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18.如图，在$△ OAB$中，$OA=OB$，$\odot O$交$AB$于点$C$，$D$，求证：$AC=BD$. 
答案
证明:过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$,连接$OC,OD$.
$\because OA=OB,OC=OD,\therefore AE=BE,CE=DE,\therefore AC=BD$
$\because OA=OB,OC=OD,\therefore AE=BE,CE=DE,\therefore AC=BD$
解析
【分析】
要证明AC=BD，可通过线段和差推导：观察到AC=AE-CE，BD=BE-DE，因此只需证明AE=BE、CE=DE即可。已知△OAB为等腰三角形，OA=OB，结合等腰三角形三线合一的性质，过O作AB的垂线即可得到AE=BE；同时OC、OD都是⊙O的半径，根据垂径定理，同一条垂线也能得到CE=DE，两组等式相减即可得证。
【解析】
1. 作辅助线：过点O作OE⊥AB于点E，连接OC、OD。
2. 由OA=OB，OE⊥AB，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AE=BE。
3. 由于OC、OD均为⊙O的半径，故OC=OD，又OE⊥CD，根据垂径定理，可得CE=DE。
4. 根据等式的性质，AE-CE=BE-DE，即AC=BD。
【答案】
证明:过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$,连接$OC,OD$.
$\because OA=OB,OC=OD,\therefore AE=BE,CE=DE,\therefore AC=BD$
【知识点】
等腰三角形三线合一；垂径定理；等式的性质
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础证明题，解题关键是构造垂直于AB的辅助线，同时运用等腰三角形性质和垂径定理得到两组相等线段，通过简单的线段差运算即可得出结论，侧重考查基础几何辅助线的构造能力和性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明AC=BD，可通过线段和差推导：观察到AC=AE-CE，BD=BE-DE，因此只需证明AE=BE、CE=DE即可。已知△OAB为等腰三角形，OA=OB，结合等腰三角形三线合一的性质，过O作AB的垂线即可得到AE=BE；同时OC、OD都是⊙O的半径，根据垂径定理，同一条垂线也能得到CE=DE，两组等式相减即可得证。
【解析】
1. 作辅助线：过点O作OE⊥AB于点E，连接OC、OD。
2. 由OA=OB，OE⊥AB，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AE=BE。
3. 由于OC、OD均为⊙O的半径，故OC=OD，又OE⊥CD，根据垂径定理，可得CE=DE。
4. 根据等式的性质，AE-CE=BE-DE，即AC=BD。
【答案】
证明:过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$,连接$OC,OD$.
$\because OA=OB,OC=OD,\therefore AE=BE,CE=DE,\therefore AC=BD$
【知识点】
等腰三角形三线合一；垂径定理；等式的性质
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础证明题，解题关键是构造垂直于AB的辅助线，同时运用等腰三角形性质和垂径定理得到两组相等线段，通过简单的线段差运算即可得出结论，侧重考查基础几何辅助线的构造能力和性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.8
19.扇形的圆心角为$60°$,其弧长是$4π$ cm.
(1)求此弧所在圆的半径长.
(2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面,求该圆锥的高.
(1)求此弧所在圆的半径长.
(2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面,求该圆锥的高.
答案
(1)设此弧所在圆的半径长为$r$ cm,根据题意可得$\frac{60°}{360°}×2π r=4π$,解得$r=12$.
弧所在圆的半径为 12 cm.
(2)结合(1)可知圆锥的母线长$l=12$ cm.
设这个扇形制作成的圆锥底面圆的半径为$a$ cm,则有$2π a=4π$,解得$a=2$.
根据勾股定理得,圆锥的高$h=\sqrt{l^2-a^2}=2\sqrt{35}$ cm.
弧所在圆的半径为 12 cm.
(2)结合(1)可知圆锥的母线长$l=12$ cm.
设这个扇形制作成的圆锥底面圆的半径为$a$ cm,则有$2π a=4π$,解得$a=2$.
根据勾股定理得,圆锥的高$h=\sqrt{l^2-a^2}=2\sqrt{35}$ cm.
解析
【分析】
(1) 已知扇形的圆心角和弧长，求所在圆的半径，可利用弧长和圆周长的关系列方程求解：弧长等于圆心角占周角的比例乘整圆的周长，代入已知条件即可算出半径。
(2) 扇形制作成圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径就是圆锥的母线长。先根据弧长求出圆锥底面半径，再结合圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，用勾股定理就能求出圆锥的高。
【解析】
(1) 设此弧所在圆的半径长为$r$ cm，根据弧长和圆周长的关系可得：
$\frac{60°}{360°}×2π r=4π$
化简得$\frac{1}{3}π r=4π$，两边同时除以$π$后解得$r=12$。
即弧所在圆的半径为12 cm。
(2) 由(1)可知扇形半径为12 cm，即制作成的圆锥母线长$l=12$ cm。
设圆锥底面圆的半径为$a$ cm，根据扇形弧长等于圆锥底面周长可得：
$2π a=4π$，解得$a=2$。
根据勾股定理，圆锥的高$h=\sqrt{l^2-a^2}$，代入数值计算：
$h=\sqrt{12^2-2^2}=\sqrt{144-4}=\sqrt{140}=2\sqrt{35}$ cm。
【答案】
(1) 12 cm；(2) $2\sqrt{35}$ cm
【知识点】
弧长计算，圆锥侧面展开图，勾股定理
【点评】
本题是扇形与圆锥结合的基础常考题，解题核心是掌握扇形围成圆锥时的等量关系：弧长等于底面周长、扇形半径对应圆锥母线，再结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 已知扇形的圆心角和弧长，求所在圆的半径，可利用弧长和圆周长的关系列方程求解：弧长等于圆心角占周角的比例乘整圆的周长，代入已知条件即可算出半径。
(2) 扇形制作成圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径就是圆锥的母线长。先根据弧长求出圆锥底面半径，再结合圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，用勾股定理就能求出圆锥的高。
【解析】
(1) 设此弧所在圆的半径长为$r$ cm，根据弧长和圆周长的关系可得：
$\frac{60°}{360°}×2π r=4π$
化简得$\frac{1}{3}π r=4π$，两边同时除以$π$后解得$r=12$。
即弧所在圆的半径为12 cm。
(2) 由(1)可知扇形半径为12 cm，即制作成的圆锥母线长$l=12$ cm。
设圆锥底面圆的半径为$a$ cm，根据扇形弧长等于圆锥底面周长可得：
$2π a=4π$，解得$a=2$。
根据勾股定理，圆锥的高$h=\sqrt{l^2-a^2}$，代入数值计算：
$h=\sqrt{12^2-2^2}=\sqrt{144-4}=\sqrt{140}=2\sqrt{35}$ cm。
【答案】
(1) 12 cm；(2) $2\sqrt{35}$ cm
【知识点】
弧长计算，圆锥侧面展开图，勾股定理
【点评】
本题是扇形与圆锥结合的基础常考题，解题核心是掌握扇形围成圆锥时的等量关系：弧长等于底面周长、扇形半径对应圆锥母线，再结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
20.如图,在$\odot O$中,半径$OA$与弦$BD$垂直,点$C$在$\odot O$上,$∠ AOB=80°$.
(1)若点$C$在优弧$\overset{\frown}{BD}$上,求$∠ ACD$的大小.
(2)若点$C$在劣弧$\overset{\frown}{BD}$上,直接写出$∠ ACD$的大小.
(1)若点$C$在优弧$\overset{\frown}{BD}$上,求$∠ ACD$的大小.
(2)若点$C$在劣弧$\overset{\frown}{BD}$上,直接写出$∠ ACD$的大小.
答案
(1)连接$OD$.
$\because OA⊥ BD,\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD},\therefore∠ AOD=∠ AOB=80°$,
$\because∠ ACD=\frac{1}{2}∠ AOD,\therefore∠ ACD=40°$.
(2)当点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上时,$∠ ACD=40°$;当点$C$在$\overset{\frown}{AD}$上时,$∠ ACD=140°$.
$\because OA⊥ BD,\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD},\therefore∠ AOD=∠ AOB=80°$,
$\because∠ ACD=\frac{1}{2}∠ AOD,\therefore∠ ACD=40°$.
(2)当点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上时,$∠ ACD=40°$;当点$C$在$\overset{\frown}{AD}$上时,$∠ ACD=140°$.
解析
【分析】
(1) 首先观察已知条件：半径$OA$与弦$BD$垂直，可联想到垂径定理，垂直于弦的半径平分弦所对的弧，由此得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，对应圆心角$∠ AOD=∠ AOB$。要求$∠ ACD$的度数，结合圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求解。
(2) 当点$C$在劣弧$\overset{\frown}{BD}$上时，需分类讨论点$C$的位置：若点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上，$∠ ACD$所对的弧仍为$\overset{\frown}{AD}$，度数和第一问一致；若点$C$在$\overset{\frown}{AD}$上，$∠ ACD$所对的弧为优弧$\overset{\frown}{ABD}$，结合圆周角定理即可求出对应角度，注意不要漏解。
【解析】
(1) 连接$OD$。
$\because OA⊥ BD$，$OA$是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 由垂径定理得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore$ 同弧对应的圆心角相等，即$∠ AOD=∠ AOB=80°$。
又$\because ∠ ACD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，$∠ AOD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角，
由圆周角定理得$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ AOD$，
$\therefore ∠ ACD=\frac{1}{2}×80°=40°$。
(2) 分两种情况：
① 当点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上时，$∠ ACD$所对的弧为$\overset{\frown}{AD}$，故$∠ ACD=40°$；
② 当点$C$在$\overset{\frown}{AD}$上时，$∠ ACD$所对的弧为优弧$\overset{\frown}{ABD}$，对应的圆心角为$360°-80°=280°$，由圆周角定理得$∠ ACD=\frac{1}{2}×280°=140°$。
【答案】
(1) $\boxed{40°}$
(2) $\boxed{40°}$或$\boxed{140°}$
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题型，解题核心是熟练掌握垂径定理和圆周角定理，第二问要注意点$C$的位置存在两种情况，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 首先观察已知条件：半径$OA$与弦$BD$垂直，可联想到垂径定理，垂直于弦的半径平分弦所对的弧，由此得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，对应圆心角$∠ AOD=∠ AOB$。要求$∠ ACD$的度数，结合圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求解。
(2) 当点$C$在劣弧$\overset{\frown}{BD}$上时，需分类讨论点$C$的位置：若点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上，$∠ ACD$所对的弧仍为$\overset{\frown}{AD}$，度数和第一问一致；若点$C$在$\overset{\frown}{AD}$上，$∠ ACD$所对的弧为优弧$\overset{\frown}{ABD}$，结合圆周角定理即可求出对应角度，注意不要漏解。
【解析】
(1) 连接$OD$。
$\because OA⊥ BD$，$OA$是$\odot O$的半径，
$\therefore$ 由垂径定理得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}$，
$\therefore$ 同弧对应的圆心角相等，即$∠ AOD=∠ AOB=80°$。
又$\because ∠ ACD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，$∠ AOD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角，
由圆周角定理得$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ AOD$，
$\therefore ∠ ACD=\frac{1}{2}×80°=40°$。
(2) 分两种情况：
① 当点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上时，$∠ ACD$所对的弧为$\overset{\frown}{AD}$，故$∠ ACD=40°$；
② 当点$C$在$\overset{\frown}{AD}$上时，$∠ ACD$所对的弧为优弧$\overset{\frown}{ABD}$，对应的圆心角为$360°-80°=280°$，由圆周角定理得$∠ ACD=\frac{1}{2}×280°=140°$。
【答案】
(1) $\boxed{40°}$
(2) $\boxed{40°}$或$\boxed{140°}$
【知识点】
垂径定理、圆周角定理、圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题型，解题核心是熟练掌握垂径定理和圆周角定理，第二问要注意点$C$的位置存在两种情况，需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
21.如图，AB，CD是$\odot O$的两条弦，$∠ AOB+∠ COD=180°$。
(1)若$∠ AOB=60°$，且$AB=1$，直接写出$CD$的长度。
(2)设$\odot O$的半径为$r$，猜想$AB$，$CD$和$r$的数量关系，并证明你的结论。
(1)若$∠ AOB=60°$，且$AB=1$，直接写出$CD$的长度。
(2)设$\odot O$的半径为$r$，猜想$AB$，$CD$和$r$的数量关系，并证明你的结论。
答案
(1)$CD=\sqrt{3}$.
(2)$CD^2+AB^2=4r^2$.
证明:延长$CO$交圆于点$N$,连接$DN$.
$\because∠ AOB+∠ COD=180°,∠ DON+∠ COD=180°,\therefore∠ AOB=∠ DON$,
$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DN},\therefore AB=DN$,
$\because$在$\mathrm{Rt}△ CDN$中$CD^2+DN^2=CN^2,CN=2r,\therefore CD^2+AB^2=4r^2$.
(2)$CD^2+AB^2=4r^2$.
证明:延长$CO$交圆于点$N$,连接$DN$.
$\because∠ AOB+∠ COD=180°,∠ DON+∠ COD=180°,\therefore∠ AOB=∠ DON$,
$\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DN},\therefore AB=DN$,
$\because$在$\mathrm{Rt}△ CDN$中$CD^2+DN^2=CN^2,CN=2r,\therefore CD^2+AB^2=4r^2$.
解析
【分析】
(1) 先根据∠AOB与∠COD互补求出∠COD的度数，再由等边三角形的判定得到△AOB为等边三角形，求出圆的半径，最后在等腰△COD中计算弦CD的长度即可。
(2) 要推导AB、CD和半径r的数量关系，可利用两个圆心角互补的条件构造辅助线：延长CO得到直径，将∠AOB转化为和它相等的圆心角∠DON，从而把AB转化为等长的弦DN，再利用直径所对圆周角为直角的性质，结合勾股定理即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 已知$∠ AOB + ∠ COD = 180°$，$∠ AOB=60°$，因此$∠ COD=180°-60°=120°$。
因为OA、OB都是$\odot O$的半径，$OA=OB$，且$∠ AOB=60°$，所以$△ AOB$是等边三角形，即$\odot O$的半径$r=AB=1$。
在$△ COD$中，$OC=OD=1$，$∠ COD=120°$，过O作$OE⊥ CD$于E，根据等腰三角形三线合一的性质，$∠ COE=60°$，$CE=\frac{1}{2}CD$。
在$Rt△ COE$中，$CE=OC·\sin60°=1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$CD=2CE=\sqrt{3}$。
(2) 猜想：$CD^2+AB^2=4r^2$，证明如下：
延长$CO$交$\odot O$于点$N$，连接$DN$。
$\because ∠ DON + ∠ COD = 180°$，$∠ AOB + ∠ COD = 180°$，
$\therefore ∠ AOB = ∠ DON$。
在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，因此$AB=DN$。
$\because CN$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得$∠ CDN=90°$，
在$Rt△ CDN$中，由勾股定理得$CD^2 + DN^2 = CN^2$，
又$\because CN=2r$，$DN=AB$，
$\therefore CD^2 + AB^2 = (2r)^2 = 4r^2$，猜想得证。
【答案】
(1)$\sqrt{3}$
(2)$CD^2+AB^2=4r^2$
【知识点】
圆心角与弦的关系；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题考查圆的基本性质的综合应用，解题的核心是通过构造直径，将互补的圆心角条件转化为等圆心角、等弦的关系，再结合直角三角形的勾股定理建立等量关系，需要熟练掌握圆中相关量的对应转化技巧。
【难度系数】
0.6
(1) 先根据∠AOB与∠COD互补求出∠COD的度数，再由等边三角形的判定得到△AOB为等边三角形，求出圆的半径，最后在等腰△COD中计算弦CD的长度即可。
(2) 要推导AB、CD和半径r的数量关系，可利用两个圆心角互补的条件构造辅助线：延长CO得到直径，将∠AOB转化为和它相等的圆心角∠DON，从而把AB转化为等长的弦DN，再利用直径所对圆周角为直角的性质，结合勾股定理即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 已知$∠ AOB + ∠ COD = 180°$，$∠ AOB=60°$，因此$∠ COD=180°-60°=120°$。
因为OA、OB都是$\odot O$的半径，$OA=OB$，且$∠ AOB=60°$，所以$△ AOB$是等边三角形，即$\odot O$的半径$r=AB=1$。
在$△ COD$中，$OC=OD=1$，$∠ COD=120°$，过O作$OE⊥ CD$于E，根据等腰三角形三线合一的性质，$∠ COE=60°$，$CE=\frac{1}{2}CD$。
在$Rt△ COE$中，$CE=OC·\sin60°=1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$CD=2CE=\sqrt{3}$。
(2) 猜想：$CD^2+AB^2=4r^2$，证明如下：
延长$CO$交$\odot O$于点$N$，连接$DN$。
$\because ∠ DON + ∠ COD = 180°$，$∠ AOB + ∠ COD = 180°$，
$\therefore ∠ AOB = ∠ DON$。
在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，因此$AB=DN$。
$\because CN$是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得$∠ CDN=90°$，
在$Rt△ CDN$中，由勾股定理得$CD^2 + DN^2 = CN^2$，
又$\because CN=2r$，$DN=AB$，
$\therefore CD^2 + AB^2 = (2r)^2 = 4r^2$，猜想得证。
【答案】
(1)$\sqrt{3}$
(2)$CD^2+AB^2=4r^2$
【知识点】
圆心角与弦的关系；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题考查圆的基本性质的综合应用，解题的核心是通过构造直径，将互补的圆心角条件转化为等圆心角、等弦的关系，再结合直角三角形的勾股定理建立等量关系，需要熟练掌握圆中相关量的对应转化技巧。
【难度系数】
0.6
