得：
$ x = 32 × \frac{9}{8} = 36 $
验证：都不赞成人数为$ 36 × \frac{1}{9}=4 $，$ 40+37-36+4=45 $，符合总人数要求。
【答案】
36
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 两集合容斥原理
【点评】
本题考查计数类方程应用，解题核心是理清总人数的各组成部分，找准等量关系列方程，只要熟练掌握容斥原理的基本数量关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是容斥原理与一元一次方程结合的应用问题，解题思路如下：首先明确全班总人数由四部分构成：只赞成甲的、只赞成乙的、甲乙都赞成的、甲乙都不赞成的，四部分之和等于总人数45。我们设对甲乙都赞成的人数为未知数$ x $，根据“都不赞成的人数是都赞成人数的$\frac{1}{9}$”可表示出都不赞成的人数，再结合容斥原理的等量关系“赞成甲的人数+赞成乙的人数-都赞成的人数+都不赞成的人数=总人数”列方程求解即可。
【解析】
设对甲、乙两人都赞成的人数是$ x $，则对甲、乙两人都不赞成的人数为$ \frac{1}{9}x $。
根据题意列方程：
$ 40 + 37 - x + \frac{1}{9}x = 45 $
化简得：
$ 77 - \frac{8}{9}x = 45 $
移项计算：
$ \frac{8}{9}x = 77 - 45 $
$ \frac{8}{9}x = 32 $
解得：
$ x = 32 × \frac{9}{8} = 36 $
验证：都不赞成人数为$ 36 × \frac{1}{9}=4 $，$ 40+37-36+4=45 $，符合总人数要求。
【答案】
36
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 两集合容斥原理
【点评】
本题考查计数类方程应用，解题核心是理清总人数的各组成部分，找准等量关系列方程，只要熟练掌握容斥原理的基本数量关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
