1. |项目化学习【基础研究】
(1)如图①,△ABC中,若AB=4,AC=3,则BC边上的中线AD的取值范围是.
【问题解决】
(2)如图②,以△ABC的边AB,AC为边向外作△ABE和△ACD,AB=AE,AC=AD,∠BAE=∠CAD=90°,M是BC中点,连结AM,DE.求证:AM⊥DE.
【拓展应用】
(3)将上述图形中的某一个直角三角形旋转,如图③,在△ABE与△ADC中,AB=AE,AC=AD,∠BAE=∠DAC=90°,连结BC,DE,若M为BC的中点,连结AM,求证:DE=2AM.

(1) 延长AD到点E,使DE=AD,连结BE,,
∵ AD 为 BC 边上的中线,
∴ BD=CD.在△ADC 和△EDB 中,
$\begin{cases} CD=BD, \\ ∠ADC=∠EDB, \\ AD=ED, \end{cases}$
∴ △ADC≌△EDB(SAS),
∴ AC=BE.
∵ AB-BE＜AE＜AB+BE,
∴ AB-AC＜2AD＜AB+AC,
∴ $\frac{1}{2}＜AD＜\frac{7}{2}$.
(2) 延长AM到点G,使得AM=MG,连结BG,延长MA交ED于点F,由(1)可得:△AMC≌△GMB(SAS),
∴ ∠G=∠CAM,∠ACB=∠GBM.
∵ ∠BAM + ∠ABG + ∠G = 180°,
∴ ∠BAM+∠ABG+∠CAM = 180°,
∴ ∠BAC + ∠ABG = 180°.
∵ ∠BAE=∠CAD=90°,
∴ ∠BAC + ∠EAD = 180°,
∴ ∠ABG = ∠EAD.在△DAE 和 △GBA 中, $\begin{cases} AE=BA, \\ ∠DAE=∠GBA, \\ AD=BG, \end{cases}$
∴ △DAE ≌△GBA(SAS),
∴ ∠BAG=∠AED.
∵ ∠BAG+∠EAF=90°,
∴ ∠AED+∠EAF=90°,
∴ ∠AFE=180°-(∠AED+∠EAF)=90°,
∴ AM⊥DE.
(3) 延长AM到点H,使得AM=HM,连结CH,延长CH交AE于点I,
由(1)可得△BAM≌△CHM(SAS),
∴ CH=AB=AE,∠HCM =∠ABM.
∵ ∠BAE=90°,∠BCA+∠CAE+∠BAE+∠ABC = 180°,
∴ ∠BCA + ∠CAE + ∠ABC = 90°,
∴ ∠BCA + ∠CAE + ∠HCM =90°,
∴ ∠CAE+∠ACI=90°.
∵ ∠CAE+∠EAD=90°,
∴ ∠HCA =∠EAD.在△HCA 和 △EAD 中, $\begin{cases} CH=AE, \\ ∠HCA=∠EAD, \\ AC=DA, \end{cases}$
∴ △HCA≌△EAD(SAS),
∴ DE=AH.
∵ AH=2AM,
∴ DE=2AM.

2. ★★★ 如图,在$△ ABC$中,$AD$交$BC$于点$D$,点$E$是$BC$的中点,$EF // AD$交$CA$的延长线于点$F$,交$AB$于点$G$.若$BG=CF$,求证:$AD$为$△ ABC$的角平分线.

延长 GE 到 M,使得 GE = ME,连结 MC.
∵ 点 E 是 BC 的中点,
∴ BE=EC.在△BEG 和 △CEM 中, $\begin{cases} BE=CE, \\ ∠BEG=∠CEM, \\ GE=ME, \end{cases}$
∴ △BEG ≌ △CEM ( SAS ),
∴ ∠BGE = ∠M,BG=CM,
∴ ∠BGE = ∠FGA = ∠M.
∵ CF=BG,
∴ CM=CF,
∴ ∠F = ∠M = ∠FGA.
∵ EF//AD,
∴ ∠F = ∠CAD, ∠BAD = ∠FGA,
∴ ∠CAD = ∠BAD,
∴ AD 平分 ∠BAC,
∴ AD 为 △ ABC 的角平分线.

3. 如图,在$△ ABC$中,D是BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且$ED ⊥ FD$,求证:$BE+CF＞EF$.

延长 ED 至 M,使 MD = ED,连结 CM,FM.
∵ D 为 BC 的中点,
∴ BD=CD.在△BDE 和 △CDM 中, $\begin{cases} BD=CD, \\ ∠BDE=∠CDM, \\ ED=MD, \end{cases}$
∴ △BDE≌△CDM(SAS),
∴ BE=CM.
∵ ED= MD,DE ⊥ DF,
∴ 直线 DF 是线段 EM 的垂直平分线,
∴ ∠FDE= ∠FDM=90°,ED=MD.又
∵ FD=FD,
∴ △EFD≌△MFD,
∴ EF= MF.
∵ CM+CF＞FM,
∴ BE+CF＞EF.