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1. 如图，在$△ ABC$中，$DE // BC$，分别交$AB$、$AC$于点$D$、$E$，且$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。若$AE=5$，则$EC$的长是（
A.10
B.15
C.20
D.25
A
）A.10
B.15
C.20
D.25
答案
1.A
解析
【分析】
遇到三角形中一边的平行线截另外两边的问题，首先想到运用平行线分线段成比例定理的推论解题。第一步：由$DE// BC$，可得对应线段成比例，即$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$；第二步：代入已知的$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$和$AE=5$，求出$AC$的长度；第三步：利用$EC=AC-AE$计算出$EC$的长度即可。
【解析】
解：$\because DE// BC$
$\therefore $根据平行线分线段成比例定理的推论，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$
$\because AE=5$
$\therefore \frac{5}{AC}=\frac{1}{3}$，解得$AC=15$
$\therefore EC=AC-AE=15-5=10$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例，线段和差计算，比例的基本性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是准确找到平行关系对应的成比例线段，代入数值计算即可，不容易出错。
【难度系数】
0.9
遇到三角形中一边的平行线截另外两边的问题，首先想到运用平行线分线段成比例定理的推论解题。第一步：由$DE// BC$，可得对应线段成比例，即$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$；第二步：代入已知的$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$和$AE=5$，求出$AC$的长度；第三步：利用$EC=AC-AE$计算出$EC$的长度即可。
【解析】
解：$\because DE// BC$
$\therefore $根据平行线分线段成比例定理的推论，可得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$
$\because AE=5$
$\therefore \frac{5}{AC}=\frac{1}{3}$，解得$AC=15$
$\therefore EC=AC-AE=15-5=10$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例，线段和差计算，比例的基本性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是准确找到平行关系对应的成比例线段，代入数值计算即可，不容易出错。
【难度系数】
0.9
2.如图，DE//BC，DF//AC，AB=3BD，DE=12，则BF的长为（
A.4
B.5
C.6
D.8
C
）A.4
B.5
C.6
D.8
答案
2.C
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先利用DE//BC的条件，结合平行线分线段成比例的推论，根据AB=3BD得到AD与AB的比值，代入DE的长度求出BC的总长度；再根据DE//BC、DF//AC判定四边形DECF是平行四边形，由平行四边形对边相等得到FC的长度；最后用BC减去FC即可算出BF的长度。
【解析】
解：
∵ DE//BC，
根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
∵ AB=3BD，
∴ AD=AB-BD=3BD-BD=2BD，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{2BD}{3BD}=\frac{2}{3}$。
将DE=12代入比例式得：$\frac{2}{3}=\frac{12}{BC}$，
解得 $BC=\frac{12×3}{2}=18$。
又
∵ DE//BC，DF//AC，
∴ 四边形DECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴ FC=DE=12（平行四边形对边相等），
∴ BF=BC-FC=18-12=6。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质；线段和差计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查平行线相关的比例性质和平行四边形的性质，解题的关键是先通过平行线的比例关系求出BC的长度，再结合平行四边形对边相等的性质求出FC，作差即可得到结果，熟练掌握基础定理就能快速解答。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先利用DE//BC的条件，结合平行线分线段成比例的推论，根据AB=3BD得到AD与AB的比值，代入DE的长度求出BC的总长度；再根据DE//BC、DF//AC判定四边形DECF是平行四边形，由平行四边形对边相等得到FC的长度；最后用BC减去FC即可算出BF的长度。
【解析】
解：
∵ DE//BC，
根据平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
∵ AB=3BD，
∴ AD=AB-BD=3BD-BD=2BD，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{2BD}{3BD}=\frac{2}{3}$。
将DE=12代入比例式得：$\frac{2}{3}=\frac{12}{BC}$，
解得 $BC=\frac{12×3}{2}=18$。
又
∵ DE//BC，DF//AC，
∴ 四边形DECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴ FC=DE=12（平行四边形对边相等），
∴ BF=BC-FC=18-12=6。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质；线段和差计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查平行线相关的比例性质和平行四边形的性质，解题的关键是先通过平行线的比例关系求出BC的长度，再结合平行四边形对边相等的性质求出FC，作差即可得到结果，熟练掌握基础定理就能快速解答。
【难度系数】
0.7
3.如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，有下列结论：①$\frac{ED}{EA}=\frac{EF}{EB}$；②$\frac{DE}{BC}=\frac{EF}{FB}$；③$\frac{CF}{DF}=\frac{BF}{BE}$；④$\frac{BF}{BE}=\frac{BC}{AE}$。其中正确的有
①②④
。（填序号）答案
3.①②④
解析
【分析】
首先利用平行四边形对边平行的性质，得到两组平行线：$AB// CD$，$AD// BC$，再结合平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，逐个判断4个结论是否成立即可。第一步：判断①，由$DF// AB$，可得$△ EDF∽△ EAB$，根据对应边成比例即可验证；第二步：判断②，由$DE// BC$，可得$△ EDF∽△ BCF$，根据对应边成比例即可验证；第三步：判断③，同样由$△ EDF∽△ BCF$的对应边比例，对比结论即可判断正误；第四步：判断④，结合相似三角形的比例关系，结合平行四边形对边相等$AD=BC$，推导即可验证。
【解析】
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形
$\therefore AB// CD$，$AD// BC$，$AD=BC$
1. 验证结论①：
$\because DF// AB$，$\therefore△ EDF∽△ EAB$
$\therefore\frac{ED}{EA}=\frac{EF}{EB}$，故①正确；
2. 验证结论②：
$\because DE// BC$，$\therefore∠ E=∠ FBC$，$∠ EDF=∠ C$
$\therefore△ EDF∽△ BCF$
$\therefore\frac{DE}{BC}=\frac{EF}{FB}$，故②正确；
3. 验证结论③：
由$△ EDF∽△ BCF$，得$\frac{CF}{DF}=\frac{BF}{EF}$，不是$\frac{CF}{DF}=\frac{BF}{BE}$，故③错误；
4. 验证结论④：
由$△ EDF∽△ EAB$得$\frac{EF}{EB}=\frac{ED}{EA}$
即$\frac{EB-BF}{EB}=\frac{EA-AD}{EA}$
化简得$1-\frac{BF}{EB}=1-\frac{AD}{EA}$，即$\frac{BF}{EB}=\frac{AD}{EA}$
又$\because AD=BC$，$\therefore\frac{BF}{BE}=\frac{BC}{AE}$，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例
【点评】
本题主要考查平行四边形性质与相似三角形的结合应用，解题的关键是找准平行线对应的相似三角形，准确对应成比例的线段，避免线段对应错误。
【难度系数】
0.7
首先利用平行四边形对边平行的性质，得到两组平行线：$AB// CD$，$AD// BC$，再结合平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，逐个判断4个结论是否成立即可。第一步：判断①，由$DF// AB$，可得$△ EDF∽△ EAB$，根据对应边成比例即可验证；第二步：判断②，由$DE// BC$，可得$△ EDF∽△ BCF$，根据对应边成比例即可验证；第三步：判断③，同样由$△ EDF∽△ BCF$的对应边比例，对比结论即可判断正误；第四步：判断④，结合相似三角形的比例关系，结合平行四边形对边相等$AD=BC$，推导即可验证。
【解析】
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形
$\therefore AB// CD$，$AD// BC$，$AD=BC$
1. 验证结论①：
$\because DF// AB$，$\therefore△ EDF∽△ EAB$
$\therefore\frac{ED}{EA}=\frac{EF}{EB}$，故①正确；
2. 验证结论②：
$\because DE// BC$，$\therefore∠ E=∠ FBC$，$∠ EDF=∠ C$
$\therefore△ EDF∽△ BCF$
$\therefore\frac{DE}{BC}=\frac{EF}{FB}$，故②正确；
3. 验证结论③：
由$△ EDF∽△ BCF$，得$\frac{CF}{DF}=\frac{BF}{EF}$，不是$\frac{CF}{DF}=\frac{BF}{BE}$，故③错误；
4. 验证结论④：
由$△ EDF∽△ EAB$得$\frac{EF}{EB}=\frac{ED}{EA}$
即$\frac{EB-BF}{EB}=\frac{EA-AD}{EA}$
化简得$1-\frac{BF}{EB}=1-\frac{AD}{EA}$，即$\frac{BF}{EB}=\frac{AD}{EA}$
又$\because AD=BC$，$\therefore\frac{BF}{BE}=\frac{BC}{AE}$，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例
【点评】
本题主要考查平行四边形性质与相似三角形的结合应用，解题的关键是找准平行线对应的相似三角形，准确对应成比例的线段，避免线段对应错误。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$△ ABC$和$△ ACD$中，点$E$、$G$、$F$分别在边$AB$、$AC$、$AD$上，连接$EG$、$GF$，$EG// BC$，$GF// DC$，已知$AE=3$，$EB=2$，$AF=6$，求$DF$的长。
答案
4. 解:由题知,$\because EG// BC,GF// DC$,
$\therefore \frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC},\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FD},\therefore \frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD}.$
$\because AE=3,EB=2,AF=6,\therefore \frac{3}{2}=\frac{6}{FD},\therefore DF=4.$
$\therefore \frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC},\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FD},\therefore \frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD}.$
$\because AE=3,EB=2,AF=6,\therefore \frac{3}{2}=\frac{6}{FD},\therefore DF=4.$
解析
【分析】
看到题目给出两组平行线的条件，首先联想到平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例。第一步，先在$△ ABC$中，根据$EG// BC$得到线段比例$\frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC}$；第二步，在$△ ACD$中，根据$GF// DC$得到线段比例$\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FD}$；第三步，发现两个比例式中都有公共的中间项$\frac{AG}{GC}$，通过等量代换就能直接建立AE、EB、AF、DF的比例关系，代入已知数值解比例即可求出DF的长，不需要单独计算AG、GC的长度。
【解析】
解：$\because EG// BC$，由平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC}$
又$\because GF// DC$，同理可得：
$\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FD}$
$\therefore$ 等量代换得：$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD}$
将$AE=3$，$EB=2$，$AF=6$代入上式：
$\frac{3}{2}=\frac{6}{DF}$
解得：$DF=4$
【答案】
$DF=4$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例方程求解
【点评】
本题属于平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题核心是利用公共比例项作为桥梁建立已知和未知线段的关系，简化了计算过程，只要能准确对应平行线截得的成比例线段，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
看到题目给出两组平行线的条件，首先联想到平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例。第一步，先在$△ ABC$中，根据$EG// BC$得到线段比例$\frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC}$；第二步，在$△ ACD$中，根据$GF// DC$得到线段比例$\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FD}$；第三步，发现两个比例式中都有公共的中间项$\frac{AG}{GC}$，通过等量代换就能直接建立AE、EB、AF、DF的比例关系，代入已知数值解比例即可求出DF的长，不需要单独计算AG、GC的长度。
【解析】
解：$\because EG// BC$，由平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC}$
又$\because GF// DC$，同理可得：
$\frac{AG}{GC}=\frac{AF}{FD}$
$\therefore$ 等量代换得：$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD}$
将$AE=3$，$EB=2$，$AF=6$代入上式：
$\frac{3}{2}=\frac{6}{DF}$
解得：$DF=4$
【答案】
$DF=4$
【知识点】
平行线分线段成比例，比例方程求解
【点评】
本题属于平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题核心是利用公共比例项作为桥梁建立已知和未知线段的关系，简化了计算过程，只要能准确对应平行线截得的成比例线段，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
5 如图,在△ABC中,D、E是BC边上的点,且$BD:DE:EC=3:2:1$,P是AC边上的点,且$AP:PC=2:1$,BP分别交AD、AE于M、N,则$BM:MN:NP$等于 (
A.$3:2:1$
B.$5:3:1$
C.$25:12:5$
D.$51:24:10$
D
)A.$3:2:1$
B.$5:3:1$
C.$25:12:5$
D.$51:24:10$
答案
5.D 解析:如图,作$PF// BC$交AE于点F,作$DG// AC$交BP于点G.
$\because BD:DE:EC=3:2:1,$
$\therefore$设$EC=a$,则$BD=3a,DE=2a.$
同理,设$PC=b$,则$AP=2b.$
$\because PF// BC,\therefore \frac{PF}{EC}=\frac{AP}{AC}=\frac{2b}{3b}=\frac{2}{3},\frac{NP}{NB}=\frac{PF}{BE},$
$\therefore PF=\frac{2}{3}a$,则$\frac{NP}{NB}=\frac{\frac{2}{3}a}{5a}=\frac{2}{15},$
$\therefore \frac{NP}{BP}=\frac{2}{17},即 NP=\frac{2}{17}BP.$
$\because DG// AC,BD=DC=3a,$
$\therefore BG=\frac{1}{2}BP,DG=\frac{1}{2}PC=\frac{1}{2}b,$
$\therefore \frac{GM}{MP}=\frac{DG}{AP}=\frac{\frac{1}{2}b}{2b}=\frac{1}{4},$
$\therefore \frac{GM}{GP}=\frac{1}{5},\therefore GM=\frac{1}{5}GP=\frac{1}{10}BP,$
$\therefore MN=BP-BG-GM-NP=BP-\frac{1}{2}BP-\frac{1}{10}BP-\frac{2}{17}BP=\frac{24}{85}BP,BM=BG+GM=\frac{1}{2}BP+\frac{1}{10}BP=\frac{3}{5}BP.$
$\therefore BM:MN:NP=\frac{3}{5}:\frac{24}{85}:\frac{2}{17}=51:24:10.$
解析
【分析】
遇到这类线段比例求解问题，可通过构造平行线，利用平行线分线段成比例定理将不同线段的比例关系转化到目标线段BP上，结合参数法简化计算：第一步，先根据已知的BD:DE:EC和AP:PC的比例关系设参数，统一各段长度的表示；第二步，作PF//BC、DG//AC两条辅助线，分别建立NP、BM与BP的比例关系；第三步，用BP整体表示出BM、MN、NP的长度，最后化简比值即可。
【解析】
如图，作$PF// BC$交AE于点F，作$DG// AC$交BP于点G.
$\because BD:DE:EC=3:2:1,$
$\therefore$设$EC=a$，则$BD=3a,DE=2a$。
同理，设$PC=b$，则$AP=2b$。
$\because PF// BC,\therefore \frac{PF}{EC}=\frac{AP}{AC}=\frac{2b}{3b}=\frac{2}{3},\frac{NP}{NB}=\frac{PF}{BE},$
$\therefore PF=\frac{2}{3}a$，又$BE=BD+DE=5a$，则$\frac{NP}{NB}=\frac{\frac{2}{3}a}{5a}=\frac{2}{15},$
$\therefore \frac{NP}{BP}=\frac{2}{17},即 NP=\frac{2}{17}BP.$
$\because DG// AC,BD=DC=3a,$
$\therefore BG=\frac{1}{2}BP,DG=\frac{1}{2}PC=\frac{1}{2}b,$
$\therefore \frac{GM}{MP}=\frac{DG}{AP}=\frac{\frac{1}{2}b}{2b}=\frac{1}{4},$
$\therefore \frac{GM}{GP}=\frac{1}{5},\therefore GM=\frac{1}{5}GP=\frac{1}{10}BP,$
$\therefore BM=BG+GM=\frac{1}{2}BP+\frac{1}{10}BP=\frac{3}{5}BP$，
$MN=BP-BM-NP=BP-\frac{3}{5}BP-\frac{2}{17}BP=\frac{24}{85}BP.$
$\therefore BM:MN:NP=\frac{3}{5}:\frac{24}{85}:\frac{2}{17}=51:24:10.$
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例计算，参数法
【点评】
本题是比例线段的典型考法，核心是通过构造平行线把分散的比例关系集中到同一条线段上，结合参数法简化计算过程，重点考查比例关系的转化能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.3
遇到这类线段比例求解问题，可通过构造平行线，利用平行线分线段成比例定理将不同线段的比例关系转化到目标线段BP上，结合参数法简化计算：第一步，先根据已知的BD:DE:EC和AP:PC的比例关系设参数，统一各段长度的表示；第二步，作PF//BC、DG//AC两条辅助线，分别建立NP、BM与BP的比例关系；第三步，用BP整体表示出BM、MN、NP的长度，最后化简比值即可。
【解析】
如图，作$PF// BC$交AE于点F，作$DG// AC$交BP于点G.
$\because BD:DE:EC=3:2:1,$
$\therefore$设$EC=a$，则$BD=3a,DE=2a$。
同理，设$PC=b$，则$AP=2b$。
$\because PF// BC,\therefore \frac{PF}{EC}=\frac{AP}{AC}=\frac{2b}{3b}=\frac{2}{3},\frac{NP}{NB}=\frac{PF}{BE},$
$\therefore PF=\frac{2}{3}a$，又$BE=BD+DE=5a$，则$\frac{NP}{NB}=\frac{\frac{2}{3}a}{5a}=\frac{2}{15},$
$\therefore \frac{NP}{BP}=\frac{2}{17},即 NP=\frac{2}{17}BP.$
$\because DG// AC,BD=DC=3a,$
$\therefore BG=\frac{1}{2}BP,DG=\frac{1}{2}PC=\frac{1}{2}b,$
$\therefore \frac{GM}{MP}=\frac{DG}{AP}=\frac{\frac{1}{2}b}{2b}=\frac{1}{4},$
$\therefore \frac{GM}{GP}=\frac{1}{5},\therefore GM=\frac{1}{5}GP=\frac{1}{10}BP,$
$\therefore BM=BG+GM=\frac{1}{2}BP+\frac{1}{10}BP=\frac{3}{5}BP$，
$MN=BP-BM-NP=BP-\frac{3}{5}BP-\frac{2}{17}BP=\frac{24}{85}BP.$
$\therefore BM:MN:NP=\frac{3}{5}:\frac{24}{85}:\frac{2}{17}=51:24:10.$
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例计算，参数法
【点评】
本题是比例线段的典型考法，核心是通过构造平行线把分散的比例关系集中到同一条线段上，结合参数法简化计算过程，重点考查比例关系的转化能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.3
6.如图，在$□ ABCD$中，对角线AC、BD交于点O，E为OB的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.若$AB=2$，则CF的长度为
4
.答案
6.4
解析
【分析】
首先利用平行四边形的性质得到对边平行、对角线互相平分的结论，由AB//DF可证得△ABE与△FDE相似；再结合E是OB中点，求出两个三角形的相似比，进而得到DF的长度，最后用DF减去CD（CD与AB相等）即可求出CF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD=2，OB=OD。
∵ E是OB的中点，
∴ BE=EO，设BE=x，则OB=OD=2x，
∴ ED=EO+OD=x+2x=3x，即$\frac{BE}{ED}=\frac{1}{3}$。
∵ F在DC的延长线上，
∴ AB//DF，
∴ ∠ABE=∠FDE，又
∵ ∠AEB=∠FED（对顶角相等），
∴ △ABE∽△FDE（AA判定）。
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AB}{DF}=\frac{BE}{ED}=\frac{1}{3}$，
将AB=2代入得：$\frac{2}{DF}=\frac{1}{3}$，解得DF=6。
∴ CF=DF - CD=6 - 2=4。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何常见基础题型，解题核心是结合平行四边形的性质找到相似三角形，推导得到相似比后即可求出对应线段长度，需要熟练掌握平行四边形性质和相似三角形的相关知识。
【难度系数】
0.7
首先利用平行四边形的性质得到对边平行、对角线互相平分的结论，由AB//DF可证得△ABE与△FDE相似；再结合E是OB中点，求出两个三角形的相似比，进而得到DF的长度，最后用DF减去CD（CD与AB相等）即可求出CF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD=2，OB=OD。
∵ E是OB的中点，
∴ BE=EO，设BE=x，则OB=OD=2x，
∴ ED=EO+OD=x+2x=3x，即$\frac{BE}{ED}=\frac{1}{3}$。
∵ F在DC的延长线上，
∴ AB//DF，
∴ ∠ABE=∠FDE，又
∵ ∠AEB=∠FED（对顶角相等），
∴ △ABE∽△FDE（AA判定）。
由相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AB}{DF}=\frac{BE}{ED}=\frac{1}{3}$，
将AB=2代入得：$\frac{2}{DF}=\frac{1}{3}$，解得DF=6。
∴ CF=DF - CD=6 - 2=4。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何常见基础题型，解题核心是结合平行四边形的性质找到相似三角形，推导得到相似比后即可求出对应线段长度，需要熟练掌握平行四边形性质和相似三角形的相关知识。
【难度系数】
0.7
