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7. 用4个一样的长方形和一个小的正方形(如图)拼成一个大的正方形。若大正方形的面积是100平方米，小正方形的面积是16平方米，则长方形的宽为
（）
A.1米
B.2米
C.3米
D.4米
（）
A.1米
B.2米
C.3米
D.4米
答案
C
解析
【分析】
首先根据正方形面积公式，由已知的大、小正方形面积求出二者的边长；再观察拼接图形的边长关系：大正方形的边长等于长方形的长与宽的和，小正方形的边长等于长方形的长与宽的差；最后设长方形的宽为未知数，用大正方形边长表示出长方形的长，结合小正方形边长与长宽差的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：第一步，先求大、小正方形的边长：
已知大正方形面积为100平方米，由正方形面积=边长×边长，可得大正方形边长为$\sqrt{100}=10$米；
已知小正方形面积为16平方米，同理可得小正方形边长为$\sqrt{16}=4$米。
第二步，设未知数列方程求解：
设长方形的宽为$x$米，由大正方形边长=长方形的长+长方形的宽，可得长方形的长为$(10-x)$米。
观察图形可知：小正方形边长=长方形的长 - 长方形的宽，代入数据列方程：
$\begin{aligned}(10-x)-x&=4\\10-2x&=4\\2x&=6\\x&=3\end{aligned}$
即长方形的宽为3米。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算、一元一次方程应用、图形和差计算
【点评】
本题结合几何拼接场景考查方程的实际应用，解题关键是通过读图梳理出不同图形边长之间的数量关系，既可以用方程法求解，也可直接利用和差公式计算，侧重考查读图分析和等量关系提取能力。
【难度系数】
0.7
首先根据正方形面积公式，由已知的大、小正方形面积求出二者的边长；再观察拼接图形的边长关系：大正方形的边长等于长方形的长与宽的和，小正方形的边长等于长方形的长与宽的差；最后设长方形的宽为未知数，用大正方形边长表示出长方形的长，结合小正方形边长与长宽差的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：第一步，先求大、小正方形的边长：
已知大正方形面积为100平方米，由正方形面积=边长×边长，可得大正方形边长为$\sqrt{100}=10$米；
已知小正方形面积为16平方米，同理可得小正方形边长为$\sqrt{16}=4$米。
第二步，设未知数列方程求解：
设长方形的宽为$x$米，由大正方形边长=长方形的长+长方形的宽，可得长方形的长为$(10-x)$米。
观察图形可知：小正方形边长=长方形的长 - 长方形的宽，代入数据列方程：
$\begin{aligned}(10-x)-x&=4\\10-2x&=4\\2x&=6\\x&=3\end{aligned}$
即长方形的宽为3米。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算、一元一次方程应用、图形和差计算
【点评】
本题结合几何拼接场景考查方程的实际应用，解题关键是通过读图梳理出不同图形边长之间的数量关系，既可以用方程法求解，也可直接利用和差公式计算，侧重考查读图分析和等量关系提取能力。
【难度系数】
0.7
8. 根据图中给出的信息，回答下列问题。
(1)若在左边水桶中放入1个小球和1个大球，则水桶中的水位高度是 cm。
(2)若在左边水桶中放入10个球，水桶中的水位升高到50 cm，则放入大球的个数是。
(1)若在左边水桶中放入1个小球和1个大球，则水桶中的水位高度是 cm。
(2)若在左边水桶中放入10个球，水桶中的水位升高到50 cm，则放入大球的个数是。
答案
解：
(1) 每个小球使水位升高的高度为：$(32-26)÷3=2\ \mathrm{cm}$
每个大球使水位升高的高度为：$(32-26)÷2=3\ \mathrm{cm}$
放入1个小球和1个大球后水位高度为：$26+2+3=31\ \mathrm{cm}$
(2) 设放入大球的个数为$x$，则放入小球的个数为$(10-x)$个，根据题意得：
$3x + 2(10-x) = 50-26$
解得：$x=4$
答：(1) 水桶中的水位高度是$\boldsymbol{31}$ cm；(2) 放入大球的个数是$\boldsymbol{4}$。
(1) 每个小球使水位升高的高度为：$(32-26)÷3=2\ \mathrm{cm}$
每个大球使水位升高的高度为：$(32-26)÷2=3\ \mathrm{cm}$
放入1个小球和1个大球后水位高度为：$26+2+3=31\ \mathrm{cm}$
(2) 设放入大球的个数为$x$，则放入小球的个数为$(10-x)$个，根据题意得：
$3x + 2(10-x) = 50-26$
解得：$x=4$
答：(1) 水桶中的水位高度是$\boldsymbol{31}$ cm；(2) 放入大球的个数是$\boldsymbol{4}$。
解析
【分析】
解题时首先明确原有水位高度为26cm，放入球后水位上升的高度对应球的体积带来的液面升高量。第一步先根据“放3个小球水位到32cm”算出单个小球使水位升高的高度，再根据“放2个大球水位到32cm”算出单个大球使水位升高的高度。(1)问将1个小球和1个大球的升高量相加，再加原有水位高度即可得到结果；(2)问设大球个数为未知数，小球个数用总个数减大球个数表示，根据总升高高度等于所有球的升高量之和列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 放入球后水位总升高高度为$32-26=6\ \mathrm{cm}$
每个小球使水位升高的高度为：$6÷3=2\ \mathrm{cm}$
每个大球使水位升高的高度为：$6÷2=3\ \mathrm{cm}$
放入1个小球和1个大球后水位高度为：$26+2+3=31\ \mathrm{cm}$
(2) 设放入大球的个数为$x$，则放入小球的个数为$(10-x)$个，水位从26cm升高到50cm，总升高高度为$50-26=24\ \mathrm{cm}$，根据题意列方程：
$3x + 2(10-x) = 24$
展开得$3x+20-2x=24$，解得$x=4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{31}$；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
一元一次方程的应用；等积变换问题；有理数混合运算
【点评】
本题结合水位变化的实际场景设置问题，解题的核心是先求出单个大球、小球对应的水位升高量，第二问通过设未知数列方程可以清晰梳理数量关系快速求解，考查了信息提取能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.75
解题时首先明确原有水位高度为26cm，放入球后水位上升的高度对应球的体积带来的液面升高量。第一步先根据“放3个小球水位到32cm”算出单个小球使水位升高的高度，再根据“放2个大球水位到32cm”算出单个大球使水位升高的高度。(1)问将1个小球和1个大球的升高量相加，再加原有水位高度即可得到结果；(2)问设大球个数为未知数，小球个数用总个数减大球个数表示，根据总升高高度等于所有球的升高量之和列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 放入球后水位总升高高度为$32-26=6\ \mathrm{cm}$
每个小球使水位升高的高度为：$6÷3=2\ \mathrm{cm}$
每个大球使水位升高的高度为：$6÷2=3\ \mathrm{cm}$
放入1个小球和1个大球后水位高度为：$26+2+3=31\ \mathrm{cm}$
(2) 设放入大球的个数为$x$，则放入小球的个数为$(10-x)$个，水位从26cm升高到50cm，总升高高度为$50-26=24\ \mathrm{cm}$，根据题意列方程：
$3x + 2(10-x) = 24$
展开得$3x+20-2x=24$，解得$x=4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{31}$；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
一元一次方程的应用；等积变换问题；有理数混合运算
【点评】
本题结合水位变化的实际场景设置问题，解题的核心是先求出单个大球、小球对应的水位升高量，第二问通过设未知数列方程可以清晰梳理数量关系快速求解，考查了信息提取能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.75
9. 如图,由三种不同的正方形(共6个)与一个有缺角的长方形(阴影部分)拼接成长方形$ABCD$,已知$EF=EG=1$,最小的正方形边长为$x$。
(1)用含$x$的代数式表示$AB$,$BC$的长。
(2)若阴影部分与长方形$ABCD$的周长比为$9:14$,求$x$的值。
(1)用含$x$的代数式表示$AB$,$BC$的长。
(2)若阴影部分与长方形$ABCD$的周长比为$9:14$,求$x$的值。
答案
解：
(1) 由题意可得，边长为$x$的小正方形共3个，其右侧两个全等正方形的边长为$x+1$，右上角的大正方形边长为$2x+1$。
因此：
$AB = 3x + 2(x+1) = 5x + 2$，
$BC = (x+1) + (2x+1) = 3x + 2$。
(2) 阴影部分的周长为：
$(3x+1)+(2x+1)+1+1+3x+(2x+2) = 10x + 6$，
长方形$ABCD$的周长为：
$2(AB+BC) = 2[(5x+2)+(3x+2)] = 16x + 8$。
根据题意列方程：
$\frac{10x+6}{16x+8} = \frac{9}{14}$
交叉相乘得：
$14(10x+6) = 9(16x+8)$，
去括号：
$140x + 84 = 144x + 72$，
移项、合并同类项：
$-4x = -12$，
系数化为1：
$x = 3$。
答：(1) $AB$的长为$5x+2$，$BC$的长为$3x+2$；(2) $x$的值为3。
(1) 由题意可得，边长为$x$的小正方形共3个，其右侧两个全等正方形的边长为$x+1$，右上角的大正方形边长为$2x+1$。
因此：
$AB = 3x + 2(x+1) = 5x + 2$，
$BC = (x+1) + (2x+1) = 3x + 2$。
(2) 阴影部分的周长为：
$(3x+1)+(2x+1)+1+1+3x+(2x+2) = 10x + 6$，
长方形$ABCD$的周长为：
$2(AB+BC) = 2[(5x+2)+(3x+2)] = 16x + 8$。
根据题意列方程：
$\frac{10x+6}{16x+8} = \frac{9}{14}$
交叉相乘得：
$14(10x+6) = 9(16x+8)$，
去括号：
$140x + 84 = 144x + 72$，
移项、合并同类项：
$-4x = -12$，
系数化为1：
$x = 3$。
答：(1) $AB$的长为$5x+2$，$BC$的长为$3x+2$；(2) $x$的值为3。
解析
【分析】
(1) 解题时先推导各正方形的边长：已知最小正方形边长为x，结合EF=EG=1，可得中等正方形边长为x+1，右上角大正方形边长为2x+1；再观察AB是3个最小正方形边长与2个中等正方形边长的和，BC是中等正方形边长与大正方形边长的和，代入即可用含x的代数式表示AB、BC的长度。
(2) 先分别计算阴影部分的周长和长方形ABCD的周长，再根据二者周长比为9:14列出一元一次方程，求解方程即可得到x的值，注意验证解的合理性。
【解析】
(1) 由题意得：最小正方形边长为x，中等正方形边长为$x+1$，右上角大正方形边长为$x+(x+1)=2x+1$。
因此：
$AB = 3x + 2(x+1) = 5x + 2$
$BC = (x+1) + (2x+1) = 3x + 2$
(2) 计算阴影部分的周长，将各边长度相加：
$C_{\mathrm{阴影}}=(3x+1)+(2x+1)+1+1+3x+(2x+2) = 10x + 6$
根据长方形周长公式计算长方形ABCD的周长：
$C_{ABCD}=2(AB+BC) = 2[(5x+2)+(3x+2)] = 16x + 8$
根据题意列比例方程：
$\frac{10x+6}{16x+8} = \frac{9}{14}$
交叉相乘得：$14(10x+6) = 9(16x+8)$
去括号：$140x + 84 = 144x + 72$
移项、合并同类项：$-4x = -12$
系数化为1：$x = 3$
【答案】
(1) $AB$的长为$5x+2$，$BC$的长为$3x+2$；(2) $x$的值为3
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，周长计算
【点评】
本题结合几何拼接图形考查代数式表示与方程应用，解题关键是准确识别各正方形的边长关系，正确表示对应线段长度，再根据等量关系列方程求解，能有效锻炼识图能力和方程建模能力。
【难度系数】
0.6
(1) 解题时先推导各正方形的边长：已知最小正方形边长为x，结合EF=EG=1，可得中等正方形边长为x+1，右上角大正方形边长为2x+1；再观察AB是3个最小正方形边长与2个中等正方形边长的和，BC是中等正方形边长与大正方形边长的和，代入即可用含x的代数式表示AB、BC的长度。
(2) 先分别计算阴影部分的周长和长方形ABCD的周长，再根据二者周长比为9:14列出一元一次方程，求解方程即可得到x的值，注意验证解的合理性。
【解析】
(1) 由题意得：最小正方形边长为x，中等正方形边长为$x+1$，右上角大正方形边长为$x+(x+1)=2x+1$。
因此：
$AB = 3x + 2(x+1) = 5x + 2$
$BC = (x+1) + (2x+1) = 3x + 2$
(2) 计算阴影部分的周长，将各边长度相加：
$C_{\mathrm{阴影}}=(3x+1)+(2x+1)+1+1+3x+(2x+2) = 10x + 6$
根据长方形周长公式计算长方形ABCD的周长：
$C_{ABCD}=2(AB+BC) = 2[(5x+2)+(3x+2)] = 16x + 8$
根据题意列比例方程：
$\frac{10x+6}{16x+8} = \frac{9}{14}$
交叉相乘得：$14(10x+6) = 9(16x+8)$
去括号：$140x + 84 = 144x + 72$
移项、合并同类项：$-4x = -12$
系数化为1：$x = 3$
【答案】
(1) $AB$的长为$5x+2$，$BC$的长为$3x+2$；(2) $x$的值为3
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，周长计算
【点评】
本题结合几何拼接图形考查代数式表示与方程应用，解题关键是准确识别各正方形的边长关系，正确表示对应线段长度，再根据等量关系列方程求解，能有效锻炼识图能力和方程建模能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图,现有A,B两个圆柱形容器,B容器的底面积为$S(cm^2)$,高为18 cm,A容器的底面积是B容器的底面积的2倍,容器内水的高度为10 cm。
(1)若把A容器内的水全部倒入B容器中,则水溢出。(填“会”或“不会”)
(2)若(1)中的水会溢出,则当B容器中的水倒满时,求A容器中剩余水的高度;若(1)中的水不会溢出,求此时B容器内水的高度。
(3)若把A容器内的一部分水倒入B容器中,使得两个容器中水的高度恰好相同,求此时容器内水的高度。
(1)若把A容器内的水全部倒入B容器中,则水溢出。(填“会”或“不会”)
(2)若(1)中的水会溢出,则当B容器中的水倒满时,求A容器中剩余水的高度;若(1)中的水不会溢出,求此时B容器内水的高度。
(3)若把A容器内的一部分水倒入B容器中,使得两个容器中水的高度恰好相同,求此时容器内水的高度。
答案
解：
(1) A容器内水的总体积为$2S × 10 = 20S \ (\mathrm{cm}^3)$，
B容器的总容积为$S × 18 = 18S \ (\mathrm{cm}^3)$，
由$20S ＞ 18S$，可知水会溢出。
(2) 设A容器中剩余水的高度为$x\ \mathrm{cm}$，根据水的总体积不变列方程：
$2S · x + S · 18 = 2S · 10$
两边同时除以$S$，得：
$2x + 18 = 20$
解得：$x=1$
(3) 设此时两个容器内水的高度均为$h\ \mathrm{cm}$，根据水的总体积不变列方程：
$2S · h + S · h = 2S · 10$
两边同时除以$S$，得：
$3h = 20$
解得：$h=\frac{20}{3}$
答：(1) 会；(2) A容器中剩余水的高度为$1\ \mathrm{cm}$；(3) 此时容器内水的高度为$\frac{20}{3}\ \mathrm{cm}$。
(1) A容器内水的总体积为$2S × 10 = 20S \ (\mathrm{cm}^3)$，
B容器的总容积为$S × 18 = 18S \ (\mathrm{cm}^3)$，
由$20S ＞ 18S$，可知水会溢出。
(2) 设A容器中剩余水的高度为$x\ \mathrm{cm}$，根据水的总体积不变列方程：
$2S · x + S · 18 = 2S · 10$
两边同时除以$S$，得：
$2x + 18 = 20$
解得：$x=1$
(3) 设此时两个容器内水的高度均为$h\ \mathrm{cm}$，根据水的总体积不变列方程：
$2S · h + S · h = 2S · 10$
两边同时除以$S$，得：
$3h = 20$
解得：$h=\frac{20}{3}$
答：(1) 会；(2) A容器中剩余水的高度为$1\ \mathrm{cm}$；(3) 此时容器内水的高度为$\frac{20}{3}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
这是等积变换类问题，解题核心是水的总体积始终不变。(1)先分别计算A容器中水的总体积、B容器的总容积，比较两者大小即可判断水是否会溢出；(2)已知水会溢出，当B容器倒满时，B中水的体积等于B的容积，剩余的水都在A容器中，根据“剩余在A中的水的体积+B中满水的体积=原来A中水的总体积”列方程求解，注意底面积S不为0，可以两边同时除以S简化计算；(3)当两个容器水的高度相同时，分别表示出两个容器中水的体积，两者相加等于总水体积，列方程求解即可。
【解析】
(1) 计算A容器内水的总体积：A容器底面积为2S，水的高度为10cm，因此水的体积为$2S × 10 = 20S \ (\mathrm{cm}^3)$；
计算B容器的总容积：B容器底面积为S，高为18cm，因此容积为$S × 18 = 18S \ (\mathrm{cm}^3)$；
由于$20S ＞ 18S$，因此水会溢出。
(2) 设A容器中剩余水的高度为$x\ \mathrm{cm}$，根据水的总体积不变列方程：
$2S · x + S · 18 = 2S · 10$
因为$S≠0$，两边同时除以S，得：
$2x + 18 = 20$
解得$x=1$。
(3) 设此时两个容器内水的高度均为$h\ \mathrm{cm}$，根据水的总体积不变列方程：
$2S · h + S · h = 2S · 10$
两边同时除以S（$S≠0$），得：
$3h = 20$
解得$h=\frac{20}{3}$。
【答案】
(1)会；(2)A容器中剩余水的高度为$1\ \mathrm{cm}$；(3)此时容器内水的高度为$\frac{20}{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
一元一次方程应用；圆柱体积计算；等积变换
【点评】
本题属于等积变换的典型题型，解题关键是抓住“水的总体积不变”这一核心等量关系列方程，计算中底面积S可以直接约去，无需额外求解，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
这是等积变换类问题，解题核心是水的总体积始终不变。(1)先分别计算A容器中水的总体积、B容器的总容积，比较两者大小即可判断水是否会溢出；(2)已知水会溢出，当B容器倒满时，B中水的体积等于B的容积，剩余的水都在A容器中，根据“剩余在A中的水的体积+B中满水的体积=原来A中水的总体积”列方程求解，注意底面积S不为0，可以两边同时除以S简化计算；(3)当两个容器水的高度相同时，分别表示出两个容器中水的体积，两者相加等于总水体积，列方程求解即可。
【解析】
(1) 计算A容器内水的总体积：A容器底面积为2S，水的高度为10cm，因此水的体积为$2S × 10 = 20S \ (\mathrm{cm}^3)$；
计算B容器的总容积：B容器底面积为S，高为18cm，因此容积为$S × 18 = 18S \ (\mathrm{cm}^3)$；
由于$20S ＞ 18S$，因此水会溢出。
(2) 设A容器中剩余水的高度为$x\ \mathrm{cm}$，根据水的总体积不变列方程：
$2S · x + S · 18 = 2S · 10$
因为$S≠0$，两边同时除以S，得：
$2x + 18 = 20$
解得$x=1$。
(3) 设此时两个容器内水的高度均为$h\ \mathrm{cm}$，根据水的总体积不变列方程：
$2S · h + S · h = 2S · 10$
两边同时除以S（$S≠0$），得：
$3h = 20$
解得$h=\frac{20}{3}$。
【答案】
(1)会；(2)A容器中剩余水的高度为$1\ \mathrm{cm}$；(3)此时容器内水的高度为$\frac{20}{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
一元一次方程应用；圆柱体积计算；等积变换
【点评】
本题属于等积变换的典型题型，解题关键是抓住“水的总体积不变”这一核心等量关系列方程，计算中底面积S可以直接约去，无需额外求解，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
