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10.已知，$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，$AB$是$\odot O$的弦，$AB⊥ CD$，垂足为$M$，且$AB=8\ \mathrm{cm}$，则$AC$的长为（
A.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C
）。A.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先结合圆的性质和垂径定理找到已知线段的关系，由于垂足M的位置不确定（可在半径OC侧，也可在半径OD侧），因此需要分两种情况讨论：第一步先连接半径OA，利用垂径定理求出AM的长度，再通过勾股定理算出OM的长度；第二步分两种情况计算CM的长度，最后在Rt△ACM中用勾股定理求出AC的长度即可。
【解析】
连接OA，
∵$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，
∴半径$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，
∵$AB⊥CD$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，根据垂径定理，
∴$AM=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
分两种情况讨论：
①当点M在线段OC上时：
$CM=OC-OM=5-3=2\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
②当点M在线段OD上时：
$CM=OC+OM=5+3=8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
综上，$AC$的长为$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题的易错点是忽略垂足位置的两种可能性导致漏解，解题时要结合图形的不确定性进行分类讨论，熟练运用垂径定理和勾股定理是解决这类圆中弦长计算问题的核心。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合圆的性质和垂径定理找到已知线段的关系，由于垂足M的位置不确定（可在半径OC侧，也可在半径OD侧），因此需要分两种情况讨论：第一步先连接半径OA，利用垂径定理求出AM的长度，再通过勾股定理算出OM的长度；第二步分两种情况计算CM的长度，最后在Rt△ACM中用勾股定理求出AC的长度即可。
【解析】
连接OA，
∵$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，
∴半径$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，
∵$AB⊥CD$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，根据垂径定理，
∴$AM=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
分两种情况讨论：
①当点M在线段OC上时：
$CM=OC-OM=5-3=2\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
②当点M在线段OD上时：
$CM=OC+OM=5+3=8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
综上，$AC$的长为$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题的易错点是忽略垂足位置的两种可能性导致漏解，解题时要结合图形的不确定性进行分类讨论，熟练运用垂径定理和勾股定理是解决这类圆中弦长计算问题的核心。
【难度系数】
0.6
二、填空题
11.如图，$\odot O$的直径为10，弦$AB=8$，点$P$是弦$AB$上的一个动点，则$OP$长的取值范围是
11.如图，$\odot O$的直径为10，弦$AB=8$，点$P$是弦$AB$上的一个动点，则$OP$长的取值范围是
$3≤ OP≤5$
。答案
$3≤ OP≤5$
解析
【分析】
要求OP的取值范围，需先确定OP的最大值和最小值：①OP最长时：点P与弦AB的端点A或B重合，此时OP等于圆的半径；②OP最短时：根据“垂线段最短”，当OP垂直于AB时，OP长度最小。再结合垂径定理、勾股定理计算对应长度，即可得到取值范围。
【解析】
解：
∵$\odot O$的直径为10，
∴$\odot O$的半径为5，即当点P与A（或B）重合时，OP的最大值为5。
过点O作$OC⊥ AB$于点C，根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=3$。
根据垂线段最短可知，当点P与点C重合时，OP取最小值3。
∵点P是弦AB上的动点，
∴OP长的取值范围是$3≤ OP≤5$。
【答案】
$3≤ OP≤5$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题考查圆中动点线段的最值求解，解题关键是找准最值对应的特殊位置，结合圆的性质和几何定理计算，难度不大，掌握特殊位置分析最值的思路即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要求OP的取值范围，需先确定OP的最大值和最小值：①OP最长时：点P与弦AB的端点A或B重合，此时OP等于圆的半径；②OP最短时：根据“垂线段最短”，当OP垂直于AB时，OP长度最小。再结合垂径定理、勾股定理计算对应长度，即可得到取值范围。
【解析】
解：
∵$\odot O$的直径为10，
∴$\odot O$的半径为5，即当点P与A（或B）重合时，OP的最大值为5。
过点O作$OC⊥ AB$于点C，根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=3$。
根据垂线段最短可知，当点P与点C重合时，OP取最小值3。
∵点P是弦AB上的动点，
∴OP长的取值范围是$3≤ OP≤5$。
【答案】
$3≤ OP≤5$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题考查圆中动点线段的最值求解，解题关键是找准最值对应的特殊位置，结合圆的性质和几何定理计算，难度不大，掌握特殊位置分析最值的思路即可快速解答。
【难度系数】
0.8
12.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=40°$，以点$C$为圆心，$CB$为半径的圆交$AB$于点$D$，则$∠ ACD=\_\_\_\_\_\_$。
答案
$10°$
解析
【分析】
解题时首先利用直角三角形的内角和性质计算出∠B的度数；再根据同圆的半径相等可得CB=CD，推出△CBD为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质求出∠BCD的度数；最后用∠ACB的度数减去∠BCD的度数，即可求出∠ACD的大小。
【解析】
解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
根据三角形内角和为180°，得$∠ B = 180° - ∠ ACB - ∠ A = 180° - 90° - 40° = 50°$。
∵ CB、CD均为⊙C的半径，
∴ CB=CD，即△CBD为等腰三角形，
∴ $∠ CDB=∠ B=50°$。
在△CBD中，$∠ BCD = 180° - ∠ B - ∠ CDB = 180° - 50° - 50° = 80°$，
∴ $∠ ACD = ∠ ACB - ∠ BCD = 90° - 80° = 10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是挖掘同圆半径相等隐含的等腰三角形条件，结合三角形内角和定理逐步推导即可得到结果，考查的都是基础几何知识点，易于掌握。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用直角三角形的内角和性质计算出∠B的度数；再根据同圆的半径相等可得CB=CD，推出△CBD为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质求出∠BCD的度数；最后用∠ACB的度数减去∠BCD的度数，即可求出∠ACD的大小。
【解析】
解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
根据三角形内角和为180°，得$∠ B = 180° - ∠ ACB - ∠ A = 180° - 90° - 40° = 50°$。
∵ CB、CD均为⊙C的半径，
∴ CB=CD，即△CBD为等腰三角形，
∴ $∠ CDB=∠ B=50°$。
在△CBD中，$∠ BCD = 180° - ∠ B - ∠ CDB = 180° - 50° - 50° = 80°$，
∴ $∠ ACD = ∠ ACB - ∠ BCD = 90° - 80° = 10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是挖掘同圆半径相等隐含的等腰三角形条件，结合三角形内角和定理逐步推导即可得到结果，考查的都是基础几何知识点，易于掌握。
【难度系数】
0.8
13.蔬菜基地建圆弧形的蔬菜大棚，剖面如图所示，已知$AB=16\ \mathrm{m}$，半径$OA=10\ \mathrm{m}$，则高度$CD$为
$4$
$\mathrm{m}.$答案
$4$
解析
【分析】
本题考查垂径定理的实际应用，解题思路如下：首先根据圆弧形大棚的结构可知，CD为拱高，因此OD⊥AB，根据垂径定理可求出弦AB一半的长度AD；再在Rt△OAD中，利用勾股定理计算出圆心O到弦AB的距离OD；最后用半径OC减去OD即可得到高度CD。
【解析】
解：由题意得，OD⊥AB，且O、C、D三点共线。
根据垂径定理，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，$OA=10\ \mathrm{m}$，$AD=8\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$。
∵OC为圆的半径，
∴$OC=OA=10\ \mathrm{m}$，
∴$CD=OC-OD=10-6=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
$4$
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质在实际生活中的典型应用题，解题的核心是通过垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理计算未知线段长度，属于基础题型，需要熟练掌握解题方法。
【难度系数】
0.8
本题考查垂径定理的实际应用，解题思路如下：首先根据圆弧形大棚的结构可知，CD为拱高，因此OD⊥AB，根据垂径定理可求出弦AB一半的长度AD；再在Rt△OAD中，利用勾股定理计算出圆心O到弦AB的距离OD；最后用半径OC减去OD即可得到高度CD。
【解析】
解：由题意得，OD⊥AB，且O、C、D三点共线。
根据垂径定理，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，$OA=10\ \mathrm{m}$，$AD=8\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$。
∵OC为圆的半径，
∴$OC=OA=10\ \mathrm{m}$，
∴$CD=OC-OD=10-6=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
$4$
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质在实际生活中的典型应用题，解题的核心是通过垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理计算未知线段长度，属于基础题型，需要熟练掌握解题方法。
【难度系数】
0.8
14.一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是
$30°或150°$
。答案
$30°或150°$
解析
【分析】
首先，圆的周角为360°，弦将圆分成1:5的两部分，可先计算出两段弧对应的圆心角度数；再结合圆周角定理，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解。需要注意：一条弦对应两段弧（劣弧和优弧），因此所对的圆周角有两种情况，避免漏解。
【解析】
1. 计算两段弧的圆心角度数：
整个圆周的圆心角为360°，弦把圆分成1:5的两部分，因此劣弧对应的圆心角为$360°×\frac{1}{1+5}=60°$，优弧对应的圆心角为$360°×\frac{5}{1+5}=300°$。
2. 根据圆周角定理计算圆周角度数：
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此劣弧所对的圆周角为$60°÷2=30°$，优弧所对的圆周角为$300°÷2=150°$。
综上，这条弦所对的圆周角为30°或150°。
【答案】
$30°或150°$
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 圆周角定理
【点评】
本题的易错点是容易只考虑劣弧对应的圆周角，遗漏优弧对应的圆周角，解题时要注意一条非直径的弦对应两个互补的圆周角，需全面分析两种情况。
【难度系数】
0.7
首先，圆的周角为360°，弦将圆分成1:5的两部分，可先计算出两段弧对应的圆心角度数；再结合圆周角定理，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解。需要注意：一条弦对应两段弧（劣弧和优弧），因此所对的圆周角有两种情况，避免漏解。
【解析】
1. 计算两段弧的圆心角度数：
整个圆周的圆心角为360°，弦把圆分成1:5的两部分，因此劣弧对应的圆心角为$360°×\frac{1}{1+5}=60°$，优弧对应的圆心角为$360°×\frac{5}{1+5}=300°$。
2. 根据圆周角定理计算圆周角度数：
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此劣弧所对的圆周角为$60°÷2=30°$，优弧所对的圆周角为$300°÷2=150°$。
综上，这条弦所对的圆周角为30°或150°。
【答案】
$30°或150°$
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 圆周角定理
【点评】
本题的易错点是容易只考虑劣弧对应的圆周角，遗漏优弧对应的圆周角，解题时要注意一条非直径的弦对应两个互补的圆周角，需全面分析两种情况。
【难度系数】
0.7
15.如图，菱形ABCD的边长为6 cm，∠B=120°，$\overset{\frown}{BD}$是以点A为圆心，AB长为半径的弧，$\overset{\frown}{CD}$是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为
$9\sqrt{3}$
cm². 答案
$9\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先从已知菱形的性质入手：1. 菱形四条边相等，邻角互补，可先算出∠A=60°，推出△ABD是等边三角形，得到BD=AB=6cm，∠CBD=60°；2. 阴影是不规则图形，采用割补法转化为规则图形面积的和差：阴影面积=以B为圆心的扇形BCD的面积 - 空白弓形BD的面积，而空白弓形BD的面积=以A为圆心的扇形ABD的面积 - 等边△ABD的面积；3. 观察发现两个扇形的圆心角均为60°、半径均为6cm，面积相等，计算时可直接抵消，最终阴影面积等价于等边三角形的面积，简化运算。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，边长为6cm，
∴AB=BC=AD=CD=6cm，∠A + ∠ABC=180°，
又
∵∠ABC=120°，
∴∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6cm，∠ABD=60°，$S_{△ ABD} = \frac{\sqrt{3}}{4} × 6^2 = 9\sqrt{3}$ cm²，且∠CBD=∠ABC - ∠ABD=60°。
阴影部分面积 = 扇形BCD（圆心为B，半径BC=6cm，圆心角∠CBD=60°）的面积 - 弓形BD的面积，
其中弓形BD的面积 = 扇形ABD（圆心为A，半径AB=6cm，圆心角∠A=60°）的面积 - $S_{△ ABD}$，
∵$S_{扇形BCD}=\frac{60°}{360°} × π × 6^2 = 6π$，$S_{扇形ABD}=\frac{60°}{360°} × π × 6^2 = 6π$，
∴$S_{阴影}=6π - (6π - 9\sqrt{3})=9\sqrt{3}$ cm²。
【答案】
$9\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，扇形面积计算，等边三角形的性质
【点评】
本题考查不规则阴影面积的计算，核心是利用割补法将不规则图形转化为规则图形的面积和差，通过观察图形特征发现两个扇形面积相等，可直接抵消运算，避免了复杂的含π计算，对图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知菱形的性质入手：1. 菱形四条边相等，邻角互补，可先算出∠A=60°，推出△ABD是等边三角形，得到BD=AB=6cm，∠CBD=60°；2. 阴影是不规则图形，采用割补法转化为规则图形面积的和差：阴影面积=以B为圆心的扇形BCD的面积 - 空白弓形BD的面积，而空白弓形BD的面积=以A为圆心的扇形ABD的面积 - 等边△ABD的面积；3. 观察发现两个扇形的圆心角均为60°、半径均为6cm，面积相等，计算时可直接抵消，最终阴影面积等价于等边三角形的面积，简化运算。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，边长为6cm，
∴AB=BC=AD=CD=6cm，∠A + ∠ABC=180°，
又
∵∠ABC=120°，
∴∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6cm，∠ABD=60°，$S_{△ ABD} = \frac{\sqrt{3}}{4} × 6^2 = 9\sqrt{3}$ cm²，且∠CBD=∠ABC - ∠ABD=60°。
阴影部分面积 = 扇形BCD（圆心为B，半径BC=6cm，圆心角∠CBD=60°）的面积 - 弓形BD的面积，
其中弓形BD的面积 = 扇形ABD（圆心为A，半径AB=6cm，圆心角∠A=60°）的面积 - $S_{△ ABD}$，
∵$S_{扇形BCD}=\frac{60°}{360°} × π × 6^2 = 6π$，$S_{扇形ABD}=\frac{60°}{360°} × π × 6^2 = 6π$，
∴$S_{阴影}=6π - (6π - 9\sqrt{3})=9\sqrt{3}$ cm²。
【答案】
$9\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，扇形面积计算，等边三角形的性质
【点评】
本题考查不规则阴影面积的计算，核心是利用割补法将不规则图形转化为规则图形的面积和差，通过观察图形特征发现两个扇形面积相等，可直接抵消运算，避免了复杂的含π计算，对图形转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
16.如图，AB为$\odot O$的弦，点C，D为圆上的两个动点.记弦AB所对的圆心角度数为$α$，弦CD所对的圆心角度数为$β$，若$α+β=180°$，有下列结论：
①$∠ A+∠ C=90°$.
②若$β=2α$，则$CD=\sqrt{3}AB$.
③若点B为$\overset{\frown}{AD}$的中点，则$OA⊥ CD$.
④$AB^2+CD^2=4OC^2$.
其中正确的是________(填序号).
①$∠ A+∠ C=90°$.
②若$β=2α$，则$CD=\sqrt{3}AB$.
③若点B为$\overset{\frown}{AD}$的中点，则$OA⊥ CD$.
④$AB^2+CD^2=4OC^2$.
其中正确的是________(填序号).
答案
①②④
解析
【分析】
本题是圆的性质综合题，需逐个验证4个结论：①利用等腰三角形内角和推导角的数量关系；②结合已知角度关系求出α、β的度数，再计算对应弦长验证；③通过举反例推导判断垂直关系是否成立；④通过构造直径，结合勾股定理和弦长相等的条件验证。
【解析】
设⊙O的半径为R，即OA=OB=OC=OD=R，已知∠AOB=α，∠COD=β，α+β=180°。
1. 验证结论①：
在等腰△OAB中，∠OAB=(180°-α)÷2=90°-$\frac{α}{2}$；
在等腰△OCD中，∠OCD=(180°-β)÷2=90°-$\frac{β}{2}$；
则∠OAB+∠OCD=180°-$\frac{α+β}{2}$=180°-$\frac{180°}{2}$=90°，即∠A+∠C=90°，①正确。
2. 验证结论②：
若β=2α，结合α+β=180°，解得α=60°，β=120°。
∠AOB=60°，OA=OB，故△OAB为等边三角形，AB=OA=R；
过O作OE⊥CD于E，由垂径定理得CE=DE，∠COE=$\frac{β}{2}$=60°，
在Rt△COE中，CE=OC·sin60°=$\frac{\sqrt{3}R}{2}$，故CD=2CE=$\sqrt{3}R$，即CD=$\sqrt{3}$AB，②正确。
3. 验证结论③：
若B为弧AD中点，则∠AOB=∠BOD=α，∠AOD=2α。
举反例：取α=60°，则β=120°，∠C=(180°-120°)÷2=30°，此时∠AOC=360°-120°-120°=120°，OA与CD的夹角为180°-120°-30°=30°≠90°，故OA不一定垂直CD，③错误。
4. 验证结论④：
延长CO交⊙O于点E，连接DE。
CE为直径，故∠CDE=90°，在Rt△CDE中，CD²+DE²=CE²=(2R)²=4R²=4OC²。
∠DOE=180°-∠COD=180°-β=α，故∠DOE=∠AOB，对应弦DE=AB，代入得AB²+CD²=4OC²，④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
圆心角性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题需要结合圆的基本性质对每个结论逐一推导，解题时注意角度转化，构造直径的辅助线方法可快速解决弦长平方和的问题，需要注意动点位置不确定时不要默认位置关系。
【难度系数】
0.6
本题是圆的性质综合题，需逐个验证4个结论：①利用等腰三角形内角和推导角的数量关系；②结合已知角度关系求出α、β的度数，再计算对应弦长验证；③通过举反例推导判断垂直关系是否成立；④通过构造直径，结合勾股定理和弦长相等的条件验证。
【解析】
设⊙O的半径为R，即OA=OB=OC=OD=R，已知∠AOB=α，∠COD=β，α+β=180°。
1. 验证结论①：
在等腰△OAB中，∠OAB=(180°-α)÷2=90°-$\frac{α}{2}$；
在等腰△OCD中，∠OCD=(180°-β)÷2=90°-$\frac{β}{2}$；
则∠OAB+∠OCD=180°-$\frac{α+β}{2}$=180°-$\frac{180°}{2}$=90°，即∠A+∠C=90°，①正确。
2. 验证结论②：
若β=2α，结合α+β=180°，解得α=60°，β=120°。
∠AOB=60°，OA=OB，故△OAB为等边三角形，AB=OA=R；
过O作OE⊥CD于E，由垂径定理得CE=DE，∠COE=$\frac{β}{2}$=60°，
在Rt△COE中，CE=OC·sin60°=$\frac{\sqrt{3}R}{2}$，故CD=2CE=$\sqrt{3}R$，即CD=$\sqrt{3}$AB，②正确。
3. 验证结论③：
若B为弧AD中点，则∠AOB=∠BOD=α，∠AOD=2α。
举反例：取α=60°，则β=120°，∠C=(180°-120°)÷2=30°，此时∠AOC=360°-120°-120°=120°，OA与CD的夹角为180°-120°-30°=30°≠90°，故OA不一定垂直CD，③错误。
4. 验证结论④：
延长CO交⊙O于点E，连接DE。
CE为直径，故∠CDE=90°，在Rt△CDE中，CD²+DE²=CE²=(2R)²=4R²=4OC²。
∠DOE=180°-∠COD=180°-β=α，故∠DOE=∠AOB，对应弦DE=AB，代入得AB²+CD²=4OC²，④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
圆心角性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题需要结合圆的基本性质对每个结论逐一推导，解题时注意角度转化，构造直径的辅助线方法可快速解决弦长平方和的问题，需要注意动点位置不确定时不要默认位置关系。
【难度系数】
0.6
三、解答题
17.如图，在$\odot O$中，点A，B，C，D在圆上，且$AB=CD$，求证：$AC=BD$。
17.如图，在$\odot O$中，点A，B，C，D在圆上，且$AB=CD$，求证：$AC=BD$。
答案
证明:$\because AB=CD,\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BC}$,即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD},\therefore AC=BD$
解析
【分析】
要证明同圆内两条弦$AC=BD$，可借助同圆中弦与弧的对等关系推导：首先已知弦$AB=CD$，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；观察到$\overset{\frown}{AC}$和$\overset{\frown}{BD}$都包含公共弧$\overset{\frown}{BC}$，给$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$同时加上公共弧$\overset{\frown}{BC}$，就能得到$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$；最后根据同圆中相等的弧对应相等的弦，即可证得结论。
【解析】
证明:$\because AB=CD,\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BC}$,即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD},\therefore AC=BD$
【答案】
证明见上述解析过程。
【知识点】
1. 弦弧对等关系 2. 弧的和差运算
【点评】
本题是圆的基础性质的典型应用，解题核心是熟练掌握同圆内弦与弧的相互转化规律，借助公共弧搭建相等关系的桥梁，即可快速完成证明，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
要证明同圆内两条弦$AC=BD$，可借助同圆中弦与弧的对等关系推导：首先已知弦$AB=CD$，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；观察到$\overset{\frown}{AC}$和$\overset{\frown}{BD}$都包含公共弧$\overset{\frown}{BC}$，给$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$同时加上公共弧$\overset{\frown}{BC}$，就能得到$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$；最后根据同圆中相等的弧对应相等的弦，即可证得结论。
【解析】
证明:$\because AB=CD,\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BC}$,即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD},\therefore AC=BD$
【答案】
证明见上述解析过程。
【知识点】
1. 弦弧对等关系 2. 弧的和差运算
【点评】
本题是圆的基础性质的典型应用，解题核心是熟练掌握同圆内弦与弧的相互转化规律，借助公共弧搭建相等关系的桥梁，即可快速完成证明，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
