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14如图1，点C将线段AB分成两部分，如果$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，那么称点C为线段AB的黄金分割点.
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线$l$将一个面积为$S$的图形分成两部分，这两部分的面积分别为$S_1$、$S_2$，如果$\frac{S_1}{S}=\frac{S_2}{S_1}$，那么称直线$l$为该图形的黄金分割线.
(1)研究小组猜想：在$△ ABC$中，若点$D$为$AB$边上的黄金分割点(如图2)，则直线$CD$是$△ ABC$的黄金分割线.你认为对吗？为什么？
(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线；
(3)研究小组在进一步探究中发现：过点$C$任作一条直线交$AB$于点$E$，再过点$D$作直线$DF // CE$，交$AC$于点$F$，连接$EF$(如图3)，则直线$EF$也是$△ ABC$的黄金分割线.请你说明理由；
(4)如图4，点$E$是平行四边形$ABCD$的边$AB$的黄金分割点，过点$E$作$EF // AD$，交$DC$于点$F$，显然直线$EF$是平行四边形$ABCD$的黄金分割线.请你画一条平行四边形$ABCD$的黄金分割线，使它不经过平行四边形$ABCD$各边的黄金分割点.
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线$l$将一个面积为$S$的图形分成两部分，这两部分的面积分别为$S_1$、$S_2$，如果$\frac{S_1}{S}=\frac{S_2}{S_1}$，那么称直线$l$为该图形的黄金分割线.
(1)研究小组猜想：在$△ ABC$中，若点$D$为$AB$边上的黄金分割点(如图2)，则直线$CD$是$△ ABC$的黄金分割线.你认为对吗？为什么？
(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线；
(3)研究小组在进一步探究中发现：过点$C$任作一条直线交$AB$于点$E$，再过点$D$作直线$DF // CE$，交$AC$于点$F$，连接$EF$(如图3)，则直线$EF$也是$△ ABC$的黄金分割线.请你说明理由；
(4)如图4，点$E$是平行四边形$ABCD$的边$AB$的黄金分割点，过点$E$作$EF // AD$，交$DC$于点$F$，显然直线$EF$是平行四边形$ABCD$的黄金分割线.请你画一条平行四边形$ABCD$的黄金分割线，使它不经过平行四边形$ABCD$各边的黄金分割点.
答案
14.解:(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:设△ABC的边AB上的高为h,
则$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AD·h$,$S_{△ BDC}=\frac{1}{2}BD·h$,$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·h$,
∴$\frac{S_{△ ADC}}{S_{△ ABC}}=\frac{AD}{AB}$,$\frac{S_{△ BDC}}{S_{△ ADC}}=\frac{BD}{AD}$.
又点D为边AB上的黄金分割点,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{AD}$,
∴$\frac{S_{△ ADC}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ BDC}}{S_{△ ADC}}$.
故直线CD是△ABC的黄金分割线.
(2)
∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,
∴$S_1=S_2=\frac{1}{2}S$,即$\frac{S_1}{S}≠\frac{S_2}{S_1}$,
故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.
(3)
∵$DF// CE$,
∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等,
∴$S_{△ DFC}=S_{△ DFE}$,
∴$S_{△ ADC}=S_{△ ADF}+S_{△ DFC}=S_{△ ADF}+S_{△ DFE}=S_{△ AEF}$,$S_{△ BDC}=S_{四边形BEFC}$.
又$\frac{S_{△ ADC}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ BDC}}{S_{△ ADC}}$,
∴$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{四边形BEFC}}{S_{△ AEF}}$,
因此,直线EF也是△ABC的黄金分割线.
(4)画法不唯一,现提供两种画法.
画法一:如图1,取EF的中点G,再过点G作一条直线分别交AB、DC于M、N两点,则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线.
画法二:如图2,在DF上取一点N,连接EN,再过点F作$FM// NE$交AB于点M,连接MN,则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线.
解析
【分析】
本题围绕新定义“黄金分割线”展开，解题核心是紧扣定义中面积比$\frac{S_1}{S}=\frac{S_2}{S_1}$的要求，结合几何图形的面积性质分析推导：
1. 第(1)问：同高的三角形面积比等于底边长的比，结合AB边上黄金分割点D的线段比例关系，可直接将线段比例转化为面积比例，验证是否符合黄金分割线的要求。
2. 第(2)问：三角形中线平分三角形面积，计算分割后两部分的面积比，与黄金分割线的比例要求对比即可判断。
3. 第(3)问：利用平行线间距离相等的性质，可得同底等高的△DFC和△DFE面积相等，由此将CD分割的面积等量转化为EF分割的面积，比例保持不变，即可证明EF是黄金分割线。
4. 第(4)问：平行四边形的黄金分割线只需保证分割后的两部分面积比符合要求即可，可通过等面积转化的思路，构造不经过各边黄金分割点的直线。
【解析】
(1) 直线CD是△ABC的黄金分割线。理由如下：设△ABC的边AB上的高为h，
则$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AD·h$，$S_{△ BDC}=\frac{1}{2}BD·h$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·h$，
∴$\frac{S_{△ ADC}}{S_{△ ABC}}=\frac{AD}{AB}$，$\frac{S_{△ BDC}}{S_{△ ADC}}=\frac{BD}{AD}$。
又点D为边AB上的黄金分割点，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{AD}$，
∴$\frac{S_{△ ADC}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ BDC}}{S_{△ ADC}}$。
故直线CD是△ABC的黄金分割线。
(2)
∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴$S_1=S_2=\frac{1}{2}S$，即$\frac{S_1}{S}≠\frac{S_2}{S_1}$，
故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线。
(3)
∵$DF// CE$，
∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，
∴$S_{△ DFC}=S_{△ DFE}$，
∴$S_{△ ADC}=S_{△ ADF}+S_{△ DFC}=S_{△ ADF}+S_{△ DFE}=S_{△ AEF}$，$S_{△ BDC}=S_{四边形BEFC}$。
又$\frac{S_{△ ADC}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ BDC}}{S_{△ ADC}}$，
∴$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{四边形BEFC}}{S_{△ AEF}}$，
因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线。
(4) 画法不唯一，现提供两种画法。
画法一：如图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB、DC于M、N两点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线。
画法二：如图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作$FM// NE$交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线。
【答案】
(1) 直线CD是△ABC的黄金分割线，理由见解析；
(2) 三角形的中线不是该三角形的黄金分割线，理由见解析；
(3) 直线EF是△ABC的黄金分割线，理由见解析；
(4) 画法不唯一，示例如下：
画法一：如图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB、DC于M、N两点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线。
画法二：如图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作$FM// NE$交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线。
【知识点】
黄金分割的定义，三角形面积计算，平行线的性质
【点评】
本题通过类比黄金分割点引入黄金分割线的新定义，综合考查了三角形、平行四边形的面积性质、平行线的性质，以及新定义的理解应用能力、几何作图能力，解题的关键是抓住面积比的等量关系完成推导和构造。
【难度系数】
0.6
本题围绕新定义“黄金分割线”展开，解题核心是紧扣定义中面积比$\frac{S_1}{S}=\frac{S_2}{S_1}$的要求，结合几何图形的面积性质分析推导：
1. 第(1)问：同高的三角形面积比等于底边长的比，结合AB边上黄金分割点D的线段比例关系，可直接将线段比例转化为面积比例，验证是否符合黄金分割线的要求。
2. 第(2)问：三角形中线平分三角形面积，计算分割后两部分的面积比，与黄金分割线的比例要求对比即可判断。
3. 第(3)问：利用平行线间距离相等的性质，可得同底等高的△DFC和△DFE面积相等，由此将CD分割的面积等量转化为EF分割的面积，比例保持不变，即可证明EF是黄金分割线。
4. 第(4)问：平行四边形的黄金分割线只需保证分割后的两部分面积比符合要求即可，可通过等面积转化的思路，构造不经过各边黄金分割点的直线。
【解析】
(1) 直线CD是△ABC的黄金分割线。理由如下：设△ABC的边AB上的高为h，
则$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AD·h$，$S_{△ BDC}=\frac{1}{2}BD·h$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·h$，
∴$\frac{S_{△ ADC}}{S_{△ ABC}}=\frac{AD}{AB}$，$\frac{S_{△ BDC}}{S_{△ ADC}}=\frac{BD}{AD}$。
又点D为边AB上的黄金分割点，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{AD}$，
∴$\frac{S_{△ ADC}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ BDC}}{S_{△ ADC}}$。
故直线CD是△ABC的黄金分割线。
(2)
∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴$S_1=S_2=\frac{1}{2}S$，即$\frac{S_1}{S}≠\frac{S_2}{S_1}$，
故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线。
(3)
∵$DF// CE$，
∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，
∴$S_{△ DFC}=S_{△ DFE}$，
∴$S_{△ ADC}=S_{△ ADF}+S_{△ DFC}=S_{△ ADF}+S_{△ DFE}=S_{△ AEF}$，$S_{△ BDC}=S_{四边形BEFC}$。
又$\frac{S_{△ ADC}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{△ BDC}}{S_{△ ADC}}$，
∴$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ABC}}=\frac{S_{四边形BEFC}}{S_{△ AEF}}$，
因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线。
(4) 画法不唯一，现提供两种画法。
画法一：如图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB、DC于M、N两点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线。
画法二：如图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作$FM// NE$交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线。
【答案】
(1) 直线CD是△ABC的黄金分割线，理由见解析；
(2) 三角形的中线不是该三角形的黄金分割线，理由见解析；
(3) 直线EF是△ABC的黄金分割线，理由见解析；
(4) 画法不唯一，示例如下：
画法一：如图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB、DC于M、N两点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线。
画法二：如图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作$FM// NE$交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线。
【知识点】
黄金分割的定义，三角形面积计算，平行线的性质
【点评】
本题通过类比黄金分割点引入黄金分割线的新定义，综合考查了三角形、平行四边形的面积性质、平行线的性质，以及新定义的理解应用能力、几何作图能力，解题的关键是抓住面积比的等量关系完成推导和构造。
【难度系数】
0.6
