4. 如图,点A,D,B,E在同一条直线上,CB与DF交于点O,已知AC=EF,AD=BE,∠A=∠E.
(1)求证:∠ADF=∠EBC;
(2)若∠A=35°,∠F=105°,求∠BOD的度数.

4. (1)
∵ AD = BE,
∴ AB = DE. 在 △ABC 与 △EDF 中,
$\begin{cases}AC=EF,\\∠A=∠E,\\AB=ED,\end{cases}$
∴ △ABC≌△EDF(SAS),
∴ ∠ABC = ∠EDF,
∴ ∠ADF=∠EBC.
(2)
∵ △ABC≌△EDF,
∴ ∠A = ∠E = 35°,∠F = ∠C = 105°,∠ABC=∠FDE,
∴ ∠ABC = ∠FDE = 180°-35°-105° = 40°,
∴ ∠BOD=180°-∠ABC-∠FDE=180°-40°-40°=100°.

5. (陕西中考)如图,在$△ ABC$中,$∠ B=50°,∠ C=20°$.过点$A$作$AE⊥ BC$,垂足为$E$,延长$EA$至点$D$,使$AD=AC$.在边$AC$上截取$AF=AB$,连结$DF$.求证:$DF=CB$.

5. 在△ABC 中,∠B = 50°,∠C = 20°,
∴ ∠CAB = 180°-∠B-∠C=110°.
∵ AE⊥BC,
∴ ∠AEC=90°,
∴ ∠DAF=∠AEC+∠C=110°,
∴ ∠DAF = ∠CAB. 在 △DAF 和 △CAB 中,
$\begin{cases}AD=AC,\\∠DAF=∠CAB,\\AF=AB,\end{cases}$
∴ △DAF≌△CAB(SAS),
∴ DF=CB.

6. (2026·曲靖期中)如图，$∠ A = ∠ B$，$AE = BE$，点$D$在$AC$边上，$∠ 1 = ∠ 2$，$AE$和$BD$相交于点$O$.
(1)求证：$△ AEC ≌ △ BED$；
(2)若$∠ 1 = 40°$，$∠ ADE = 110°$，求$∠ C$的度数.

6. (1)
∵ AE 和 BD 相交于点 O,
∴ ∠AOD = ∠BOE.在△AOD 和△BOE 中,
∵ ∠A = ∠B,
∴ ∠BEO = ∠2.又
∵ ∠1 = ∠2,
∴ ∠1 = ∠BEO,
∴ ∠1+∠AED = ∠BEO+∠AED,即 ∠AEC = ∠BED.在△AEC 和 △BED 中,$\begin{cases}∠A=∠B,\\AE=BE,\\∠AEC=∠BED,\end{cases}$
∴ △AEC ≌ △BED(ASA).
(2)由(1)知 △AEC≌△BED,
∴ ∠C = ∠BDE.
∵ ∠1 = 40°,
∴ ∠2=40°,
∴ ∠BDE=∠ADE-∠2=70°,
∴ ∠C=70°.