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8. 如图,在平面直角坐标系中,已知$A(2,4),B(4,0)$.
(1)以原点$O$为位似中心,把线段$AB$缩小为原来的$\frac{1}{2}$;
(2)若(1)中画出的线段为$A'B'$,请写出线段$A'B'$两个端点$A'$、$B'$的坐标;
(3)若线段$AB$上任意一点$M$的坐标为$(a,b)$,请写出缩小后的线段$A'B'$上对应点$M'$的坐标.
(1)以原点$O$为位似中心,把线段$AB$缩小为原来的$\frac{1}{2}$;
(2)若(1)中画出的线段为$A'B'$,请写出线段$A'B'$两个端点$A'$、$B'$的坐标;
(3)若线段$AB$上任意一点$M$的坐标为$(a,b)$,请写出缩小后的线段$A'B'$上对应点$M'$的坐标.
答案
8.解:(1)如图所示,线段$A'B'$即为所求作的线段.
(2)$A'(1,2),B'(2,0)$或$A'(-1,-2),B'(-2,0)$.
(3)$M'(\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2})$或$M'(-\dfrac{a}{2},-\dfrac{b}{2})$.
解析
【分析】
解题时首先回忆以原点为位似中心的位似变换的性质：若位似比为k，则原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)。本题中位似比是$\frac{1}{2}$，首先根据该性质找到A、B两点缩小后的对应点，连线即可完成作图；再直接代入坐标计算得到A'、B'的坐标；最后将规律推广到任意点M即可得到M'的坐标，注意位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，不要漏解。
【解析】
(1) 作图步骤：① 确定位似中心为原点O，位似比为$\frac{1}{2}$；② 分别计算A、B两点的对应点坐标，分两种情况：同侧时对应点坐标为原坐标乘$\frac{1}{2}$，异侧时对应点坐标为原坐标乘$-\frac{1}{2}$；③ 在坐标系中描出对应点A'、B'，连接A'B'，所得线段即为所求。
(2) 计算A'、B'坐标：
当位似图形与AB在原点同侧时：
$A'(2×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})=(1,2)$，$B'(4×\frac{1}{2},0×\frac{1}{2})=(2,0)$；
当位似图形与AB在原点异侧时：
$A'(2×(-\frac{1}{2}),4×(-\frac{1}{2}))=(-1,-2)$，$B'(4×(-\frac{1}{2}),0×(-\frac{1}{2}))=(-2,0)$。
(3) 对于线段AB上任意点$M(a,b)$，根据位似坐标变换规律，对应点$M'$的坐标为原坐标乘$\pm\frac{1}{2}$，即$(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$或$(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2})$。
【答案】
(1)如图所示,线段$A'B'$即为所求作的线段.
(2)$A'(1,2),B'(2,0)$或$A'(-1,-2),B'(-2,0)$.
(3)$M'(\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2})$或$M'(-\dfrac{a}{2},-\dfrac{b}{2})$.
【知识点】
位似图形的性质，平面直角坐标系中位似变换，坐标与图形变化
【点评】
本题考查以原点为位似中心的位似变换规律，解题的关键是牢记位似变换的坐标变化规则，注意位似图形存在位于位似中心同侧和异侧两种情况，避免漏解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆以原点为位似中心的位似变换的性质：若位似比为k，则原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)。本题中位似比是$\frac{1}{2}$，首先根据该性质找到A、B两点缩小后的对应点，连线即可完成作图；再直接代入坐标计算得到A'、B'的坐标；最后将规律推广到任意点M即可得到M'的坐标，注意位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，不要漏解。
【解析】
(1) 作图步骤：① 确定位似中心为原点O，位似比为$\frac{1}{2}$；② 分别计算A、B两点的对应点坐标，分两种情况：同侧时对应点坐标为原坐标乘$\frac{1}{2}$，异侧时对应点坐标为原坐标乘$-\frac{1}{2}$；③ 在坐标系中描出对应点A'、B'，连接A'B'，所得线段即为所求。
(2) 计算A'、B'坐标：
当位似图形与AB在原点同侧时：
$A'(2×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})=(1,2)$，$B'(4×\frac{1}{2},0×\frac{1}{2})=(2,0)$；
当位似图形与AB在原点异侧时：
$A'(2×(-\frac{1}{2}),4×(-\frac{1}{2}))=(-1,-2)$，$B'(4×(-\frac{1}{2}),0×(-\frac{1}{2}))=(-2,0)$。
(3) 对于线段AB上任意点$M(a,b)$，根据位似坐标变换规律，对应点$M'$的坐标为原坐标乘$\pm\frac{1}{2}$，即$(\frac{a}{2},\frac{b}{2})$或$(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2})$。
【答案】
(1)如图所示,线段$A'B'$即为所求作的线段.
(2)$A'(1,2),B'(2,0)$或$A'(-1,-2),B'(-2,0)$.
(3)$M'(\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2})$或$M'(-\dfrac{a}{2},-\dfrac{b}{2})$.
【知识点】
位似图形的性质，平面直角坐标系中位似变换，坐标与图形变化
【点评】
本题考查以原点为位似中心的位似变换规律，解题的关键是牢记位似变换的坐标变化规则，注意位似图形存在位于位似中心同侧和异侧两种情况，避免漏解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
9 如图，$△ ABC$三个顶点的坐标分别为$A(-4,0)$、$B(0,2)$、$C(-2,4)$。
(1)如图，$△ A_{1}B_{1}C_{1}$三个顶点的坐标分别为$A_{1}(2,0)$、$B_{1}(0,-1)$、$C_{1}(1,-2)$，$△ A_{1}B_{1}C_{1}$是$△ ABC$通过位似变换得到的，请写出位似中心：______，$△ A_{1}B_{1}C_{1}$和$△ ABC$的位似比为________；
(2)请在线段$AB$上找一点$M$，使得$AM:BM=2:3$。
(1)如图，$△ A_{1}B_{1}C_{1}$三个顶点的坐标分别为$A_{1}(2,0)$、$B_{1}(0,-1)$、$C_{1}(1,-2)$，$△ A_{1}B_{1}C_{1}$是$△ ABC$通过位似变换得到的，请写出位似中心：______，$△ A_{1}B_{1}C_{1}$和$△ ABC$的位似比为________；
(2)请在线段$AB$上找一点$M$，使得$AM:BM=2:3$。
答案
9.解:(1)如图,连接$AA_1$、$BB_1$、$CC_1$交于点 O,则位似中心为点$O(0,0)$. 由勾股定理,得$B_1C_1=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$,$BC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$,
$\therefore△ A_1B_1C_1$和$△ ABC$的位似比为$\dfrac{B_1C_1}{BC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}$.
故答案为点$O(0,0)$,$\dfrac{1}{2}$.
(2)如图,点 M 即为所求.
解析
【分析】
对于(1)，根据位似图形的性质：位似图形对应顶点的连线都经过位似中心，因此连接两组对应顶点，交点就是位似中心；位似比是位似变换后新图形与原图形对应边的长度之比，计算对应边长度后求比值即可。对于(2)，要得到$AM:BM=2:3$，需将线段$AB$平均分为5份，取靠近A端的2份分点，可利用平行线分线段成比例的方法确定点M的位置。
【解析】
(1) 分别连接$AA_1$、$BB_1$、$CC_1$，可发现三条线段均交于坐标原点$O(0,0)$，因此位似中心为原点$O(0,0)$。
通过勾股定理计算对应边长度：
$B_1C_1=\sqrt{(1-0)^2+(-2+1)^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(-2-0)^2+(4-2)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
因此$△A_1B_1C_1$和$△ABC$的位似比为$\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。
(2) 将线段$AB$分为5等份，从点A出发数2份的位置即为所求点M：
【答案】
(1) 点$O(0,0)$，$\dfrac{1}{2}$；
(2) 点M位置如图所示：
【知识点】
位似图形性质，位似比计算，线段比例作图
【点评】
本题考查位似图形的基础概念和作图能力，难度较低，掌握位似中心、位似比的求解方法，以及按比例分割线段的作图规则即可顺利解题，注意位似比是变换后图形与原图形的对应边之比，不要颠倒顺序。
【难度系数】
0.7
对于(1)，根据位似图形的性质：位似图形对应顶点的连线都经过位似中心，因此连接两组对应顶点，交点就是位似中心；位似比是位似变换后新图形与原图形对应边的长度之比，计算对应边长度后求比值即可。对于(2)，要得到$AM:BM=2:3$，需将线段$AB$平均分为5份，取靠近A端的2份分点，可利用平行线分线段成比例的方法确定点M的位置。
【解析】
(1) 分别连接$AA_1$、$BB_1$、$CC_1$，可发现三条线段均交于坐标原点$O(0,0)$，因此位似中心为原点$O(0,0)$。
通过勾股定理计算对应边长度：
$B_1C_1=\sqrt{(1-0)^2+(-2+1)^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(-2-0)^2+(4-2)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
因此$△A_1B_1C_1$和$△ABC$的位似比为$\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。
(2) 将线段$AB$分为5等份，从点A出发数2份的位置即为所求点M：
【答案】
(1) 点$O(0,0)$，$\dfrac{1}{2}$；
(2) 点M位置如图所示：
【知识点】
位似图形性质，位似比计算，线段比例作图
【点评】
本题考查位似图形的基础概念和作图能力，难度较低，掌握位似中心、位似比的求解方法，以及按比例分割线段的作图规则即可顺利解题，注意位似比是变换后图形与原图形的对应边之比，不要颠倒顺序。
【难度系数】
0.7
10线段AB、CD在平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点，A、B、C、D均在格点上，线段AB与CD是位似图形，求位似中心的坐标。
答案
10.解:如图,当点 A 和点 C 为对应点,点 B 和点 D为对应点时,连接并延长 CA、DB 交于点 O,则位似中心为$O(0,0)$;当点 A 和点 D 为对应点,点 B和点 C 为对应点时,连接 AD、BC 交于点 P,则点P 为位似中心.
$\because$线段 AB、CD 是位似图形,$\therefore AB// CD$,
$\therefore△ PAB∽△ PDC$,$\therefore\dfrac{AP}{PD}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{\sqrt{1^2+2^2}}{\sqrt{2^2+4^2}}=\dfrac{1}{2}$,
即$\dfrac{AP}{5-AP}=\dfrac{1}{2}$,$\therefore AP=\dfrac{5}{3}$,
$\therefore$位似中心 P 的坐标是$(\dfrac{14}{3},4)$.
综上所述,位似中心的坐标是$(0,0)$或$(\dfrac{14}{3},4)$.
解析
【分析】
要确定位似图形的位似中心，首先回忆位似图形的性质：位似图形对应顶点的连线都经过位似中心。本题需要注意位似图形的对应点存在两种不同的对应关系，需分类讨论：
1. 当A对应C、B对应D时，连接两组对应点并延长，交点即为位似中心；
2. 当A对应D、B对应C时，同样连接两组对应点找交点，再结合AB//CD得到相似三角形，利用相似比计算交点坐标即可。
【解析】
解：本题分两种情况讨论：
① 当点A和点C为对应点，点B和点D为对应点时：
连接并延长CA、DB，两条线段的交点为坐标原点O，根据位似中心的定义，此时位似中心为$O(0,0)$。
② 当点A和点D为对应点，点B和点C为对应点时：
连接AD、BC，两条线段交于点P。
∵线段AB、CD是位似图形，
∴$AB// CD$，
∴$∠ PAB=∠ PDC$，$∠ PBA=∠ PCD$，可得$△ PAB ∽ △ PDC$，
∴相似比$\dfrac{AP}{PD}=\dfrac{AB}{CD}$。
计算线段长度：$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$CD=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
∴$\dfrac{AP}{PD}=\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2}$，即$\dfrac{AP}{AD-AP}=\dfrac{1}{2}$。
由图可知$AD=5$，代入得$\dfrac{AP}{5-AP}=\dfrac{1}{2}$，解得$AP=\dfrac{5}{3}$。
∵A点坐标为$(3,4)$，AD在直线$y=4$上，
∴P点横坐标为$3+\dfrac{5}{3}=\dfrac{14}{3}$，纵坐标为4，即$P(\dfrac{14}{3},4)$。
综上所述，位似中心的坐标为$(0,0)$或$(\dfrac{14}{3},4)$。
【答案】
如图,当点 A 和点 C 为对应点,点 B 和点 D为对应点时,连接并延长 CA、DB 交于点 O,则位似中心为$O(0,0)$;当点 A 和点 D 为对应点,点 B和点 C 为对应点时,连接 AD、BC 交于点 P,则点P 为位似中心.
$\because$线段 AB、CD 是位似图形,$\therefore AB// CD$,
$\therefore△ PAB∽△ PDC$,$\therefore\dfrac{AP}{PD}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{\sqrt{1^2+2^2}}{\sqrt{2^2+4^2}}=\dfrac{1}{2}$,
即$\dfrac{AP}{5-AP}=\dfrac{1}{2}$,$\therefore AP=\dfrac{5}{3}$,
$\therefore$位似中心 P 的坐标是$(\dfrac{14}{3},4)$.
综上所述,位似中心的坐标是$(0,0)$或$(\dfrac{14}{3},4)$.
【知识点】
位似图形的性质，相似三角形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题考查位似中心的求解，解题时要注意位似图形的对应点存在两种对应关系，避免漏解，解题过程中结合相似三角形的性质计算对应线段长度，进而得到点的坐标，是位似与相似结合的典型题目。
【难度系数】
0.6
要确定位似图形的位似中心，首先回忆位似图形的性质：位似图形对应顶点的连线都经过位似中心。本题需要注意位似图形的对应点存在两种不同的对应关系，需分类讨论：
1. 当A对应C、B对应D时，连接两组对应点并延长，交点即为位似中心；
2. 当A对应D、B对应C时，同样连接两组对应点找交点，再结合AB//CD得到相似三角形，利用相似比计算交点坐标即可。
【解析】
解：本题分两种情况讨论：
① 当点A和点C为对应点，点B和点D为对应点时：
连接并延长CA、DB，两条线段的交点为坐标原点O，根据位似中心的定义，此时位似中心为$O(0,0)$。
② 当点A和点D为对应点，点B和点C为对应点时：
连接AD、BC，两条线段交于点P。
∵线段AB、CD是位似图形，
∴$AB// CD$，
∴$∠ PAB=∠ PDC$，$∠ PBA=∠ PCD$，可得$△ PAB ∽ △ PDC$，
∴相似比$\dfrac{AP}{PD}=\dfrac{AB}{CD}$。
计算线段长度：$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$CD=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
∴$\dfrac{AP}{PD}=\dfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2}$，即$\dfrac{AP}{AD-AP}=\dfrac{1}{2}$。
由图可知$AD=5$，代入得$\dfrac{AP}{5-AP}=\dfrac{1}{2}$，解得$AP=\dfrac{5}{3}$。
∵A点坐标为$(3,4)$，AD在直线$y=4$上，
∴P点横坐标为$3+\dfrac{5}{3}=\dfrac{14}{3}$，纵坐标为4，即$P(\dfrac{14}{3},4)$。
综上所述，位似中心的坐标为$(0,0)$或$(\dfrac{14}{3},4)$。
【答案】
如图,当点 A 和点 C 为对应点,点 B 和点 D为对应点时,连接并延长 CA、DB 交于点 O,则位似中心为$O(0,0)$;当点 A 和点 D 为对应点,点 B和点 C 为对应点时,连接 AD、BC 交于点 P,则点P 为位似中心.
$\because$线段 AB、CD 是位似图形,$\therefore AB// CD$,
$\therefore△ PAB∽△ PDC$,$\therefore\dfrac{AP}{PD}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{\sqrt{1^2+2^2}}{\sqrt{2^2+4^2}}=\dfrac{1}{2}$,
即$\dfrac{AP}{5-AP}=\dfrac{1}{2}$,$\therefore AP=\dfrac{5}{3}$,
$\therefore$位似中心 P 的坐标是$(\dfrac{14}{3},4)$.
综上所述,位似中心的坐标是$(0,0)$或$(\dfrac{14}{3},4)$.
【知识点】
位似图形的性质，相似三角形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题考查位似中心的求解，解题时要注意位似图形的对应点存在两种对应关系，避免漏解，解题过程中结合相似三角形的性质计算对应线段长度，进而得到点的坐标，是位似与相似结合的典型题目。
【难度系数】
0.6
