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1.下列说法错误的是(
A.直径是圆中最长的弦
B.长度相等的两条弧是等弧
C.面积相等的两个圆是等圆
D.半径相等的两个半圆是等弧
B
).A.直径是圆中最长的弦
B.长度相等的两条弧是等弧
C.面积相等的两个圆是等圆
D.半径相等的两个半圆是等弧
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查圆的相关基础概念辨析，解题思路是逐一结合各概念的定义判断选项说法正误：首先回忆弦、等弧、等圆的核心判定条件，再对应每个选项验证，重点注意等弧的判定需要满足“能够完全重合”这一核心要求，不能仅通过长度判断。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 弦是连接圆上任意两点的线段，直径经过圆心，是圆中最长的弦，该说法正确，不符合题意；
B. 等弧的定义是能够完全重合的两条弧，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧，若两个圆半径不同，即使弧的长度相等，也无法完全重合，不属于等弧，该说法错误，符合题意；
C. 圆的面积公式为$S=π r^2$，若两个圆面积相等，则二者半径相等，半径相等的圆是等圆，该说法正确，不符合题意；
D. 半径相等的两个半圆所在的圆是等圆，且半圆的度数均为180°，能够完全重合，属于等弧，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本概念，等弧的判定，等圆的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略等弧判定的前提为“同圆或等圆中”，仅依据长度相等就误判为等弧，熟练掌握圆的各类基础定义是解题的核心。
【难度系数】
0.75
本题考查圆的相关基础概念辨析，解题思路是逐一结合各概念的定义判断选项说法正误：首先回忆弦、等弧、等圆的核心判定条件，再对应每个选项验证，重点注意等弧的判定需要满足“能够完全重合”这一核心要求，不能仅通过长度判断。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 弦是连接圆上任意两点的线段，直径经过圆心，是圆中最长的弦，该说法正确，不符合题意；
B. 等弧的定义是能够完全重合的两条弧，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧，若两个圆半径不同，即使弧的长度相等，也无法完全重合，不属于等弧，该说法错误，符合题意；
C. 圆的面积公式为$S=π r^2$，若两个圆面积相等，则二者半径相等，半径相等的圆是等圆，该说法正确，不符合题意；
D. 半径相等的两个半圆所在的圆是等圆，且半圆的度数均为180°，能够完全重合，属于等弧，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本概念，等弧的判定，等圆的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略等弧判定的前提为“同圆或等圆中”，仅依据长度相等就误判为等弧，熟练掌握圆的各类基础定义是解题的核心。
【难度系数】
0.75
2.三角形的外心是(
A.三边上的高线的交点
B.三边中线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三个内角平分线的交点
C
).A.三边上的高线的交点
B.三边中线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三个内角平分线的交点
答案
2.C
解析
【分析】
这道题考查三角形不同特殊线段交点的概念辨析，解题时需先明确外心的定义与核心性质，再逐一匹配各选项对应的交点特征，排除错误选项即可得到答案。外心是三角形外接圆的圆心，核心性质是到三个顶点的距离相等，结合线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），可快速定位正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三边上的高线的交点是三角形的垂心，不符合外心定义，排除；
B. 三边中线的交点是三角形的重心，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不符合外心定义，排除；
C. 三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心，即外心，符合题意；
D. 三个内角平分线的交点是三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等，是内切圆的圆心，不符合外心定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心定义；三角形特殊交点辨析
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对三角形各类特殊交点的定义和性质的掌握，牢记各交点的对应特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查三角形不同特殊线段交点的概念辨析，解题时需先明确外心的定义与核心性质，再逐一匹配各选项对应的交点特征，排除错误选项即可得到答案。外心是三角形外接圆的圆心，核心性质是到三个顶点的距离相等，结合线段垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），可快速定位正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三边上的高线的交点是三角形的垂心，不符合外心定义，排除；
B. 三边中线的交点是三角形的重心，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不符合外心定义，排除；
C. 三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心，即外心，符合题意；
D. 三个内角平分线的交点是三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等，是内切圆的圆心，不符合外心定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心定义；三角形特殊交点辨析
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对三角形各类特殊交点的定义和性质的掌握，牢记各交点的对应特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3.如图,已知在$\odot O$中,BC是直径,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DC}$,则下列结论不一定成立的是(
A.$∠ AOB=∠ COD$
B.$OA=OB=AB$
C.$AB=CD$
D.O到AB,CD的距离相等
B
).A.$∠ AOB=∠ COD$
B.$OA=OB=AB$
C.$AB=CD$
D.O到AB,CD的距离相等
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查同圆中弧、圆心角、弦、弦心距的相关性质，解题时需逐一分析每个选项，结合已知条件判断结论是否一定成立：首先利用“同圆中等弧对应等圆心角、等弦”判断A、C选项；再根据“同圆中等弦对应的弦心距相等”判断D选项；最后分析B选项是否缺少成立的条件即可。
【解析】
在$\odot O$中，已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DC}$：
1. 根据同圆中，等弧所对的圆心角相等、所对的弦相等，可得$∠ AOB=∠ COD$，$AB=CD$，因此A、C选项的结论一定成立；
2. 根据同圆中，相等的弦到圆心的距离（弦心距）相等，可得O到AB、CD的距离相等，因此D选项的结论一定成立；
3. 对于B选项：OA、OB都是$\odot O$的半径，故$OA=OB$，但只有当$∠ AOB=60°$时，$△ AOB$为等边三角形，才有$AB=OA=OB$，题目未给出$∠ AOB=60°$的条件，因此该结论不一定成立。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
弧弦圆心角的关系；弦心距的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，关键是熟练掌握同圆中弧、圆心角、弦、弦心距四者之间的等量转换关系，注意特殊结论的成立需要满足对应的限定条件，切勿默认特殊情况成立。
【难度系数】
0.8
本题考查同圆中弧、圆心角、弦、弦心距的相关性质，解题时需逐一分析每个选项，结合已知条件判断结论是否一定成立：首先利用“同圆中等弧对应等圆心角、等弦”判断A、C选项；再根据“同圆中等弦对应的弦心距相等”判断D选项；最后分析B选项是否缺少成立的条件即可。
【解析】
在$\odot O$中，已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DC}$：
1. 根据同圆中，等弧所对的圆心角相等、所对的弦相等，可得$∠ AOB=∠ COD$，$AB=CD$，因此A、C选项的结论一定成立；
2. 根据同圆中，相等的弦到圆心的距离（弦心距）相等，可得O到AB、CD的距离相等，因此D选项的结论一定成立；
3. 对于B选项：OA、OB都是$\odot O$的半径，故$OA=OB$，但只有当$∠ AOB=60°$时，$△ AOB$为等边三角形，才有$AB=OA=OB$，题目未给出$∠ AOB=60°$的条件，因此该结论不一定成立。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
弧弦圆心角的关系；弦心距的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，关键是熟练掌握同圆中弧、圆心角、弦、弦心距四者之间的等量转换关系，注意特殊结论的成立需要满足对应的限定条件，切勿默认特殊情况成立。
【难度系数】
0.8
4.如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$∠ BOC=110°$，$AD// OC$，则$∠ AOD$的度数为
$40°$
。答案
4.$40°$
解析
【分析】
解题思路可按三步展开：第一步，先利用平角的定义，结合已知的∠BOC度数算出∠AOC的度数；第二步，根据AD平行于OC的条件，利用平行线内错角相等的性质，得到∠OAD的度数；第三步，由OA和OD都是圆的半径可知△AOD是等腰三角形，结合三角形内角和为180°即可算出∠AOD的度数。
【解析】
1. 因为AB是$\odot O$的直径，所以$∠ AOB=180°$，已知$∠ BOC=110°$，则$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-110°=70°$。
2. 因为$AD// OC$，根据平行线内错角相等，可得$∠ OAD=∠ AOC=70°$。
3. 又因为OA、OD都是$\odot O$的半径，所以$OA=OD$，$△ AOD$为等腰三角形，因此$∠ ODA=∠ OAD=70°$。
4. 根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ AOD=180°-∠ OAD-∠ ODA=180°-70°-70°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；圆的基本性质
【点评】
本题是基础角度计算题，综合考察了平行线、等腰三角形及圆的基础性质，解题的核心是先推导得到∠OAD的度数，再结合等腰三角形的性质计算目标角，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.7
解题思路可按三步展开：第一步，先利用平角的定义，结合已知的∠BOC度数算出∠AOC的度数；第二步，根据AD平行于OC的条件，利用平行线内错角相等的性质，得到∠OAD的度数；第三步，由OA和OD都是圆的半径可知△AOD是等腰三角形，结合三角形内角和为180°即可算出∠AOD的度数。
【解析】
1. 因为AB是$\odot O$的直径，所以$∠ AOB=180°$，已知$∠ BOC=110°$，则$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-110°=70°$。
2. 因为$AD// OC$，根据平行线内错角相等，可得$∠ OAD=∠ AOC=70°$。
3. 又因为OA、OD都是$\odot O$的半径，所以$OA=OD$，$△ AOD$为等腰三角形，因此$∠ ODA=∠ OAD=70°$。
4. 根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ AOD=180°-∠ OAD-∠ ODA=180°-70°-70°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；圆的基本性质
【点评】
本题是基础角度计算题，综合考察了平行线、等腰三角形及圆的基础性质，解题的核心是先推导得到∠OAD的度数，再结合等腰三角形的性质计算目标角，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.7
5.在矩形ABCD中，AB=8，AD=6.以点A为圆心，r为半径作$\odot A$，使得点D在圆内，点C在圆外，则半径r的取值范围是
$6＜r＜10$
。答案
5.$6＜r＜10$
解析
【分析】
解题时首先回忆点与圆的位置关系判定规则：点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径。接下来我们需要分别求出点D、点C到圆心A的距离：点D与A的距离是矩形的边AD的长度，点C与A的距离是矩形的对角线AC的长度，可通过勾股定理计算。最后结合点D在圆内、点C在圆外的条件，列出关于r的不等式，取两个不等式的公共部分即可得到r的取值范围。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠DAB=90°，AD=6，AB=8，
根据勾股定理，对角线AC的长度为：
$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$，
∵ 点D在$\odot A$内，
∴ $r＞AD$，即$r＞6$，
∵ 点C在$\odot A$外，
∴ $r＜AC$，即$r＜10$，
综上，半径r的取值范围是$6＜r＜10$。
【答案】
$6＜r＜10$
【知识点】
点与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握点和圆的位置关系与点到圆心距离、半径大小的对应关系，结合几何图形的性质求出相关线段长度即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆点与圆的位置关系判定规则：点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径。接下来我们需要分别求出点D、点C到圆心A的距离：点D与A的距离是矩形的边AD的长度，点C与A的距离是矩形的对角线AC的长度，可通过勾股定理计算。最后结合点D在圆内、点C在圆外的条件，列出关于r的不等式，取两个不等式的公共部分即可得到r的取值范围。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠DAB=90°，AD=6，AB=8，
根据勾股定理，对角线AC的长度为：
$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$，
∵ 点D在$\odot A$内，
∴ $r＞AD$，即$r＞6$，
∵ 点C在$\odot A$外，
∴ $r＜AC$，即$r＜10$，
综上，半径r的取值范围是$6＜r＜10$。
【答案】
$6＜r＜10$
【知识点】
点与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握点和圆的位置关系与点到圆心距离、半径大小的对应关系，结合几何图形的性质求出相关线段长度即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6.如图,已知圆弧上三点A,B,C.
(1)画出该弧所在圆的圆心.
(2)若△ABC是等腰三角形,底边BC=16 cm,腰AB=10 cm,求该弧所在圆的半径.
(1)画出该弧所在圆的圆心.
(2)若△ABC是等腰三角形,底边BC=16 cm,腰AB=10 cm,求该弧所在圆的半径.
答案
6.(1)分别作弦AB和AC的垂直平分线,交点O即为所求的圆心.
(2)连接OA,OB,BC,BC交OA于点D.
$\because AB=AC,\therefore OA$垂直平分BC，
$\because BC=16\ \mathrm{cm},\therefore BD=8\ \mathrm{cm}$，
$\because AB=10\ \mathrm{cm},\therefore AD=6\ \mathrm{cm}$,设圆片的半径为$R\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中,$OD=(R-6)\ \mathrm{cm},\therefore R^2=8^2+(R-6)^2$,解得$R=\dfrac{25}{3}$，
圆片的半径为$\dfrac{25}{3}\mathrm{cm}$.
(2)连接OA,OB,BC,BC交OA于点D.
$\because AB=AC,\therefore OA$垂直平分BC，
$\because BC=16\ \mathrm{cm},\therefore BD=8\ \mathrm{cm}$，
$\because AB=10\ \mathrm{cm},\therefore AD=6\ \mathrm{cm}$,设圆片的半径为$R\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BOD$中,$OD=(R-6)\ \mathrm{cm},\therefore R^2=8^2+(R-6)^2$,解得$R=\dfrac{25}{3}$，
圆片的半径为$\dfrac{25}{3}\mathrm{cm}$.
解析
【分析】
(1) 根据圆的性质，圆心到圆上任意点的距离相等，因此圆心在任意弦的垂直平分线上，只要作出两条弦的垂直平分线，交点就是所求圆心。
(2) 等腰△ABC中AB=AC，可推出OA垂直平分BC，先利用勾股定理求出AD的长度，再设圆的半径为R，将Rt△BOD的三边用含R的式子表示，最后用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 分别作弦AB和AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为所求的圆心。
(2) 连接OA，OB，BC，设BC交OA于点D。
$\because AB=AC$，$\therefore$ 弧AB=弧AC，根据垂径定理可得OA垂直平分BC。
$\because BC=16\ \mathrm{cm}$，$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=8\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$AB=10\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\ \mathrm{cm}$。
设该弧所在圆的半径为$R\ \mathrm{cm}$，则$OB=R\ \mathrm{cm}$，$OD=(R-6)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△BOD$中，由勾股定理得$OB^2=BD^2+OD^2$，即：
$R^2=8^2+(R-6)^2$，
展开得$R^2=64+R^2-12R+36$，
化简得$12R=100$，解得$R=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1) 作AB、AC的垂直平分线，交点即为圆心；
(2) 该弧所在圆的半径为$\dfrac{25}{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆心确定方法
【点评】
本题是圆中求半径的典型题型，将圆的基本性质和勾股定理结合考查，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再通过方程思想求解，这类解题方法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 根据圆的性质，圆心到圆上任意点的距离相等，因此圆心在任意弦的垂直平分线上，只要作出两条弦的垂直平分线，交点就是所求圆心。
(2) 等腰△ABC中AB=AC，可推出OA垂直平分BC，先利用勾股定理求出AD的长度，再设圆的半径为R，将Rt△BOD的三边用含R的式子表示，最后用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 分别作弦AB和AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为所求的圆心。
(2) 连接OA，OB，BC，设BC交OA于点D。
$\because AB=AC$，$\therefore$ 弧AB=弧AC，根据垂径定理可得OA垂直平分BC。
$\because BC=16\ \mathrm{cm}$，$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=8\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$AB=10\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\ \mathrm{cm}$。
设该弧所在圆的半径为$R\ \mathrm{cm}$，则$OB=R\ \mathrm{cm}$，$OD=(R-6)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△BOD$中，由勾股定理得$OB^2=BD^2+OD^2$，即：
$R^2=8^2+(R-6)^2$，
展开得$R^2=64+R^2-12R+36$，
化简得$12R=100$，解得$R=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1) 作AB、AC的垂直平分线，交点即为圆心；
(2) 该弧所在圆的半径为$\dfrac{25}{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆心确定方法
【点评】
本题是圆中求半径的典型题型，将圆的基本性质和勾股定理结合考查，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再通过方程思想求解，这类解题方法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
