7.如图，AB是⊙O的弦，C是AB上的一点，且OC⊥OA，OC＝BC.若⊙O的半径为6，则弦AB的长为.

第7题图 第8题图 第9题图

7.$6\sqrt{3}$

【分析】
解题时首先连接OB，利用同圆半径相等得到△OAB、△OBC均为等腰三角形，通过设未知角，结合三角形外角性质、直角三角形两锐角互余求出△OAB的底角度数，再作AB的垂线利用垂径定理将弦长问题转化为直角三角形边长计算问题，最后用勾股定理求解即可。
【解析】
解：连接OB，过O作OD⊥AB于点D。
∵ OA、OB是⊙O的半径，
∴ OA=OB=6，
∴ ∠OAB=∠OBA。
设∠OAB=∠OBA=x，
∵ OC=BC，
∴ ∠BOC=∠OBA=x。
∵ ∠OCA是△OBC的外角，
∴ ∠OCA=∠OBA+∠BOC=2x。
∵ OC⊥OA，
∴ ∠AOC=90°，在Rt△AOC中，∠OAC+∠OCA=90°，
即x+2x=90°，解得x=30°，即∠OAB=30°。
由垂径定理得：AD=BD=$\frac{1}{2}$AB。
在Rt△AOD中，∠OAD=30°，OA=6，
∴ OD=$\frac{1}{2}$OA=3，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{OA^2 - OD^2}$=$\sqrt{6^2 - 3^2}$=3$\sqrt{3}$，
∴ AB=2AD=6$\sqrt{3}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；等腰三角形性质；直角三角形性质
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的典型题型，解题的突破口是通过角度推导得到底角为30°的等腰△AOB，再借助垂径定理把弦长计算转化为直角三角形的边长求解，能有效考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

8.如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB=AC=2\sqrt{3}$，圆心$O$到弦$BC$的距离$OD=1$，则$\odot O$的半径为________.

8.2

【分析】
首先，由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，结合垂径定理可得OD垂直平分BC，且A、O、D三点共线（等腰三角形三线合一）。我们可以设⊙O的半径为r，将OB、OA用含r的式子表示，分别在Rt△OBD和Rt△ABD中用勾股定理表示出BD²，建立关于r的方程求解即可。
【解析】
连接OB，
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵OD是圆心O到BC的距离，即OD⊥BC，根据垂径定理，D为BC中点，
∴等腰△ABC底边BC的高AD经过圆心O，即A、O、D三点共线，AD⊥BC。
设⊙O的半径为r，则OB=OA=r，
已知OD=1，
∴AD=AO+OD=r+1。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：$BD^2=OB^2-OD^2=r^2-1^2=r^2-1$，
在Rt△ABD中，$AB=2\sqrt{3}$，由勾股定理得：$BD^2=AB^2-AD^2=(2\sqrt{3})^2-(r+1)^2=12-(r^2+2r+1)=11-r^2-2r$，
联立两式得：$r^2-1=11-r^2-2r$，
整理得：$r^2+r-6=0$，
因式分解得：$(r+3)(r-2)=0$，
解得r=2或r=-3（半径为正数，舍去）。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理；勾股定理；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题型，解题关键是结合等腰三角形性质和垂径定理判断出A、O、D三点共线，再通过勾股定理构造方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6

9.如图,在半径为1的$\odot O$中有三条弦,它们所对的圆心角分别为$60°,90°,120°$,那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是________。

9.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

【分析】
解题可按三步进行：第一步，结合圆的半径为1和各弦对应的圆心角度数，分别求出三条弦的长度；第二步，通过三边的平方关系，判断三条弦长构成的三角形的形状；第三步，根据三角形形状计算面积。求弦长时可利用等腰三角形性质或垂径定理：圆心角为60°时弦和半径构成等边三角形，弦长等于半径；圆心角为90°时用勾股定理求弦长；圆心角为120°时借助垂径定理和三角函数求弦长，得到三边长后验证是否满足勾股定理逆定理，再计算面积即可。
【解析】
已知$\odot O$半径为1，分别计算三条弦的长度：
1. 圆心角为$60°$的弦：弦与两条半径构成两边长为1、夹角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，因此弦长为1；
2. 圆心角为$90°$的弦：弦与两条半径构成等腰直角三角形，由勾股定理得弦长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
3. 圆心角为$120°$的弦：过圆心作弦的垂线，由垂径定理得半弦长为$1×\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此弦长为$2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
判断三边长为$1$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$的三角形形状：
∵$1^2+(\sqrt{2})^2=1+2=3=(\sqrt{3})^2$，满足勾股定理逆定理，
∴该三角形是直角三角形，两条直角边长为$1$和$\sqrt{2}$，
则三角形面积为$S=\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
弦长计算，勾股定理逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的弦长计算和三角形性质的应用，解题核心是先准确求出三条弦的长度，再通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，即可快速求出面积，侧重对基础知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7

10.如图，矩形ABCD的边AB过⊙O的圆心，点E，F分别为AB，CD与⊙O的交点。若AE=3 cm，AD=4 cm，DF=5 cm，求⊙O的直径。

10.过点F作$FG⊥ AB$,垂足为点G,连接OF.
则四边形ADFG为矩形,$\therefore AG=DF=5\ \mathrm{cm},FG=AD=4\ \mathrm{cm}$.
$\because AE=3\ \mathrm{cm},\therefore EG=2\ \mathrm{cm}$.
设$OE=OF=r\ \mathrm{cm}$,则$OG=OE-EG=(r-2)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OFG$中,$OF^2=OG^2+FG^2,\therefore r^2=(r-2)^2+4^2$,解得$r=5$.
$\therefore\odot O$的直径为$10\ \mathrm{cm}$.

【分析】
要解决这道题，目标是求⊙O的直径，只需先求出半径即可。我们可以通过作辅助线构造直角三角形，结合矩形性质和勾股定理求解：①过F作AB的垂线，可得到矩形ADFG，将已知的AD、DF的长度转化为直角三角形的边长；②连接OF，OF是圆的半径，设半径为r，用含r的式子表示出直角三角形OGF的另一条直角边OG；③利用勾股定理列方程求解半径，进而得到直径。
【解析】
过点F作$FG⊥ AB$，垂足为点G，连接OF。
∵四边形ABCD是矩形，$FG⊥AB$，
∴四边形ADFG为矩形，
$\therefore AG=DF=5\ \mathrm{cm},FG=AD=4\ \mathrm{cm}$。
$\because AE=3\ \mathrm{cm},\therefore EG=AG-AE=5-3=2\ \mathrm{cm}$。
设$OE=OF=r\ \mathrm{cm}$（同圆的半径相等），则$OG=OE-EG=(r-2)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OFG$中，由勾股定理得$OF^2=OG^2+FG^2$，
$\therefore r^2=(r-2)^2+4^2$，
展开得$r^2=r^2-4r+4+16$，化简得$4r=20$，解得$r=5$。
$\therefore\odot O$的直径为$2r=2×5=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boxed{10\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆与矩形结合的基础综合题，解题关键是合理作出辅助线构造直角三角形，结合方程思想求解半径，解题时要理清各线段的数量关系，避免计算出错。
【难度系数】
0.7

11.如图,在$\odot O$中,弦$AD$,$BC$相交于点$E$,连接$OE$,已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$.
(1)求证:$BE=DE$.
(2)如果$\odot O$的半径为$5$,$AD⊥ CB$,$DE=1$,求$AE$的长.

11.(1)证明:连接AB,CD.
$\because\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore AB=CD$，
$\because∠ B=∠ D,∠ AEB=∠ CED,\therefore△ ABE≌△ CDE(\mathrm{AAS}),\therefore BE=DE$.
(2)过点O作$OF⊥ AD$于点F,$OG⊥ BC$于点G,连接OA,OC.
则$AF=\dfrac{1}{2}AD,CG=\dfrac{1}{2}BC$.
$\because\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC},\therefore AD=BC,\therefore AF=CG$，
$\because OA=OC,\therefore\mathrm{Rt}△ AOF≌\mathrm{Rt}△ COG(\mathrm{HL}),\therefore OF=OG$，
$\because AD⊥ CB,\therefore$四边形OFEG是正方形.
设$OF=EF=x$,则$AF=DF=x+1$，
$\because$在$\mathrm{Rt}△ AOF$中,$OF^2+AF^2=OA^2,\therefore x^2+(x+1)^2=5^2$,解得$x_1=3,x_2=-4$(舍去)，
$\therefore AF=4,\therefore AE=7$.

【分析】
（1）要证明$BE=DE$，可通过证明两条边所在的三角形全等实现。已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中相等的弧对应相等的弦可得$AB=CD$，再结合同弧所对的圆周角相等、对顶角相等，即可证明$△ ABE$和$△ CDE$全等，进而得到对应边相等。
（2）要求$AE$的长，可结合垂径定理构造直角三角形求解。首先过圆心作两条弦的垂线，根据垂径定理得到弦长与半弦长的关系；由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$可推出$AD=BC$，进而证明两个直角三角形全等得到两条垂线段相等，结合$AD⊥ CB$可判断出四边形$OFEG$是正方形；设未知数表示出$\mathrm{Rt}△ AOF$的两条直角边，利用勾股定理列方程求解，最后计算$AE$的长度即可。
【解析】
(1) 证明：连接$AB$，$CD$。
$\because\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，同圆中相等的弧所对的弦相等，$\therefore AB=CD$。
$\because$同弧所对的圆周角相等，$\therefore∠ B=∠ D$，又$\because∠ AEB=∠ CED$（对顶角相等），
$\therefore△ ABE≌△ CDE(\mathrm{AAS})$，根据全等三角形对应边相等，$\therefore BE=DE$。
(2) 解：过点$O$作$OF⊥ AD$于点$F$，$OG⊥ BC$于点$G$，连接$OA$，$OC$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，$\therefore AF=\dfrac{1}{2}AD$，$CG=\dfrac{1}{2}BC$。
$\because\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BD}$，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，$\therefore AD=BC$，$\therefore AF=CG$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$和$\mathrm{Rt}△ COG$中，$\{\begin{array}{l}OA=OC\\ AF=CG\end{array} $，$\therefore\mathrm{Rt}△ AOF≌\mathrm{Rt}△ COG(\mathrm{HL})$，$\therefore OF=OG$。
$\because AD⊥ CB$，$OF⊥ AD$，$OG⊥ BC$，$\therefore$四边形$OFEG$是矩形，又$\because OF=OG$，$\therefore$四边形$OFEG$是正方形。
设$OF=EF=x$，则$DF=EF+DE=x+1$，又$\because OF$垂直平分$AD$，$\therefore AF=DF=x+1$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理得$OF^2+AF^2=OA^2$，代入已知条件得：
$x^2+(x+1)^2=5^2$，整理得$x^2+x-12=0$，解得$x_1=3,x_2=-4$（长度为正，舍去）。
$\therefore AF=3+1=4$，$\therefore AE=AF+EF=4+3=7$。
【答案】
(1) 证明成立，$BE=DE$；(2) $\boxed{7}$
【知识点】
圆周角定理、全等三角形的判定与性质、垂径定理
【点评】
本题是圆的综合类题目，将圆的基本性质与三角形全等、勾股定理结合考查，解题的关键是合理构造辅助线，利用垂径定理和全等的性质转化边的关系，结合方程思想求解线段长度，是圆章节的典型考法。
【难度系数】
0.65