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7. 如图，已知梯形ABCD，AB//CD，以AC、AD为边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于点F，求证：EF=FB. 
答案
7. 证明:延长 EC 交 AB 于点 G,如图.
$\because EC// AD,DC// AB,\therefore$四边形ADCG为平行四边形,$\therefore CG=AD.$
又四边形 ACED 是平行四边形,
$\therefore AD=CE,\therefore EC=GC.$
$\because DF// AB,\therefore EF=FB.$
解析
【分析】
要证明EF=FB，本质是证明F为BE的中点，结合题干中的平行条件和平行四边形性质可按以下思路推导：首先已知平行四边形ACED可得EC与AD平行且相等，结合AB//CD的条件，可通过延长EC交AB于点G构造新的平行四边形；再利用平行四边形对边相等的性质推导出C是EG的中点；最后根据DF//AB的平行关系，结合平行线分线段成比例的推论，即可证得F是BE中点，得到EF=FB。
【解析】
证明：延长 EC 交 AB 于点 G，如图。
∵ $EC// AD$，$DC// AB$，
∴ 四边形ADCG为平行四边形，
∴ $CG=AD$。
又
∵ 四边形 ACED 是平行四边形，
∴ $AD=CE$，
∴ $EC=GC$，即C为EG中点。
∵ $DF// AB$，即CF是△EGB的中位线，
∴ $EF=FB$。
【答案】
证明:延长 EC 交 AB 于点 G,如图.
$\because EC// AD,DC// AB,\therefore$四边形ADCG为平行四边形,$\therefore CG=AD.$
又四边形 ACED 是平行四边形,
$\therefore AD=CE,\therefore EC=GC.$
$\because DF// AB,\therefore EF=FB.$
【知识点】
平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例、中点证明
【点评】
本题是平行四边形与平行线性质的综合应用题，解题核心是结合已知平行条件构造辅助线，将平行关系转化为线段相等关系，是几何中点证明的常见题型，能有效锻炼学生的辅助线构造和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
要证明EF=FB，本质是证明F为BE的中点，结合题干中的平行条件和平行四边形性质可按以下思路推导：首先已知平行四边形ACED可得EC与AD平行且相等，结合AB//CD的条件，可通过延长EC交AB于点G构造新的平行四边形；再利用平行四边形对边相等的性质推导出C是EG的中点；最后根据DF//AB的平行关系，结合平行线分线段成比例的推论，即可证得F是BE中点，得到EF=FB。
【解析】
证明：延长 EC 交 AB 于点 G，如图。
∵ $EC// AD$，$DC// AB$，
∴ 四边形ADCG为平行四边形，
∴ $CG=AD$。
又
∵ 四边形 ACED 是平行四边形，
∴ $AD=CE$，
∴ $EC=GC$，即C为EG中点。
∵ $DF// AB$，即CF是△EGB的中位线，
∴ $EF=FB$。
【答案】
证明:延长 EC 交 AB 于点 G,如图.
$\because EC// AD,DC// AB,\therefore$四边形ADCG为平行四边形,$\therefore CG=AD.$
又四边形 ACED 是平行四边形,
$\therefore AD=CE,\therefore EC=GC.$
$\because DF// AB,\therefore EF=FB.$
【知识点】
平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例、中点证明
【点评】
本题是平行四边形与平行线性质的综合应用题，解题核心是结合已知平行条件构造辅助线，将平行关系转化为线段相等关系，是几何中点证明的常见题型，能有效锻炼学生的辅助线构造和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,且EF//BD,AE、AF分别交BD于点G和点H,BD=12,EF=8.求：
(1)$\frac{DF}{AB}$的值；
(2)线段GH的长.
(1)$\frac{DF}{AB}$的值；
(2)线段GH的长.
答案
8. 解:(1)$\because EF// BD,\therefore \frac{CF}{CD}=\frac{EF}{BD}.$
$\because BD=12,EF=8,\therefore \frac{CF}{CD}=\frac{2}{3},\therefore \frac{DF}{CD}=\frac{1}{3}.$
$\because$四边形 ABCD 是平行四边形,
$\therefore AB=CD,\therefore \frac{DF}{AB}=\frac{1}{3}.$
(2)$\because DF// AB,\therefore \frac{FH}{AH}=\frac{DF}{AB}=\frac{1}{3},\therefore \frac{AH}{AF}=\frac{3}{4}.$
$\because EF// BD,\therefore \frac{GH}{EF}=\frac{AH}{AF}=\frac{3}{4},$
$\therefore \frac{GH}{8}=\frac{3}{4},\therefore GH=6.$
$\because BD=12,EF=8,\therefore \frac{CF}{CD}=\frac{2}{3},\therefore \frac{DF}{CD}=\frac{1}{3}.$
$\because$四边形 ABCD 是平行四边形,
$\therefore AB=CD,\therefore \frac{DF}{AB}=\frac{1}{3}.$
(2)$\because DF// AB,\therefore \frac{FH}{AH}=\frac{DF}{AB}=\frac{1}{3},\therefore \frac{AH}{AF}=\frac{3}{4}.$
$\because EF// BD,\therefore \frac{GH}{EF}=\frac{AH}{AF}=\frac{3}{4},$
$\therefore \frac{GH}{8}=\frac{3}{4},\therefore GH=6.$
解析
【分析】
(1) 要求$\frac{DF}{AB}$的值，首先利用已知$EF// BD$的条件，通过平行线分线段成比例定理先求出$\frac{CF}{CD}$的比值，再推导得到$\frac{DF}{CD}$的比值；最后结合平行四边形对边相等的性质，将$CD$替换为$AB$，即可得到所求比值。
(2) 要求线段$GH$的长，首先根据平行四边形对边平行的性质得到$DF// AB$，结合(1)的结论求出$\frac{AH}{AF}$的比值；再利用$EF// BD$的条件，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{GH}{EF}$与$\frac{AH}{AF}$的等量关系，代入已知$EF$的长度即可求出$GH$。
【解析】
(1) $\because EF// BD$，
$\therefore \frac{CF}{CD}=\frac{EF}{BD}$。
$\because BD=12,EF=8$，
$\therefore \frac{CF}{CD}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$，
$\therefore \frac{DF}{CD}=\frac{CD-CF}{CD}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB=CD$，
$\therefore \frac{DF}{AB}=\frac{DF}{CD}=\frac{1}{3}$。
(2) $\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore DF// AB$，
$\therefore \frac{FH}{AH}=\frac{DF}{AB}=\frac{1}{3}$，
$\therefore \frac{AH}{AF}=\frac{AH}{AH+FH}=\frac{3}{4}$。
$\because EF// BD$，
$\therefore \frac{GH}{EF}=\frac{AH}{AF}=\frac{3}{4}$，
代入$EF=8$得$\frac{GH}{8}=\frac{3}{4}$，
解得$GH=6$。
【答案】
(1) $\frac{DF}{AB}=\frac{1}{3}$；(2) $GH=6$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题型，解题核心是结合图形中的平行关系，灵活调用平行线分线段成比例定理和平行四边形的性质推导线段比例关系，逻辑链条清晰，是训练线段比例计算的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 要求$\frac{DF}{AB}$的值，首先利用已知$EF// BD$的条件，通过平行线分线段成比例定理先求出$\frac{CF}{CD}$的比值，再推导得到$\frac{DF}{CD}$的比值；最后结合平行四边形对边相等的性质，将$CD$替换为$AB$，即可得到所求比值。
(2) 要求线段$GH$的长，首先根据平行四边形对边平行的性质得到$DF// AB$，结合(1)的结论求出$\frac{AH}{AF}$的比值；再利用$EF// BD$的条件，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{GH}{EF}$与$\frac{AH}{AF}$的等量关系，代入已知$EF$的长度即可求出$GH$。
【解析】
(1) $\because EF// BD$，
$\therefore \frac{CF}{CD}=\frac{EF}{BD}$。
$\because BD=12,EF=8$，
$\therefore \frac{CF}{CD}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$，
$\therefore \frac{DF}{CD}=\frac{CD-CF}{CD}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB=CD$，
$\therefore \frac{DF}{AB}=\frac{DF}{CD}=\frac{1}{3}$。
(2) $\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore DF// AB$，
$\therefore \frac{FH}{AH}=\frac{DF}{AB}=\frac{1}{3}$，
$\therefore \frac{AH}{AF}=\frac{AH}{AH+FH}=\frac{3}{4}$。
$\because EF// BD$，
$\therefore \frac{GH}{EF}=\frac{AH}{AF}=\frac{3}{4}$，
代入$EF=8$得$\frac{GH}{8}=\frac{3}{4}$，
解得$GH=6$。
【答案】
(1) $\frac{DF}{AB}=\frac{1}{3}$；(2) $GH=6$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题型，解题核心是结合图形中的平行关系，灵活调用平行线分线段成比例定理和平行四边形的性质推导线段比例关系，逻辑链条清晰，是训练线段比例计算的典型习题。
【难度系数】
0.7
⑨阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题.
阅读:角平分线分线段成比例定理:如图
,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明:如图.过$C$作$CE // DA$.交$BA$的延长线于$E$……
任务:(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)如图,已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=6$,$BC=8$,$∠ ABC=90°$,$AD$平分$∠ BAC$,求$△ ABD$的周长.
阅读:角平分线分线段成比例定理:如图
,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.下面是这个定理的部分证明过程.
证明:如图.过$C$作$CE // DA$.交$BA$的延长线于$E$……
任务:(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)如图,已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=6$,$BC=8$,$∠ ABC=90°$,$AD$平分$∠ BAC$,求$△ ABD$的周长.
答案
9. (1)证明:过 C 作$CE// DA$.交 BA 的延长线于点 E,如图所示,
$\therefore ∠ 1=∠ E,∠ 2=∠ 3.$
$\because AD$平分$∠ BAC,$
$\therefore ∠ 1=∠ 2,$
$\therefore ∠ E=∠ 3,\therefore AE=AC.$
$\because CE// DA,\therefore \frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD},\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}.$
(2)解:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=6,BC=8,∠ ABC=90°,$
由勾股定理,得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10.$
$\because AD$平分$∠ BAC,\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD},$
$\therefore \frac{6}{10}=\frac{BD}{CD},\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{BD}{BC-BD}=\frac{3}{5},\therefore BD=3.$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,由勾股定理,
得$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5},$
$\therefore AB+BD+AD=6+3+3\sqrt{5}=9+3\sqrt{5},$
$\therefore △ABD$的周长为$9+3\sqrt{5}.$
解析
【分析】
(1) 补全证明的思路：首先利用平行线的性质得到角的等量关系，结合角平分线的定义推导得出等角，进而得到等线段，再借助平行线分线段成比例的结论替换线段即可完成证明。
(2) 求$△ ABD$周长的思路：周长为三边长度之和，已知$AB$的长度，先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中用勾股定理求出$AC$的长，再利用角平分线分线段成比例定理列比例式求解$BD$的长，最后在$\mathrm{Rt}△ ABD$中用勾股定理求出$AD$的长，三边相加即可得到周长。
【解析】
(1) 证明：过$C$作$CE// DA$，交$BA$的延长线于点$E$，如图所示，
$\therefore ∠1=∠E,∠2=∠3.$
$\because AD$平分$∠BAC,$
$\therefore ∠1=∠2,$
$\therefore ∠E=∠3,\therefore AE=AC.$
$\because CE// DA,\therefore \frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD},\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}.$
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=6,BC=8,∠ ABC=90°,$
由勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10.$
$\because AD$平分$∠BAC,\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD},$
$\therefore \frac{6}{10}=\frac{BD}{CD},\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{BD}{BC-BD}=\frac{3}{5},$
解得$BD=3.$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理，
得$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5},$
$\therefore △ABD$的周长为$AB+BD+AD=6+3+3\sqrt{5}=9+3\sqrt{5}.$
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $△ ABD$的周长为$9+3\sqrt{5}$
【知识点】
平行线的性质；勾股定理；角平分线分线段成比例定理
【点评】
本题包含定理推导与定理应用两个模块，既考查了平行线性质、等腰三角形判定、平行线分线段成比例等基础知识点的综合运用，也考查了对新定理的理解和迁移应用能力，解题时要注意比例式的变形计算，熟练掌握勾股定理是求解直角三角形边长的核心。
【难度系数】
0.7
(1) 补全证明的思路：首先利用平行线的性质得到角的等量关系，结合角平分线的定义推导得出等角，进而得到等线段，再借助平行线分线段成比例的结论替换线段即可完成证明。
(2) 求$△ ABD$周长的思路：周长为三边长度之和，已知$AB$的长度，先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中用勾股定理求出$AC$的长，再利用角平分线分线段成比例定理列比例式求解$BD$的长，最后在$\mathrm{Rt}△ ABD$中用勾股定理求出$AD$的长，三边相加即可得到周长。
【解析】
(1) 证明：过$C$作$CE// DA$，交$BA$的延长线于点$E$，如图所示，
$\therefore ∠1=∠E,∠2=∠3.$
$\because AD$平分$∠BAC,$
$\therefore ∠1=∠2,$
$\therefore ∠E=∠3,\therefore AE=AC.$
$\because CE// DA,\therefore \frac{AB}{AE}=\frac{BD}{CD},\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}.$
(2) 解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=6,BC=8,∠ ABC=90°,$
由勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10.$
$\because AD$平分$∠BAC,\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD},$
$\therefore \frac{6}{10}=\frac{BD}{CD},\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{BD}{BC-BD}=\frac{3}{5},$
解得$BD=3.$
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理，
得$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5},$
$\therefore △ABD$的周长为$AB+BD+AD=6+3+3\sqrt{5}=9+3\sqrt{5}.$
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $△ ABD$的周长为$9+3\sqrt{5}$
【知识点】
平行线的性质；勾股定理；角平分线分线段成比例定理
【点评】
本题包含定理推导与定理应用两个模块，既考查了平行线性质、等腰三角形判定、平行线分线段成比例等基础知识点的综合运用，也考查了对新定理的理解和迁移应用能力，解题时要注意比例式的变形计算，熟练掌握勾股定理是求解直角三角形边长的核心。
【难度系数】
0.7
