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二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7.如图，$DE// FG// BC$，若$DB=4FB$，则$EG$与$GC$的长度关系是
7.如图，$DE// FG// BC$，若$DB=4FB$，则$EG$与$GC$的长度关系是
EG=3GC
。答案
7.EG=3GC
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先由题干给出的三条平行线段，联想到平行线分线段成比例定理，可知两条被截直线上的对应线段比值相等；再结合已知条件DB=4FB，先推导DF与FB的比值，最后将线段比值对应到EG和GC上，即可得到二者的数量关系。
【解析】
解：
∵ $DE// FG// BC$，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
∴ $\frac{EG}{GC}=\frac{DF}{FB}$。
又
∵ $DB=4FB$，且$DB=DF+FB$，
∴ $DF+FB=4FB$，
移项计算得$DF=3FB$，即$\frac{DF}{FB}=\frac{3}{1}$，
∴ $\frac{EG}{GC}=\frac{3}{1}$，即$EG=3GC$。
【答案】
EG=3GC
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题是基础类题型，核心是掌握平行线分线段成比例的对应线段关系，解题时注意先找到已知线段和所求线段的对应关系，再代入已知条件计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先由题干给出的三条平行线段，联想到平行线分线段成比例定理，可知两条被截直线上的对应线段比值相等；再结合已知条件DB=4FB，先推导DF与FB的比值，最后将线段比值对应到EG和GC上，即可得到二者的数量关系。
【解析】
解：
∵ $DE// FG// BC$，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
∴ $\frac{EG}{GC}=\frac{DF}{FB}$。
又
∵ $DB=4FB$，且$DB=DF+FB$，
∴ $DF+FB=4FB$，
移项计算得$DF=3FB$，即$\frac{DF}{FB}=\frac{3}{1}$，
∴ $\frac{EG}{GC}=\frac{3}{1}$，即$EG=3GC$。
【答案】
EG=3GC
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题是基础类题型，核心是掌握平行线分线段成比例的对应线段关系，解题时注意先找到已知线段和所求线段的对应关系，再代入已知条件计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
8.如图，把$△ AOB$放大后得到$△ COD$，则$△ AOB$与$△ COD$的相似比是
1:3
。答案
8.1:3
解析
【分析】
解题时首先明确相似比的定义：两个相似三角形的相似比是前一个三角形与后一个三角形对应边的比值，需注意顺序不能颠倒。首先由“△AOB放大后得到△COD”可判定两个三角形是相似（位似）图形，对应边成比例；其次找到二者的一组对应边，计算△AOB的边长与△COD对应边长的比值，即可得到相似比。
【解析】
解：
∵ 将△AOB放大得到△COD，
∴ △AOB∽△COD，二者为位似图形，对应边成比例。
结合图形可得，△AOB与△COD的对应边之比为OB:OD=1:3，
因此△AOB与△COD的相似比为1:3。
【答案】
1:3
【知识点】
相似比的定义；位似图形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，核心易错点是相似比的顺序，若忽略题目中两个三角形的先后顺序，容易误写成3:1，解题时结合位似图形“对应边成比例”的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确相似比的定义：两个相似三角形的相似比是前一个三角形与后一个三角形对应边的比值，需注意顺序不能颠倒。首先由“△AOB放大后得到△COD”可判定两个三角形是相似（位似）图形，对应边成比例；其次找到二者的一组对应边，计算△AOB的边长与△COD对应边长的比值，即可得到相似比。
【解析】
解：
∵ 将△AOB放大得到△COD，
∴ △AOB∽△COD，二者为位似图形，对应边成比例。
结合图形可得，△AOB与△COD的对应边之比为OB:OD=1:3，
因此△AOB与△COD的相似比为1:3。
【答案】
1:3
【知识点】
相似比的定义；位似图形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，核心易错点是相似比的顺序，若忽略题目中两个三角形的先后顺序，容易误写成3:1，解题时结合位似图形“对应边成比例”的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
9.如图，矩形ABCD、矩形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，已知OA:OA'=5:2，AD=10，则B'C'的长是
4
。答案
9.4
解析
【分析】
首先回忆位似图形的相关性质：位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于位似比（即位似中心到对应点的线段之比）。再结合矩形的性质：矩形对边相等，可知AD的对应边是A'D'，且B'C'=A'D'。我们先根据已知的位似比OA:OA'=5:2得到对应边的比例关系，再代入AD的长度，就能求出B'C'的长。
【解析】
解：
∵矩形ABCD、矩形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，
∴两个矩形相似，相似比等于位似比$OA:OA'=5:2$，
∴对应边满足$\frac{AD}{A'D'}=\frac{5}{2}$。
∵矩形对边相等，
∴$B'C'=A'D'$，
将$AD=10$代入比例式得$\frac{10}{A'D'}=\frac{5}{2}$，
解得$A'D'=4$，即$B'C'=4$。
【答案】
4
【知识点】
位似图形的性质、矩形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是明确位似比等于对应边的比，结合矩形对边相等的性质即可求解，计算时注意不要搞反位似比的前后项。
【难度系数】
0.8
首先回忆位似图形的相关性质：位似图形是特殊的相似图形，对应边的比等于位似比（即位似中心到对应点的线段之比）。再结合矩形的性质：矩形对边相等，可知AD的对应边是A'D'，且B'C'=A'D'。我们先根据已知的位似比OA:OA'=5:2得到对应边的比例关系，再代入AD的长度，就能求出B'C'的长。
【解析】
解：
∵矩形ABCD、矩形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，
∴两个矩形相似，相似比等于位似比$OA:OA'=5:2$，
∴对应边满足$\frac{AD}{A'D'}=\frac{5}{2}$。
∵矩形对边相等，
∴$B'C'=A'D'$，
将$AD=10$代入比例式得$\frac{10}{A'D'}=\frac{5}{2}$，
解得$A'D'=4$，即$B'C'=4$。
【答案】
4
【知识点】
位似图形的性质、矩形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是明确位似比等于对应边的比，结合矩形对边相等的性质即可求解，计算时注意不要搞反位似比的前后项。
【难度系数】
0.8
10. 如图，$AD// BE// FC$，$AB:BC=2:3$，$DF=15$，则$EF$的长度是
第10题图 第12题图 第13题图
9
。第10题图 第12题图 第13题图
答案
10.9
解析
【分析】
本题可利用平行线分线段成比例定理求解。首先观察到三条平行线AD、BE、FC被两条直线所截，根据定理可得截得的对应线段成比例，即AB与BC的比等于DE与EF的比，再结合DF的总长是DE与EF的和，通过比例关系即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵ $AD// BE// FC$，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
已知 $AB:BC=2:3$，因此 $\frac{DE}{EF}=\frac{2}{3}$。
设 $DE=2k$，$EF=3k$（$k＞0$），
又
∵ $DF=DE+EF=15$，
代入得 $2k+3k=15$，
解得 $k=3$，
∴ $EF=3k=3×3=9$。
【答案】
9
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例线段计算
【点评】
本题属于基础类几何计算题，解题的关键是准确识别平行线截线段的对应关系，正确列出比例式后结合已知线段长度计算即可，掌握平行线分线段成比例定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题可利用平行线分线段成比例定理求解。首先观察到三条平行线AD、BE、FC被两条直线所截，根据定理可得截得的对应线段成比例，即AB与BC的比等于DE与EF的比，再结合DF的总长是DE与EF的和，通过比例关系即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵ $AD// BE// FC$，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，可得：
$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$
已知 $AB:BC=2:3$，因此 $\frac{DE}{EF}=\frac{2}{3}$。
设 $DE=2k$，$EF=3k$（$k＞0$），
又
∵ $DF=DE+EF=15$，
代入得 $2k+3k=15$，
解得 $k=3$，
∴ $EF=3k=3×3=9$。
【答案】
9
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例线段计算
【点评】
本题属于基础类几何计算题，解题的关键是准确识别平行线截线段的对应关系，正确列出比例式后结合已知线段长度计算即可，掌握平行线分线段成比例定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7
11.两个相似三角形的对应中线之比是$2:3$，它们的面积差是$30\ \mathrm{cm}^2$，则较小的三角形的面积是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$。
答案
11.24
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的对应中线、对应高、对应角平分线等对应线段的比都等于相似比，且相似三角形的面积比等于相似比的平方。本题已知对应中线比为2:3，可先推出相似比，再得到两个三角形的面积比，最后结合面积差为30cm²设未知数列方程，即可求出较小三角形的面积。
【解析】
解：
∵ 相似三角形的对应中线之比等于相似比，已知对应中线比为2:3
∴ 两个相似三角形的相似比为2:3
又
∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴ 两个三角形的面积比为$2^2:3^2 = 4:9$
设较小三角形的面积为$4x\ \mathrm{cm}^2$，则较大三角形的面积为$9x\ \mathrm{cm}^2$
根据题意得：$9x - 4x = 30$
解得$x = 6$
∴ 较小三角形的面积为$4x = 4×6 = 24\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
24
【知识点】
相似三角形性质，比例计算，列方程求解
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握相似三角形对应线段比、面积比与相似比的关系，通过设比例参数的方法可以简化计算，是相似三角形章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的对应中线、对应高、对应角平分线等对应线段的比都等于相似比，且相似三角形的面积比等于相似比的平方。本题已知对应中线比为2:3，可先推出相似比，再得到两个三角形的面积比，最后结合面积差为30cm²设未知数列方程，即可求出较小三角形的面积。
【解析】
解：
∵ 相似三角形的对应中线之比等于相似比，已知对应中线比为2:3
∴ 两个相似三角形的相似比为2:3
又
∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴ 两个三角形的面积比为$2^2:3^2 = 4:9$
设较小三角形的面积为$4x\ \mathrm{cm}^2$，则较大三角形的面积为$9x\ \mathrm{cm}^2$
根据题意得：$9x - 4x = 30$
解得$x = 6$
∴ 较小三角形的面积为$4x = 4×6 = 24\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
24
【知识点】
相似三角形性质，比例计算，列方程求解
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的核心是熟练掌握相似三角形对应线段比、面积比与相似比的关系，通过设比例参数的方法可以简化计算，是相似三角形章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
12.如图,矩形ABCD的边长AD=8,AB=6,E为AB的中点,AC分别与DE、DB相交于点M、N,则MN的长为
$\frac{5}{3}$
.答案
12.$\frac{5}{3}$
解析
【分析】
要求MN的长度，观察MN位于对角线AC上，可通过计算AN与AM的长度作差求解。首先利用矩形性质和勾股定理求出对角线AC的总长度，再根据矩形对角线互相平分得到AN的长度；接着由AB//CD可证△AEM与△CDM相似，结合E是AB中点得到相似比，进而求出AM的长度，最后计算AN与AM的差即可得到MN。
【解析】
在矩形ABCD中，∠BAD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，对角线AC、BD互相平分且相等。
1. 求AC的长度：由勾股定理得
$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
则$AN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$。
2. 求AM的长度：
∵E为AB中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=3$，
∵AB//CD，
∴∠EAM=∠DCM，∠AEM=∠CDM，
∴△AEM∽△CDM，相似比为$AE:CD=3:6=1:2$，
∴$AM:MC=1:2$，则$AM=\frac{1}{1+2}AC=\frac{1}{3}×10=\frac{10}{3}$。
3. 计算MN：
$MN=AN-AM=5-\frac{10}{3}=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是基础综合题，将矩形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理结合考查，解题的关键是找准相似三角形，明确相似比与线段比的对应关系，结合对角线平分的性质求解线段长度。
【难度系数】
0.7
要求MN的长度，观察MN位于对角线AC上，可通过计算AN与AM的长度作差求解。首先利用矩形性质和勾股定理求出对角线AC的总长度，再根据矩形对角线互相平分得到AN的长度；接着由AB//CD可证△AEM与△CDM相似，结合E是AB中点得到相似比，进而求出AM的长度，最后计算AN与AM的差即可得到MN。
【解析】
在矩形ABCD中，∠BAD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，对角线AC、BD互相平分且相等。
1. 求AC的长度：由勾股定理得
$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
则$AN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$。
2. 求AM的长度：
∵E为AB中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=3$，
∵AB//CD，
∴∠EAM=∠DCM，∠AEM=∠CDM，
∴△AEM∽△CDM，相似比为$AE:CD=3:6=1:2$，
∴$AM:MC=1:2$，则$AM=\frac{1}{1+2}AC=\frac{1}{3}×10=\frac{10}{3}$。
3. 计算MN：
$MN=AN-AM=5-\frac{10}{3}=\frac{5}{3}$。
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是基础综合题，将矩形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理结合考查，解题的关键是找准相似三角形，明确相似比与线段比的对应关系，结合对角线平分的性质求解线段长度。
【难度系数】
0.7
13. 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AB=5 cm,AD=3 cm,BC=2 cm,P是AB上一点,若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似,则PA=
2或3
cm.答案
13.2或3
解析
【分析】
本题考查直角三角形相似的计算，因未明确两个相似三角形的对应顶点，需分两种对应情况讨论。解题时先设PA的长度为x，用x表示出PB的长度，再根据相似三角形对应边成比例分别列方程求解，最后验证所得解是否符合线段长度的取值范围即可。
【解析】
设$ PA = x\ \mathrm{cm} $，则$ PB = AB - PA = (5 - x)\ \mathrm{cm} $。
已知$ ∠ A = ∠ B = 90° $，以P、A、D为顶点的三角形与$ △ PBC $相似，分两种情况讨论：
1. 当$ △ DAP ∽ △ CBP $时，对应边成比例：
$ \frac{AD}{BC} = \frac{AP}{BP} $，代入$ AD=3\ \mathrm{cm},BC=2\ \mathrm{cm} $得：
$ \frac{3}{2} = \frac{x}{5-x} $
交叉相乘得：$ 3(5-x) = 2x $
解得：$ x = 3 $，符合$ 0 ＜ x ＜ 5 $的取值要求。
2. 当$ △ DAP ∽ △ PBC $时，对应边成比例：
$ \frac{AD}{PB} = \frac{AP}{BC} $，代入数值得：
$ \frac{3}{5-x} = \frac{x}{2} $
交叉相乘整理得：$ x^2 -5x +6 = 0 $
因式分解得$ (x-2)(x-3)=0 $，解得$ x_1=2, x_2=3 $，均符合取值要求。
综上，$ PA $的长度为2cm或3cm。
【答案】
2或3
【知识点】
相似三角形的性质，分类讨论思想，一元二次方程求解
【点评】
本题易因忽略相似三角形对应顶点不唯一的情况漏解，解题时要结合图形分析所有可能的对应关系，求出解后注意验证是否符合实际线段长度的要求。
【难度系数】
0.6
本题考查直角三角形相似的计算，因未明确两个相似三角形的对应顶点，需分两种对应情况讨论。解题时先设PA的长度为x，用x表示出PB的长度，再根据相似三角形对应边成比例分别列方程求解，最后验证所得解是否符合线段长度的取值范围即可。
【解析】
设$ PA = x\ \mathrm{cm} $，则$ PB = AB - PA = (5 - x)\ \mathrm{cm} $。
已知$ ∠ A = ∠ B = 90° $，以P、A、D为顶点的三角形与$ △ PBC $相似，分两种情况讨论：
1. 当$ △ DAP ∽ △ CBP $时，对应边成比例：
$ \frac{AD}{BC} = \frac{AP}{BP} $，代入$ AD=3\ \mathrm{cm},BC=2\ \mathrm{cm} $得：
$ \frac{3}{2} = \frac{x}{5-x} $
交叉相乘得：$ 3(5-x) = 2x $
解得：$ x = 3 $，符合$ 0 ＜ x ＜ 5 $的取值要求。
2. 当$ △ DAP ∽ △ PBC $时，对应边成比例：
$ \frac{AD}{PB} = \frac{AP}{BC} $，代入数值得：
$ \frac{3}{5-x} = \frac{x}{2} $
交叉相乘整理得：$ x^2 -5x +6 = 0 $
因式分解得$ (x-2)(x-3)=0 $，解得$ x_1=2, x_2=3 $，均符合取值要求。
综上，$ PA $的长度为2cm或3cm。
【答案】
2或3
【知识点】
相似三角形的性质，分类讨论思想，一元二次方程求解
【点评】
本题易因忽略相似三角形对应顶点不唯一的情况漏解，解题时要结合图形分析所有可能的对应关系，求出解后注意验证是否符合实际线段长度的要求。
【难度系数】
0.6
14. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=120°$，$BC=3AB$，$D$为线段$BC$上一点（不与$B$、$C$重合），连接$AD$，在$∠ ADC$内部作线段$DE$，使得$DE=3AD$，$∠ ADE=120°$，连接$EC$，则$\frac{EC}{BD}=$
$\sqrt{13}$
。答案
14.$\sqrt{13}$
解析
【分析】
首先观察已知条件，存在两组边成比例（$BC=3AB$，$DE=3AD$）和一组相等的角（$∠ ABC=∠ ADE=120°$），优先考虑通过相似三角形解题。第一步先证明$△ ABC ∽ △ ADE$，得到对应边比例和对应角相等，进而推出$∠ BAD=∠ CAE$；再证明$△ ABD ∽ △ ACE$，将所求$\frac{EC}{BD}$转化为$\frac{AC}{AB}$；最后在$△ ABC$中通过勾股定理或余弦定理求出$AC$与$AB$的比值即可。
【解析】
设$AB=k$，则$BC=3k$。
1. 证明$△ ABC ∽ △ ADE$：
$\because ∠ ABC=∠ ADE=120°$，且$\frac{BC}{AB}=\frac{DE}{AD}=3$，
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，$∠ BAC=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
2. 证明$△ ABD ∽ △ ACE$：
由$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
又$\because ∠ BAD=∠ CAE$，
$\therefore △ ABD ∽ △ ACE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{EC}{BD}=\frac{AC}{AB}$。
3. 计算$\frac{AC}{AB}$的值：
过点$A$作$AH⊥ CB$，交$CB$的延长线于点$H$，
$\because ∠ ABC=120°$，$\therefore ∠ ABH=180°-120°=60°$，
在$Rt△ ABH$中，$BH=AB·\cos60°=\frac{1}{2}k$，$AH=AB·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}k$，
$\therefore HC=BH+BC=\frac{1}{2}k+3k=\frac{7}{2}k$，
在$Rt△ AHC$中，由勾股定理得：
$AC^2=AH^2+HC^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}k)^2+(\frac{7}{2}k)^2=\frac{3}{4}k^2+\frac{49}{4}k^2=13k^2$，
$\therefore AC=\sqrt{13}k$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{13}k}{k}=\sqrt{13}$，即$\frac{EC}{BD}=\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，比例的性质
【点评】
本题是典型的几何综合题，解题核心是利用已知的等角和边的比例关系证明两组相似三角形，将未知线段的比值转化为已知三角形的边长比，再通过直角三角形的性质求解，能够较好地考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
首先观察已知条件，存在两组边成比例（$BC=3AB$，$DE=3AD$）和一组相等的角（$∠ ABC=∠ ADE=120°$），优先考虑通过相似三角形解题。第一步先证明$△ ABC ∽ △ ADE$，得到对应边比例和对应角相等，进而推出$∠ BAD=∠ CAE$；再证明$△ ABD ∽ △ ACE$，将所求$\frac{EC}{BD}$转化为$\frac{AC}{AB}$；最后在$△ ABC$中通过勾股定理或余弦定理求出$AC$与$AB$的比值即可。
【解析】
设$AB=k$，则$BC=3k$。
1. 证明$△ ABC ∽ △ ADE$：
$\because ∠ ABC=∠ ADE=120°$，且$\frac{BC}{AB}=\frac{DE}{AD}=3$，
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，$∠ BAC=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
2. 证明$△ ABD ∽ △ ACE$：
由$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
又$\because ∠ BAD=∠ CAE$，
$\therefore △ ABD ∽ △ ACE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{EC}{BD}=\frac{AC}{AB}$。
3. 计算$\frac{AC}{AB}$的值：
过点$A$作$AH⊥ CB$，交$CB$的延长线于点$H$，
$\because ∠ ABC=120°$，$\therefore ∠ ABH=180°-120°=60°$，
在$Rt△ ABH$中，$BH=AB·\cos60°=\frac{1}{2}k$，$AH=AB·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}k$，
$\therefore HC=BH+BC=\frac{1}{2}k+3k=\frac{7}{2}k$，
在$Rt△ AHC$中，由勾股定理得：
$AC^2=AH^2+HC^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}k)^2+(\frac{7}{2}k)^2=\frac{3}{4}k^2+\frac{49}{4}k^2=13k^2$，
$\therefore AC=\sqrt{13}k$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{13}k}{k}=\sqrt{13}$，即$\frac{EC}{BD}=\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，比例的性质
【点评】
本题是典型的几何综合题，解题核心是利用已知的等角和边的比例关系证明两组相似三角形，将未知线段的比值转化为已知三角形的边长比，再通过直角三角形的性质求解，能够较好地考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
15.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=1$,$AC=2$,射线$CF// AB$,点$D$在射线$CF$上运动,$DE⊥ BC$,垂足为$E$.若$△ ABC$与$△ BDE$相似,则$CD$的长为________.
答案
15.1或$\frac{5}{2}$ 解析:$\because ∠ A=90°,AB=1,AC=2,$
$\therefore BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.$
$\because DE⊥ BC,\therefore ∠ DEB=90°.$
$\because △ ABC$ 与 $△ BDE$ 相似,
$\therefore \frac{DE}{AC}=\frac{BE}{AB}$或$\frac{DE}{AB}=\frac{BE}{AC}$,即$\frac{DE}{2}=\frac{BE}{1}$或$\frac{DE}{1}=\frac{BE}{2}$,
$\therefore DE=2BE$ 或 $DE=\frac{1}{2}BE.$
$\because DC// AB,\therefore ∠ DCE=∠ ABC,$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DCE∽ \mathrm{Rt}△ CBA,$
$\therefore \frac{DE}{AC}=\frac{CE}{AB}=\frac{DC}{BC},\mathrm{即}\frac{DE}{2}=\frac{CE}{1}=\frac{DC}{\sqrt{5}},$
$\therefore DE=2CE,DC=\sqrt{5}CE.$
当 $DE=2BE$ 时,则 $BE=CE$,
$\therefore CE=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{5}}{2},\therefore CD=\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{5}{2};$
当 $DE=\frac{1}{2}BE$ 时,则 $BE=4CE$,
$\therefore 4CE+CE=\sqrt{5},\therefore CE=\frac{\sqrt{5}}{5},$
$\therefore CD=\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}=1.$
综上所述,$CD$ 的长为 1 或 $\frac{5}{2}.$
$\therefore BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.$
$\because DE⊥ BC,\therefore ∠ DEB=90°.$
$\because △ ABC$ 与 $△ BDE$ 相似,
$\therefore \frac{DE}{AC}=\frac{BE}{AB}$或$\frac{DE}{AB}=\frac{BE}{AC}$,即$\frac{DE}{2}=\frac{BE}{1}$或$\frac{DE}{1}=\frac{BE}{2}$,
$\therefore DE=2BE$ 或 $DE=\frac{1}{2}BE.$
$\because DC// AB,\therefore ∠ DCE=∠ ABC,$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DCE∽ \mathrm{Rt}△ CBA,$
$\therefore \frac{DE}{AC}=\frac{CE}{AB}=\frac{DC}{BC},\mathrm{即}\frac{DE}{2}=\frac{CE}{1}=\frac{DC}{\sqrt{5}},$
$\therefore DE=2CE,DC=\sqrt{5}CE.$
当 $DE=2BE$ 时,则 $BE=CE$,
$\therefore CE=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{5}}{2},\therefore CD=\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{5}{2};$
当 $DE=\frac{1}{2}BE$ 时,则 $BE=4CE$,
$\therefore 4CE+CE=\sqrt{5},\therefore CE=\frac{\sqrt{5}}{5},$
$\therefore CD=\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}=1.$
综上所述,$CD$ 的长为 1 或 $\frac{5}{2}.$
解析
【分析】
解题时先利用勾股定理求出$BC$的长度，由于$△ ABC$与$△ BDE$相似未明确对应顶点，因此需分两种对应情况讨论。再根据$CF// AB$，可证得$\mathrm{Rt}△ DCE∽ \mathrm{Rt}△ CBA$，得到$DE$、$CE$、$CD$之间的数量关系，最后结合两种相似的对应比例关系分别计算$CE$的长度，进而求出$CD$的值。
【解析】
在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=1$，$AC=2$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
$\because DE⊥ BC$，$\therefore ∠ DEB=90°=∠ A$。
$\because △ ABC$与$△ BDE$相似，对应顶点未明确，分两种情况：
① $\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{AB}$，即$\frac{DE}{2}=\frac{BE}{1}$，得$DE=2BE$；
② $\frac{DE}{AB}=\frac{BE}{AC}$，即$\frac{DE}{1}=\frac{BE}{2}$，得$DE=\frac{1}{2}BE$。
$\because CF// AB$，$\therefore ∠ DCE=∠ ABC$，又$∠ DEC=∠ A=90°$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ DCE∽ \mathrm{Rt}△ CBA$，则$\frac{DE}{AC}=\frac{CE}{AB}=\frac{DC}{BC}$，
代入得$\frac{DE}{2}=\frac{CE}{1}=\frac{DC}{\sqrt{5}}$，$\therefore DE=2CE$，$DC=\sqrt{5}CE$。
当$DE=2BE$时，结合$DE=2CE$得$BE=CE$，
$\therefore CE=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\therefore CD=\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{5}{2}$；
当$DE=\frac{1}{2}BE$时，结合$DE=2CE$得$2CE=\frac{1}{2}BE$，即$BE=4CE$，
$\because BE+CE=BC=\sqrt{5}$，$\therefore 4CE+CE=\sqrt{5}$，解得$CE=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore CD=\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}=1$。
综上，$CD$的长为1或$\frac{5}{2}$。
【答案】
1或$\frac{5}{2}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是几何综合类题目，核心考查相似三角形的应用，解题关键是明确相似三角形对应关系不唯一时需分类讨论，避免漏解，同时要能根据平行线的性质推导新的相似三角形，建立线段间的数量关系求解。
【难度系数】
0.6
解题时先利用勾股定理求出$BC$的长度，由于$△ ABC$与$△ BDE$相似未明确对应顶点，因此需分两种对应情况讨论。再根据$CF// AB$，可证得$\mathrm{Rt}△ DCE∽ \mathrm{Rt}△ CBA$，得到$DE$、$CE$、$CD$之间的数量关系，最后结合两种相似的对应比例关系分别计算$CE$的长度，进而求出$CD$的值。
【解析】
在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=1$，$AC=2$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
$\because DE⊥ BC$，$\therefore ∠ DEB=90°=∠ A$。
$\because △ ABC$与$△ BDE$相似，对应顶点未明确，分两种情况：
① $\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{AB}$，即$\frac{DE}{2}=\frac{BE}{1}$，得$DE=2BE$；
② $\frac{DE}{AB}=\frac{BE}{AC}$，即$\frac{DE}{1}=\frac{BE}{2}$，得$DE=\frac{1}{2}BE$。
$\because CF// AB$，$\therefore ∠ DCE=∠ ABC$，又$∠ DEC=∠ A=90°$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ DCE∽ \mathrm{Rt}△ CBA$，则$\frac{DE}{AC}=\frac{CE}{AB}=\frac{DC}{BC}$，
代入得$\frac{DE}{2}=\frac{CE}{1}=\frac{DC}{\sqrt{5}}$，$\therefore DE=2CE$，$DC=\sqrt{5}CE$。
当$DE=2BE$时，结合$DE=2CE$得$BE=CE$，
$\therefore CE=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\therefore CD=\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{5}{2}$；
当$DE=\frac{1}{2}BE$时，结合$DE=2CE$得$2CE=\frac{1}{2}BE$，即$BE=4CE$，
$\because BE+CE=BC=\sqrt{5}$，$\therefore 4CE+CE=\sqrt{5}$，解得$CE=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\therefore CD=\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}=1$。
综上，$CD$的长为1或$\frac{5}{2}$。
【答案】
1或$\frac{5}{2}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是几何综合类题目，核心考查相似三角形的应用，解题关键是明确相似三角形对应关系不唯一时需分类讨论，避免漏解，同时要能根据平行线的性质推导新的相似三角形，建立线段间的数量关系求解。
【难度系数】
0.6
16如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=5$,$BC=6$,若$P$是$BC$边上任意一点,且满足$∠ APM=∠ ABC$,$PM$与$AC$边的交点为$M$,则线段$AM$的最小值是
$\frac{16}{5}$
.答案
16.$\frac{16}{5}$ 解析:设 $BP=x$,则 $CP=6-x$.
$\because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ ACB.$
$\because ∠ APM=∠ ABC,$
$\therefore ∠ APM=∠ ABC=∠ ACB,\mathrm{即}∠ ABP=∠ PCM.$
$\because ∠ APC=∠ APM+∠ MPC=∠ ABP+∠ BAP,$
$\therefore ∠ MPC=∠ BAP,\therefore △ ABP∽ △ PCM,$
$\therefore \frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CM},\mathrm{即}\frac{5}{6-x}=\frac{x}{CM},\therefore CM=\frac{6x-x^2}{5},$
$\therefore AM=5-\frac{6x-x^2}{5}=\frac{1}{5}x^2-\frac{6}{5}x+5=\frac{1}{5}(x-3)^2+\frac{16}{5},$
$\therefore \mathrm{当}x=3\mathrm{时},AM\mathrm{有最小值},\mathrm{此时}AM=\frac{16}{5}.$
$\because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ ACB.$
$\because ∠ APM=∠ ABC,$
$\therefore ∠ APM=∠ ABC=∠ ACB,\mathrm{即}∠ ABP=∠ PCM.$
$\because ∠ APC=∠ APM+∠ MPC=∠ ABP+∠ BAP,$
$\therefore ∠ MPC=∠ BAP,\therefore △ ABP∽ △ PCM,$
$\therefore \frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CM},\mathrm{即}\frac{5}{6-x}=\frac{x}{CM},\therefore CM=\frac{6x-x^2}{5},$
$\therefore AM=5-\frac{6x-x^2}{5}=\frac{1}{5}x^2-\frac{6}{5}x+5=\frac{1}{5}(x-3)^2+\frac{16}{5},$
$\therefore \mathrm{当}x=3\mathrm{时},AM\mathrm{有最小值},\mathrm{此时}AM=\frac{16}{5}.$
解析
【分析】
本题可先利用等腰三角形性质和角的等量关系证明三角形相似，再通过设未知数表示相关线段长度，将AM的长度转化为关于未知数的二次函数，最后根据二次函数的性质求出最小值。具体思考路径：首先由AB=AC得底角相等，结合已知∠APM=∠ABC，通过角的和差关系推出两组对应角相等，证明△ABP∽△PCM；再设BP=x，用含x的式子表示CP，利用相似三角形的对应边成比例求出CM的表达式，进而得到AM关于x的函数关系式，最后配方求二次函数的最小值即可。
【解析】
设$BP=x$（$0≤ x≤6$），则$CP=6-x$。
$\because AB=AC=5$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$。
$\because ∠ APM=∠ ABC$，$\therefore ∠ APM=∠ ABC=∠ ACB$。
$\because ∠ APC$是$△ ABP$的外角，$\therefore ∠ APC=∠ ABP+∠ BAP$，
又$\because ∠ APC=∠ APM+∠ MPC$，
$\therefore ∠ APM+∠ MPC=∠ ABP+∠ BAP$，
结合$∠ APM=∠ ABP$，可得$∠ MPC=∠ BAP$，
$\therefore △ ABP ∽ △ PCM$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CM}$，
代入已知边长得$\frac{5}{6-x}=\frac{x}{CM}$，解得$CM=\frac{6x-x^2}{5}$。
$\therefore AM=AC-CM=5-\frac{6x-x^2}{5}=\frac{1}{5}x^2-\frac{6}{5}x+5$，
配方得$AM=\frac{1}{5}(x-3)^2+\frac{16}{5}$。
$\because \frac{1}{5}＞0$，二次函数开口向上，且$x=3$在$0≤ x≤6$的范围内，
$\therefore$当$x=3$时，$AM$取得最小值。
【答案】
$\frac{16}{5}$
【知识点】
等腰三角形性质、相似三角形判定与性质、二次函数的最值
【点评】
本题将几何线段最值问题转化为二次函数最值问题，既考查了三角形相关的几何性质，又考查了二次函数的应用，体现了数形结合与转化的数学思想，需要具备一定的综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
本题可先利用等腰三角形性质和角的等量关系证明三角形相似，再通过设未知数表示相关线段长度，将AM的长度转化为关于未知数的二次函数，最后根据二次函数的性质求出最小值。具体思考路径：首先由AB=AC得底角相等，结合已知∠APM=∠ABC，通过角的和差关系推出两组对应角相等，证明△ABP∽△PCM；再设BP=x，用含x的式子表示CP，利用相似三角形的对应边成比例求出CM的表达式，进而得到AM关于x的函数关系式，最后配方求二次函数的最小值即可。
【解析】
设$BP=x$（$0≤ x≤6$），则$CP=6-x$。
$\because AB=AC=5$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$。
$\because ∠ APM=∠ ABC$，$\therefore ∠ APM=∠ ABC=∠ ACB$。
$\because ∠ APC$是$△ ABP$的外角，$\therefore ∠ APC=∠ ABP+∠ BAP$，
又$\because ∠ APC=∠ APM+∠ MPC$，
$\therefore ∠ APM+∠ MPC=∠ ABP+∠ BAP$，
结合$∠ APM=∠ ABP$，可得$∠ MPC=∠ BAP$，
$\therefore △ ABP ∽ △ PCM$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CM}$，
代入已知边长得$\frac{5}{6-x}=\frac{x}{CM}$，解得$CM=\frac{6x-x^2}{5}$。
$\therefore AM=AC-CM=5-\frac{6x-x^2}{5}=\frac{1}{5}x^2-\frac{6}{5}x+5$，
配方得$AM=\frac{1}{5}(x-3)^2+\frac{16}{5}$。
$\because \frac{1}{5}＞0$，二次函数开口向上，且$x=3$在$0≤ x≤6$的范围内，
$\therefore$当$x=3$时，$AM$取得最小值。
【答案】
$\frac{16}{5}$
【知识点】
等腰三角形性质、相似三角形判定与性质、二次函数的最值
【点评】
本题将几何线段最值问题转化为二次函数最值问题，既考查了三角形相关的几何性质，又考查了二次函数的应用，体现了数形结合与转化的数学思想，需要具备一定的综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
