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10.已知，$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，$AB$是$\odot O$的弦，$AB⊥ CD$，垂足为$M$，且$AB=8\ \mathrm{cm}$，则$AC$的长为（
A.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C
）。A.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
B.$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C.$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
D.$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆垂径定理和勾股定理的应用，第一步先连接辅助线OA，利用直径求出半径长度，再由垂径定理得到AB一半的长度，用勾股定理算出OM的长度；接下来注意垂足M的位置有两种可能（在OC段或OD段），分两种情况计算CM的长度，最后再用勾股定理算出AC的长度即可。
【解析】
解：连接OA，
∵$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，
∴$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，
∵$AB⊥ CD$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，
∴由垂径定理得：$AM=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2 - AM^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
分两种情况讨论：
①当点M在线段OC上时，
$CM=OC - OM=5 - 3=2\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2 + CM^2}=\sqrt{4^2 + 2^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
②当点M在线段OD上时，
$CM=OC + OM=5 + 3=8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2 + CM^2}=\sqrt{4^2 + 8^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
综上，$AC$的长为$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易遗漏垂足M的两种位置情况，导致漏解，解题时要注意结合图形的多种可能性分类讨论，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆垂径定理和勾股定理的应用，第一步先连接辅助线OA，利用直径求出半径长度，再由垂径定理得到AB一半的长度，用勾股定理算出OM的长度；接下来注意垂足M的位置有两种可能（在OC段或OD段），分两种情况计算CM的长度，最后再用勾股定理算出AC的长度即可。
【解析】
解：连接OA，
∵$\odot O$的直径$CD=10\ \mathrm{cm}$，
∴$OA=OC=5\ \mathrm{cm}$，
∵$AB⊥ CD$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，
∴由垂径定理得：$AM=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2 - AM^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
分两种情况讨论：
①当点M在线段OC上时，
$CM=OC - OM=5 - 3=2\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2 + CM^2}=\sqrt{4^2 + 2^2}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
②当点M在线段OD上时，
$CM=OC + OM=5 + 3=8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$AC=\sqrt{AM^2 + CM^2}=\sqrt{4^2 + 8^2}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$；
综上，$AC$的长为$2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$或$4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易遗漏垂足M的两种位置情况，导致漏解，解题时要注意结合图形的多种可能性分类讨论，避免出错。
【难度系数】
0.7
二、填空题
11.如图，$\odot O$的直径为10，弦$AB=8$，点$P$是弦$AB$上的一个动点，则$OP$长的取值范围是
11.如图，$\odot O$的直径为10，弦$AB=8$，点$P$是弦$AB$上的一个动点，则$OP$长的取值范围是
$3≤ OP≤5$
。答案
$3≤ OP≤5$
解析
【分析】
要确定OP的取值范围，需先找到OP的最大值和最小值：①最大值：当点P与弦AB的端点A或B重合时，OP的长度等于圆的半径，此时OP最长；②最小值：根据垂线段最短的性质，当OP垂直于弦AB时，OP的长度最短，此时可结合垂径定理和勾股定理计算最短长度，最终即可得到OP的取值范围。
【解析】
解：已知$\odot O$的直径为10，因此$\odot O$的半径为5，当点P与A（或B）重合时，OP取得最大值5。
过点O作$OC⊥ AB$于点C，根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
根据垂线段最短可知，当点P与点C重合时，OP取得最小值3。
∵点P是弦AB上的动点，
∴OP长的取值范围是$3≤ OP≤5$。
【答案】
$3≤ OP≤5$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题是圆中线段取值范围的基础题型，解题核心是明确OP取最值的位置，结合圆的相关性质和直角三角形的性质计算即可，掌握最值的判断方法是解题关键。
【难度系数】
0.8
要确定OP的取值范围，需先找到OP的最大值和最小值：①最大值：当点P与弦AB的端点A或B重合时，OP的长度等于圆的半径，此时OP最长；②最小值：根据垂线段最短的性质，当OP垂直于弦AB时，OP的长度最短，此时可结合垂径定理和勾股定理计算最短长度，最终即可得到OP的取值范围。
【解析】
解：已知$\odot O$的直径为10，因此$\odot O$的半径为5，当点P与A（或B）重合时，OP取得最大值5。
过点O作$OC⊥ AB$于点C，根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
根据垂线段最短可知，当点P与点C重合时，OP取得最小值3。
∵点P是弦AB上的动点，
∴OP长的取值范围是$3≤ OP≤5$。
【答案】
$3≤ OP≤5$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题是圆中线段取值范围的基础题型，解题核心是明确OP取最值的位置，结合圆的相关性质和直角三角形的性质计算即可，掌握最值的判断方法是解题关键。
【难度系数】
0.8
12.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=40°$，以点$C$为圆心，$CB$为半径的圆交$AB$于点$D$，则$∠ ACD=\_\_\_\_\_\_$。
答案
$10°$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用直角三角形两锐角互余的性质，求出∠B的度数；第二步，根据同圆的半径相等，可得CB=CD，即△CBD为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠CDB=∠B；第三步，结合三角形内角和定理算出∠BCD的度数；第四步，用∠ACB减去∠BCD即可得到∠ACD的度数。
【解析】
在$△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=40°$，
根据直角三角形两锐角互余，得$∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 40° = 50°$。
∵$CB$、$CD$都是$\odot C$的半径，
∴$CB=CD$，即$△CBD$是等腰三角形，
∴$∠ CDB = ∠ B = 50°$。
在$△CBD$中，根据三角形内角和为180°，
得$∠ BCD = 180° - ∠ B - ∠ CDB = 180° - 50° - 50° = 80°$，
∴$∠ ACD = ∠ ACB - ∠ BCD = 90° - 80° = 10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；等腰三角形的性质；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础的角度计算题，核心是利用同圆半径相等构造等腰三角形，再结合三角形的相关角度性质逐步推导，解题时要理清各角之间的数量关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，先利用直角三角形两锐角互余的性质，求出∠B的度数；第二步，根据同圆的半径相等，可得CB=CD，即△CBD为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠CDB=∠B；第三步，结合三角形内角和定理算出∠BCD的度数；第四步，用∠ACB减去∠BCD即可得到∠ACD的度数。
【解析】
在$△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=40°$，
根据直角三角形两锐角互余，得$∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 40° = 50°$。
∵$CB$、$CD$都是$\odot C$的半径，
∴$CB=CD$，即$△CBD$是等腰三角形，
∴$∠ CDB = ∠ B = 50°$。
在$△CBD$中，根据三角形内角和为180°，
得$∠ BCD = 180° - ∠ B - ∠ CDB = 180° - 50° - 50° = 80°$，
∴$∠ ACD = ∠ ACB - ∠ BCD = 90° - 80° = 10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；等腰三角形的性质；圆的基本性质
【点评】
本题属于基础的角度计算题，核心是利用同圆半径相等构造等腰三角形，再结合三角形的相关角度性质逐步推导，解题时要理清各角之间的数量关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
13.蔬菜基地建圆弧形的蔬菜大棚，剖面如图所示，已知$AB=16\ \mathrm{m}$，半径$OA=10\ \mathrm{m}$，则高度$CD$为
$4$
$\mathrm{m}.$答案
$4$
解析
【分析】
本题是圆的实际应用问题，解题思路如下：首先根据圆弧形剖面的特征，可知高度CD所在直线是圆弧的对称轴，由垂径定理可得CD垂直平分AB，先求出半弦AD的长度；再在直角三角形OAD中，利用勾股定理求出OD的长度；最后用半径OC减去OD的长度，即可得到CD的高度。
【解析】
由题意可知，CD垂直平分AB，OC=OA=10m
∴$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，根据勾股定理：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$
∴$CD=OC - OD=10 - 6=4\ \mathrm{m}$
【答案】
4
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题考查垂径定理在实际问题中的应用，解题的核心是通过垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理计算线段长度，是圆相关计算的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
本题是圆的实际应用问题，解题思路如下：首先根据圆弧形剖面的特征，可知高度CD所在直线是圆弧的对称轴，由垂径定理可得CD垂直平分AB，先求出半弦AD的长度；再在直角三角形OAD中，利用勾股定理求出OD的长度；最后用半径OC减去OD的长度，即可得到CD的高度。
【解析】
由题意可知，CD垂直平分AB，OC=OA=10m
∴$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，根据勾股定理：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$
∴$CD=OC - OD=10 - 6=4\ \mathrm{m}$
【答案】
4
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题考查垂径定理在实际问题中的应用，解题的核心是通过垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理计算线段长度，是圆相关计算的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
14.一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是
$30°或150°$
。答案
$30°或150°$
解析
【分析】
解题时首先明确整个圆周对应的圆心角为360°，先根据弦分圆的比例求出两段弧对应的圆心角度数；再结合圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同时注意一条弦对应两段弧，因此所对的圆周角有两个，分别对应劣弧和优弧，分别计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵整个圆的圆心角为360°，弦把圆分成1:5两部分
∴劣弧对应的圆心角度数为：$360°×\frac{1}{1+5}=60°$
优弧对应的圆心角度数为：$360°×\frac{5}{1+5}=300°$
根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半：
①当圆周角对应劣弧时，度数为$60°÷2=30°$
②当圆周角对应优弧时，度数为$300°÷2=150°$
因此这条弦所对的圆周角的度数是30°或150°。
【答案】
$30°或150°$
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题的易错点是漏解，解题时要注意一条弦对应两段不同的弧，对应的圆周角有两个且互补，需全面分析所有情况，避免只考虑劣弧对应的圆周角。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确整个圆周对应的圆心角为360°，先根据弦分圆的比例求出两段弧对应的圆心角度数；再结合圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同时注意一条弦对应两段弧，因此所对的圆周角有两个，分别对应劣弧和优弧，分别计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵整个圆的圆心角为360°，弦把圆分成1:5两部分
∴劣弧对应的圆心角度数为：$360°×\frac{1}{1+5}=60°$
优弧对应的圆心角度数为：$360°×\frac{5}{1+5}=300°$
根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半：
①当圆周角对应劣弧时，度数为$60°÷2=30°$
②当圆周角对应优弧时，度数为$300°÷2=150°$
因此这条弦所对的圆周角的度数是30°或150°。
【答案】
$30°或150°$
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题的易错点是漏解，解题时要注意一条弦对应两段不同的弧，对应的圆周角有两个且互补，需全面分析所有情况，避免只考虑劣弧对应的圆周角。
【难度系数】
0.6
15.如图，菱形ABCD的边长为6 cm，∠B=120°，$\overset{\frown}{BD}$是以点A为圆心，AB长为半径的弧，$\overset{\frown}{CD}$是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为
$9\sqrt{3}$
cm². 答案
$9\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察阴影是不规则图形，考虑用割补法转化为规则图形的面积差计算。首先利用菱形邻角互补、四边相等的性质，可推出△ABD和△BCD都是等边三角形，再观察两个扇形（以A为圆心的弧BD所在扇形、以B为圆心的弧CD所在扇形）的圆心角、半径都相等，即面积相等，最后通过面积抵消，即可将阴影面积转化为等边三角形的面积计算。
【解析】
解：连接BD，
∵ 四边形ABCD是菱形，边长为6cm，∠ABC=120°，
∴ AB=AD=BC=CD=6cm，∠A=180°-∠ABC=60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ BD=AB=6cm，∠ABD=60°，
∴ ∠DBC=∠ABC - ∠ABD=120°-60°=60°，
又
∵ BC=BD=6cm，
∴ △BCD是等边三角形，$S_{△ BCD}=S_{△ ABD}=\frac{\sqrt{3}}{4}×6^2=9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
观察面积关系：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}BCD(\mathrm{圆心}B)} - (S_{\mathrm{扇形}ABD(\mathrm{圆心}A)} - S_{△ ABD})$
∵ 扇形BCD和扇形ABD的圆心角均为60°，半径均为6cm，
∴ $S_{\mathrm{扇形}BCD}=S_{\mathrm{扇形}ABD}=\frac{60π×6^2}{360}=6π\ \mathrm{cm}^2$，
代入得：$S_{\mathrm{阴影}}=6π - (6π - 9\sqrt{3})=9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$9\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质；扇形面积计算；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是利用割补法将不规则图形转化为规则图形计算，解题关键是结合菱形、等边三角形的性质发现两个扇形面积相等，从而简化计算过程。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，首先观察阴影是不规则图形，考虑用割补法转化为规则图形的面积差计算。首先利用菱形邻角互补、四边相等的性质，可推出△ABD和△BCD都是等边三角形，再观察两个扇形（以A为圆心的弧BD所在扇形、以B为圆心的弧CD所在扇形）的圆心角、半径都相等，即面积相等，最后通过面积抵消，即可将阴影面积转化为等边三角形的面积计算。
【解析】
解：连接BD，
∵ 四边形ABCD是菱形，边长为6cm，∠ABC=120°，
∴ AB=AD=BC=CD=6cm，∠A=180°-∠ABC=60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ BD=AB=6cm，∠ABD=60°，
∴ ∠DBC=∠ABC - ∠ABD=120°-60°=60°，
又
∵ BC=BD=6cm，
∴ △BCD是等边三角形，$S_{△ BCD}=S_{△ ABD}=\frac{\sqrt{3}}{4}×6^2=9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
观察面积关系：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}BCD(\mathrm{圆心}B)} - (S_{\mathrm{扇形}ABD(\mathrm{圆心}A)} - S_{△ ABD})$
∵ 扇形BCD和扇形ABD的圆心角均为60°，半径均为6cm，
∴ $S_{\mathrm{扇形}BCD}=S_{\mathrm{扇形}ABD}=\frac{60π×6^2}{360}=6π\ \mathrm{cm}^2$，
代入得：$S_{\mathrm{阴影}}=6π - (6π - 9\sqrt{3})=9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$9\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质；扇形面积计算；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是利用割补法将不规则图形转化为规则图形计算，解题关键是结合菱形、等边三角形的性质发现两个扇形面积相等，从而简化计算过程。
【难度系数】
0.6
16.如图，AB为$\odot O$的弦，点C，D为圆上的两个动点.记弦AB所对的圆心角度数为$α$，弦CD所对的圆心角度数为$β$，若$α+β=180°$，有下列结论：
①$∠ A+∠ C=90°$.
②若$β=2α$，则$CD=\sqrt{3}AB$.
③若点B为$\overset{\frown}{AD}$的中点，则$OA⊥ CD$.
④$AB^2+CD^2=4OC^2$.
其中正确的是________(填序号).
①$∠ A+∠ C=90°$.
②若$β=2α$，则$CD=\sqrt{3}AB$.
③若点B为$\overset{\frown}{AD}$的中点，则$OA⊥ CD$.
④$AB^2+CD^2=4OC^2$.
其中正确的是________(填序号).
答案
①②④
解析
【分析】
本题是圆的性质综合题，我们可以结合已知条件α+β=180°，逐个分析4个结论：首先利用同圆半径相等得到等腰三角形，推导角度关系验证①；结合β=2α求出两个圆心角的度数，计算弦长关系验证②；可通过举反例或者角度推导验证③错误；通过旋转构造直角三角形，利用勾股定理验证④。
【解析】
设⊙O的半径为r，则OA=OB=OC=OD=r，已知∠AOB=α，∠COD=β，α+β=180°。
1. 验证结论①：
∵OA=OB，△OAB为等腰三角形，
∴∠OAB=(180°-α)/2；
同理OC=OD，△OCD为等腰三角形，
∴∠OCD=(180°-β)/2；
∴∠OAB+∠OCD=$\frac{360°-(α+β)}{2}$=$\frac{360°-180°}{2}$=90°，即∠A+∠C=90°，①正确。
2. 验证结论②：
若β=2α，结合α+β=180°，解得α=60°，β=120°。
∵α=60°，OA=OB=r，
∴△OAB为等边三角形，AB=r；
在△OCD中，过O作CD的垂线，垂足为E，则∠COE=60°，CE=OC·sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∴CD=2CE=$\sqrt{3}$r，故CD=$\sqrt{3}$AB，②正确。
3. 验证结论③：
若点B为$\overset{\frown}{AD}$的中点，则∠AOB=∠BOD，假设α=60°，则β=120°，∠AOD=2α=120°，此时∠AOC=360°-∠AOD-∠COD=120°，∠OCD=(180°-120°)/2=30°，设OA交CD于点E，则∠OEC=180°-∠AOC-∠OCD=30°≠90°，即OA与CD不垂直，③错误。
4. 验证结论④：
将△AOB绕点O旋转，使OA与OD重合，
∵α+β=180°，
∴旋转后OB与OC在同一直线上，即BC为⊙O的直径，BC=2r=2OC，此时BD=AB，∠BDC=90°（直径所对圆周角为直角）。
在Rt△BDC中，由勾股定理得BD²+CD²=BC²，代入得AB²+CD²=(2OC)²=4OC²，④正确。
综上，正确的结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
圆心角性质、弦长计算、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质，需要结合等腰三角形、旋转、勾股定理等知识逐一验证结论，可通过特殊值法快速排除错误结论，锻炼学生的综合推导能力。
【难度系数】
0.65
本题是圆的性质综合题，我们可以结合已知条件α+β=180°，逐个分析4个结论：首先利用同圆半径相等得到等腰三角形，推导角度关系验证①；结合β=2α求出两个圆心角的度数，计算弦长关系验证②；可通过举反例或者角度推导验证③错误；通过旋转构造直角三角形，利用勾股定理验证④。
【解析】
设⊙O的半径为r，则OA=OB=OC=OD=r，已知∠AOB=α，∠COD=β，α+β=180°。
1. 验证结论①：
∵OA=OB，△OAB为等腰三角形，
∴∠OAB=(180°-α)/2；
同理OC=OD，△OCD为等腰三角形，
∴∠OCD=(180°-β)/2；
∴∠OAB+∠OCD=$\frac{360°-(α+β)}{2}$=$\frac{360°-180°}{2}$=90°，即∠A+∠C=90°，①正确。
2. 验证结论②：
若β=2α，结合α+β=180°，解得α=60°，β=120°。
∵α=60°，OA=OB=r，
∴△OAB为等边三角形，AB=r；
在△OCD中，过O作CD的垂线，垂足为E，则∠COE=60°，CE=OC·sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∴CD=2CE=$\sqrt{3}$r，故CD=$\sqrt{3}$AB，②正确。
3. 验证结论③：
若点B为$\overset{\frown}{AD}$的中点，则∠AOB=∠BOD，假设α=60°，则β=120°，∠AOD=2α=120°，此时∠AOC=360°-∠AOD-∠COD=120°，∠OCD=(180°-120°)/2=30°，设OA交CD于点E，则∠OEC=180°-∠AOC-∠OCD=30°≠90°，即OA与CD不垂直，③错误。
4. 验证结论④：
将△AOB绕点O旋转，使OA与OD重合，
∵α+β=180°，
∴旋转后OB与OC在同一直线上，即BC为⊙O的直径，BC=2r=2OC，此时BD=AB，∠BDC=90°（直径所对圆周角为直角）。
在Rt△BDC中，由勾股定理得BD²+CD²=BC²，代入得AB²+CD²=(2OC)²=4OC²，④正确。
综上，正确的结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
圆心角性质、弦长计算、勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质，需要结合等腰三角形、旋转、勾股定理等知识逐一验证结论，可通过特殊值法快速排除错误结论，锻炼学生的综合推导能力。
【难度系数】
0.65
三、解答题
17.如图，在$\odot O$中，点A，B，C，D在圆上，且$AB=CD$，求证：$AC=BD$。
17.如图，在$\odot O$中，点A，B，C，D在圆上，且$AB=CD$，求证：$AC=BD$。
答案
证明:$\because AB=CD,\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BC}$,即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD},\therefore AC=BD$
解析
【分析】
要证明弦$AC=BD$，可依据同圆中弧与弦的对应关系，先证明二者所对的弧相等。已知$AB=CD$，根据同圆内相等的弦对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；观察图形可知$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{BD}$分别是$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{CD}$与公共弧$\overset{\frown}{BC}$的和，给等弧同时加上相同的弧，所得弧仍然相等，即可推出$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，进而得到对应弦相等。
【解析】
证明：$\because AB=CD$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（同圆中相等的弦所对的弧相等），
$\therefore \overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BC}$，
即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore AC=BD$（同圆中相等的弧所对的弦相等）。
【答案】
证明:$\because AB=CD,\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BC}$,即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD},\therefore AC=BD$
【知识点】
弦与弧的关系、弧的和差运算
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心是利用同圆中弦和弧的等价转化关系，通过公共弧推导目标弧相等，进而证明弦相等，熟练掌握弦与弧的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明弦$AC=BD$，可依据同圆中弧与弦的对应关系，先证明二者所对的弧相等。已知$AB=CD$，根据同圆内相等的弦对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$；观察图形可知$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{BD}$分别是$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{CD}$与公共弧$\overset{\frown}{BC}$的和，给等弧同时加上相同的弧，所得弧仍然相等，即可推出$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，进而得到对应弦相等。
【解析】
证明：$\because AB=CD$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（同圆中相等的弦所对的弧相等），
$\therefore \overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BC}$，
即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
$\therefore AC=BD$（同圆中相等的弧所对的弦相等）。
【答案】
证明:$\because AB=CD,\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BC}$,即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD},\therefore AC=BD$
【知识点】
弦与弧的关系、弧的和差运算
【点评】
本题是圆的基础证明题，核心是利用同圆中弦和弧的等价转化关系，通过公共弧推导目标弧相等，进而证明弦相等，熟练掌握弦与弧的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
