10.如图,圆锥形的烟囱帽的侧面积是$12π \ \mathrm{cm}^2$,其侧面展开图是圆心角为$180°$的扇形,则它的母线长是cm.

10.$2\sqrt{6}$

【分析】
要解决这道题，首先明确圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径对应圆锥的母线长，扇形的面积等于圆锥的侧面积。已知扇形的圆心角和面积，我们可以直接选用含圆心角、半径的扇形面积公式，代入已知条件列方程求解即可，注意母线长为正数，最终结果取正根。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l \ \mathrm{cm} $，即侧面展开扇形的半径为$ l \ \mathrm{cm} $。
已知扇形圆心角$ n=180° $，扇形面积（即圆锥侧面积）$ S=12π \ \mathrm{cm}^2 $，根据扇形面积公式$ S=\frac{nπ l^2}{360} $，代入数值可得：
$12π = \frac{180π l^2}{360}$
化简得：
$12π = \frac{1}{2}π l^2$
两边同时除以$ π $，得：
$12 = \frac{1}{2}l^2$
解得$ l^2=24 $，因母线长为正数，舍去负根，得$ l=\sqrt{24}=2\sqrt{6} $。
【答案】
$ 2\sqrt{6} $
【知识点】
1.圆锥侧面积计算
2.扇形面积公式
3.圆锥展开图性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是理清圆锥和其侧面展开扇形的对应量，熟记扇形面积公式即可快速求解，是圆锥相关计算的常见考法。
【难度系数】
0.7

11.如图,在$□ ABCD$中,$AB=\sqrt{3}+1$,$BC=2$,$AH ⊥ CD$,垂足为$H$,$AH=\sqrt{3}$.以点$A$为圆心,$AH$长为半径画弧,与$AB$,$AC$,$AD$分别交于点$E$,$F$,$G$.若用扇形$AEF$围成一个圆锥的侧面,记这个圆锥底面圆的半径为$r_1$;用扇形$AHG$围成另一个圆锥的侧面,记这个圆锥底面圆的半径为$r_2$,则$r_1 - r_2 =$.

11.$\frac{\sqrt{3}}{24}$

【分析】
解题思路如下：①先利用平行四边形性质得到边长关系和平行关系；②在直角三角形AHD中，根据已知边长求∠D、∠HAD的度数以及DH的长度；③计算CH的长度，判定△AHC为等腰直角三角形，结合平行线性质得到∠BAC的度数，即两个扇形的圆心角；④根据圆锥侧面展开弧长等于底面周长的关系，分别求出r₁、r₂，最后计算差值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，CD=AB=√3+1，AB//CD。
∵AH⊥CD，
∴∠AHD=∠AHC=90°，
在Rt△AHD中，AH=√3，AD=2，
∴sinD=AH/AD=√3/2，
∴∠D=60°，
∴∠HAD=90°-∠D=30°，DH=√(AD²-AH²)=√(2²-(√3)²)=1，
∴CH=CD-DH=(√3+1)-1=√3，
∵AH=CH=√3，∠AHC=90°，
∴△AHC是等腰直角三角形，
∴∠ACH=45°，
∵AB//CD，
∴∠BAC=∠ACH=45°。
扇形AEF的圆心角为45°，半径R=AH=√3，其弧长为：
$l_1=\frac{45π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{4}$，
∵扇形弧长等于圆锥底面周长，即$2π r_1=l_1$，
∴$r_1=\frac{\sqrt{3}π}{4}÷2π=\frac{\sqrt{3}}{8}$。
扇形AHG的圆心角为30°，半径R=√3，其弧长为：
$l_2=\frac{30π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{6}$，
同理$2π r_2=l_2$，解得$r_2=\frac{\sqrt{3}π}{6}÷2π=\frac{\sqrt{3}}{12}$。
∴$r_1-r_2=\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\sqrt{3}}{12}=\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{24}=\frac{\sqrt{3}}{24}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{24}$
【知识点】
平行四边形的性质；弧长计算；圆锥的计算
【点评】
本题综合考查了几何图形性质和圆锥相关计算，解题的核心是准确求出两个扇形的圆心角，熟练掌握圆锥侧面展开弧长与底面周长的等量关系，计算过程需注意角度和边长的对应关系，避免混淆。
【难度系数】
0.6

12.如图，矩形纸片ABCD中，AD=12 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，求AB的长.

12.设$AB=BF=x$ cm,则$CF=(12-x)$ cm,
根据题意可得$\frac{90°π x}{180°}=(12-x)π$,解得$x=8$,
$\therefore AB=8$ cm.

【分析】
要解决这个问题，首先明确核心等量关系：圆锥侧面扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先设AB的长度为x cm，因为ABFE是正方形，所以扇形ABF的半径为x，圆心角为90°，可根据弧长公式求出扇形弧长；右侧矩形EFCD中裁出的最大圆的直径等于矩形的短边CF=AD-AB=12-x，可求出该圆的周长，再根据两者相等列方程求解即可。
【解析】
设$AB=BF=x$ cm，则$CF=AD-AB=(12-x)$ cm，
∵ 扇形ABF作为圆锥的侧面，裁出的圆作为圆锥的底面，
∴ 扇形ABF的弧长 = 底面圆的周长，
根据弧长公式和圆的周长公式可得：$\frac{90°π x}{180°}=(12-x)π$，
化简得：$\frac{1}{2}x=12-x$，
解得$x=8$。
【答案】
$AB=8$ cm
【知识点】
弧长计算，圆锥展开图性质，一元一次方程应用
【点评】
本题是几何与方程结合的典型题型，解题核心是抓住圆锥侧面展开图的弧长与底面圆周长相等的关系，结合图形中各线段的长度关系列方程求解，能很好地考查学生对圆锥相关性质的掌握程度和数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7

13.如图，已知圆锥的底面半径$ r=20 \ \mathrm{cm} $，高$ h=20\sqrt{15} \ \mathrm{cm} $。有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周又回到点A。
(1)求圆锥的全面积。
(2)求蚂蚁爬行的最短距离。

13.(1)$\because$母线长$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{20^2+(20\sqrt{15})^2}=80(\mathrm{cm})$,
$\therefore S_全=π×20^2+π×20×80=2\ 000π(\mathrm{cm}^2)$.
(2)设侧面展开扇形的圆心角为$n°$,则$2π×20=\frac{nπ×80}{180}$,解得$n=90$.
故蚂蚁爬行的最短距离为$\sqrt{80^2+80^2}=80\sqrt{2}(\mathrm{cm})$.

【分析】
(1) 求圆锥全面积首先要明确圆锥全面积=底面积+侧面积，两个面积的计算都需要用到母线长，因此第一步先通过底面半径r和高h，用勾股定理求出母线长l，再代入对应的面积公式计算即可。
(2) 侧面上爬行一周的最短路径需要将三维的圆锥侧面转化为平面图形求解：把圆锥侧面展开为扇形，根据“两点之间线段最短”，最短距离就是展开后扇形上两个对应A点的连线长度。首先要利用“圆锥底面周长=展开扇形的弧长”求出扇形的圆心角，再结合母线长用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
(1) 先计算圆锥的母线长：
由勾股定理可得 $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{20^2+(20\sqrt{15})^2}=\sqrt{400+6000}=80(\mathrm{cm})$
圆锥全面积为底面积加侧面积：
$S_全=π r^2+π rl=π×20^2+π×20×80=400π+1600π=2000π(\mathrm{cm}^2)$
(2) 设侧面展开扇形的圆心角为$n°$，根据圆锥底面周长等于扇形弧长得：
$2π r=\frac{nπ l}{180}$
代入$r=20$，$l=80$得：$2π×20=\frac{nπ×80}{180}$，约去π后解得$n=90$。
此时展开图中两个A点与扇形顶点构成腰长为80cm的等腰直角三角形，最短路径为斜边长：
$\sqrt{80^2+80^2}=80\sqrt{2}(\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $2000π\ \mathrm{cm}^2$；(2) $80\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆锥表面积计算，圆锥侧面展开图，勾股定理
【点评】
本题是弧长与扇形面积的典型综合题，考查了圆锥相关计算和空间转平面的转化思想，解题核心是理清圆锥各参数和展开扇形参数的对应关系，牢记相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.65