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10. 若$P=2a-2,Q=2a+3$，且$3P-Q=1$，则$a$的值是（
A.0.4
B.2.5
C.−0.4
D.−2.5
B
）A.0.4
B.2.5
C.−0.4
D.−2.5
答案
10. B
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，题目已经给出P、Q关于a的表达式，以及3P-Q=1的等量关系，我们可以先将P、Q的表达式代入等量关系中，得到只含有未知数a的一元一次方程，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求出a的值。
【解析】
已知$P=2a-2$，$Q=2a+3$，将其代入$3P-Q=1$可得：
$3(2a-2)-(2a+3)=1$
第一步去括号：
$6a - 6 - 2a - 3 = 1$
第二步合并同类项：
$4a - 9 = 1$
第三步移项，将常数项移到等号右侧：
$4a = 1 + 9$
$4a = 10$
第四步系数化为1：
$a = 10÷4 = 2.5$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程求解；代数式代入；去括号法则
【点评】
本题属于基础题型，核心考察代数式的代入运算和一元一次方程的基本解法，熟练掌握去括号、移项等解方程的基本步骤即可快速解题，计算时注意去括号时的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件，题目已经给出P、Q关于a的表达式，以及3P-Q=1的等量关系，我们可以先将P、Q的表达式代入等量关系中，得到只含有未知数a的一元一次方程，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求出a的值。
【解析】
已知$P=2a-2$，$Q=2a+3$，将其代入$3P-Q=1$可得：
$3(2a-2)-(2a+3)=1$
第一步去括号：
$6a - 6 - 2a - 3 = 1$
第二步合并同类项：
$4a - 9 = 1$
第三步移项，将常数项移到等号右侧：
$4a = 1 + 9$
$4a = 10$
第四步系数化为1：
$a = 10÷4 = 2.5$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程求解；代数式代入；去括号法则
【点评】
本题属于基础题型，核心考察代数式的代入运算和一元一次方程的基本解法，熟练掌握去括号、移项等解方程的基本步骤即可快速解题，计算时注意去括号时的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.8
11. 若$-3a^{5}b^{3y}$与$4a^{4x+1}b^{6}$是同类项，则$x=$
1
，$y=$2
。答案
11. 1 2
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。我们只需让两个单项式中相同字母的指数分别相等，列出一元一次方程，再按照一元一次方程的解法求解，就能得到x和y的值。
【解析】
解：
∵$-3a^{5}b^{3y}$与$4a^{4x+1}b^{6}$是同类项
∴根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$4x+1=5$，$3y=6$
解$4x+1=5$：
移项得$4x=5-1$，
合并同类项得$4x=4$，
系数化为1得$x=1$。
解$3y=6$：
系数化为1得$y=2$。
【答案】
1；2
【知识点】
同类项的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对同类项定义的应用，只要熟练掌握同类项“相同字母指数相等”的性质，结合基础的一元一次方程解法就能快速得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。我们只需让两个单项式中相同字母的指数分别相等，列出一元一次方程，再按照一元一次方程的解法求解，就能得到x和y的值。
【解析】
解：
∵$-3a^{5}b^{3y}$与$4a^{4x+1}b^{6}$是同类项
∴根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$4x+1=5$，$3y=6$
解$4x+1=5$：
移项得$4x=5-1$，
合并同类项得$4x=4$，
系数化为1得$x=1$。
解$3y=6$：
系数化为1得$y=2$。
【答案】
1；2
【知识点】
同类项的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对同类项定义的应用，只要熟练掌握同类项“相同字母指数相等”的性质，结合基础的一元一次方程解法就能快速得分。
【难度系数】
0.8
12. 已知关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2025}x + 3 = 2x + b$的解为$x=2$，则关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2025}(y + 1) + 3 = 2y + 2 + b$的解为
$y=1$
。答案
12. $y=1$ 【解析】因为$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2y+2+b$，
所以$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2(y+1)+b$。
因为关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2025}x+3=2x+b$的解为$x=2$，
所以$y+1=2$,解得$y=1$，
所以关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2y+2+b$的解为$y=1$。
所以$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2(y+1)+b$。
因为关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2025}x+3=2x+b$的解为$x=2$，
所以$y+1=2$,解得$y=1$，
所以关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2025}(y+1)+3=2y+2+b$的解为$y=1$。
解析
【分析】
解题时先观察两个方程的结构特征，我们可以先对关于y的方程做变形整理，把右侧的$2y+2$提取公因数2变为$2(y+1)$，此时变形后的y的方程和已知解的x的方程结构完全相同，都是“$\frac{1}{2025}×$某数$+3=2×$某数$+b$”的形式。根据一元一次方程解的定义，同参数、同结构的方程对应的“某数”取值相等，因此可得$y+1$等于已知的x的值2，进而求出y的解即可。
【解析】
对关于y的方程变形如下：
$\frac{1}{2025}(y+1) + 3 = 2y + 2 + b$
将右侧提取公因数2可得：
$\frac{1}{2025}(y+1) + 3 = 2(y+1) + b$
已知方程$\frac{1}{2025}x + 3 = 2x + b$的解为$x=2$，对比两个方程的结构可知$y+1=x=2$
解得：$y=2-1=1$
【答案】
$y=1$
【知识点】
一元一次方程的解，整体思想，等式变形
【点评】
本题不需要求解参数b的具体值，通过观察方程的结构特征，用整体代换的思想就能快速求解，大幅简化了计算过程，是解决同结构方程解的问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
解题时先观察两个方程的结构特征，我们可以先对关于y的方程做变形整理，把右侧的$2y+2$提取公因数2变为$2(y+1)$，此时变形后的y的方程和已知解的x的方程结构完全相同，都是“$\frac{1}{2025}×$某数$+3=2×$某数$+b$”的形式。根据一元一次方程解的定义，同参数、同结构的方程对应的“某数”取值相等，因此可得$y+1$等于已知的x的值2，进而求出y的解即可。
【解析】
对关于y的方程变形如下：
$\frac{1}{2025}(y+1) + 3 = 2y + 2 + b$
将右侧提取公因数2可得：
$\frac{1}{2025}(y+1) + 3 = 2(y+1) + b$
已知方程$\frac{1}{2025}x + 3 = 2x + b$的解为$x=2$，对比两个方程的结构可知$y+1=x=2$
解得：$y=2-1=1$
【答案】
$y=1$
【知识点】
一元一次方程的解，整体思想，等式变形
【点评】
本题不需要求解参数b的具体值，通过观察方程的结构特征，用整体代换的思想就能快速求解，大幅简化了计算过程，是解决同结构方程解的问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
13. 如果方程 $3-2x=1$ 与关于 $x$ 的方程 $\frac{-x+a}{4}=2$ 的解相同，求 $a$ 的值。
答案
13. 解: $3-2x=1$，
解得$x=1$，
将$x=1$代入方程$\frac{-x+a}{4}=2$,得$\frac{-1+a}{4}=2$,两边同乘4,得$-1+a=8$，
解得$a=9$。
解得$x=1$，
将$x=1$代入方程$\frac{-x+a}{4}=2$,得$\frac{-1+a}{4}=2$,两边同乘4,得$-1+a=8$，
解得$a=9$。
解析
【分析】
两个方程解相同，说明第一个方程的解也满足第二个方程。解题思路分为两步：第一步先求解不含参数的方程$3-2x=1$，得到$x$的取值；第二步将求出的$x$代入含有参数$a$的方程$\frac{-x+a}{4}=2$，此时方程转化为仅含未知数$a$的一元一次方程，解该方程即可得到$a$的值。
【解析】
先解方程$3-2x=1$：
移项得：$-2x=1-3$
合并同类项得：$-2x=-2$
系数化为1得：$x=1$
由于两个方程的解相同，将$x=1$代入$\frac{-x+a}{4}=2$，可得：
$\frac{-1+a}{4}=2$
两边同时乘4去分母得：$-1+a=8$
移项合并同类项得：$a=9$
【答案】
$a=9$
【知识点】
1. 同解方程的性质
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是同解方程的基础应用题型，核心是抓住“解相同”的条件，先求已知方程的解再代入含参方程求参数，解题过程需熟练掌握一元一次方程移项、去分母、系数化为1等基本步骤。
【难度系数】
0.9
两个方程解相同，说明第一个方程的解也满足第二个方程。解题思路分为两步：第一步先求解不含参数的方程$3-2x=1$，得到$x$的取值；第二步将求出的$x$代入含有参数$a$的方程$\frac{-x+a}{4}=2$，此时方程转化为仅含未知数$a$的一元一次方程，解该方程即可得到$a$的值。
【解析】
先解方程$3-2x=1$：
移项得：$-2x=1-3$
合并同类项得：$-2x=-2$
系数化为1得：$x=1$
由于两个方程的解相同，将$x=1$代入$\frac{-x+a}{4}=2$，可得：
$\frac{-1+a}{4}=2$
两边同时乘4去分母得：$-1+a=8$
移项合并同类项得：$a=9$
【答案】
$a=9$
【知识点】
1. 同解方程的性质
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是同解方程的基础应用题型，核心是抓住“解相同”的条件，先求已知方程的解再代入含参方程求参数，解题过程需熟练掌握一元一次方程移项、去分母、系数化为1等基本步骤。
【难度系数】
0.9
14. 我们规定:若关于$x$的一元一次方程$ax=b$的解为$b+a$,则称该方程为“和解方程”。例如:方程$2x=-4$的解为$x=-2$,而$-2=-4+2$,则方程$2x=-4$为“和解方程”。
请根据上述规定解答下列问题:
(1)下列关于$x$的一元一次方程是“和解方程”的是
①$3x=-5$;②$3x=-\frac{9}{2}$;③$5x=-2$;④$-3x=\frac{9}{4}$。
(2)若关于$x$的一元一次方程$3x=a-1$是“和解方程”,求$a$的值。
请根据上述规定解答下列问题:
(1)下列关于$x$的一元一次方程是“和解方程”的是
②④
。(填序号)①$3x=-5$;②$3x=-\frac{9}{2}$;③$5x=-2$;④$-3x=\frac{9}{4}$。
(2)若关于$x$的一元一次方程$3x=a-1$是“和解方程”,求$a$的值。
答案
14. 解:(1)解方程$3x=-5$,得$x=-\frac{5}{3}$。
因为$(-5)+3=-2≠-\frac{5}{3}$,所以方程$3x=-5$不是“和解方程”。
解方程$3x=-\frac{9}{2}$,得$x=-\frac{3}{2}$。
因为$(-\frac{9}{2})+3=-\frac{3}{2}$,所以方程$3x=-\frac{9}{2}$是“和解方程”。
解方程$5x=-2$,得$x=-\frac{2}{5}$。
因为$(-2)+5=3≠-\frac{2}{5}$,所以方程$5x=-2$不是“和解方程”。
解方程$-3x=\frac{9}{4}$,得$x=-\frac{3}{4}$。
因为$\frac{9}{4}+(-3)=-\frac{3}{4}$,所以方程$-3x=\frac{9}{4}$是“和解方程”。
故答案为②④。
(2)解方程$3x=a-1$,得$x=\frac{a-1}{3}$。
由条件可知$\frac{a-1}{3}=a-1+3$，
解得$a=-\frac{7}{2}$。
因为$(-5)+3=-2≠-\frac{5}{3}$,所以方程$3x=-5$不是“和解方程”。
解方程$3x=-\frac{9}{2}$,得$x=-\frac{3}{2}$。
因为$(-\frac{9}{2})+3=-\frac{3}{2}$,所以方程$3x=-\frac{9}{2}$是“和解方程”。
解方程$5x=-2$,得$x=-\frac{2}{5}$。
因为$(-2)+5=3≠-\frac{2}{5}$,所以方程$5x=-2$不是“和解方程”。
解方程$-3x=\frac{9}{4}$,得$x=-\frac{3}{4}$。
因为$\frac{9}{4}+(-3)=-\frac{3}{4}$,所以方程$-3x=\frac{9}{4}$是“和解方程”。
故答案为②④。
(2)解方程$3x=a-1$,得$x=\frac{a-1}{3}$。
由条件可知$\frac{a-1}{3}=a-1+3$，
解得$a=-\frac{7}{2}$。
解析
【分析】
本题是新定义类题目，解题核心是先准确理解“和解方程”的定义：若关于$x$的一元一次方程$ax=b$的解为$x=b+a$，则该方程为“和解方程”。对于第(1)问，依次求出每个方程的解，再计算对应方程中$b+a$的值，对比两者是否相等即可判断是否为“和解方程”；对于第(2)问，先将方程的解用含$a$的代数式表示，再根据“和解方程”的定义列关于$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值。
【解析】
(1) 逐个判断四个方程：
① 解方程$3x=-5$，得$x=-\frac{5}{3}$。计算$b+a=-5+3=-2$，$-2≠-\frac{5}{3}$，因此①不是“和解方程”；
② 解方程$3x=-\frac{9}{2}$，得$x=-\frac{3}{2}$。计算$b+a=-\frac{9}{2}+3=-\frac{3}{2}$，两者相等，因此②是“和解方程”；
③ 解方程$5x=-2$，得$x=-\frac{2}{5}$。计算$b+a=-2+5=3$，$3≠-\frac{2}{5}$，因此③不是“和解方程”；
④ 解方程$-3x=\frac{9}{4}$，得$x=-\frac{3}{4}$。计算$b+a=\frac{9}{4}+(-3)=-\frac{3}{4}$，两者相等，因此④是“和解方程”。
(2) 解方程$3x=a-1$，得$x=\frac{a-1}{3}$。
根据“和解方程”的定义，方程的解等于$b+a$，其中该方程中$a=3$，$b=a-1$，可列等式：
$\frac{a-1}{3}=a-1+3$
两边同乘3得：$a-1=3(a-1)+9$
展开得：$a-1=3a-3+9$
移项、合并同类项得：$-2a=7$
系数化为1得：$a=-\frac{7}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{②④}$；(2) $\boldsymbol{a=-\frac{7}{2}}$
【知识点】
一元一次方程的解法，新定义运算
【点评】
本题重点考查对新定义规则的理解与应用，解题时只需将新定义转化为常规的一元一次方程求解即可，只要仔细计算，就能顺利得分。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类题目，解题核心是先准确理解“和解方程”的定义：若关于$x$的一元一次方程$ax=b$的解为$x=b+a$，则该方程为“和解方程”。对于第(1)问，依次求出每个方程的解，再计算对应方程中$b+a$的值，对比两者是否相等即可判断是否为“和解方程”；对于第(2)问，先将方程的解用含$a$的代数式表示，再根据“和解方程”的定义列关于$a$的一元一次方程，求解即可得到$a$的值。
【解析】
(1) 逐个判断四个方程：
① 解方程$3x=-5$，得$x=-\frac{5}{3}$。计算$b+a=-5+3=-2$，$-2≠-\frac{5}{3}$，因此①不是“和解方程”；
② 解方程$3x=-\frac{9}{2}$，得$x=-\frac{3}{2}$。计算$b+a=-\frac{9}{2}+3=-\frac{3}{2}$，两者相等，因此②是“和解方程”；
③ 解方程$5x=-2$，得$x=-\frac{2}{5}$。计算$b+a=-2+5=3$，$3≠-\frac{2}{5}$，因此③不是“和解方程”；
④ 解方程$-3x=\frac{9}{4}$，得$x=-\frac{3}{4}$。计算$b+a=\frac{9}{4}+(-3)=-\frac{3}{4}$，两者相等，因此④是“和解方程”。
(2) 解方程$3x=a-1$，得$x=\frac{a-1}{3}$。
根据“和解方程”的定义，方程的解等于$b+a$，其中该方程中$a=3$，$b=a-1$，可列等式：
$\frac{a-1}{3}=a-1+3$
两边同乘3得：$a-1=3(a-1)+9$
展开得：$a-1=3a-3+9$
移项、合并同类项得：$-2a=7$
系数化为1得：$a=-\frac{7}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{②④}$；(2) $\boldsymbol{a=-\frac{7}{2}}$
【知识点】
一元一次方程的解法，新定义运算
【点评】
本题重点考查对新定义规则的理解与应用，解题时只需将新定义转化为常规的一元一次方程求解即可，只要仔细计算，就能顺利得分。
【难度系数】
0.7
