9.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,已知AC=3,BC=4.问线段AD、CD、CD、BD是不是成比例线段?写出你的理由.

9.解:线段AD、CD、CD、BD是成比例线段.理由如下：
在Rt△ABC中,$∠ACB=90°,AC=3,BC=4$.
∴$AB=5$.
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}BC·AC$,
∴$CD=\frac{BC·AC}{AB}=\frac{3×4}{5}=2.4$.
在Rt△ADC中,$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=1.8$,
∴$BD=3.2,∴AD:CD=CD:BD=3:4$,
∴线段AD、CD、CD、BD是成比例线段.

【分析】
要判断四条线段AD、CD、CD、BD是否为成比例线段，需验证AD:CD是否等于CD:BD。解题思路如下：①先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度；②再通过直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），用面积法求出CD的长度；③接着在Rt△ADC中用勾股定理求出AD的长度，再由BD=AB-AD求出BD的长度；④最后计算两组线段的比值，判断是否相等即可。
【解析】
线段AD、CD、CD、BD是成比例线段，理由如下：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∵三角形面积可表示为$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}AC·BC$
∴$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=2.4$
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{3^2-2.4^2}=\sqrt{9-5.76}=\sqrt{3.24}=1.8$
∴$BD=AB-AD=5-1.8=3.2$
计算比值：$AD:CD=1.8:2.4=\frac{3}{4}$，$CD:BD=2.4:3.2=\frac{3}{4}$
∴$AD:CD=CD:BD$，即线段AD、CD、CD、BD是成比例线段。
【答案】
线段AD、CD、CD、BD是成比例线段。
【知识点】
成比例线段判定，勾股定理，直角三角形面积计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是明确成比例线段的判定规则，结合直角三角形的性质计算各线段长度，其中用面积法求斜边上的高是常用的计算技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7

10. (1)若$\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}$，求$\frac{x-y+z}{x+y-z}$的值；
(2)若$\frac{a+2}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c+5}{6}$，且$2a - b + 3c =21$，求$a:b:c$。

10.解:(1)设$\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}=k(k≠0)$,
∴$x=3k,y=5k,z=7k$,
∴$\frac{x-y+z}{x+y-z}=\frac{3k-5k+7k}{3k+5k-7k}=\frac{5k}{k}=5$.
(2)设$\frac{a+2}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c+5}{6}=k$,
则$a=3k-2,b=4k,c=6k-5$,
∴$2(3k-2)-4k+3(6k-5)=21$,解得$k=2$,
∴$a=4,b=8,c=7$,
∴$a:b:c=4:8:7$.

【分析】
(1)遇到连等的比例式，常用设参数的方法解题，即设比值为k(k≠0)，将x、y、z都用含k的代数式表示，代入待求分式后，参数k可约去，直接得到分式的值。
(2)沿用设参数的思路，先设连等式的比值为k，将a、b、c用含k的代数式表示，再代入已知方程2a-b+3c=21求出k的值，进而得到a、b、c的具体数值，最后计算三者的比即可。
【解析】
(1)设$\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}=k(k≠0)$，
∴$x=3k$，$y=5k$，$z=7k$，
代入待求式得：
$\frac{x-y+z}{x+y-z}=\frac{3k-5k+7k}{3k+5k-7k}=\frac{5k}{k}=5$。
(2)设$\frac{a+2}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c+5}{6}=k$，
则$a=3k-2$，$b=4k$，$c=6k-5$，
将上述表达式代入$2a - b + 3c =21$得：
$2(3k-2)-4k+3(6k-5)=21$，
展开合并得：$20k-19=21$，
解得$k=2$，
∴$a=3×2-2=4$，$b=4×2=8$，$c=6×2-5=7$，
∴$a:b:c=4:8:7$。
【答案】
(1)$5$；(2)$4:8:7$
【知识点】
比例的基本性质，参数法解连比问题，代数式化简求值
【点评】
本题是比例计算的典型基础题型，核心技巧是引入参数将多元未知量转化为含同一参数的表达式，把复杂的比例问题转化为简单的一元方程或代数式化简问题，该方法在比例类计算中通用性很强，熟练掌握后可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7

11.设a、b、c是$△ ABC$的三条边，且$\frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}$，判断$△ ABC$的形状，并说明理由。

11.解:△ABC为等边三角形,理由如下：
∵a、b、c是△ABC的三条边,
∴$a+b+c≠0$.
∵$\frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}$,
∴$\frac{a-b+b-c+c-a}{a+b+c}=0$,
∴$a-b=0,b-c=0,c-a=0$,
∴$a=b=c$,
∴△ABC为等边三角形.

【分析】
遇到连等的比例式，可优先考虑使用等比性质求解。首先三角形的三条边长均为正数，因此三边之和a+b+c≠0，满足等比性质的使用前提；接下来运用等比性质计算出该相等比值的大小，再根据比值为0推导得到各分子为0，即可得出三条边的数量关系，进而判断三角形形状。
【解析】
△ABC为等边三角形，理由如下：
∵a、b、c是△ABC的三条边，
∴$a+b+c≠0$，
∵$\frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}$，
根据等比性质可得$\frac{a-b+b-c+c-a}{a+b+c}=\frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}$，
∵分子$a-b+b-c+c-a=0$，
∴$\frac{0}{a+b+c}=0$，即$\frac{a-b}{b}=\frac{b-c}{c}=\frac{c-a}{a}=0$，
∴$a-b=0,b-c=0,c-a=0$，
∴$a=b=c$，
∴△ABC为等边三角形。
【答案】
△ABC是等边三角形
【知识点】
等比性质；三角形三边关系；等边三角形判定
【点评】
本题核心考查等比性质的应用，解题的关键是先利用三角形边长的正数属性确定三边和不为0，满足等比性质的使用条件，再通过计算比值推导出三边相等，解题时要注意不要忽略等比性质的使用前提，避免漏证分母和不为0的情况。
【难度系数】
0.8

12已知$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{$$}$求$\frac{a+b+c+d}{a+b+c-d}$的值.

12.解:①当$a+b+c+d≠0$时,根据等比性质,
得$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1$,
∴$a=b=c=d$,
∴$\frac{a+b+c+d}{a+b+c-d}=\frac{4d}{2d}=2$；
②当$a+b+c+d=0$时,则$\frac{a+b+c+d}{a+b+c-d}=0$.
故$\frac{a+b+c+d}{a+b+c-d}$的值为2或0.

【分析】
遇到多个比值相等的问题，通常可考虑运用等比性质求解，但要注意等比性质的使用前提是“所有分母的和不为0”，因此本题需要分两种情况讨论：①当$a+b+c+d≠0$时，可直接运用等比性质求出比值，进而得到$a、b、c、d$的关系，代入所求分式计算；②当$a+b+c+d=0$时，可直接得到所求分式的分子为0，即可求出分式的值。
【解析】
解：分两种情况讨论：
①当$a+b+c+d≠0$时，根据等比性质，
可得$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b+c+d+a}=1$，
因此$a=b=c=d$，
将$a=b=c=d$代入$\frac{a+b+c+d}{a+b+c-d}$，得：
原式$=\frac{d+d+d+d}{d+d+d-d}=\frac{4d}{2d}=2$；
②当$a+b+c+d=0$时，所求分式的分子为0，由原式比例可知$a、b、c、d$均不为0，分母$a+b+c-d=(a+b+c+d)-2d=-2d≠0$，
因此$\frac{a+b+c+d}{a+b+c-d}=0$。
综上，$\frac{a+b+c+d}{a+b+c-d}$的值为2或0。
【答案】
2或0
【知识点】
等比性质，分式求值，分类讨论
【点评】
本题的易错点是容易忽略等比性质的适用条件，未考虑$a+b+c+d=0$的情况，从而漏解。解题时遇到连比例式的问题，要注意分情况讨论，保证逻辑的完整性。
【难度系数】
0.6

13.阅读下列材料，并按要求完成相应的任务.
黄金分割:两千多年前,古希腊数学家欧多克索斯发现:如图1,将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB,若短段与长段的长度之比等于长段与全长的长度之比,即$\frac{PB}{AP}=\frac{AP}{AB}$,则可得出这一比值等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}(0.618···)$.这种分割称为黄金分割,这个比值称为黄金比,点P叫作线段AB的黄金分割点.
如图2,AB是已知线段,过点B作$BD⊥ AB$于点B,且使$BD=\frac{1}{2}AB$,连接DA,在DA上截取$DE=DB$,在AB上截取$AC=AE$,C就是线段AB的黄金分割点.任务:
(1)求证:C是线段AB的黄金分割点;
(2)若$BD=1$,则BC的长为.

13.(1)证明:设$BD=x$,则$AB=2x$,
由勾股定理得$AD=\sqrt{5}x$.
∵$DE=BD$,$AE=AC$,
∴$AC=AE=AD-DE=AD-BD=(\sqrt{5}-1)x$,
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
∴C是线段AB的黄金分割点.
(2)解:当$BD=1$时,由(1)知$AB=2$,$AC=\sqrt{5}-1$,
∴$BC=AB-AC=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$.
故答案为$3-\sqrt{5}$.

【分析】
(1)要证明C是线段AB的黄金分割点，需根据黄金分割的定义，验证AC与AB的比值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。我们可以先设参数表示BD、AB的长度，利用勾股定理求出AD的长，再结合DE=BD、AC=AE的条件推出AC的长度，最后计算AC与AB的比值即可证明。
(2)已知BD=1，可直接代入(1)中的参数关系求出AB、AC的长度，再根据线段和差关系计算BC的长。
【解析】
(1)证明：设$BD=x$，则$AB=2x$，
∵$BD⊥AB$，
∴$∠ ABD=90°$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{(2x)^2+x^2}=\sqrt{5}x$，
∵$DE=BD$，$AE=AC$，
∴$AC=AE=AD-DE=AD-BD=\sqrt{5}x - x=(\sqrt{5}-1)x$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{(\sqrt{5}-1)x}{2x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金分割的定义，
∴C是线段AB的黄金分割点。
(2)解：当$BD=1$时，由(1)的结论可知$AB=2BD=2$，$AC=(\sqrt{5}-1)×1=\sqrt{5}-1$，
∴$BC=AB-AC=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$。
【答案】
(1)C是线段AB的黄金分割点，证明见上述过程；(2)$3-\sqrt{5}$
【知识点】
黄金分割的定义，勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题以黄金分割为背景，考查了勾股定理的应用和黄金分割定义的验证，解题关键是合理设参数表示各线段长度，结合已知的线段相等关系推导目标线段的长度，整体解题思路清晰。
【难度系数】
0.7