7.如图，AB是⊙O的弦，C是AB上的一点，且OC⊥OA，OC＝BC.若⊙O的半径为6，则弦AB的长为.

第7题图 第8题图 第9题图

7.$6\sqrt{3}$

【分析】
解题时先利用圆的半径相等得到等腰三角形，再结合边相等的条件推导角度关系，最后通过直角三角形的性质和勾股定理计算弦长。首先OA、OB都是半径，故OA=OB，可得∠OAB=∠OBA；已知OC=BC，故∠OBC=∠BOC，结合OC⊥OA的垂直条件，设未知角推导角度，再利用勾股定理分别计算AC、BC的长度，相加即可得到AB的长。
【解析】
解：连接OB
∵OA、OB为⊙O的半径，
∴OB=OA=6，∠OBA=∠OAC
设∠OAC=α，则∠OBA=α
∵OC=BC，
∴∠BOC=∠OBA=α
∠OCA为△OBC的外角，故∠OCA=∠BOC+∠OBA=2α
∵OC⊥OA，
∴∠AOC=90°
在Rt△AOC中，∠OAC+∠OCA=90°，即α+2α=90°，解得α=30°
∴在Rt△AOC中，AC=2OC
由勾股定理得：$OA^2+OC^2=AC^2$
代入OA=6，AC=2OC得：$6^2+OC^2=(2OC)^2$
解得$OC=2\sqrt{3}$（边长取正值），故$AC=2OC=4\sqrt{3}$
∵OC=BC，
∴$BC=2\sqrt{3}$
∴$AB=AC+BC=4\sqrt{3}+2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题关键是通过角度推导得到直角三角形中30°的特殊角，再结合勾股定理计算边长，能够很好地考查学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

8.如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB=AC=2\sqrt{3}$，圆心$O$到弦$BC$的距离$OD=1$，则$\odot O$的半径为________.

8.2

【分析】首先根据等腰三角形三线合一的性质和垂径定理，可判断A、O、D三点共线且AD⊥BC。设⊙O半径为r，分别在Rt△OBD和Rt△ABD中用勾股定理表示出BD²，利用两个式子中BD²相等列方程，求解即可得到半径长度。
【解析】连接OB，设⊙O的半径为r，则$OB=OA=r$。
∵$AB=AC$，
∴点A在BC的垂直平分线上，
又
∵O是圆心，$OD⊥BC$，根据垂径定理可知OD所在直线是BC的垂直平分线，
∴A、O、D三点共线，$AD⊥BC$，
∴$AD=AO+OD=r+1$。
在$Rt△OBD$中，由勾股定理得：$BD^2=OB^2-OD^2=r^2-1^2=r^2-1$；
在$Rt△ABD$中，由勾股定理得：$BD^2=AB^2-AD^2=(2\sqrt{3})^2-(r+1)^2=12-(r+1)^2$；
∴$r^2-1=12-(r+1)^2$
展开整理得：$r^2-1=12-r^2-2r-1$
$2r^2+2r-12=0$
$r^2+r-6=0$
解得$r=2$或$r=-3$（半径为正数，舍去）。
【答案】2
【知识点】垂径定理；勾股定理；等腰三角形性质
【点评】本题是圆中求半径的常见题型，解题关键是结合等腰三角形性质和垂径定理判断三点共线，借助公共直角边的平方相等建立方程求解，将几何问题转化为方程问题即可快速得出结果。
【难度系数】0.65

9.如图,在半径为1的$\odot O$中有三条弦,它们所对的圆心角分别为$60°,90°,120°$,那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是________。

9.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

【分析】
解题思路如下：第一步先根据圆的半径和各弦对应的圆心角，结合垂径定理和勾股定理分别计算出三条弦的长度；第二步利用得到的三条边长，通过勾股定理逆定理判断以这三边组成的三角形的形状；第三步根据三角形形状选择对应面积公式计算面积即可。
【解析】
已知$\odot O$半径$r=1$，分别计算三条弦的长度：
1. 对应圆心角$60°$的弦：两条半径与该弦构成两边长为1、夹角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，因此弦长为$1$；
2. 对应圆心角$90°$的弦：两条半径与该弦构成直角边长为1的等腰直角三角形，由勾股定理得弦长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
3. 对应圆心角$120°$的弦：过圆心作该弦的垂线，由垂径定理可知，垂线平分圆心角，即一半圆心角为$60°$，弦长的一半与半径、垂线构成直角三角形，垂线长为$1×\cos60°=\frac{1}{2}$，由勾股定理得弦长的一半为$\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此弦长为$2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
验证三边关系：$1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3=(\sqrt{3})^2$，因此这三条弦构成直角三角形，两条直角边分别为$1$和$\sqrt{2}$。
则三角形面积为：$S=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
弦长计算、勾股定理逆定理、直角三角形面积计算
【点评】
本题将圆的性质和三角形知识结合考查，解题核心是先求出三条弦的长度，再判断三角形形状，整体思路清晰，需要熟练掌握圆中弦长的求解方法和直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7

10.如图，矩形ABCD的边AB过⊙O的圆心，点E，F分别为AB，CD与⊙O的交点。若AE=3 cm，AD=4 cm，DF=5 cm，求⊙O的直径。

10.过点F作$FG⊥ AB$,垂足为点G,连接OF.
则四边形ADFG为矩形,$\therefore AG=DF=5\ \mathrm{cm},FG=AD=4\ \mathrm{cm}$.
$\because AE=3\ \mathrm{cm},\therefore EG=2\ \mathrm{cm}$.
设$OE=OF=r\ \mathrm{cm}$,则$OG=OE-EG=(r-2)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OFG$中,$OF^2=OG^2+FG^2,\therefore r^2=(r-2)^2+4^2$,解得$r=5$.
$\therefore\odot O$的直径为$10\ \mathrm{cm}$.

【分析】
要求⊙O的直径，需先求出⊙O的半径，可通过构造含半径的直角三角形，利用勾股定理列方程求解。首先观察图形，矩形ABCD中CD平行于AB，我们可以过F作AB的垂线，既可以得到矩形ADFG，转移已知的DF、AD的长度，又能构造出包含半径OF的直角三角形OFG，再设半径为r，将直角三角形各边用r和已知量表示，代入勾股定理即可求出半径，进而得到直径。
【解析】
过点F作$FG⊥ AB$，垂足为点G，连接OF。
∵四边形ABCD是矩形，$FG⊥AB$，
∴四边形ADFG为矩形，
$\therefore AG=DF=5\ \mathrm{cm},FG=AD=4\ \mathrm{cm}$。
$\because AE=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore EG=AG-AE=5-3=2\ \mathrm{cm}$。
设$OE=OF=r\ \mathrm{cm}$，则$OG=OE-EG=(r-2)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OFG$中，由勾股定理得$OF^2=OG^2+FG^2$，
$\therefore r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开得$r^2=r^2-4r+4+16$，
整理得$4r=20$，解得$r=5$。
$\therefore \odot O$的直径为$2r=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是几何方程思想的典型应用，解题关键是通过作垂线构造矩形和直角三角形，转移已知线段长度，把圆的半径作为未知量建立方程求解，能够很好地考查学生辅助线构造能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7

11.如图,在$\odot O$中,弦$AD$,$BC$相交于点$E$,连接$OE$,已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$.
(1)求证:$BE=DE$.
(2)如果$\odot O$的半径为$5$,$AD⊥ CB$,$DE=1$,求$AE$的长.

11.(1)证明:连接AB,CD.
$\because\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore AB=CD$，
$\because∠ B=∠ D,∠ AEB=∠ CED,\therefore△ ABE≌△ CDE(\mathrm{AAS}),\therefore BE=DE$.
(2)过点O作$OF⊥ AD$于点F,$OG⊥ BC$于点G,连接OA,OC.
则$AF=\dfrac{1}{2}AD,CG=\dfrac{1}{2}BC$.
$\because\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC},\therefore AD=BC,\therefore AF=CG$，
$\because OA=OC,\therefore\mathrm{Rt}△ AOF≌\mathrm{Rt}△ COG(\mathrm{HL}),\therefore OF=OG$，
$\because AD⊥ CB,\therefore$四边形OFEG是正方形.
设$OF=EF=x$,则$AF=DF=x+1$，
$\because$在$\mathrm{Rt}△ AOF$中,$OF^2+AF^2=OA^2,\therefore x^2+(x+1)^2=5^2$,解得$x_1=3,x_2=-4$(舍去)，
$\therefore AF=4,\therefore AE=7$.

【分析】
(1) 要证$BE=DE$，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧对应的弦相等、对应的圆周角相等，可得$AB=CD$，$∠ B=∠ D$，再结合对顶角$∠ AEB=∠ CED$，即可用AAS证明$△ ABE≌△ CDE$，从而得到$BE=DE$。
(2) 要求$AE$的长，已知$AD⊥ CB$，可过圆心作两条弦的垂线，利用垂径定理得到弦长与半弦长的关系。由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$可推得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，故$AD=BC$，进而可证两条弦的弦心距相等，结合$AD⊥ CB$可证得弦心距与交点围成的四边形是正方形，设出正方形边长结合勾股定理列方程求解，即可得到半弦长，进而求出$AE$的长度。
【解析】
(1) 证明：连接$AB$、$CD$。
$\because\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，同圆中等弧所对的弦相等，$\therefore AB=CD$。
$\because$同弧所对的圆周角相等，$\therefore∠ B=∠ D$，
又$\because∠ AEB=∠ CED$（对顶角相等），
$\therefore△ ABE≌△ CDE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BE=DE$。
(2) 解：过点$O$作$OF⊥ AD$于点$F$，$OG⊥ BC$于点$G$，连接$OA$、$OC$。
根据垂径定理得$AF=\dfrac{1}{2}AD$，$CG=\dfrac{1}{2}BC$。
$\because\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BD}$，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore$等弧对等弦，$AD=BC$，$\therefore AF=CG$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$和$\mathrm{Rt}△ COG$中，$\begin{cases}OA=OC\\AF=CG\end{cases}$，
$\therefore\mathrm{Rt}△ AOF≌\mathrm{Rt}△ COG(\mathrm{HL})$，$\therefore OF=OG$。
$\because AD⊥ CB$，$OF⊥ AD$，$OG⊥ BC$，
$\therefore$四边形$OFEG$是矩形，又$OF=OG$，$\therefore$四边形$OFEG$是正方形。
设$OF=EF=x$，则$DF=EF+DE=x+1$，由垂径定理得$AF=DF=x+1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，根据勾股定理$OF^2+AF^2=OA^2$，
代入$OA=5$得：$x^2+(x+1)^2=5^2$，
整理得$x^2+x-12=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-4$（舍去），
$\therefore AF=3+1=4$，$\therefore AE=AF+EF=4+3=7$。
【答案】
(1) 证明见解析，$BE=DE$成立；
(2) $\boxed{7}$
【知识点】
圆的弧弦关系、全等三角形判定、垂径定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，第一问利用圆的基本性质构造全等三角形证明线段相等，思路直观；第二问通过作垂线段构造垂径定理模型，结合正方形的判定与勾股定理求解，辅助线的构造是解题的突破口，能有效考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6