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1.已知线段$a:b=1:3$，若线段$b$是线段$a$、$c$的比例中项，则$b:c$的值为 （
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.2
D.3
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.2
D.3
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先回忆比例中项的定义：若b是a、c的比例中项，则满足$a:b = b:c$（即$b^2=ac$）。已知$a:b=1:3$，我们可以直接将$a:b$的比值代入比例中项的比例式，或者通过赋值法设出a、b的长度，代入$b^2=ac$求出c的长度，再计算$b:c$的比值即可。
【解析】
方法一：利用比例中项的比例关系求解
∵线段b是线段a、c的比例中项，
∴根据比例中项的定义可得：$a:b = b:c$，
又
∵已知$a:b = 1:3$，
∴代入可得$b:c = 1:3 = \frac{1}{3}$。
方法二：赋值法验证
设$a = k$（$k≠0$），由$a:b = 1:3$可得$b = 3k$，
∵b是a、c的比例中项，
∴$b^2 = ac$，即$(3k)^2 = k·c$，
整理得$9k^2 = kc$，
∵$k≠0$，两边同时除以k得$c = 9k$，
∴$b:c = 3k:9k = \frac{1}{3}$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
比例中项的概念，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对比例中项性质的理解和运用，解题时注意不要混淆比例的前后项，熟练掌握基础概念即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆比例中项的定义：若b是a、c的比例中项，则满足$a:b = b:c$（即$b^2=ac$）。已知$a:b=1:3$，我们可以直接将$a:b$的比值代入比例中项的比例式，或者通过赋值法设出a、b的长度，代入$b^2=ac$求出c的长度，再计算$b:c$的比值即可。
【解析】
方法一：利用比例中项的比例关系求解
∵线段b是线段a、c的比例中项，
∴根据比例中项的定义可得：$a:b = b:c$，
又
∵已知$a:b = 1:3$，
∴代入可得$b:c = 1:3 = \frac{1}{3}$。
方法二：赋值法验证
设$a = k$（$k≠0$），由$a:b = 1:3$可得$b = 3k$，
∵b是a、c的比例中项，
∴$b^2 = ac$，即$(3k)^2 = k·c$，
整理得$9k^2 = kc$，
∵$k≠0$，两边同时除以k得$c = 9k$，
∴$b:c = 3k:9k = \frac{1}{3}$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
比例中项的概念，比例的基本性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对比例中项性质的理解和运用，解题时注意不要混淆比例的前后项，熟练掌握基础概念即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
2.鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，若AB的长为8，则AP的长为 (
A.$4\sqrt{5}+1$
B.$8-4\sqrt{5}$
C.$12-4\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{5}-4$
D
)A.$4\sqrt{5}+1$
B.$8-4\sqrt{5}$
C.$12-4\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{5}-4$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先回忆黄金分割的定义：若点把线段分成两条线段，使较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的比，这个点就叫这条线段的黄金分割点，较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题中已知P是AB的黄金分割点且AP＞BP，说明AP是较长线段，直接用AB的长度乘以黄金比即可求出AP的长度。
【解析】
解：
∵点P是线段AB的黄金分割点，且$AP＞BP$，
∴较长线段AP与整条线段AB的比值为黄金比，即$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
已知$AB=8$，代入得：
$AP=8×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=4(\sqrt{5}-1)=4\sqrt{5}-4$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割的概念
【点评】
本题结合生活中的鹦鹉螺螺线背景考查黄金分割的应用，属于基础题型，解题关键是明确黄金分割中较长线段与总线段的比值关系，熟练代入计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆黄金分割的定义：若点把线段分成两条线段，使较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的比，这个点就叫这条线段的黄金分割点，较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题中已知P是AB的黄金分割点且AP＞BP，说明AP是较长线段，直接用AB的长度乘以黄金比即可求出AP的长度。
【解析】
解：
∵点P是线段AB的黄金分割点，且$AP＞BP$，
∴较长线段AP与整条线段AB的比值为黄金比，即$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
已知$AB=8$，代入得：
$AP=8×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=4(\sqrt{5}-1)=4\sqrt{5}-4$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
黄金分割的概念
【点评】
本题结合生活中的鹦鹉螺螺线背景考查黄金分割的应用，属于基础题型，解题关键是明确黄金分割中较长线段与总线段的比值关系，熟练代入计算即可。
【难度系数】
0.8
3. 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，相似比为k，点B、F、C、G四点共线，下列说法不一定正确的是 （
A.∠A=∠E
B.DC//HG
C.BC⊥EF
D.AD=kEH
第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
C
）A.∠A=∠E
B.DC//HG
C.BC⊥EF
D.AD=kEH
第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
答案
3.C
解析
【分析】
解决本题需要结合相似多边形的性质逐一分析选项：首先回忆相似多边形的核心性质：对应角相等、对应边成比例，相似比为对应边的比值。先判断各选项中涉及的角、边是否为对应角、对应边，再结合共线条件判断位置关系，找出不必然成立的选项即可。
【解析】
已知四边形ABCD∽四边形EFGH，相似比为k，根据相似多边形的性质分析各选项：
1. 选项A：∠A与∠E是相似四边形的对应角，因此∠A=∠E，该说法正确，不符合题意；
2. 选项B：∠BCD与∠HGF是相似四边形的对应角，因此∠BCD=∠HGF，又因为点B、F、C、G共线，∠BCD与∠HGF是同位角，同位角相等则两直线平行，可得DC//HG，该说法正确，不符合题意；
3. 选项C：∠B与∠EFG是相似四边形的对应角，因此∠B=∠EFG，但题干未给出∠B为直角的条件，故∠EFG不一定为90°，即BC与EF不一定垂直，该说法不一定正确，符合题意；
4. 选项D：AD与EH是相似四边形的对应边，相似比为k，因此$\frac{AD}{EH}=k$，即$AD=kEH$，该说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
相似多边形的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础题，重点考查相似多边形性质的灵活应用，解题时要注意不要默认图形存在直角、垂直等未给出的隐含条件，需严格结合已知条件逐一推导判断。
【难度系数】
0.8
解决本题需要结合相似多边形的性质逐一分析选项：首先回忆相似多边形的核心性质：对应角相等、对应边成比例，相似比为对应边的比值。先判断各选项中涉及的角、边是否为对应角、对应边，再结合共线条件判断位置关系，找出不必然成立的选项即可。
【解析】
已知四边形ABCD∽四边形EFGH，相似比为k，根据相似多边形的性质分析各选项：
1. 选项A：∠A与∠E是相似四边形的对应角，因此∠A=∠E，该说法正确，不符合题意；
2. 选项B：∠BCD与∠HGF是相似四边形的对应角，因此∠BCD=∠HGF，又因为点B、F、C、G共线，∠BCD与∠HGF是同位角，同位角相等则两直线平行，可得DC//HG，该说法正确，不符合题意；
3. 选项C：∠B与∠EFG是相似四边形的对应角，因此∠B=∠EFG，但题干未给出∠B为直角的条件，故∠EFG不一定为90°，即BC与EF不一定垂直，该说法不一定正确，符合题意；
4. 选项D：AD与EH是相似四边形的对应边，相似比为k，因此$\frac{AD}{EH}=k$，即$AD=kEH$，该说法正确，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
相似多边形的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础题，重点考查相似多边形性质的灵活应用，解题时要注意不要默认图形存在直角、垂直等未给出的隐含条件，需严格结合已知条件逐一推导判断。
【难度系数】
0.8
4.如图，$△ A'B'C'$与$△ ABC$是以点$O$为位似中心的位似图形，位似比为$3:5$，下列说法错误的是（
A.$BC// B'C'$
B.$OB':BB'=3:5$
C.$△ A'B'C'$与$△ ABC$的周长比是$3:5$
D.$△ A'B'C'$与$△ ABC$的面积比是$9:25$
B
）A.$BC// B'C'$
B.$OB':BB'=3:5$
C.$△ A'B'C'$与$△ ABC$的周长比是$3:5$
D.$△ A'B'C'$与$△ ABC$的面积比是$9:25$
答案
4.B
解析
【分析】
解决这道题需要先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应边互相平行，对应点到位似中心的距离之比等于位似比；同时相似图形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。我们结合已知的位似比3:5，逐一判断各选项的正误即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 位似图形的对应边互相平行，BC与B'C'是对应边，因此$BC// B'C'$，该说法正确，不符合题意；
B. 位似比等于对应点到位似中心的距离之比，即$OB':OB=3:5$，设$OB'=3k$，$OB=5k$，则$BB'=OB-OB'=5k-3k=2k$，因此$OB':BB'=3k:2k=3:2$，不是3:5，该说法错误，符合题意；
C. 位似图形属于相似图形，相似图形的周长比等于相似比（即位似比），因此$△ A'B'C'$与$△ ABC$的周长比是3:5，该说法正确，不符合题意；
D. 相似图形的面积比等于相似比的平方，因此$△ A'B'C'$与$△ ABC$的面积比是$3^2:5^2=9:25$，该说法正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质、相似三角形周长比、相似三角形面积比
【点评】
本题考查位似与相似的基本性质，解题的关键是区分对应点到位似中心的距离比和线段间的比例关系，避免混淆比例项导致出错，属于对基础性质的考查。
【难度系数】
0.7
解决这道题需要先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，对应边互相平行，对应点到位似中心的距离之比等于位似比；同时相似图形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。我们结合已知的位似比3:5，逐一判断各选项的正误即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 位似图形的对应边互相平行，BC与B'C'是对应边，因此$BC// B'C'$，该说法正确，不符合题意；
B. 位似比等于对应点到位似中心的距离之比，即$OB':OB=3:5$，设$OB'=3k$，$OB=5k$，则$BB'=OB-OB'=5k-3k=2k$，因此$OB':BB'=3k:2k=3:2$，不是3:5，该说法错误，符合题意；
C. 位似图形属于相似图形，相似图形的周长比等于相似比（即位似比），因此$△ A'B'C'$与$△ ABC$的周长比是3:5，该说法正确，不符合题意；
D. 相似图形的面积比等于相似比的平方，因此$△ A'B'C'$与$△ ABC$的面积比是$3^2:5^2=9:25$，该说法正确，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
位似图形的性质、相似三角形周长比、相似三角形面积比
【点评】
本题考查位似与相似的基本性质，解题的关键是区分对应点到位似中心的距离比和线段间的比例关系，避免混淆比例项导致出错，属于对基础性质的考查。
【难度系数】
0.7
5. 在如图所示的网格中，与四边形ABCD关于点O位似的是 （
A.四边形NPMQ
B.四边形NPMR
C.四边形NHMQ
D.四边形NHMR
A
）A.四边形NPMQ
B.四边形NPMR
C.四边形NHMQ
D.四边形NHMR
答案
5.A
解析
【分析】
解题时先回忆位似图形的核心性质：关于某点成位似的两个图形，所有对应顶点的连线都经过位似中心，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比。我们的思路是：依次连接四边形ABCD的四个顶点与位似中心O，延长各连线，找到各延长线经过的格点，这些格点组成的四边形就是所求的位似图形，再验证对应点到O的距离成比例即可。
【解析】
根据位似图形的性质逐步判断：
1. 连接点A与点O并延长，观察网格可得AO的延长线经过点N；
2. 连接点B与点O并延长，观察网格可得BO的延长线经过点P；
3. 连接点D与点O并延长，观察网格可得DO的延长线经过点M；
4. 连接点C与点O并延长，观察网格可得CO的延长线经过点Q。
进一步验证可得：$OA:ON=OB:OP=OD:OM=OC:OQ=1:2$，符合位似图形的特征，因此与四边形ABCD关于点O位似的是四边形NPMQ。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质、位似图形的判定
【点评】
本题考查位似图形的识别，属于基础题，解题关键是熟练掌握位似图形的性质，结合网格特征快速找到对应顶点，只要掌握位似的基本性质就能轻松解决。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆位似图形的核心性质：关于某点成位似的两个图形，所有对应顶点的连线都经过位似中心，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比。我们的思路是：依次连接四边形ABCD的四个顶点与位似中心O，延长各连线，找到各延长线经过的格点，这些格点组成的四边形就是所求的位似图形，再验证对应点到O的距离成比例即可。
【解析】
根据位似图形的性质逐步判断：
1. 连接点A与点O并延长，观察网格可得AO的延长线经过点N；
2. 连接点B与点O并延长，观察网格可得BO的延长线经过点P；
3. 连接点D与点O并延长，观察网格可得DO的延长线经过点M；
4. 连接点C与点O并延长，观察网格可得CO的延长线经过点Q。
进一步验证可得：$OA:ON=OB:OP=OD:OM=OC:OQ=1:2$，符合位似图形的特征，因此与四边形ABCD关于点O位似的是四边形NPMQ。
【答案】
A
【知识点】
位似图形的性质、位似图形的判定
【点评】
本题考查位似图形的识别，属于基础题，解题关键是熟练掌握位似图形的性质，结合网格特征快速找到对应顶点，只要掌握位似的基本性质就能轻松解决。
【难度系数】
0.7
6由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，作$EM// NG// AD$.若$GF=2FM$,则$MN:EG$的值为（
A.$\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\dfrac{5}{4}$
D.$\dfrac{3}{2}$
A
）A.$\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\dfrac{5}{4}$
D.$\dfrac{3}{2}$
答案
6.A 解析:由题意知 $AF=BG=CI=DE,DF=AG=BI=CE,DF⊥ AF,FG=EF.$
$\because ME// AD,\therefore △ FME∽ △ FAD,$
$\therefore \frac{FM}{FA}=\frac{EF}{DF},\therefore \frac{EF}{FM}=\frac{DF}{FA}.$
$\because EF=GF=2FM,\therefore DF=2AF,$
$\therefore DF=2DE,\therefore E$ 为 $DF$ 的中点,
$\therefore M$ 为 $AF$ 的中点,即 $MF=\frac{1}{2}AF.$
同理可得 $IN=CN=\frac{1}{2}CI,\therefore IN=MF.$
如图,连接 $CF$,则四边形 $CNMF$ 为平行四边形,$\therefore CF=MN.$
$\because E$ 为 $DF$ 的中点,$CE⊥ DF,$
$\therefore CF=CD,\therefore MN=CD=AD.$
设 $EF=DE=FG=EI=IG=m$,
则 $EC=2m$,
$\therefore MN=CF=CD=\sqrt{m^2+(2m)^2}=\sqrt{5}m.$
又 $EG=\sqrt{2}EF=\sqrt{2}m$,
$\therefore MN:EG=\sqrt{5}m:\sqrt{2}m=\sqrt{10}:2$. 故选 A.
解析
【分析】
这是一道以赵爽弦图为背景的几何比值类问题，解题可按以下思路展开：首先根据四个直角三角形全等的性质，得到对应边相等的关系；再结合$EM// AD$的条件，证明$△ FME ∽ △ FAD$，利用$GF=2FM$的已知条件推导出直角三角形两条直角边的比例关系，得到E、M分别是对应边的中点，同理得到N点的位置特征；接下来作辅助线连接CF，先证明四边形CNMF是平行四边形，将MN转化为CF，再结合CE垂直DF、E是DF中点的性质，得到CF等于大正方形的边长CD；最后设参数表示各相关线段的长度，利用勾股定理分别计算MN和EG的长度，即可求出二者的比值。
【解析】
由题意可知四个直角三角形全等，因此$AF=BG=CI=DE$，$DF=AG=BI=CE$，且$DF⊥ AF$，小正方形边长相等，即$FG=EF$。
$\because EM// AD$，$\therefore △ FME ∽ △ FAD$，
$\therefore \frac{FM}{FA}=\frac{EF}{DF}$，变形可得$\frac{EF}{FM}=\frac{DF}{FA}$。
已知$EF=GF=2FM$，代入得$\frac{DF}{FA}=2$，即$DF=2AF$，
又$\because AF=DE$，$\therefore DF=2DE$，即E为DF的中点，
对应可得M为AF的中点，即$MF=\frac{1}{2}AF$。
同理可得$IN=CN=\frac{1}{2}CI$，结合$CI=AF$，因此$IN=MF$。
如图连接CF，由$MF// CN$且$MF=CN$，可得四边形CNMF为平行四边形，因此$CF=MN$。
$\because E$为DF的中点，且$CE⊥ DF$，$\therefore CE$是DF的垂直平分线，$\therefore CF=CD$，即$MN=CD=AD$。
设$EF=DE=FG=EI=IG=m$，则$EC=2m$，
由勾股定理得$MN=CF=CD=\sqrt{DE^2+EC^2}=\sqrt{m^2+(2m)^2}=\sqrt{5}m$。
又$\because △ EFG$是等腰直角三角形，$\therefore EG=\sqrt{2}EF=\sqrt{2}m$，
因此$MN:EG=\sqrt{5}m:\sqrt{2}m=\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题以赵爽弦图为载体，综合考查了相似三角形、特殊四边形的性质以及勾股定理的应用，解题的核心是通过相似关系得到直角边的比例，借助辅助线完成线段的等量转化，结合参数法简化计算，能较好地考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.5
这是一道以赵爽弦图为背景的几何比值类问题，解题可按以下思路展开：首先根据四个直角三角形全等的性质，得到对应边相等的关系；再结合$EM// AD$的条件，证明$△ FME ∽ △ FAD$，利用$GF=2FM$的已知条件推导出直角三角形两条直角边的比例关系，得到E、M分别是对应边的中点，同理得到N点的位置特征；接下来作辅助线连接CF，先证明四边形CNMF是平行四边形，将MN转化为CF，再结合CE垂直DF、E是DF中点的性质，得到CF等于大正方形的边长CD；最后设参数表示各相关线段的长度，利用勾股定理分别计算MN和EG的长度，即可求出二者的比值。
【解析】
由题意可知四个直角三角形全等，因此$AF=BG=CI=DE$，$DF=AG=BI=CE$，且$DF⊥ AF$，小正方形边长相等，即$FG=EF$。
$\because EM// AD$，$\therefore △ FME ∽ △ FAD$，
$\therefore \frac{FM}{FA}=\frac{EF}{DF}$，变形可得$\frac{EF}{FM}=\frac{DF}{FA}$。
已知$EF=GF=2FM$，代入得$\frac{DF}{FA}=2$，即$DF=2AF$，
又$\because AF=DE$，$\therefore DF=2DE$，即E为DF的中点，
对应可得M为AF的中点，即$MF=\frac{1}{2}AF$。
同理可得$IN=CN=\frac{1}{2}CI$，结合$CI=AF$，因此$IN=MF$。
如图连接CF，由$MF// CN$且$MF=CN$，可得四边形CNMF为平行四边形，因此$CF=MN$。
$\because E$为DF的中点，且$CE⊥ DF$，$\therefore CE$是DF的垂直平分线，$\therefore CF=CD$，即$MN=CD=AD$。
设$EF=DE=FG=EI=IG=m$，则$EC=2m$，
由勾股定理得$MN=CF=CD=\sqrt{DE^2+EC^2}=\sqrt{m^2+(2m)^2}=\sqrt{5}m$。
又$\because △ EFG$是等腰直角三角形，$\therefore EG=\sqrt{2}EF=\sqrt{2}m$，
因此$MN:EG=\sqrt{5}m:\sqrt{2}m=\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题以赵爽弦图为载体，综合考查了相似三角形、特殊四边形的性质以及勾股定理的应用，解题的核心是通过相似关系得到直角边的比例，借助辅助线完成线段的等量转化，结合参数法简化计算，能较好地考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.5
