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18.如图，在$△ OAB$中，$OA=OB$，$\odot O$交$AB$于点$C$，$D$，求证：$AC=BD$. 
答案
证明:过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$,连接$OC,OD$.
$\because OA=OB,OC=OD,\therefore AE=BE,CE=DE,\therefore AC=BD$
$\because OA=OB,OC=OD,\therefore AE=BE,CE=DE,\therefore AC=BD$
解析
【分析】
要证明AC=BD，可通过转化为相等线段的差来推导：已知△OAB是等腰三角形（OA=OB），OC、OD都是⊙O的半径，二者长度相等。等腰三角形的三线合一性质、圆的垂径定理均可以通过过O作AB的垂线来触发，因此先作这条辅助线，得到两组相等的线段，再作差即可推出要证明的结论。
【解析】
证明：过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，连接$OC,OD$。
∵ $OA=OB$，$OE⊥AB$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AE=BE$。
∵ $OC、OD$都是$\odot O$的半径，
∴ $OC=OD$，又$OE⊥CD$，根据垂径定理可得$CE=DE$。
∴ $AE-CE=BE-DE$，即$AC=BD$。
【答案】
证明:过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$,连接$OC,OD$.
$\because OA=OB,OC=OD,\therefore AE=BE,CE=DE,\therefore AC=BD$
【知识点】
等腰三角形的性质、垂径定理
【点评】
本题是等腰三角形与圆的性质结合的基础证明题，解题关键是掌握“过圆心作弦的垂线”这一常用辅助线作法，通过性质得到线段相等关系后，利用线段和差即可推导结论。
【难度系数】
0.8
要证明AC=BD，可通过转化为相等线段的差来推导：已知△OAB是等腰三角形（OA=OB），OC、OD都是⊙O的半径，二者长度相等。等腰三角形的三线合一性质、圆的垂径定理均可以通过过O作AB的垂线来触发，因此先作这条辅助线，得到两组相等的线段，再作差即可推出要证明的结论。
【解析】
证明：过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，连接$OC,OD$。
∵ $OA=OB$，$OE⊥AB$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AE=BE$。
∵ $OC、OD$都是$\odot O$的半径，
∴ $OC=OD$，又$OE⊥CD$，根据垂径定理可得$CE=DE$。
∴ $AE-CE=BE-DE$，即$AC=BD$。
【答案】
证明:过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$,连接$OC,OD$.
$\because OA=OB,OC=OD,\therefore AE=BE,CE=DE,\therefore AC=BD$
【知识点】
等腰三角形的性质、垂径定理
【点评】
本题是等腰三角形与圆的性质结合的基础证明题，解题关键是掌握“过圆心作弦的垂线”这一常用辅助线作法，通过性质得到线段相等关系后，利用线段和差即可推导结论。
【难度系数】
0.8
19.扇形的圆心角为$60°$,其弧长是$4π$ cm.
(1)求此弧所在圆的半径长.
(2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面,求该圆锥的高.
(1)求此弧所在圆的半径长.
(2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面,求该圆锥的高.
答案
(1)设此弧所在圆的半径长为$r$ cm,根据题意可得$\frac{60°}{360°}×2π r=4π$,解得$r=12$.
弧所在圆的半径为 12 cm.
(2)结合(1)可知圆锥的母线长$l=12$ cm.
设这个扇形制作成的圆锥底面圆的半径为$a$ cm,则有$2π a=4π$,解得$a=2$.
根据勾股定理得,圆锥的高$h=\sqrt{l^2-a^2}=2\sqrt{35}$ cm.
弧所在圆的半径为 12 cm.
(2)结合(1)可知圆锥的母线长$l=12$ cm.
设这个扇形制作成的圆锥底面圆的半径为$a$ cm,则有$2π a=4π$,解得$a=2$.
根据勾股定理得,圆锥的高$h=\sqrt{l^2-a^2}=2\sqrt{35}$ cm.
解析
【分析】
（1）第一问已知扇形圆心角和弧长，可通过弧长占所在圆周长的比例或弧长公式列方程，求解得到圆的半径；（2）第二问需明确扇形围成圆锥侧面的对应关系：扇形弧长等于圆锥底面圆周长，扇形半径等于圆锥母线长，先求出底面圆半径，再利用圆锥母线、底面半径、高构成直角三角形的特点，通过勾股定理计算圆锥的高。
【解析】
(1) 设此弧所在圆的半径长为$r$ cm，
根据弧长与圆周长的关系可列方程：
$\frac{60°}{360°}×2π r=4π$
化简解得：$r=12$
即弧所在圆的半径为12 cm。
(2) 扇形制作成圆锥侧面时，扇形半径即为圆锥的母线长，因此母线长$l=12$ cm。
设圆锥底面圆的半径为$a$ cm，由于圆锥底面周长等于扇形弧长，可列方程：
$2π a=4π$
解得：$a=2$
根据勾股定理，圆锥的高$h=\sqrt{l^2-a^2}$，代入数值计算：
$h=\sqrt{12^2-2^2}=\sqrt{140}=2\sqrt{35}$（cm）
【答案】
(1) 12 cm；(2) $2\sqrt{35}$ cm
【知识点】
弧长计算，圆锥侧面展开图，勾股定理
【点评】
本题是扇形与圆锥结合的基础常考题，解题核心是理清扇形和圆锥各量之间的对应等量关系，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
（1）第一问已知扇形圆心角和弧长，可通过弧长占所在圆周长的比例或弧长公式列方程，求解得到圆的半径；（2）第二问需明确扇形围成圆锥侧面的对应关系：扇形弧长等于圆锥底面圆周长，扇形半径等于圆锥母线长，先求出底面圆半径，再利用圆锥母线、底面半径、高构成直角三角形的特点，通过勾股定理计算圆锥的高。
【解析】
(1) 设此弧所在圆的半径长为$r$ cm，
根据弧长与圆周长的关系可列方程：
$\frac{60°}{360°}×2π r=4π$
化简解得：$r=12$
即弧所在圆的半径为12 cm。
(2) 扇形制作成圆锥侧面时，扇形半径即为圆锥的母线长，因此母线长$l=12$ cm。
设圆锥底面圆的半径为$a$ cm，由于圆锥底面周长等于扇形弧长，可列方程：
$2π a=4π$
解得：$a=2$
根据勾股定理，圆锥的高$h=\sqrt{l^2-a^2}$，代入数值计算：
$h=\sqrt{12^2-2^2}=\sqrt{140}=2\sqrt{35}$（cm）
【答案】
(1) 12 cm；(2) $2\sqrt{35}$ cm
【知识点】
弧长计算，圆锥侧面展开图，勾股定理
【点评】
本题是扇形与圆锥结合的基础常考题，解题核心是理清扇形和圆锥各量之间的对应等量关系，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
20.如图,在$\odot O$中,半径$OA$与弦$BD$垂直,点$C$在$\odot O$上,$∠ AOB=80°$.
(1)若点$C$在优弧$\overset{\frown}{BD}$上,求$∠ ACD$的大小.
(2)若点$C$在劣弧$\overset{\frown}{BD}$上,直接写出$∠ ACD$的大小.
(1)若点$C$在优弧$\overset{\frown}{BD}$上,求$∠ ACD$的大小.
(2)若点$C$在劣弧$\overset{\frown}{BD}$上,直接写出$∠ ACD$的大小.
答案
(1)连接$OD$.
$\because OA⊥ BD,\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD},\therefore∠ AOD=∠ AOB=80°$,
$\because∠ ACD=\frac{1}{2}∠ AOD,\therefore∠ ACD=40°$.
(2)当点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上时,$∠ ACD=40°$;当点$C$在$\overset{\frown}{AD}$上时,$∠ ACD=140°$.
$\because OA⊥ BD,\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD},\therefore∠ AOD=∠ AOB=80°$,
$\because∠ ACD=\frac{1}{2}∠ AOD,\therefore∠ ACD=40°$.
(2)当点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上时,$∠ ACD=40°$;当点$C$在$\overset{\frown}{AD}$上时,$∠ ACD=140°$.
解析
【分析】
（1）已知半径OA垂直弦BD，首先根据垂径定理可得OA平分弦BD所对的弧，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，进而得到对应圆心角$∠ AOD=∠ AOB=80°$，再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出$∠ ACD$的度数。（2）当点C在劣弧$\overset{\frown}{BD}$上时，需分两种情况讨论：点C在$\overset{\frown}{AB}$上、点C在$\overset{\frown}{AD}$上，分别结合圆周角定理计算对应的角度，避免漏解。
【解析】
(1) 连接$OD$。
$\because OA⊥ BD$，由垂径定理可知，垂直于弦的半径平分弦所对的弧，
$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore$ 等弧所对的圆心角相等，$∠ AOD=∠ AOB=80°$，
$\because$ 同弧$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角$∠ ACD$是圆心角$∠ AOD$的一半，
$\therefore∠ ACD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×80°=40°$。
(2) 分两种情况：
① 当点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上时，$∠ ACD$所对的弧仍为$\overset{\frown}{AD}$，因此$∠ ACD=40°$；
② 当点$C$在$\overset{\frown}{AD}$上时，$∠ ACD$所对的弧为优弧$\overset{\frown}{ABD}$，该优弧对应的圆心角为$360°-80°=280°$，由圆周角定理可得$∠ ACD=\frac{1}{2}×280°=140°$。
【答案】
(1) $∠ ACD=40°$
(2) 当点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上时，$∠ ACD=40°$；当点$C$在$\overset{\frown}{AD}$上时，$∠ ACD=140°$
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、分类讨论
【点评】
本题考查圆的基本性质的应用，解题核心是熟练运用垂径定理和圆周角定理，第二问需要注意点的位置的多种可能性，做题时要考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）已知半径OA垂直弦BD，首先根据垂径定理可得OA平分弦BD所对的弧，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，进而得到对应圆心角$∠ AOD=∠ AOB=80°$，再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出$∠ ACD$的度数。（2）当点C在劣弧$\overset{\frown}{BD}$上时，需分两种情况讨论：点C在$\overset{\frown}{AB}$上、点C在$\overset{\frown}{AD}$上，分别结合圆周角定理计算对应的角度，避免漏解。
【解析】
(1) 连接$OD$。
$\because OA⊥ BD$，由垂径定理可知，垂直于弦的半径平分弦所对的弧，
$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore$ 等弧所对的圆心角相等，$∠ AOD=∠ AOB=80°$，
$\because$ 同弧$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角$∠ ACD$是圆心角$∠ AOD$的一半，
$\therefore∠ ACD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×80°=40°$。
(2) 分两种情况：
① 当点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上时，$∠ ACD$所对的弧仍为$\overset{\frown}{AD}$，因此$∠ ACD=40°$；
② 当点$C$在$\overset{\frown}{AD}$上时，$∠ ACD$所对的弧为优弧$\overset{\frown}{ABD}$，该优弧对应的圆心角为$360°-80°=280°$，由圆周角定理可得$∠ ACD=\frac{1}{2}×280°=140°$。
【答案】
(1) $∠ ACD=40°$
(2) 当点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上时，$∠ ACD=40°$；当点$C$在$\overset{\frown}{AD}$上时，$∠ ACD=140°$
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、分类讨论
【点评】
本题考查圆的基本性质的应用，解题核心是熟练运用垂径定理和圆周角定理，第二问需要注意点的位置的多种可能性，做题时要考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.6
21.如图，AB，CD是$\odot O$的两条弦，$∠ AOB+∠ COD=180°$。
(1)若$∠ AOB=60°$，且$AB=1$，直接写出$CD$的长度。
(2)设$\odot O$的半径为$r$，猜想$AB$，$CD$和$r$的数量关系，并证明你的结论。
(1)若$∠ AOB=60°$，且$AB=1$，直接写出$CD$的长度。
(2)设$\odot O$的半径为$r$，猜想$AB$，$CD$和$r$的数量关系，并证明你的结论。
答案
(1)$CD=\sqrt{3}$.
(2)$CD^2+AB^2=4r^2$.
证明:延长$CO$交圆于点$N$,连接$DN$.
$\because∠ AOB+∠ COD=180°,∠ DON+∠ COD=180°,\therefore∠ AOB=∠ DON$,
$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DN},\therefore AB=DN$,
$\because$在$\mathrm{Rt}△ CDN$中$CD^2+DN^2=CN^2,CN=2r,\therefore CD^2+AB^2=4r^2$.
(2)$CD^2+AB^2=4r^2$.
证明:延长$CO$交圆于点$N$,连接$DN$.
$\because∠ AOB+∠ COD=180°,∠ DON+∠ COD=180°,\therefore∠ AOB=∠ DON$,
$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DN},\therefore AB=DN$,
$\because$在$\mathrm{Rt}△ CDN$中$CD^2+DN^2=CN^2,CN=2r,\therefore CD^2+AB^2=4r^2$.
解析
【分析】
(1) 先根据∠AOB与∠COD的和为180°求出∠COD的度数，再由等边三角形的判定得到圆的半径，最后在等腰△COD中通过作高结合勾股定理计算CD的长度即可。
(2) 要推导AB、CD和半径r的数量关系，可利用两角和为180°的条件构造直径，将AB转化为等长的弦，结合直径所对圆周角为直角的性质，构造直角三角形后用勾股定理即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1)
∵∠AOB+∠COD=180°，∠AOB=60°，
∴∠COD=180°-60°=120°。
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，即⊙O的半径$r=AB=1$。
过O作$OE⊥ CD$于E，
∵OC=OD=1，
∴OE平分∠COD，$CE=DE=\frac{1}{2}CD$，
∴$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COD=60°$，$∠ OCE=30°$，
∴$OE=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}$，
在$Rt△ COE$中，由勾股定理得$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$CD=2CE=\sqrt{3}$。
(2) 猜想：$CD^2+AB^2=4r^2$，证明如下：
延长CO交$\odot O$于点N，连接DN。
∵$∠ DON+∠ COD=180°$，$∠ AOB+∠ COD=180°$，
∴$∠ AOB=∠ DON$。
∵同圆中相等的圆心角所对的弦相等，
∴$AB=DN$。
∵CN是$\odot O$的直径，
∴$∠ CDN=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$Rt△ CDN$中，由勾股定理得$CD^2+DN^2=CN^2$，
∵$CN=2r$，$DN=AB$，
∴代入得$CD^2+AB^2=(2r)^2=4r^2$，猜想成立。
【答案】
(1) $\sqrt{3}$
(2) $CD^2+AB^2=4r^2$，证明见解析
【知识点】
圆心角与弦的关系；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题考查圆的基本性质与直角三角形性质的综合应用，解题的关键是合理构造直径作为辅助线，将角的等量关系转化为弦的等量关系，再结合勾股定理求解，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 先根据∠AOB与∠COD的和为180°求出∠COD的度数，再由等边三角形的判定得到圆的半径，最后在等腰△COD中通过作高结合勾股定理计算CD的长度即可。
(2) 要推导AB、CD和半径r的数量关系，可利用两角和为180°的条件构造直径，将AB转化为等长的弦，结合直径所对圆周角为直角的性质，构造直角三角形后用勾股定理即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1)
∵∠AOB+∠COD=180°，∠AOB=60°，
∴∠COD=180°-60°=120°。
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，即⊙O的半径$r=AB=1$。
过O作$OE⊥ CD$于E，
∵OC=OD=1，
∴OE平分∠COD，$CE=DE=\frac{1}{2}CD$，
∴$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COD=60°$，$∠ OCE=30°$，
∴$OE=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}$，
在$Rt△ COE$中，由勾股定理得$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$CD=2CE=\sqrt{3}$。
(2) 猜想：$CD^2+AB^2=4r^2$，证明如下：
延长CO交$\odot O$于点N，连接DN。
∵$∠ DON+∠ COD=180°$，$∠ AOB+∠ COD=180°$，
∴$∠ AOB=∠ DON$。
∵同圆中相等的圆心角所对的弦相等，
∴$AB=DN$。
∵CN是$\odot O$的直径，
∴$∠ CDN=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$Rt△ CDN$中，由勾股定理得$CD^2+DN^2=CN^2$，
∵$CN=2r$，$DN=AB$，
∴代入得$CD^2+AB^2=(2r)^2=4r^2$，猜想成立。
【答案】
(1) $\sqrt{3}$
(2) $CD^2+AB^2=4r^2$，证明见解析
【知识点】
圆心角与弦的关系；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题考查圆的基本性质与直角三角形性质的综合应用，解题的关键是合理构造直径作为辅助线，将角的等量关系转化为弦的等量关系，再结合勾股定理求解，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
