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7 如图，AB是$\odot O$的弦，$OC⊥ AB$于点C，连结OB，P是半径OB上任意一点，连结AP。若$OB=5$，$OC=3$，则AP的长不可能是（
A.6
B.7
C.8
D.9
D
）A.6
B.7
C.8
D.9
答案
7. D
8 新情境 生活实际 [2026杭州淳安期中]游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一。
如图，大摆锤OB以点O为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动1次的运动轨迹可以看作$\overset{\frown}{AC}$，连结AC，交OB于点D。已知OB⊥AC，且B为$\overset{\frown}{AC}$的中点，AC=16 m，BD=4 m，则大摆锤OB的长度为（
A.8 m
B.9 m
C.10 m
D.12 m
如图，大摆锤OB以点O为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动1次的运动轨迹可以看作$\overset{\frown}{AC}$，连结AC，交OB于点D。已知OB⊥AC，且B为$\overset{\frown}{AC}$的中点，AC=16 m，BD=4 m，则大摆锤OB的长度为（
C
）A.8 m
B.9 m
C.10 m
D.12 m
答案
8. C
9 如图,在$\odot O$中,直径$AB⊥CD$于点E,$CD=6,BE=1$,则弦AC的长为
$3\sqrt{10}$
.答案
9. $3\sqrt{10}$
10 如图，AB是$\odot O$的弦，半径$OD ⊥ AB$，垂足为$H$，$BC ⊥ AB$，交$AD$的延长线于点$C$。
（1）求证：$D$是$AC$的中点；
（2）若$AB=6$，$AC=2\sqrt{13}$，求$\odot O$的半径。
（1）求证：$D$是$AC$的中点；
（2）若$AB=6$，$AC=2\sqrt{13}$，求$\odot O$的半径。
答案
(1) 连结 $BD$. 因为 $AB$ 是$\odot O$ 的弦,半径 $OD⊥AB$,所以 $D$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点. 所以 $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$. 所以 $AD=BD$. 所以 $∠BAD=∠ABD$. 因为 $BC⊥AB$,所以 $∠ABC=90°$. 所以 $∠BAD+∠C=90°$,$∠ABD+∠DBC=90°$. 所以 $∠DBC=∠C$. 所以 $BD=CD$. 所以 $AD=CD$,即 $D$ 为 $AC$ 的中点
(2) 连结 $OA$. 因为半径 $OD⊥AB$,垂足为 $H$,$AB=6$,所以 $AH=\frac{1}{2}AB=3$. 由(1)知,$D$ 是 $AC$ 的中点,$AC=2\sqrt{13}$,所以 $AD=\sqrt{13}$. 所以在 $\mathrm{Rt}△ AHD$ 中,$DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=2$. 设 $OD=OA=r$,则 $OH=OD-DH=r-2$,在 $\mathrm{Rt}△ OAH$ 中,$OH^2+AH^2=OA^2$,即$(r-2)^2+3^2=r^2$,解得 $r=\frac{13}{4}$. 所以$\odot O$ 的半径为 $\frac{13}{4}$
(2) 连结 $OA$. 因为半径 $OD⊥AB$,垂足为 $H$,$AB=6$,所以 $AH=\frac{1}{2}AB=3$. 由(1)知,$D$ 是 $AC$ 的中点,$AC=2\sqrt{13}$,所以 $AD=\sqrt{13}$. 所以在 $\mathrm{Rt}△ AHD$ 中,$DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{(\sqrt{13})^2-3^2}=2$. 设 $OD=OA=r$,则 $OH=OD-DH=r-2$,在 $\mathrm{Rt}△ OAH$ 中,$OH^2+AH^2=OA^2$,即$(r-2)^2+3^2=r^2$,解得 $r=\frac{13}{4}$. 所以$\odot O$ 的半径为 $\frac{13}{4}$
11 如图①，通过用不同的方法计算梯形ABCD的面积，来验证勾股定理.a,b,c分别是Rt△ABE和Rt△CDE的边长，易知AD=√2 c，这时我们把关于x的形如$ax^2+\sqrt{2}cx + b=0$的一元二次方程称为“勾氏方程”.请解决下列问题：
（1）方程$x^2+2x+1=0$
（2）求证：关于x的“勾氏方程”$ax^2 + \sqrt{2}cx + b=0$必有实数根.
（3）如图②，$\odot O$的半径为10，AB,CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，$AB=2m$，$CD=2n$，$m≠n$.若关于x的方程$mx^2 +10\sqrt{2}x +n=0$是“勾氏方程”，连结OB，OD，求$∠ BOD$的度数.
（1）方程$x^2+2x+1=0$
是
（填“是”或“不是”）“勾氏方程”.（2）求证：关于x的“勾氏方程”$ax^2 + \sqrt{2}cx + b=0$必有实数根.
（3）如图②，$\odot O$的半径为10，AB,CD是位于圆心O异侧的两条平行弦，$AB=2m$，$CD=2n$，$m≠n$.若关于x的方程$mx^2 +10\sqrt{2}x +n=0$是“勾氏方程”，连结OB，OD，求$∠ BOD$的度数.
答案
(1) 是
(2) 因为关于 $x$ 的方程 $ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$ 是“勾氏方程”,所以 $a,b,c$ 构成直角三角形,$c$ 是斜边的长. 所以 $c^2=a^2+b^2$. 所以 $(\sqrt{2}c)^2-4ab=2(a^2+b^2-2ab)=2(a-b)^2\ge0$. 所以关于 $x$ 的“勾氏方程”$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$ 必有实数根
(3) 如图,作 $OE⊥CD$ 于点 $E$,作 $EO$ 的延长线交 $AB$ 于点 $F$. 因为关于 $x$ 的方程 $mx^2+10\sqrt{2}x+n=0$ 是“勾氏方程”,所以 $m,n,10$ 构成直角三角形,$10$ 是斜边的长. 所以 $m^2+n^2=10^2$. 因为 $AB// CD$,$OE⊥CD$,所以 $OF⊥AB$,$DE=\frac{1}{2}CD=n$. 所以 $∠OED=∠OFB=90°$. 所以 $BF=\frac{1}{2}AB=m$. 所以 $DE^2+OE^2=OD^2$,$OF^2+BF^2=OB^2$,即 $n^2+OE^2=10^2$,$OF^2+m^2=10^2$. 又因为 $m^2+n^2=10^2$,所以 $OE=m$,$OF=n$. 所以 $DE=OF$,$OE=BF$. 因为 $OD=BO$,所以 $△ OED≌△ BFO$. 所以 $∠EOD=∠FBO$. 因为 $∠FBO+∠BOF=90°$,所以 $∠EOD+∠BOF=90°$. 所以 $∠BOD=90°$
