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1.(2024·贵州中考)计算$2a+3a$的结果正确的是（
A.$5a$
B.$6a$
C.$5a^2$
D.$6a^2$
A
）A.$5a$
B.$6a$
C.$5a^2$
D.$6a^2$
答案
1.A 原式=(2+3)a=5a.
2.(2024·内江中考)下列单项式中，$ab^3$的同类项是（
A.$3ab^3$
B.$2a^2b^3$
C.$-a^2b^2$
D.$a^3b$
A
）A.$3ab^3$
B.$2a^2b^3$
C.$-a^2b^2$
D.$a^3b$
答案
2.A 根据同类项的定义可知，$ab^3$的同类项是$3ab^3$.
3.(2024·广安中考)下列对代数式－3x的意义表述正确的是（
A.－3与x的和
B.－3与x的差
C.－3与x的积
D.－3与x的商
C
）A.－3与x的和
B.－3与x的差
C.－3与x的积
D.－3与x的商
答案
3.C 选项 A:−3 与 x 的和应为−3+x,不符合题意；
选项 B:−3 与 x 的差应为−3−x,不符合题意；
选项 C:符合题意；
选项 D:−3 与 x 的商应为$\frac{-3}{x}$,不符合题意.
选项 B:−3 与 x 的差应为−3−x,不符合题意；
选项 C:符合题意；
选项 D:−3 与 x 的商应为$\frac{-3}{x}$,不符合题意.
4.(2024·云南中考)按一定规律排列的代数式：
$2x,3x^2,4x^3,5x^4,6x^5,\dots$,第$n$个代数式是(
A.$2x^n$
B.$(n-1)x^n$
C.$nx^{n+1}$
D.$(n+1)x^n$
$2x,3x^2,4x^3,5x^4,6x^5,\dots$,第$n$个代数式是(
D
)A.$2x^n$
B.$(n-1)x^n$
C.$nx^{n+1}$
D.$(n+1)x^n$
答案
4.D 因为按一定规律排列的代数式：
$2x,3x^2,4x^3,5x^4,6x^5,\dots$,
所以第 $n$ 个代数式为$(n+1)x^n$.
$2x,3x^2,4x^3,5x^4,6x^5,\dots$,
所以第 $n$ 个代数式为$(n+1)x^n$.
5.(几何与代数融合)(2024·济宁中考)如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形.
第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为
（
A.90
B.91
C.92
D.93
第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为
（
B
）A.90
B.91
C.92
D.93
答案
5.B 由题中所给图形可知，
第一幅图中正方形的个数为:$1=1^2$；
第二幅图中正方形的个数为:$5=1^2+2^2$；
第三幅图中正方形的个数为:$14=1^2+2^2+3^2$；
第四幅图中正方形的个数为:$30=1^2+2^2+3^2+4^2$；
…，
所以第 $n$ 幅图中正方形的个数为:$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2$，
当 $n=6$ 时，
$1^2+2^2+3^2+\dots+6^2=91$，
即第六幅图中正方形的个数为 91.
第一幅图中正方形的个数为:$1=1^2$；
第二幅图中正方形的个数为:$5=1^2+2^2$；
第三幅图中正方形的个数为:$14=1^2+2^2+3^2$；
第四幅图中正方形的个数为:$30=1^2+2^2+3^2+4^2$；
…，
所以第 $n$ 幅图中正方形的个数为:$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2$，
当 $n=6$ 时，
$1^2+2^2+3^2+\dots+6^2=91$，
即第六幅图中正方形的个数为 91.
6.(2024·重庆中考)已知整式$M:a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$，其中$n,a_{n-1},\dots,a_0$为自然数，$a_n$为正整数，且$n+a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0=5$。下列说法：
①满足条件的整式$M$中有5个单项式；
②不存在任何一个$n$，使得满足条件的整式$M$有且仅有3个；
③满足条件的整式$M$共有16个。
其中正确的个数是（
A.0
B.1
C.2
D.3
①满足条件的整式$M$中有5个单项式；
②不存在任何一个$n$，使得满足条件的整式$M$有且仅有3个；
③满足条件的整式$M$共有16个。
其中正确的个数是（
D
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
6.D 因为 $n,a_{n-1},\dots,a_0$ 为自然数,$a_n$ 为正整数,且 $n+a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0=5$,所以 $0≤ n≤ 4$，
当 $n=4$ 时,则 $4+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=5$，
所以 $a_4=1,a_3=a_2=a_1=a_0=0$，
满足条件的整式有 $x^4$，
当 $n=3$ 时,则 $3+a_3+a_2+a_1+a_0=5$，
所以$(a_3,a_2,a_1,a_0)=(2,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)$，
满足条件的整式有:$2x^3,x^3+x^2,x^3+x,x^3+1$，
当 $n=2$ 时,则 $2+a_2+a_1+a_0=5$，
所以$(a_2,a_1,a_0)=(3,0,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(1,0,2),(1,1,1)$，
满足条件的整式有:$3x^2,2x^2+x,2x^2+1,x^2+2x,x^2+2,x^2+x+1$；
当 $n=1$ 时,则 $1+a_1+a_0=5$，
所以$(a_1,a_0)=(4,0),(3,1),(1,3),(2,2)$，
满足条件的整式有:$4x,3x+1,x+3,2x+2$；
当 $n=0$ 时,$0+a_0=5$，
满足条件的整式有:$5$；
所以满足条件的单项式有:$x^4,2x^3,3x^2,4x,5$,故①符合题意；
不存在任何一个 $n$,使得满足条件的整式 $M$ 有且仅有 3 个,故②符合题意；
满足条件的整式 $M$ 共有 $1+4+6+4+1=16$(个),故③符合题意.
当 $n=4$ 时,则 $4+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=5$，
所以 $a_4=1,a_3=a_2=a_1=a_0=0$，
满足条件的整式有 $x^4$，
当 $n=3$ 时,则 $3+a_3+a_2+a_1+a_0=5$，
所以$(a_3,a_2,a_1,a_0)=(2,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)$，
满足条件的整式有:$2x^3,x^3+x^2,x^3+x,x^3+1$，
当 $n=2$ 时,则 $2+a_2+a_1+a_0=5$，
所以$(a_2,a_1,a_0)=(3,0,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(1,0,2),(1,1,1)$，
满足条件的整式有:$3x^2,2x^2+x,2x^2+1,x^2+2x,x^2+2,x^2+x+1$；
当 $n=1$ 时,则 $1+a_1+a_0=5$，
所以$(a_1,a_0)=(4,0),(3,1),(1,3),(2,2)$，
满足条件的整式有:$4x,3x+1,x+3,2x+2$；
当 $n=0$ 时,$0+a_0=5$，
满足条件的整式有:$5$；
所以满足条件的单项式有:$x^4,2x^3,3x^2,4x,5$,故①符合题意；
不存在任何一个 $n$,使得满足条件的整式 $M$ 有且仅有 3 个,故②符合题意；
满足条件的整式 $M$ 共有 $1+4+6+4+1=16$(个),故③符合题意.
7.(规律探索)(2024·宁夏中考)观察下列等式：
第1个：$1×2 - 2 = 2^2×0$；
第2个：$4×3 - 3 = 3^2×1$；
第3个：$9×4 - 4 = 4^2×2$；
第4个：$16×5 - 5 = 5^2×3$；
…
按照以上规律，第n个等式为
第1个：$1×2 - 2 = 2^2×0$；
第2个：$4×3 - 3 = 3^2×1$；
第3个：$9×4 - 4 = 4^2×2$；
第4个：$16×5 - 5 = 5^2×3$；
…
按照以上规律，第n个等式为
$n^2 × (n+1)-(n+1)=(n+1)^2 × (n-1)$
。答案
7.【解析】第 1 个:$1×2-2=2^2×0$；
第 2 个:$4×3-3=3^2×1$；
第 3 个:$9×4-4=4^2×2$；
第 4 个:$16×5-5=5^2×3$.
…
按照以上规律,第 $n$ 个等式为 $n^2 × (n+1)-(n+1)=(n+1)^2 × (n-1)$.
答案:$n^2 × (n+1)-(n+1)=(n+1)^2 × (n-1)$
第 2 个:$4×3-3=3^2×1$；
第 3 个:$9×4-4=4^2×2$；
第 4 个:$16×5-5=5^2×3$.
…
按照以上规律,第 $n$ 个等式为 $n^2 × (n+1)-(n+1)=(n+1)^2 × (n-1)$.
答案:$n^2 × (n+1)-(n+1)=(n+1)^2 × (n-1)$
