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22.请仅用无刻度的直尺完成下列画图,保留画图痕迹.
(1)如图①,△ABC为⊙O的内接三角形,AB=AC,过点B画弦BE,使BE//AO.
(2)如图②,点A,B,C在⊙O上,∠ABC=120°,在优弧$\overset{\frown}{AC}$上画点M和点N,使∠MBN=60°.
(3)如图③,⊙O经过格点A,B,C,画出圆心O,并在⊙O上画点M,使点B和点M的连线平分∠ABC.
(1)如图①,△ABC为⊙O的内接三角形,AB=AC,过点B画弦BE,使BE//AO.
(2)如图②,点A,B,C在⊙O上,∠ABC=120°,在优弧$\overset{\frown}{AC}$上画点M和点N,使∠MBN=60°.
(3)如图③,⊙O经过格点A,B,C,画出圆心O,并在⊙O上画点M,使点B和点M的连线平分∠ABC.
答案
(1)如图①
.(2)如图②
.(3)如图③
.解析
【分析】
(1) 图①中，AB=AC说明△ABC是等腰三角形，结合外接圆性质，圆心O在∠BAC的角平分线上，即AO所在直线垂直平分BC。要作BE//AO，根据平行线判定，只需BE⊥BC即可。根据圆周角定理，直径所对圆周角是直角，因此构造过C的直径，得到的BE自然垂直BC，满足平行要求。
(2) 图②中，已知∠ABC=120°，由圆周角定理可得劣弧$\overset{\frown}{AC}$的度数为120°。要得到∠MBN=60°，只需让该角所对的弧度数为120°。连接AO、CO并延长交优弧$\overset{\frown}{AC}$于M、N，此时劣弧$\overset{\frown}{MN}$与劣弧$\overset{\frown}{AC}$度数相等，对应的圆周角就是60°，符合要求。
(3) 图③中，圆心是圆内两条弦垂直平分线的交点。首先AC是水平格点线段，它的垂直平分线是过AC中点的竖直格线；再找AB（或BC）的垂直平分线，两条线交点就是圆心O。要让BM平分∠ABC，根据圆的性质，角平分线经过$\overset{\frown}{AC}$的中点，AC的垂直平分线恰好平分$\overset{\frown}{AC}$，延长垂直平分线与圆的交点就是所求的M。
【解析】
(1) ①连接CO并延长，交⊙O于点E；②连接BE，弦BE即为所求。原理：CE是直径，故∠CBE=90°即BE⊥BC；又AB=AC、AO过圆心，故AO⊥BC，因此BE//AO。
(2) ①连接AO并延长，交优弧$\overset{\frown}{AC}$于点M；②连接CO并延长，交优弧$\overset{\frown}{AC}$于点N，点M、N即为所求。原理：∠ABC=120°，故劣弧$\overset{\frown}{AC}$度数为120°，劣弧$\overset{\frown}{MN}$与劣弧$\overset{\frown}{AC}$度数相等，因此∠MBN=$\frac{1}{2}×120°=60°$。
(3) ①作水平线段AC的垂直平分线（过AC中点的竖直线）；②作弦AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O；③延长AC的垂直平分线，交⊙O于点M（位于$\overset{\frown}{AC}$上且与B分别在AC两侧），点M即为所求。原理：弦的垂直平分线过圆心，故交点为O；AC的垂直平分线平分$\overset{\frown}{AC}$，因此BM平分∠ABC。
【答案】
(1)如图①.(2)如图②.(3)如图③.
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；垂直平分线性质
【点评】
本题属于无刻度直尺作图题，综合考查圆的核心性质，需要结合已有条件推导作图依据，既考验对基础定理的掌握程度，也锻炼几何直观和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 图①中，AB=AC说明△ABC是等腰三角形，结合外接圆性质，圆心O在∠BAC的角平分线上，即AO所在直线垂直平分BC。要作BE//AO，根据平行线判定，只需BE⊥BC即可。根据圆周角定理，直径所对圆周角是直角，因此构造过C的直径，得到的BE自然垂直BC，满足平行要求。
(2) 图②中，已知∠ABC=120°，由圆周角定理可得劣弧$\overset{\frown}{AC}$的度数为120°。要得到∠MBN=60°，只需让该角所对的弧度数为120°。连接AO、CO并延长交优弧$\overset{\frown}{AC}$于M、N，此时劣弧$\overset{\frown}{MN}$与劣弧$\overset{\frown}{AC}$度数相等，对应的圆周角就是60°，符合要求。
(3) 图③中，圆心是圆内两条弦垂直平分线的交点。首先AC是水平格点线段，它的垂直平分线是过AC中点的竖直格线；再找AB（或BC）的垂直平分线，两条线交点就是圆心O。要让BM平分∠ABC，根据圆的性质，角平分线经过$\overset{\frown}{AC}$的中点，AC的垂直平分线恰好平分$\overset{\frown}{AC}$，延长垂直平分线与圆的交点就是所求的M。
【解析】
(1) ①连接CO并延长，交⊙O于点E；②连接BE，弦BE即为所求。原理：CE是直径，故∠CBE=90°即BE⊥BC；又AB=AC、AO过圆心，故AO⊥BC，因此BE//AO。
(2) ①连接AO并延长，交优弧$\overset{\frown}{AC}$于点M；②连接CO并延长，交优弧$\overset{\frown}{AC}$于点N，点M、N即为所求。原理：∠ABC=120°，故劣弧$\overset{\frown}{AC}$度数为120°，劣弧$\overset{\frown}{MN}$与劣弧$\overset{\frown}{AC}$度数相等，因此∠MBN=$\frac{1}{2}×120°=60°$。
(3) ①作水平线段AC的垂直平分线（过AC中点的竖直线）；②作弦AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O；③延长AC的垂直平分线，交⊙O于点M（位于$\overset{\frown}{AC}$上且与B分别在AC两侧），点M即为所求。原理：弦的垂直平分线过圆心，故交点为O；AC的垂直平分线平分$\overset{\frown}{AC}$，因此BM平分∠ABC。
【答案】
(1)如图①
.(2)如图②.(3)如图③.【知识点】
垂径定理；圆周角定理；垂直平分线性质
【点评】
本题属于无刻度直尺作图题，综合考查圆的核心性质，需要结合已有条件推导作图依据，既考验对基础定理的掌握程度，也锻炼几何直观和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
23.如图，正方形ABCD内接于$\odot O$，E是$\overset{\frown}{BC}$的中点，连接AE，DE，CE.
(1)求证：$AE=DE$.
(2)求证：$AE+CE=\sqrt{2}DE$.
(1)求证：$AE=DE$.
(2)求证：$AE+CE=\sqrt{2}DE$.
答案
(1)证明:$\because$正方形$ABCD$中$AB=CD,\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,
$\because$点$E$是$\overset{\frown}{BC}$的中点,$\therefore\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$,
$\therefore\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE},\therefore AE=DE$.
(2)证明:连接$BD$,过点$D$作$DF⊥ DE$,交$EC$的延长线于点$F$.
$\because AD=CD,\therefore∠ AED=∠ CED=∠ ABD=45°$,
$\because AD⊥ CD,DF⊥ DE,\therefore∠ ADE=∠ CDF,∠ F=45°=∠ AED$,
$\therefore△ ADE≌△ CDF(\mathrm{AAS}),\therefore AE=CF$,
$\therefore EF=\sqrt{2}DE=EC+CF=EC+AE$,即$AE+CE=\sqrt{2}DE$.
$\because$点$E$是$\overset{\frown}{BC}$的中点,$\therefore\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$,
$\therefore\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE},\therefore AE=DE$.
(2)证明:连接$BD$,过点$D$作$DF⊥ DE$,交$EC$的延长线于点$F$.
$\because AD=CD,\therefore∠ AED=∠ CED=∠ ABD=45°$,
$\because AD⊥ CD,DF⊥ DE,\therefore∠ ADE=∠ CDF,∠ F=45°=∠ AED$,
$\therefore△ ADE≌△ CDF(\mathrm{AAS}),\therefore AE=CF$,
$\therefore EF=\sqrt{2}DE=EC+CF=EC+AE$,即$AE+CE=\sqrt{2}DE$.
解析
【分析】
(1)要证明圆内两条弦$AE=DE$，根据同圆中等弧对等弦的性质，只需证明两条弦对应的弧$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$即可。结合正方形内接于圆时四边对应弧相等的性质，再利用$E$是$\overset{\frown}{BC}$中点的条件，即可推出两段弧相等。
(2)要证明线段和关系$AE+CE=\sqrt{2}DE$，采用截长补短的思路构造辅助线，将三条线段转化到同一个三角形中推导：过$D$作$DF⊥DE$交$EC$延长线于$F$，先证明$△ ADE≌△ CDF$将$AE$转化为$CF$，再证明$△ DEF$是等腰直角三角形得到$EF=\sqrt{2}DE$，即可通过线段和关系推出结论。
【解析】
(1)证明：
∵正方形$ABCD$中$AB=CD$，同圆中相等的弦对应弧相等，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∵点$E$是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{CE}$，即$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$，
同圆中等弧对等弦，
∴$AE=DE$。
(2)证明：连接$BD$，过点$D$作$DF⊥ DE$，交$EC$的延长线于点$F$。
∵正方形$ABCD$中$AD=CD$，$∠ADC=90°$，
同弧所对圆周角相等，$∠AED=∠ABD=45°$，$∠CED=∠CBD=45°$，即$∠AED=∠CED=45°$，
∵$DF⊥DE$，
∴$∠EDF=90°$，
∴$∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=90°$，即$∠ADE=∠CDF$，
在$△ DEF$中，$∠EDF=90°$，$∠DEF=45°$，
∴$∠F=45°=∠AED$，
在$△ ADE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠AED=∠F \\∠ADE=∠CDF \\AD=CD\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$，
∴$AE=CF$，
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠DEF=∠F=45°$，
∴$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2}DE$，
又
∵$EF=EC+CF=EC+AE$，
∴$AE+CE=\sqrt{2}DE$。
【答案】
(1) 证明成立，$AE=DE$；
(2) 证明成立，$AE+CE=\sqrt{2}DE$。
【知识点】
弧弦的关系，正方形的性质，全等三角形判定与性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、特殊四边形性质和全等三角形的应用，第一问较为基础，第二问通过构造全等转化线段是解题核心，能够有效锻炼几何综合推理能力。
【难度系数】
0.6
(1)要证明圆内两条弦$AE=DE$，根据同圆中等弧对等弦的性质，只需证明两条弦对应的弧$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$即可。结合正方形内接于圆时四边对应弧相等的性质，再利用$E$是$\overset{\frown}{BC}$中点的条件，即可推出两段弧相等。
(2)要证明线段和关系$AE+CE=\sqrt{2}DE$，采用截长补短的思路构造辅助线，将三条线段转化到同一个三角形中推导：过$D$作$DF⊥DE$交$EC$延长线于$F$，先证明$△ ADE≌△ CDF$将$AE$转化为$CF$，再证明$△ DEF$是等腰直角三角形得到$EF=\sqrt{2}DE$，即可通过线段和关系推出结论。
【解析】
(1)证明：
∵正方形$ABCD$中$AB=CD$，同圆中相等的弦对应弧相等，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∵点$E$是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$，
∴$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{CE}$，即$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$，
同圆中等弧对等弦，
∴$AE=DE$。
(2)证明：连接$BD$，过点$D$作$DF⊥ DE$，交$EC$的延长线于点$F$。
∵正方形$ABCD$中$AD=CD$，$∠ADC=90°$，
同弧所对圆周角相等，$∠AED=∠ABD=45°$，$∠CED=∠CBD=45°$，即$∠AED=∠CED=45°$，
∵$DF⊥DE$，
∴$∠EDF=90°$，
∴$∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=90°$，即$∠ADE=∠CDF$，
在$△ DEF$中，$∠EDF=90°$，$∠DEF=45°$，
∴$∠F=45°=∠AED$，
在$△ ADE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠AED=∠F \\∠ADE=∠CDF \\AD=CD\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$，
∴$AE=CF$，
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠DEF=∠F=45°$，
∴$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{2}DE$，
又
∵$EF=EC+CF=EC+AE$，
∴$AE+CE=\sqrt{2}DE$。
【答案】
(1) 证明成立，$AE=DE$；
(2) 证明成立，$AE+CE=\sqrt{2}DE$。
【知识点】
弧弦的关系，正方形的性质，全等三角形判定与性质
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、特殊四边形性质和全等三角形的应用，第一问较为基础，第二问通过构造全等转化线段是解题核心，能够有效锻炼几何综合推理能力。
【难度系数】
0.6
24.如图，AB是$\odot O$的直径，点D在$\odot O$上，$CD=CB$，$CE⊥ AB$于点E，连接BD交CE于点F.
(1)求证：$CF=BF$.
(2)若$CD=4\sqrt{5}$，$AC=8\sqrt{5}$，求BD的长.
(1)求证：$CF=BF$.
(2)若$CD=4\sqrt{5}$，$AC=8\sqrt{5}$，求BD的长.
答案
(1)证明:$\because AB$为直径,$\therefore∠ ECB+∠ ACE=90°$,
$\because CE⊥ AB,\therefore∠ A+∠ ACE=90°,\therefore∠ ECB=∠ A$.
$\because CD=CB,\therefore\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB},\therefore∠ DBC=∠ A,\therefore∠ ECB=∠ DBC$,
$\therefore CF=BF$.
(2)连接$OC$,交$BD$于点$G$.
可知$CB=CD=4\sqrt{5}$,$AC=8\sqrt{5}$,
$\therefore AB=20,\therefore\odot O$的半径为 10.
设$OG=x$,则$CG=10-x$,
由勾股定理得$BG^2=OB^2-OG^2=BC^2-CG^2$,
即$10^2-x^2=(4\sqrt{5})^2-(10-x)^2$,解得$x=6$,
$\therefore BG=\sqrt{10^2-6^2}=8,\therefore BD=16$.
$\because CE⊥ AB,\therefore∠ A+∠ ACE=90°,\therefore∠ ECB=∠ A$.
$\because CD=CB,\therefore\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB},\therefore∠ DBC=∠ A,\therefore∠ ECB=∠ DBC$,
$\therefore CF=BF$.
(2)连接$OC$,交$BD$于点$G$.
可知$CB=CD=4\sqrt{5}$,$AC=8\sqrt{5}$,
$\therefore AB=20,\therefore\odot O$的半径为 10.
设$OG=x$,则$CG=10-x$,
由勾股定理得$BG^2=OB^2-OG^2=BC^2-CG^2$,
即$10^2-x^2=(4\sqrt{5})^2-(10-x)^2$,解得$x=6$,
$\therefore BG=\sqrt{10^2-6^2}=8,\therefore BD=16$.
解析
【分析】
(1)要证$CF=BF$，需证明两角相等：先利用直径所对圆周角为直角、$CE⊥AB$的条件，通过同角的余角相等推导$∠ECB=∠A$；再结合$CD=CB$得到等弦对等弧，推出$∠DBC=∠A$，等量代换后得等角对等边即可得证。
(2)求BD长度时，先由AB是直径，用勾股定理求出AB得到圆的半径；再根据等弧对应的垂径定理，连接OC可知OC垂直平分BD，设$OG=x$，用勾股定理分别在两个直角三角形中表示$BG^2$，列方程求解得到OG后即可求出BG，进而得到BD的长。
【解析】
(1)证明：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，即$∠ ECB+∠ ACE=90°$，
∵$CE⊥AB$，
∴$∠ AEC=90°$，即$∠ A+∠ ACE=90°$，
∴$∠ ECB=∠ A$。
∵$CD=CB$，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，
∴$∠ DBC=∠ A$，
∴$∠ ECB=∠ DBC$，
∴$CF=BF$。
(2)解：连接$OC$，交$BD$于点$G$。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，
已知$CB=CD=4\sqrt{5}$，$AC=8\sqrt{5}$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(8\sqrt{5})^2+(4\sqrt{5})^2}=20$，
∴$\odot O$的半径$OC=OB=10$。
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，OC为半径，
∴OC垂直平分BD，即$BD=2BG$，$∠ OGB=∠ CGB=90°$。
设$OG=x$，则$CG=10-x$，
由勾股定理得$BG^2=OB^2-OG^2=BC^2-CG^2$，
即$10^2-x^2=(4\sqrt{5})^2-(10-x)^2$，
解得$x=6$，
∴$BG=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∴$BD=2BG=16$。
【答案】
(1)$CF=BF$得证；
(2)$BD$的长为$\boxed{16}$。
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，第一问侧重圆周角性质和等腰三角形判定的考查，难度较低；第二问需要结合垂径定理构造直角三角形，通过方程思想求解线段长度，是圆类几何计算的典型考法。
【难度系数】
0.6
(1)要证$CF=BF$，需证明两角相等：先利用直径所对圆周角为直角、$CE⊥AB$的条件，通过同角的余角相等推导$∠ECB=∠A$；再结合$CD=CB$得到等弦对等弧，推出$∠DBC=∠A$，等量代换后得等角对等边即可得证。
(2)求BD长度时，先由AB是直径，用勾股定理求出AB得到圆的半径；再根据等弧对应的垂径定理，连接OC可知OC垂直平分BD，设$OG=x$，用勾股定理分别在两个直角三角形中表示$BG^2$，列方程求解得到OG后即可求出BG，进而得到BD的长。
【解析】
(1)证明：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，即$∠ ECB+∠ ACE=90°$，
∵$CE⊥AB$，
∴$∠ AEC=90°$，即$∠ A+∠ ACE=90°$，
∴$∠ ECB=∠ A$。
∵$CD=CB$，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，
∴$∠ DBC=∠ A$，
∴$∠ ECB=∠ DBC$，
∴$CF=BF$。
(2)解：连接$OC$，交$BD$于点$G$。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$，
已知$CB=CD=4\sqrt{5}$，$AC=8\sqrt{5}$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(8\sqrt{5})^2+(4\sqrt{5})^2}=20$，
∴$\odot O$的半径$OC=OB=10$。
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，OC为半径，
∴OC垂直平分BD，即$BD=2BG$，$∠ OGB=∠ CGB=90°$。
设$OG=x$，则$CG=10-x$，
由勾股定理得$BG^2=OB^2-OG^2=BC^2-CG^2$，
即$10^2-x^2=(4\sqrt{5})^2-(10-x)^2$，
解得$x=6$，
∴$BG=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∴$BD=2BG=16$。
【答案】
(1)$CF=BF$得证；
(2)$BD$的长为$\boxed{16}$。
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，第一问侧重圆周角性质和等腰三角形判定的考查，难度较低；第二问需要结合垂径定理构造直角三角形，通过方程思想求解线段长度，是圆类几何计算的典型考法。
【难度系数】
0.6
