10.如图,圆锥形的烟囱帽的侧面积是$12π \ \mathrm{cm}^2$,其侧面展开图是圆心角为$180°$的扇形,则它的母线长是cm.

10.$2\sqrt{6}$

【分析】
解题时首先明确圆锥与侧面展开扇形的对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开扇形的半径，圆锥的侧面积等于展开后扇形的面积。本题已知扇形的圆心角和侧面积，直接代入扇形面积公式即可求解母线长。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l \, \mathrm{cm} $。
因为圆锥侧面展开图是圆心角为$ 180° $的扇形，且圆锥侧面积等于扇形面积，根据扇形面积公式$ S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ R^2}{360} $（其中$ n $为扇形圆心角度数，$ R $为扇形半径），此处扇形半径$ R=l $，侧面积$ S=12π $，代入得：
$12π = \frac{180π l^2}{360}$
化简等式右侧得$ \frac{π l^2}{2} $，等式两边同时除以$ π $得：
$12 = \frac{l^2}{2}$
解得$ l^2=24 $，因为$ l＞0 $，所以$ l=\sqrt{24}=2\sqrt{6} $。
【答案】
$ 2\sqrt{6} $
【知识点】
扇形面积计算，圆锥侧面积计算，圆锥与展开图对应关系
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查圆锥侧面展开图和扇形的对应关系，解题的关键是熟记扇形面积公式，理清圆锥母线长和扇形半径的对应关系，只要熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7

11.如图,在$□ ABCD$中,$AB=\sqrt{3}+1$,$BC=2$,$AH ⊥ CD$,垂足为$H$,$AH=\sqrt{3}$.以点$A$为圆心,$AH$长为半径画弧,与$AB$,$AC$,$AD$分别交于点$E$,$F$,$G$.若用扇形$AEF$围成一个圆锥的侧面,记这个圆锥底面圆的半径为$r_1$;用扇形$AHG$围成另一个圆锥的侧面,记这个圆锥底面圆的半径为$r_2$,则$r_1 - r_2 =$.

11.$\frac{\sqrt{3}}{24}$

【分析】
解题分三步推进：第一步先求两个扇形的圆心角：先利用平行四边形对边相等的性质得到AD、CD的长度，再通过解直角三角形求∠D、DH的长度，进而得到CH的长度，判断△AHC的形状得到∠BAC的度数，再求出∠HAD的度数；第二步利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长的关系，推导半径r的计算公式，分别代入数据求出r₁和r₂；第三步计算r₁与r₂的差值即可。
【解析】
1. 求解相关角度：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD=BC=2$，$CD=AB=\sqrt{3}+1$，$AB// CD$。
∵ $AH⊥ CD$，
∴ $∠ AHD=∠ AHC=90°$，结合$AB// CD$可得$AH⊥ AB$，即$∠ BAH=90°$。
在$Rt△ AHD$中，$AD=2$，$AH=\sqrt{3}$，
∴ $DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1$，$\sin D=\frac{AH}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$∠ D=60°$，
∴ $∠ HAD=90°-∠ D=30°$，即扇形AHG的圆心角为$30°$。
又$CH=CD-DH=(\sqrt{3}+1)-1=\sqrt{3}$，则$CH=AH=\sqrt{3}$，
∴ $△ AHC$是等腰直角三角形，$∠ ACH=45°$，
结合$AB// CD$得$∠ BAC=∠ ACH=45°$，即扇形AEF的圆心角为$45°$。
2. 计算$r_1$和$r_2$：
圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆周长，即$\frac{nπ R}{180}=2π r$，化简得$r=\frac{nR}{360}$，本题中两个扇形的半径$R=AH=\sqrt{3}$。
对扇形AEF：$n_1=45°$，则$r_1=\frac{45×\sqrt{3}}{360}=\frac{\sqrt{3}}{8}$。
对扇形AHG：$n_2=30°$，则$r_2=\frac{30×\sqrt{3}}{360}=\frac{\sqrt{3}}{12}$。
3. 计算差值：
$r_1-r_2=\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\sqrt{3}}{12}=\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{24}=\frac{\sqrt{3}}{24}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{24}$
【知识点】
平行四边形的性质，解直角三角形，圆锥的计算
【点评】
本题综合考查了几何图形性质和圆锥相关计算，核心是准确求出两个扇形的圆心角，牢记圆锥底面周长等于侧面展开扇形弧长的关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.6

12.如图，矩形纸片ABCD中，AD=12 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，求AB的长.

12.设$AB=BF=x$ cm,则$CF=(12-x)$ cm,
根据题意可得$\frac{90°π x}{180°}=(12-x)π$,解得$x=8$,
$\therefore AB=8$ cm.

【分析】
要解决这道题，首先明确核心等量关系：圆锥侧面展开图（即扇形ABF）的弧长等于圆锥底面圆的周长。第一步先分析图形：正方形ABFE中AB=BF，扇形ABF是圆心角为90°、半径为AB的扇形；右侧矩形EFCD中裁出的最大圆的直径等于FC的长度。第二步分别计算扇形弧长和底面圆的周长，第三步根据等量关系列方程求解即可。
【解析】
设$AB=BF=x$ cm，
∵矩形ABCD中$AD=BC=12$ cm，
∴$CF=BC-BF=(12-x)$ cm，
∵扇形ABF为圆锥的侧面，矩形内裁出的圆为圆锥的底面，
∴扇形的弧长等于底面圆的周长，结合弧长公式和圆周长公式列方程：
$\frac{90°π x}{180°}=(12-x)π$
化简得：$\frac{1}{2}x=12-x$
解得$x=8$
即AB的长为8 cm。
【答案】
8 cm
【知识点】
弧长计算；圆锥展开图性质；一元一次方程应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题，解题的核心是抓住“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”这一核心等量关系，同时要能准确分析图形中各线段的长度关系，这类题是弧长和圆锥相关知识的常见考法。
【难度系数】
0.7

13.如图，已知圆锥的底面半径$ r=20 \ \mathrm{cm} $，高$ h=20\sqrt{15} \ \mathrm{cm} $。有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周又回到点A。
(1)求圆锥的全面积。
(2)求蚂蚁爬行的最短距离。

13.(1)$\because$母线长$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{20^2+(20\sqrt{15})^2}=80(\mathrm{cm})$,
$\therefore S_全=π×20^2+π×20×80=2\ 000π(\mathrm{cm}^2)$.
(2)设侧面展开扇形的圆心角为$n°$,则$2π×20=\frac{nπ×80}{180}$,解得$n=90$.
故蚂蚁爬行的最短距离为$\sqrt{80^2+80^2}=80\sqrt{2}(\mathrm{cm})$.

【分析】
(1) 求圆锥全面积需要先求母线长，圆锥全面积等于底面积加侧面积，已知底面半径r和高h，可先通过勾股定理算出母线长l，再分别计算底面积和侧面积相加即可。
(2) 蚂蚁在侧面爬行一周回到A点的最短距离，需要将圆锥侧面展开为扇形，根据两点之间线段最短，最短距离就是展开后扇形对应两点的弦长。先利用底面周长等于扇形弧长求出扇形圆心角，再结合母线长用勾股定理计算弦长即可。
【解析】
(1) 先计算圆锥的母线长：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{20^2+(20\sqrt{15})^2}=\sqrt{400+6000}=80(\mathrm{cm})$
圆锥全面积为底面积与侧面积之和：
$S_全=π r^2+π rl=π×20^2+π×20×80=400π+1600π=2000π(\mathrm{cm}^2)$
(2) 设侧面展开扇形的圆心角为$n°$，圆锥底面周长等于展开扇形的弧长：
$2π×20=\frac{nπ×80}{180}$
约去$π$后解得$n=90$，即展开扇形的圆心角为$90°$。
此时最短路径为腰长80cm的等腰直角三角形的斜边长：
最短距离$=\sqrt{80^2+80^2}=80\sqrt{2}(\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $2000π\ \mathrm{cm}^2$；(2) $80\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 圆锥的面积计算
2. 圆锥侧面展开图
3. 最短路径求解
【点评】
本题属于圆锥的综合应用题，解题关键是明确圆锥参数和侧面展开扇形参数的对应关系，会将立体的最短路径问题转化为平面线段问题求解，计算时要注意公式的正确套用。
【难度系数】
0.7