1. 如图，E是BC的中点，点A在DE上，且$∠ BAE=∠ CDE$.求证:$AB=CD$.

1. 如图,作 $BF ⊥ DE$,交 $DE$ 延长线于点 $F$,
$CG ⊥ DE$于点 $G,\therefore ∠ F= ∠ CGE= ∠ DGC=90°.$
在 $△ BFE$ 和 $△ CGE$ 中, $\begin{cases} ∠ BEF= ∠ CEG,\\ ∠ BFE= ∠ CGE,\\ BE=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BFE ≌ △ CGE,\therefore BF = CG.$ 在 $△ ABF$ 和
$△ DCG$ 中,$\begin{cases} ∠ F= ∠ DGC,\\ ∠ BAF= ∠ CDG,,\therefore △ ABF ≌ △ DCG,\therefore AB=CD.\\ BF=CG, \end{cases}$

2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,AD是角平分线,过点C作$CE⊥ AC$,且$CE=BD$,连结DE,交AC于点F.求证:$EF=FD$.

2. 如图,作 $DG ⊥ AC$ 交 $AC$ 于点 $G.\because AD$ 是角平分线, $∠ B=90°, DG ⊥ AC,\therefore ∠ GAD= ∠ BAD, ∠ AGD= ∠ B=90°.$ 又 $\because AD=AD$,
$\therefore △ AGD ≌ △ ABD,\therefore DG=DB.\because CE=BD$,
$\therefore DG=CE.\because CE ⊥ AC, DG ⊥ AC,\therefore ∠ ECF= ∠ DGF=90°.$ 在
$△ ECF$ 与 $△ DGF$ 中, $\begin{cases} ∠ ECF= ∠ DGF,\\ ∠ EFC= ∠ DFG,\\ CE=GD, \end{cases} \therefore △ ECF ≌ △ DGF$,
$\therefore EF=FD.$

3. ★★★ 如图,在△ABC中,D是BC上一点,将AB旋转至AC上,点B的对应点为点E,△ABC外有一点F,连结AF,EF,使得∠BAC=∠DAF,∠DAC=∠F,AF=2AD.求证:点D是BC的中点.

3. 如图,过点 B 作 AC 的平行线,交 AD 的延长线于点 $G.\because ∠ BAC= ∠ DAF,\therefore ∠ BAG= ∠ EAF.\because AC // BG,\therefore ∠ DAC= ∠ G, ∠ C= ∠ DBG.\because ∠ DAC= ∠ F,\therefore ∠ G= ∠ F.$ 又$\because AB=AE,\therefore △ ABG ≌ △ AEF,\therefore AG=AF.$
$\because AF=2AD,\therefore AG=2AD,\therefore AD=DG.$ 又 $\because ∠ DAC= ∠ G, ∠ C= ∠ DBG,\therefore △ ADC ≌ △ GDB,\therefore BD=CD$,即点 $D$ 是 $BC$ 的中点.