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22.请仅用无刻度的直尺完成下列画图,保留画图痕迹.
(1)如图①,△ABC为⊙O的内接三角形,AB=AC,过点B画弦BE,使BE//AO.
(2)如图②,点A,B,C在⊙O上,∠ABC=120°,在优弧$\overset{\frown}{AC}$上画点M和点N,使∠MBN=60°.
(3)如图③,⊙O经过格点A,B,C,画出圆心O,并在⊙O上画点M,使点B和点M的连线平分∠ABC.
(1)如图①,△ABC为⊙O的内接三角形,AB=AC,过点B画弦BE,使BE//AO.
(2)如图②,点A,B,C在⊙O上,∠ABC=120°,在优弧$\overset{\frown}{AC}$上画点M和点N,使∠MBN=60°.
(3)如图③,⊙O经过格点A,B,C,画出圆心O,并在⊙O上画点M,使点B和点M的连线平分∠ABC.
答案
(1)如图①
.(2)如图②
.(3)如图③
.解析
【分析】
(1) 图①中△ABC是⊙O的内接等腰三角形，AB=AC，根据圆的对称性，AO所在直线既是∠BAC的角平分线，也是BC的垂直平分线。要作BE//AO，可结合圆心角与圆周角的关系，通过延长CO交圆得到点E，保证BE与AO的内错角相等，即可得到平行关系。
(2) 图②中已知∠ABC=120°，根据圆周角定理，该角所对的优弧$\overset{\frown}{AC}$度数为240°，因此劣弧$\overset{\frown}{AC}$的度数为120°，对应的圆心角∠AOC=120°。要得到60°的圆周角∠MBN，只需让该角所对的弧度数为120°，因此分别延长AO、CO交优弧$\overset{\frown}{AC}$于M、N，此时$\overset{\frown}{MN}$的度数等于$\overset{\frown}{AC}$的度数120°，对应的圆周角∠MBN即为60°。
(3) 图③中先观察△ABC，可判断∠ABC=90°，根据“90°圆周角所对的弦是直径”，可知AC为⊙O的直径，因此AC的中点即为圆心O。要使BM平分90°的∠ABC，只需让∠ABM=∠CBM=45°，45°圆周角对应90°的弧，因此找下半弧$\overset{\frown}{AC}$的中点M，连接BM即可满足角平分线要求。
【解析】
(1) ① 连接OC并延长，交⊙O于点E；② 连接BE，所得弦BE即为所求，可证BE//AO。
(2) ① 连接AO并延长，交优弧$\overset{\frown}{AC}$于点M；② 连接CO并延长，交优弧$\overset{\frown}{AC}$于点N；此时$\overset{\frown}{MN}$度数为120°，对应圆周角∠MBN=60°，点M、N即为所求。
(3) ① 连接AC，AC的中点即为圆心O（AC为直径，直径中点为外接圆圆心）；② 作AC的垂直平分线，交⊙O于AC下方的点M，连接BM，此时BM平分∠ABC，点O、M即为所求。
【答案】
(1)如图①.(2)如图②.(3)如图③.
【知识点】
圆周角定理；圆的对称性；等腰三角形性质
【点评】
本题属于无刻度直尺作图题，综合考查了圆的相关性质与几何图形的特征，需要学生结合已知条件灵活转化作图要求，对提升几何直观和知识综合运用能力有一定帮助。
【难度系数】
0.65
(1) 图①中△ABC是⊙O的内接等腰三角形，AB=AC，根据圆的对称性，AO所在直线既是∠BAC的角平分线，也是BC的垂直平分线。要作BE//AO，可结合圆心角与圆周角的关系，通过延长CO交圆得到点E，保证BE与AO的内错角相等，即可得到平行关系。
(2) 图②中已知∠ABC=120°，根据圆周角定理，该角所对的优弧$\overset{\frown}{AC}$度数为240°，因此劣弧$\overset{\frown}{AC}$的度数为120°，对应的圆心角∠AOC=120°。要得到60°的圆周角∠MBN，只需让该角所对的弧度数为120°，因此分别延长AO、CO交优弧$\overset{\frown}{AC}$于M、N，此时$\overset{\frown}{MN}$的度数等于$\overset{\frown}{AC}$的度数120°，对应的圆周角∠MBN即为60°。
(3) 图③中先观察△ABC，可判断∠ABC=90°，根据“90°圆周角所对的弦是直径”，可知AC为⊙O的直径，因此AC的中点即为圆心O。要使BM平分90°的∠ABC，只需让∠ABM=∠CBM=45°，45°圆周角对应90°的弧，因此找下半弧$\overset{\frown}{AC}$的中点M，连接BM即可满足角平分线要求。
【解析】
(1) ① 连接OC并延长，交⊙O于点E；② 连接BE，所得弦BE即为所求，可证BE//AO。
(2) ① 连接AO并延长，交优弧$\overset{\frown}{AC}$于点M；② 连接CO并延长，交优弧$\overset{\frown}{AC}$于点N；此时$\overset{\frown}{MN}$度数为120°，对应圆周角∠MBN=60°，点M、N即为所求。
(3) ① 连接AC，AC的中点即为圆心O（AC为直径，直径中点为外接圆圆心）；② 作AC的垂直平分线，交⊙O于AC下方的点M，连接BM，此时BM平分∠ABC，点O、M即为所求。
【答案】
(1)如图①
.(2)如图②.(3)如图③.【知识点】
圆周角定理；圆的对称性；等腰三角形性质
【点评】
本题属于无刻度直尺作图题，综合考查了圆的相关性质与几何图形的特征，需要学生结合已知条件灵活转化作图要求，对提升几何直观和知识综合运用能力有一定帮助。
【难度系数】
0.65
23.如图，正方形ABCD内接于$\odot O$，E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，连接AE，DE，CE.
(1)求证：$AE=DE$.
(2)求证：$AE+CE=\sqrt{2}DE$.
(1)求证：$AE=DE$.
(2)求证：$AE+CE=\sqrt{2}DE$.
答案
(1)证明:$\because$正方形$ABCD$中$AB=CD,\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,
$\because$点$E$是$\overset{\frown}{BC}$的中点,$\therefore\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$,
$\therefore\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE},\therefore AE=DE$.
(2)证明:连接$BD$,过点$D$作$DF⊥ DE$,交$EC$的延长线于点$F$.
$\because AD=CD,\therefore∠ AED=∠ CED=∠ ABD=45°$,
$\because AD⊥ CD,DF⊥ DE,\therefore∠ ADE=∠ CDF,∠ F=45°=∠ AED$,
$\therefore△ ADE≌△ CDF(\mathrm{AAS}),\therefore AE=CF$,
$\therefore EF=\sqrt{2}DE=EC+CF=EC+AE$,即$AE+CE=\sqrt{2}DE$.
$\because$点$E$是$\overset{\frown}{BC}$的中点,$\therefore\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$,
$\therefore\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE},\therefore AE=DE$.
(2)证明:连接$BD$,过点$D$作$DF⊥ DE$,交$EC$的延长线于点$F$.
$\because AD=CD,\therefore∠ AED=∠ CED=∠ ABD=45°$,
$\because AD⊥ CD,DF⊥ DE,\therefore∠ ADE=∠ CDF,∠ F=45°=∠ AED$,
$\therefore△ ADE≌△ CDF(\mathrm{AAS}),\therefore AE=CF$,
$\therefore EF=\sqrt{2}DE=EC+CF=EC+AE$,即$AE+CE=\sqrt{2}DE$.
解析
【分析】
(1) 要证明同圆中两条弦相等，优先考虑同圆中等弧对等弦的性质，因此只需证明两条弦对应的劣弧$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$即可。首先利用正方形边相等的性质得到对应的劣弧$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，再结合E是$\overset{\frown}{BC}$中点得到$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$，两段弧分别相加即可得到等弧，进而推出弦相等。
(2) 要证明含$\sqrt{2}$倍数关系的线段和等式，首先联想到等腰直角三角形斜边是直角边的$\sqrt{2}$倍，结合线段和差类问题常用的截长补短思想，通过构造辅助线将AE和CE转移到同一条线段上：过D作DF⊥DE交EC延长线于F，先证明$△ ADE≌△ CDF$将AE转化为CF，此时AE+CE转化为EF，再证明$△ DEF$是等腰直角三角形，即可得到$EF=\sqrt{2}DE$，从而完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=CD$，
∴ 同圆中相等的弦对应的劣弧相等，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∵ E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{CE}$，即$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$，
根据同圆中等弧对等弦，可得$AE=DE$。
(2) 证明：
过点D作$DF⊥DE$，交EC的延长线于点F，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD=CD$，$∠ ADC=90°$，
∵ $∠ AED$、$∠ CED$分别对应等弧$\overset{\frown}{AD}$、$\overset{\frown}{CD}$，且正方形中$∠ ABD=45°$，与$∠ AED$同对$\overset{\frown}{AD}$，
∴ $∠ AED=∠ CED=45°$，
∵ $DF⊥DE$，
∴ $∠ EDF=90°$，
∴ $∠ F=90°-∠ CED=45°=∠ AED$，且$DE=DF$，
∵ $∠ ADE+∠ EDC=∠ ADC=90°$，$∠ CDF+∠ EDC=∠ EDF=90°$，
∴ $∠ ADE=∠ CDF$，
在$△ ADE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠ AED=∠ F \\∠ ADE=∠ CDF \\AD=CD\end{cases}$
∴ $△ ADE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$，
∴ $AE=CF$，
∴ $EF=EC+CF=EC+AE$，
在$Rt△ DEF$中，$∠ EDF=90°$，$DE=DF$，由勾股定理得$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2}DE$，
∴ $AE+CE=\sqrt{2}DE$。
【答案】
(1) $AE=DE$，得证；
(2) $AE+CE=\sqrt{2}DE$，得证。
【知识点】
弧与弦的关系；正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与特殊四边形结合的综合证明题，第一问难度较低，核心考察圆内弦和弧的对应关系；第二问需要结合截长补短思想构造辅助线，对几何模型的应用能力有一定要求，掌握线段和差类证明的常规构造思路和等腰直角三角形的边的比例关系是解题关键。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明同圆中两条弦相等，优先考虑同圆中等弧对等弦的性质，因此只需证明两条弦对应的劣弧$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$即可。首先利用正方形边相等的性质得到对应的劣弧$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，再结合E是$\overset{\frown}{BC}$中点得到$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$，两段弧分别相加即可得到等弧，进而推出弦相等。
(2) 要证明含$\sqrt{2}$倍数关系的线段和等式，首先联想到等腰直角三角形斜边是直角边的$\sqrt{2}$倍，结合线段和差类问题常用的截长补短思想，通过构造辅助线将AE和CE转移到同一条线段上：过D作DF⊥DE交EC延长线于F，先证明$△ ADE≌△ CDF$将AE转化为CF，此时AE+CE转化为EF，再证明$△ DEF$是等腰直角三角形，即可得到$EF=\sqrt{2}DE$，从而完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=CD$，
∴ 同圆中相等的弦对应的劣弧相等，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∵ E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{CE}$，即$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$，
根据同圆中等弧对等弦，可得$AE=DE$。
(2) 证明：
过点D作$DF⊥DE$，交EC的延长线于点F，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD=CD$，$∠ ADC=90°$，
∵ $∠ AED$、$∠ CED$分别对应等弧$\overset{\frown}{AD}$、$\overset{\frown}{CD}$，且正方形中$∠ ABD=45°$，与$∠ AED$同对$\overset{\frown}{AD}$，
∴ $∠ AED=∠ CED=45°$，
∵ $DF⊥DE$，
∴ $∠ EDF=90°$，
∴ $∠ F=90°-∠ CED=45°=∠ AED$，且$DE=DF$，
∵ $∠ ADE+∠ EDC=∠ ADC=90°$，$∠ CDF+∠ EDC=∠ EDF=90°$，
∴ $∠ ADE=∠ CDF$，
在$△ ADE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠ AED=∠ F \\∠ ADE=∠ CDF \\AD=CD\end{cases}$
∴ $△ ADE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$，
∴ $AE=CF$，
∴ $EF=EC+CF=EC+AE$，
在$Rt△ DEF$中，$∠ EDF=90°$，$DE=DF$，由勾股定理得$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2}DE$，
∴ $AE+CE=\sqrt{2}DE$。
【答案】
(1) $AE=DE$，得证；
(2) $AE+CE=\sqrt{2}DE$，得证。
【知识点】
弧与弦的关系；正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆与特殊四边形结合的综合证明题，第一问难度较低，核心考察圆内弦和弧的对应关系；第二问需要结合截长补短思想构造辅助线，对几何模型的应用能力有一定要求，掌握线段和差类证明的常规构造思路和等腰直角三角形的边的比例关系是解题关键。
【难度系数】
0.6
24.如图，AB是$\odot O$的直径，点D在$\odot O$上，$CD=CB$，$CE⊥ AB$于点E，连接BD交CE于点F.
(1)求证：$CF=BF$.
(2)若$CD=4\sqrt{5}$，$AC=8\sqrt{5}$，求BD的长.
(1)求证：$CF=BF$.
(2)若$CD=4\sqrt{5}$，$AC=8\sqrt{5}$，求BD的长.
答案
(1)证明:$\because AB$为直径,$\therefore∠ ECB+∠ ACE=90°$,
$\because CE⊥ AB,\therefore∠ A+∠ ACE=90°,\therefore∠ ECB=∠ A$.
$\because CD=CB,\therefore\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB},\therefore∠ DBC=∠ A,\therefore∠ ECB=∠ DBC$,
$\therefore CF=BF$.
(2)连接$OC$,交$BD$于点$G$.
可知$CB=CD=4\sqrt{5}$,$AC=8\sqrt{5}$,
$\therefore AB=20,\therefore\odot O$的半径为 10.
设$OG=x$,则$CG=10-x$,
由勾股定理得$BG^2=OB^2-OG^2=BC^2-CG^2$,
即$10^2-x^2=(4\sqrt{5})^2-(10-x)^2$,解得$x=6$,
$\therefore BG=\sqrt{10^2-6^2}=8,\therefore BD=16$.
$\because CE⊥ AB,\therefore∠ A+∠ ACE=90°,\therefore∠ ECB=∠ A$.
$\because CD=CB,\therefore\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB},\therefore∠ DBC=∠ A,\therefore∠ ECB=∠ DBC$,
$\therefore CF=BF$.
(2)连接$OC$,交$BD$于点$G$.
可知$CB=CD=4\sqrt{5}$,$AC=8\sqrt{5}$,
$\therefore AB=20,\therefore\odot O$的半径为 10.
设$OG=x$,则$CG=10-x$,
由勾股定理得$BG^2=OB^2-OG^2=BC^2-CG^2$,
即$10^2-x^2=(4\sqrt{5})^2-(10-x)^2$,解得$x=6$,
$\therefore BG=\sqrt{10^2-6^2}=8,\therefore BD=16$.
解析
【分析】
(1) 要证明$CF=BF$，可通过“等角对等边”证明$∠ECB=∠DBC$：首先利用直径的性质和垂线条件，通过同角的余角相等推导$∠ECB=∠A$；再结合$CD=CB$得到对应弧相等，由圆周角定理得$∠DBC=∠A$，等量代换即可得证。
(2) 求$BD$的长时，先由直径所对圆周角为直角，用勾股定理求出$AB$的长度得到圆的半径；再根据等弧的性质可知$OC$垂直平分$BD$，连接$OC$交$BD$于$G$，设$OG=x$，利用$BG$分别在两个直角三角形中用勾股定理列方程求解，最后由$BD=2BG$即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：$\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ACB=90°$，即$∠ECB+∠ACE=90°$，
$\because CE⊥AB$，$\therefore ∠AEC=90°$，$\therefore ∠A+∠ACE=90°$，
$\therefore ∠ECB=∠A$（同角的余角相等）。
$\because CD=CB$，$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，
$\therefore ∠DBC=∠A$（同弧所对的圆周角相等），
$\therefore ∠ECB=∠DBC$，$\therefore CF=BF$（等角对等边）。
(2) 解：连接$OC$，交$BD$于点$G$。
$\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，$\therefore OC$垂直平分$BD$，即$BG=GD$，$∠OGB=90°$。
已知$CB=CD=4\sqrt{5}$，$AC=8\sqrt{5}$，$∠ACB=90°$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(8\sqrt{5})^2+(4\sqrt{5})^2}=20$，
$\therefore \odot O$的半径$OB=OC=10$。
设$OG=x$，则$CG=10-x$，
在$Rt△ OBG$中：$BG^2=OB^2-OG^2=10^2-x^2$，
在$Rt△ CBG$中：$BG^2=BC^2-CG^2=(4\sqrt{5})^2-(10-x)^2$，
列方程得：$10^2-x^2=(4\sqrt{5})^2-(10-x)^2$，
解得$x=6$，
$\therefore BG=\sqrt{10^2-6^2}=8$，$\therefore BD=2BG=16$。
【答案】
(1) $CF=BF$得证；
(2) $BD$的长为$\boxed{16}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形判定，勾股定理
【点评】
本题是圆的常见综合题型，侧重考察角度推导能力和辅助线构造思路，第二问结合了方程思想，难度适中，掌握圆的基本性质和勾股定理的应用即可求解。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$CF=BF$，可通过“等角对等边”证明$∠ECB=∠DBC$：首先利用直径的性质和垂线条件，通过同角的余角相等推导$∠ECB=∠A$；再结合$CD=CB$得到对应弧相等，由圆周角定理得$∠DBC=∠A$，等量代换即可得证。
(2) 求$BD$的长时，先由直径所对圆周角为直角，用勾股定理求出$AB$的长度得到圆的半径；再根据等弧的性质可知$OC$垂直平分$BD$，连接$OC$交$BD$于$G$，设$OG=x$，利用$BG$分别在两个直角三角形中用勾股定理列方程求解，最后由$BD=2BG$即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：$\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ACB=90°$，即$∠ECB+∠ACE=90°$，
$\because CE⊥AB$，$\therefore ∠AEC=90°$，$\therefore ∠A+∠ACE=90°$，
$\therefore ∠ECB=∠A$（同角的余角相等）。
$\because CD=CB$，$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，
$\therefore ∠DBC=∠A$（同弧所对的圆周角相等），
$\therefore ∠ECB=∠DBC$，$\therefore CF=BF$（等角对等边）。
(2) 解：连接$OC$，交$BD$于点$G$。
$\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，$\therefore OC$垂直平分$BD$，即$BG=GD$，$∠OGB=90°$。
已知$CB=CD=4\sqrt{5}$，$AC=8\sqrt{5}$，$∠ACB=90°$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(8\sqrt{5})^2+(4\sqrt{5})^2}=20$，
$\therefore \odot O$的半径$OB=OC=10$。
设$OG=x$，则$CG=10-x$，
在$Rt△ OBG$中：$BG^2=OB^2-OG^2=10^2-x^2$，
在$Rt△ CBG$中：$BG^2=BC^2-CG^2=(4\sqrt{5})^2-(10-x)^2$，
列方程得：$10^2-x^2=(4\sqrt{5})^2-(10-x)^2$，
解得$x=6$，
$\therefore BG=\sqrt{10^2-6^2}=8$，$\therefore BD=2BG=16$。
【答案】
(1) $CF=BF$得证；
(2) $BD$的长为$\boxed{16}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形判定，勾股定理
【点评】
本题是圆的常见综合题型，侧重考察角度推导能力和辅助线构造思路，第二问结合了方程思想，难度适中，掌握圆的基本性质和勾股定理的应用即可求解。
【难度系数】
0.6
