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1. 如图,在周长为 10 m 的长方形窗户上钉一块宽为 1 m 的长方形遮阳布,使透光部分正好是一个正方形,则钉好后透光部分的面积为 ()
A.4 m²
B.9 m²
C.16 m²
D.25 m²
A.4 m²
B.9 m²
C.16 m²
D.25 m²
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要找到等量关系，我们可以先设透光部分正方形的边长为未知数，结合图形分析原长方形窗户的长、宽和正方形边长的关系：透光部分为正方形，说明原长方形窗户的水平边长等于正方形的边长，原长方形的竖直边长等于正方形边长加遮阳布的宽度1m，再结合原长方形周长为10m的条件，利用长方形周长公式列一元一次方程，求出正方形边长后即可计算透光面积。
【解析】
设透光部分正方形的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则原长方形窗户的长为$ (x+1) \, \mathrm{m} $，宽为$ x \, \mathrm{m} $。
根据长方形周长公式$ C=2×(长+宽) $，已知周长为10m，列方程得：
$ 2[(x+1)+x] = 10 $
化简得：$ 2(2x+1)=10 $
两边同除以2得：$ 2x+1=5 $
移项计算得：$ 2x=4 $，解得$ x=2 $
所以透光部分正方形的面积为$ x^2 = 2^2 = 4 \, \mathrm{m}^2 $
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形周长计算；正方形面积计算
【点评】
本题是结合几何图形的方程应用问题，解题的核心是准确梳理原长方形边长与透光正方形边长的数量关系，再结合几何图形的周长公式列方程求解，掌握基础几何公式、找准等量关系是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先要找到等量关系，我们可以先设透光部分正方形的边长为未知数，结合图形分析原长方形窗户的长、宽和正方形边长的关系：透光部分为正方形，说明原长方形窗户的水平边长等于正方形的边长，原长方形的竖直边长等于正方形边长加遮阳布的宽度1m，再结合原长方形周长为10m的条件，利用长方形周长公式列一元一次方程，求出正方形边长后即可计算透光面积。
【解析】
设透光部分正方形的边长为$ x \, \mathrm{m} $，则原长方形窗户的长为$ (x+1) \, \mathrm{m} $，宽为$ x \, \mathrm{m} $。
根据长方形周长公式$ C=2×(长+宽) $，已知周长为10m，列方程得：
$ 2[(x+1)+x] = 10 $
化简得：$ 2(2x+1)=10 $
两边同除以2得：$ 2x+1=5 $
移项计算得：$ 2x=4 $，解得$ x=2 $
所以透光部分正方形的面积为$ x^2 = 2^2 = 4 \, \mathrm{m}^2 $
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形周长计算；正方形面积计算
【点评】
本题是结合几何图形的方程应用问题，解题的核心是准确梳理原长方形边长与透光正方形边长的数量关系，再结合几何图形的周长公式列方程求解，掌握基础几何公式、找准等量关系是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，列出的正确方程是（）
A.$π×(\frac{9}{2})^2× x=π×(\frac{5}{2})^2×(x+4)$
B.$π×9^2× x=π×9^2×(x+4)$
C.$π×(\frac{9}{2})^2× x=π×(\frac{5}{2})^2×(x-4)$
D.$π×9^2× x=π×9^2×(x-4)$
A.$π×(\frac{9}{2})^2× x=π×(\frac{5}{2})^2×(x+4)$
B.$π×9^2× x=π×9^2×(x+4)$
C.$π×(\frac{9}{2})^2× x=π×(\frac{5}{2})^2×(x-4)$
D.$π×9^2× x=π×9^2×(x-4)$
答案
A
解析
【分析】
本题属于等积变换类问题，解题核心是水的体积在两个量筒中倒前倒后保持不变。首先回忆圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高，底面积=π×半径²，注意题目给出的是量筒底面直径，需先除以2得到半径。我们只需要分别计算出第一个量筒内水的体积、倒入第二个量筒后水的体积，令两个体积相等即可列出对应方程。
【解析】
1. 明确等量关系：量筒倾倒前后水的体积不变。
2. 计算第一个量筒中水的体积：
第一个量筒底面直径为9cm，半径为$\frac{9}{2}$cm，水的高度为$x$cm，根据圆柱体积公式$V=πr^2h$，可得水的体积为$π×(\frac{9}{2})^2×x$。
3. 计算第二个量筒中水的体积：
第二个量筒底面直径为5cm，半径为$\frac{5}{2}$cm，水倒入后总高度为$(x+4)$cm，可得水的体积为$π×(\frac{5}{2})^2×(x+4)$。
4. 根据体积相等列方程：$π×(\frac{9}{2})^2×x=π×(\frac{5}{2})^2×(x+4)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
等积变换，圆柱体积计算，列一元一次方程
【点评】
本题解题关键是抓住“液体倾倒前后体积不变”的核心等量关系，需注意不要直接将直径作为半径代入体积公式计算，掌握基础体积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题属于等积变换类问题，解题核心是水的体积在两个量筒中倒前倒后保持不变。首先回忆圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高，底面积=π×半径²，注意题目给出的是量筒底面直径，需先除以2得到半径。我们只需要分别计算出第一个量筒内水的体积、倒入第二个量筒后水的体积，令两个体积相等即可列出对应方程。
【解析】
1. 明确等量关系：量筒倾倒前后水的体积不变。
2. 计算第一个量筒中水的体积：
第一个量筒底面直径为9cm，半径为$\frac{9}{2}$cm，水的高度为$x$cm，根据圆柱体积公式$V=πr^2h$，可得水的体积为$π×(\frac{9}{2})^2×x$。
3. 计算第二个量筒中水的体积：
第二个量筒底面直径为5cm，半径为$\frac{5}{2}$cm，水倒入后总高度为$(x+4)$cm，可得水的体积为$π×(\frac{5}{2})^2×(x+4)$。
4. 根据体积相等列方程：$π×(\frac{9}{2})^2×x=π×(\frac{5}{2})^2×(x+4)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
等积变换，圆柱体积计算，列一元一次方程
【点评】
本题解题关键是抓住“液体倾倒前后体积不变”的核心等量关系，需注意不要直接将直径作为半径代入体积公式计算，掌握基础体积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
3. 一个容积为500 mL的瓶子，正放时水的高度为14 cm，把瓶盖拧紧后倒置，无水部分的高度为6 cm，这个瓶子里的水有（）
A.280 mL
B.300 mL
C.320 mL
D.350 mL
A.280 mL
B.300 mL
C.320 mL
D.350 mL
答案
D
解析
【分析】
解题时可利用等积变换的思想：瓶子正放和倒置时，水的体积、瓶子总容积均不变，倒置后不规则的无水部分可等效为规则的圆柱，因此瓶子总容积等价于底面积和瓶子底面积相同、高度为（14+6）cm的圆柱的体积。我们可以通过设底面积为未知数列方程，先求出底面积再计算水的体积，贴合本课时一元一次方程应用的知识点要求。
【解析】
解：单位换算：$500\ \mathrm{mL}=500\ \mathrm{cm}^3$
设瓶子的底面积为$S\ \mathrm{cm}^2$，根据“总容积=水的体积+无水部分体积”列方程：
$14S + 6S = 500$
合并同类项得：$20S = 500$
解得：$S = 25$
则水的体积为：$14×25 = 350\ \mathrm{cm}^3 = 350\ \mathrm{mL}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等积变换，圆柱体积计算，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活场景考查不规则容器的体积计算，核心是利用转化思想将不规则部分转化为规则圆柱求解，能有效锻炼学生的空间想象能力和方程应用能力，抓住“水体积、空瓶部分体积不变”的关键点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时可利用等积变换的思想：瓶子正放和倒置时，水的体积、瓶子总容积均不变，倒置后不规则的无水部分可等效为规则的圆柱，因此瓶子总容积等价于底面积和瓶子底面积相同、高度为（14+6）cm的圆柱的体积。我们可以通过设底面积为未知数列方程，先求出底面积再计算水的体积，贴合本课时一元一次方程应用的知识点要求。
【解析】
解：单位换算：$500\ \mathrm{mL}=500\ \mathrm{cm}^3$
设瓶子的底面积为$S\ \mathrm{cm}^2$，根据“总容积=水的体积+无水部分体积”列方程：
$14S + 6S = 500$
合并同类项得：$20S = 500$
解得：$S = 25$
则水的体积为：$14×25 = 350\ \mathrm{cm}^3 = 350\ \mathrm{mL}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等积变换，圆柱体积计算，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活场景考查不规则容器的体积计算，核心是利用转化思想将不规则部分转化为规则圆柱求解，能有效锻炼学生的空间想象能力和方程应用能力，抓住“水体积、空瓶部分体积不变”的关键点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4. 一个标志性建筑的底面呈长方形，长是宽的2倍，在其四周
铺上花岗岩，形成一个宽为3米的长方形框(如图所示)。已知铺这个框恰好用了504块边长为0.5米的正方形花岗岩(接缝处忽略不计)。若设此标志性建筑底面长方形的宽为$x$米，给出下列方程：
①$4×3(2x+3)=0.5×0.5×504$；
②$2×3(2x+6)+2×3x=0.5×0.5×504$；
③$(x+6)(2x+6)-2x·x=0.5×0.5×504$。
其中正确的是 ()
A.②
B.③
C.②③
D.①②③
铺上花岗岩，形成一个宽为3米的长方形框(如图所示)。已知铺这个框恰好用了504块边长为0.5米的正方形花岗岩(接缝处忽略不计)。若设此标志性建筑底面长方形的宽为$x$米，给出下列方程：
①$4×3(2x+3)=0.5×0.5×504$；
②$2×3(2x+6)+2×3x=0.5×0.5×504$；
③$(x+6)(2x+6)-2x·x=0.5×0.5×504$。
其中正确的是 ()
A.②
B.③
C.②③
D.①②③
答案
C
解析
【分析】
解题时首先抓住“边框面积=所有花岗岩的总面积”这一等量关系，先算出花岗岩的总面积，再用两种常见的求边框面积的方法分别验证三个方程是否正确：一种是将边框分块计算面积再求和，另一种是用外围大长方形面积减去内部建筑底面的面积。首先明确已知量：建筑底面宽为x米，则长为2x米，边框宽3米，因此外围大长方形的长为(2x+6)米、宽为(x+6)米，再逐一核对方程即可。
【解析】
首先计算花岗岩的总面积：每块正方形花岗岩边长为0.5米，504块的总面积为 $0.5×0.5×504$ 平方米。
已知标志性建筑底面宽为$x$米，则长为$2x$米，外围大长方形的长为 $2x+3×2=2x+6$ 米，宽为 $x+3×2=x+6$ 米。
逐一判断方程：
1. 方程①：左边$4×3(2x+3)$，计算边框面积时逻辑错误，既错误计算了各边的长度，也存在重复计算或漏算的问题，因此①错误。
2. 方程②：将边框分上下两个长方形、左右两个长方形计算：上下两个长方形的长均为$(2x+6)$米、宽为3米，面积和为$2×3(2x+6)$；左右两个长方形的高均为$x$米、宽为3米，面积和为$2×3x$，两部分相加等于边框总面积，因此②正确。
3. 方程③：边框面积=外围大长方形面积-内部建筑底面面积，即$(x+6)(2x+6)-2x· x$，等于花岗岩总面积，因此③正确。
综上，②③正确。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形面积计算；等积变换
【点评】
本题考查利用方程解决面积类实际问题，核心是掌握不规则图形面积的两种常用求法：分块求和法、整体减空白法，计算边长时要注意边框在两侧都有宽度，避免漏乘2导致边长计算错误。
【难度系数】
0.65
解题时首先抓住“边框面积=所有花岗岩的总面积”这一等量关系，先算出花岗岩的总面积，再用两种常见的求边框面积的方法分别验证三个方程是否正确：一种是将边框分块计算面积再求和，另一种是用外围大长方形面积减去内部建筑底面的面积。首先明确已知量：建筑底面宽为x米，则长为2x米，边框宽3米，因此外围大长方形的长为(2x+6)米、宽为(x+6)米，再逐一核对方程即可。
【解析】
首先计算花岗岩的总面积：每块正方形花岗岩边长为0.5米，504块的总面积为 $0.5×0.5×504$ 平方米。
已知标志性建筑底面宽为$x$米，则长为$2x$米，外围大长方形的长为 $2x+3×2=2x+6$ 米，宽为 $x+3×2=x+6$ 米。
逐一判断方程：
1. 方程①：左边$4×3(2x+3)$，计算边框面积时逻辑错误，既错误计算了各边的长度，也存在重复计算或漏算的问题，因此①错误。
2. 方程②：将边框分上下两个长方形、左右两个长方形计算：上下两个长方形的长均为$(2x+6)$米、宽为3米，面积和为$2×3(2x+6)$；左右两个长方形的高均为$x$米、宽为3米，面积和为$2×3x$，两部分相加等于边框总面积，因此②正确。
3. 方程③：边框面积=外围大长方形面积-内部建筑底面面积，即$(x+6)(2x+6)-2x· x$，等于花岗岩总面积，因此③正确。
综上，②③正确。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形面积计算；等积变换
【点评】
本题考查利用方程解决面积类实际问题，核心是掌握不规则图形面积的两种常用求法：分块求和法、整体减空白法，计算边长时要注意边框在两侧都有宽度，避免漏乘2导致边长计算错误。
【难度系数】
0.65
5. 把一个半径为 3 cm 的大铁球熔化后,能铸造________个半径为 1 cm的小铁球。(球的体积公式：$V=\frac{4}{3}π r^3$,r 为球的半径,不计损耗)
答案
解：设能铸造$x$个半径为1 cm的小铁球。
根据熔化前后总体积相等，列方程得：
$\frac{4}{3}π × 3^3 = x · \frac{4}{3}π × 1^3$
两边同时除以$\frac{4}{3}π$，得：
$27 = x$
解得 $x=27$
答：能铸造27个半径为1 cm的小铁球。
根据熔化前后总体积相等，列方程得：
$\frac{4}{3}π × 3^3 = x · \frac{4}{3}π × 1^3$
两边同时除以$\frac{4}{3}π$，得：
$27 = x$
解得 $x=27$
答：能铸造27个半径为1 cm的小铁球。
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住“熔化不计损耗时，物体总体积不变”的等量关系。首先设能铸造的小铁球个数为未知数x，分别表示出大铁球的体积和x个小铁球的总体积，根据二者体积相等列一元一次方程求解即可，计算时可先约掉等式两边相同的项，简化运算步骤。
【解析】
解：设能铸造$x$个半径为1 cm的小铁球。
根据熔化前后总体积相等，列方程得：
$\frac{4}{3}π × 3^3 = x · \frac{4}{3}π × 1^3$
两边同时除以$\frac{4}{3}π$，得：
$27 = x$
解得 $x=27$
答：能铸造27个半径为1 cm的小铁球。
【答案】
27
【知识点】
等积变换、一元一次方程的应用、球的体积计算
【点评】
本题核心考查等积变换思想的应用，明确形状改变但总体积不变是解题的突破口，计算时先约去公共因式可有效降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是抓住“熔化不计损耗时，物体总体积不变”的等量关系。首先设能铸造的小铁球个数为未知数x，分别表示出大铁球的体积和x个小铁球的总体积，根据二者体积相等列一元一次方程求解即可，计算时可先约掉等式两边相同的项，简化运算步骤。
【解析】
解：设能铸造$x$个半径为1 cm的小铁球。
根据熔化前后总体积相等，列方程得：
$\frac{4}{3}π × 3^3 = x · \frac{4}{3}π × 1^3$
两边同时除以$\frac{4}{3}π$，得：
$27 = x$
解得 $x=27$
答：能铸造27个半径为1 cm的小铁球。
【答案】
27
【知识点】
等积变换、一元一次方程的应用、球的体积计算
【点评】
本题核心考查等积变换思想的应用，明确形状改变但总体积不变是解题的突破口，计算时先约去公共因式可有效降低运算量，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
6. 用一根长为12米的铁丝围成一个长方形。
(1)若该长方形的长比宽多2米，求此时长方形的长、宽以及面积。
(2)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，求此时正方形的边长，并探究它所围成的面积与(1)中的长方形的面积相比有什么变化？
(1)若该长方形的长比宽多2米，求此时长方形的长、宽以及面积。
(2)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，求此时正方形的边长，并探究它所围成的面积与(1)中的长方形的面积相比有什么变化？
答案
解：
(1) 设此时长方形的宽为$x$米，则长为$(x+2)$米。
根据题意列方程：
$2(x + x + 2) = 12$
化简得：$2(2x+2)=12$
两边同除以2，得：$2x+2=6$
移项得：$2x=4$
解得：$x=2$
则长为$x+2=2+2=4$（米）
长方形面积为$4×2=8$（平方米）
(2) 设正方形的边长为$y$米。
根据题意列方程：
$4y=12$
解得：$y=3$
正方形的面积为$3×3=9$（平方米）
$9-8=1$（平方米），即正方形的面积比(1)中长方形的面积大1平方米。
答：(1) 此时长方形的长为4米，宽为2米，面积为8平方米；(2) 正方形的边长为3米，它围成的面积比(1)中长方形的面积大1平方米。
(1) 设此时长方形的宽为$x$米，则长为$(x+2)$米。
根据题意列方程：
$2(x + x + 2) = 12$
化简得：$2(2x+2)=12$
两边同除以2，得：$2x+2=6$
移项得：$2x=4$
解得：$x=2$
则长为$x+2=2+2=4$（米）
长方形面积为$4×2=8$（平方米）
(2) 设正方形的边长为$y$米。
根据题意列方程：
$4y=12$
解得：$y=3$
正方形的面积为$3×3=9$（平方米）
$9-8=1$（平方米），即正方形的面积比(1)中长方形的面积大1平方米。
答：(1) 此时长方形的长为4米，宽为2米，面积为8平方米；(2) 正方形的边长为3米，它围成的面积比(1)中长方形的面积大1平方米。
解析
【分析】
解题时首先明确不变量：铁丝总长12米即为围成图形的周长，以此作为列方程的等量关系。
(1)对于长方形，已知长比宽多2米，可设宽为未知数，将长用含未知数的式子表示，再代入长方形周长公式“周长=2×(长+宽)”列一元一次方程，求解得到长、宽后，再用“面积=长×宽”计算面积即可。
(2)对于正方形，四条边长相等，可设边长为未知数，代入正方形周长公式“周长=4×边长”列方程求解，算出正方形面积后与(1)中长方形面积作差，即可得到面积变化情况。
【解析】
解：
(1) 设此时长方形的宽为$x$米，则长为$(x+2)$米。
根据长方形周长公式列方程：
$2(x + x + 2) = 12$
化简得：$2(2x+2)=12$
两边同除以2，得：$2x+2=6$
移项得：$2x=4$
解得：$x=2$
则长为$x+2=2+2=4$（米）
长方形面积为$4×2=8$（平方米）
(2) 设正方形的边长为$y$米。
根据正方形周长公式列方程：
$4y=12$
解得：$y=3$
正方形的面积为$3×3=9$（平方米）
面积差值为$9-8=1$（平方米），即正方形的面积比(1)中长方形的面积大1平方米。
答：(1) 此时长方形的长为4米，宽为2米，面积为8平方米；(2) 正方形的边长为3米，它围成的面积比(1)中长方形的面积大1平方米。
【答案】
(1)长为4米，宽为2米，面积为8平方米；(2)正方形边长为3米，面积比(1)中长方形面积大1平方米
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形周长与面积计算；正方形周长与面积计算
【点评】
本题是等周长变形类的典型应用题，解题核心是抓住周长固定不变的等量关系，结合常见几何图形的周长、面积公式列方程求解，可帮助学生直观理解周长相等的长方形和正方形中，正方形面积更大的规律。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确不变量：铁丝总长12米即为围成图形的周长，以此作为列方程的等量关系。
(1)对于长方形，已知长比宽多2米，可设宽为未知数，将长用含未知数的式子表示，再代入长方形周长公式“周长=2×(长+宽)”列一元一次方程，求解得到长、宽后，再用“面积=长×宽”计算面积即可。
(2)对于正方形，四条边长相等，可设边长为未知数，代入正方形周长公式“周长=4×边长”列方程求解，算出正方形面积后与(1)中长方形面积作差，即可得到面积变化情况。
【解析】
解：
(1) 设此时长方形的宽为$x$米，则长为$(x+2)$米。
根据长方形周长公式列方程：
$2(x + x + 2) = 12$
化简得：$2(2x+2)=12$
两边同除以2，得：$2x+2=6$
移项得：$2x=4$
解得：$x=2$
则长为$x+2=2+2=4$（米）
长方形面积为$4×2=8$（平方米）
(2) 设正方形的边长为$y$米。
根据正方形周长公式列方程：
$4y=12$
解得：$y=3$
正方形的面积为$3×3=9$（平方米）
面积差值为$9-8=1$（平方米），即正方形的面积比(1)中长方形的面积大1平方米。
答：(1) 此时长方形的长为4米，宽为2米，面积为8平方米；(2) 正方形的边长为3米，它围成的面积比(1)中长方形的面积大1平方米。
【答案】
(1)长为4米，宽为2米，面积为8平方米；(2)正方形边长为3米，面积比(1)中长方形面积大1平方米
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形周长与面积计算；正方形周长与面积计算
【点评】
本题是等周长变形类的典型应用题，解题核心是抓住周长固定不变的等量关系，结合常见几何图形的周长、面积公式列方程求解，可帮助学生直观理解周长相等的长方形和正方形中，正方形面积更大的规律。
【难度系数】
0.8
