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1. 下列图形中的角是圆心角的是 （）
答案
A
解析
【分析】
要判断一个角是否为圆心角，需紧扣圆心角的定义分析：圆心角需要同时满足两个核心条件：①角的顶点在圆的圆心位置；②角的两条边都是圆的半径，即两条边的另一端都在圆周上。解题时逐一核对每个选项是否满足这两个条件，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据圆心角的定义逐一判断各选项：
选项A：角的顶点是圆心O，两条边OA、OB均为圆的半径，端点A、B都在圆周上，完全符合圆心角的特征；
选项B：角的顶点在圆周上，不在圆心位置，不符合圆心角要求，属于圆周角；
选项C：角的顶点在圆外，不是圆心，不符合要求；
选项D：角的顶点不是圆心，不符合圆心角的定义。
综上只有A符合圆心角的要求。
【答案】
A
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对圆心角特征的掌握，只要牢记圆心角“顶点在圆心、两边为圆的半径”的特点，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
要判断一个角是否为圆心角，需紧扣圆心角的定义分析：圆心角需要同时满足两个核心条件：①角的顶点在圆的圆心位置；②角的两条边都是圆的半径，即两条边的另一端都在圆周上。解题时逐一核对每个选项是否满足这两个条件，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据圆心角的定义逐一判断各选项：
选项A：角的顶点是圆心O，两条边OA、OB均为圆的半径，端点A、B都在圆周上，完全符合圆心角的特征；
选项B：角的顶点在圆周上，不在圆心位置，不符合圆心角要求，属于圆周角；
选项C：角的顶点在圆外，不是圆心，不符合要求；
选项D：角的顶点不是圆心，不符合圆心角的定义。
综上只有A符合圆心角的要求。
【答案】
A
【知识点】
圆心角的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对圆心角特征的掌握，只要牢记圆心角“顶点在圆心、两边为圆的半径”的特点，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2. 如图,在$\odot O$中,AB是弦,C是$\overset{\frown}{AB}$上一点.若$∠ OAB=25°$,$∠ OCA=40°$,则$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角的度数为 （）
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
A
解析
【分析】
解题思路如下：首先圆的所有半径长度相等，因此△OAB和△OAC都是等腰三角形；接着利用等腰三角形两底角相等的性质，分别计算出∠AOB和∠AOC的度数；最后弧BC所对的圆心角为∠BOC，等于∠AOB与∠AOC的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OA、OB、OC均为⊙O的半径
∴OA=OB，OA=OC，即△OAB、△OAC均为等腰三角形
在△OAB中，∠OAB=∠OBA=25°
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-25°-25°=130°
在△OAC中，∠OAC=∠OCA=40°
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-40°-40°=100°
∴弧BC所对的圆心角∠BOC=∠AOB-∠AOC=130°-100°=30°
【答案】
A
【知识点】
半径相等性质；等腰三角形性质；圆心角定义
【点评】
本题是圆相关的基础计算题，核心是利用半径相等得到等腰三角形，再结合三角形内角和计算角度，解题时注意区分所求圆心角对应的弧范围即可。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先圆的所有半径长度相等，因此△OAB和△OAC都是等腰三角形；接着利用等腰三角形两底角相等的性质，分别计算出∠AOB和∠AOC的度数；最后弧BC所对的圆心角为∠BOC，等于∠AOB与∠AOC的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵OA、OB、OC均为⊙O的半径
∴OA=OB，OA=OC，即△OAB、△OAC均为等腰三角形
在△OAB中，∠OAB=∠OBA=25°
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-25°-25°=130°
在△OAC中，∠OAC=∠OCA=40°
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-40°-40°=100°
∴弧BC所对的圆心角∠BOC=∠AOB-∠AOC=130°-100°=30°
【答案】
A
【知识点】
半径相等性质；等腰三角形性质；圆心角定义
【点评】
本题是圆相关的基础计算题，核心是利用半径相等得到等腰三角形，再结合三角形内角和计算角度，解题时注意区分所求圆心角对应的弧范围即可。
【难度系数】
0.7
3.下列四个命题:①相等的弦所对的圆心角相等;②相等的圆心角所对的弦相等;③相等的弦所对的弧相等;④等弧所对的圆心角相等.其中正确命题有 ()
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
D
解析
【分析】
解决本题的核心是牢记圆心角、弧、弦之间相等关系的成立前提：除等弧外，其余相关结论都需要“在同圆或等圆中”这个前提才成立。我们逐个验证四个命题的正确性即可：首先判断每个命题是否缺少必要前提，再结合相关概念判断对错。
【解析】
我们逐个分析四个命题：
① 相等的弦所对的圆心角相等：该命题缺少“在同圆或等圆中”的前提，若两个圆半径不同，存在长度相等的弦，但它们所对的圆心角一定不相等，故①错误；
② 相等的圆心角所对的弦相等：同样缺少“在同圆或等圆中”的前提，半径不同的圆中，相等的圆心角所对的弦长度不相等，故②错误；
③ 相等的弦所对的弧相等：一方面，一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），未指明弧的类型时无法判断弧是否相等；另一方面该命题也缺少“在同圆或等圆中”的前提，故③错误；
④ 等弧所对的圆心角相等：等弧的定义是“在同圆或等圆中，能够完全重合的弧”，因此等弧本身就已经满足同圆或等圆的前提，所以等弧所对的圆心角一定相等，故④正确。
综上，只有1个正确命题。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆心角弧弦的关系
2. 等弧的定义
【点评】
本题是易错题，重点考查对圆中相关定理的完整理解，很多同学做题时容易忽略“同圆或等圆”这个前提条件，以及忽略一条弦对应优、劣两条弧的情况，导致误判命题的正确性。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是牢记圆心角、弧、弦之间相等关系的成立前提：除等弧外，其余相关结论都需要“在同圆或等圆中”这个前提才成立。我们逐个验证四个命题的正确性即可：首先判断每个命题是否缺少必要前提，再结合相关概念判断对错。
【解析】
我们逐个分析四个命题：
① 相等的弦所对的圆心角相等：该命题缺少“在同圆或等圆中”的前提，若两个圆半径不同，存在长度相等的弦，但它们所对的圆心角一定不相等，故①错误；
② 相等的圆心角所对的弦相等：同样缺少“在同圆或等圆中”的前提，半径不同的圆中，相等的圆心角所对的弦长度不相等，故②错误；
③ 相等的弦所对的弧相等：一方面，一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），未指明弧的类型时无法判断弧是否相等；另一方面该命题也缺少“在同圆或等圆中”的前提，故③错误；
④ 等弧所对的圆心角相等：等弧的定义是“在同圆或等圆中，能够完全重合的弧”，因此等弧本身就已经满足同圆或等圆的前提，所以等弧所对的圆心角一定相等，故④正确。
综上，只有1个正确命题。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆心角弧弦的关系
2. 等弧的定义
【点评】
本题是易错题，重点考查对圆中相关定理的完整理解，很多同学做题时容易忽略“同圆或等圆”这个前提条件，以及忽略一条弦对应优、劣两条弧的情况，导致误判命题的正确性。
【难度系数】
0.6
4.如图，AB是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，$∠ BOE=75°$，则$∠ AOC$的度数是（）
A.$25°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$
A.$25°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$
答案
C
解析
【分析】
解题首先明确AB是直径，所以∠AOB为平角等于180°，先求出∠AOE的度数；再根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可知∠AOC、∠COD、∠DOE三个角相等，且三个角的和为∠AOE的度数，将∠AOE的度数三等分即可得到∠AOC的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∵$∠ BOE=75°$，
∴$∠ AOE=∠ AOB-∠ BOE=180°-75°=105°$，
又
∵在同圆中，等弧所对的圆心角相等，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，
∴$∠ AOC=∠ COD=∠ DOE$，
∴$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOE=\frac{1}{3}×105°=35°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1.圆心角与弧的关系
2.平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是掌握同圆中等弧对等圆心角的性质，结合平角的特征即可快速求出结果，需注意圆心角和对应弧的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题首先明确AB是直径，所以∠AOB为平角等于180°，先求出∠AOE的度数；再根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可知∠AOC、∠COD、∠DOE三个角相等，且三个角的和为∠AOE的度数，将∠AOE的度数三等分即可得到∠AOC的度数。
【解析】
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB=180°$，
∵$∠ BOE=75°$，
∴$∠ AOE=∠ AOB-∠ BOE=180°-75°=105°$，
又
∵在同圆中，等弧所对的圆心角相等，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，
∴$∠ AOC=∠ COD=∠ DOE$，
∴$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOE=\frac{1}{3}×105°=35°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
1.圆心角与弧的关系
2.平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是掌握同圆中等弧对等圆心角的性质，结合平角的特征即可快速求出结果，需注意圆心角和对应弧的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
5.如图,已知A,B,C,D是$\odot O$上的点,$∠1=∠2$,则下列结论正确的有（）
①$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$;②$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$;③$AC=BD$;④$∠ BOD=∠ AOC$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$;②$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$;③$AC=BD$;④$∠ BOD=∠ AOC$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
【分析】
本题考查同圆中圆心角、弧、弦的对应关系，解题思路如下：首先由已知∠1=∠2，利用角的和差性质推导出两组相等的圆心角，再结合“同圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦也相等”的性质，逐一验证四个结论是否成立即可。
【解析】
已知∠1=∠2，根据等式的性质，两边同时加上公共角∠BOC可得：
∠1+∠BOC=∠2+∠BOC，即$\boldsymbol{∠AOC=∠BOD}$，故结论④正确；
1. 根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等：
由∠2=∠1即∠AOB=∠COD，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，结论①正确；
由∠AOC=∠BOD，可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，结论②正确；
2. 根据同圆中相等的弧所对的弦相等：
由$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，可得AC=BD，结论③正确。
综上，①②③④共4个结论都正确。
【答案】
D
【知识点】
圆心角弧弦的关系、角的和差运算
【点评】
本题属于圆的基础性质考查题，核心是理解同圆中圆心角、弧、弦三者“一者相等，其余二者均相等”的对应规律，解题时注意不要忽略两个角共有的公共角部分，熟练掌握性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题考查同圆中圆心角、弧、弦的对应关系，解题思路如下：首先由已知∠1=∠2，利用角的和差性质推导出两组相等的圆心角，再结合“同圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦也相等”的性质，逐一验证四个结论是否成立即可。
【解析】
已知∠1=∠2，根据等式的性质，两边同时加上公共角∠BOC可得：
∠1+∠BOC=∠2+∠BOC，即$\boldsymbol{∠AOC=∠BOD}$，故结论④正确；
1. 根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等：
由∠2=∠1即∠AOB=∠COD，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，结论①正确；
由∠AOC=∠BOD，可得$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，结论②正确；
2. 根据同圆中相等的弧所对的弦相等：
由$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{AC}$，可得AC=BD，结论③正确。
综上，①②③④共4个结论都正确。
【答案】
D
【知识点】
圆心角弧弦的关系、角的和差运算
【点评】
本题属于圆的基础性质考查题，核心是理解同圆中圆心角、弧、弦三者“一者相等，其余二者均相等”的对应规律，解题时注意不要忽略两个角共有的公共角部分，熟练掌握性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6. 如图，$△ ABC$的三个顶点在$\odot O$上，$D$为线段$AB$的中点，延长$OD$交$\odot O$于点$E$，连接$AE$，$BE$，则下列结论不正确的是（）
A.$AB ⊥ DE$
B.$AE = BE$
C.$OD = DE$
D.$\overset{\frown}{AE} = \frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$
A.$AB ⊥ DE$
B.$AE = BE$
C.$OD = DE$
D.$\overset{\frown}{AE} = \frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$
答案
C
解析
【分析】
解题时先结合已知条件定位考点：O是圆心，D是弦AB的中点，可联想到垂径定理的推论，以此为依据逐一判断各选项：
1. 首先根据“过圆心的直线平分非直径的弦，则该直线垂直于弦”，可判断A选项；
2. 再根据该直线平分弦所对的两条弧，可得弧AE=弧BE，既可以判断D选项，又可结合“同圆中等弧对等弦”判断B选项；
3. 最后分析C选项：题干仅说明D是AB中点，没有条件能证明D是OE的中点，因此OD=DE不一定成立，即可得出错误选项。
【解析】
解：已知O为⊙O的圆心，D是AB的中点，根据垂径定理的推论：
∵过圆心的线段OE平分弦AB，
∴OE⊥AB，即AB⊥DE，故A选项结论正确，不符合题意；
同时OE平分弦AB所对的弧，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$，故D选项结论正确，不符合题意；
在同圆中，等弧所对的弦相等，
∵$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，
∴AE=BE，故B选项结论正确，不符合题意；
题干仅给出D是AB的中点，无法推导得出D是OE的中点，因此OD=DE不一定成立，故C选项结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理及推论；弧与弦的关系；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础题，核心考查垂径定理的应用，解题的关键是明确“过圆心、平分弦、垂直于弦、平分弦所对的弧”四个条件中满足两个即可推出另外两个，注意不要随意添加没有依据的结论。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知条件定位考点：O是圆心，D是弦AB的中点，可联想到垂径定理的推论，以此为依据逐一判断各选项：
1. 首先根据“过圆心的直线平分非直径的弦，则该直线垂直于弦”，可判断A选项；
2. 再根据该直线平分弦所对的两条弧，可得弧AE=弧BE，既可以判断D选项，又可结合“同圆中等弧对等弦”判断B选项；
3. 最后分析C选项：题干仅说明D是AB中点，没有条件能证明D是OE的中点，因此OD=DE不一定成立，即可得出错误选项。
【解析】
解：已知O为⊙O的圆心，D是AB的中点，根据垂径定理的推论：
∵过圆心的线段OE平分弦AB，
∴OE⊥AB，即AB⊥DE，故A选项结论正确，不符合题意；
同时OE平分弦AB所对的弧，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$，故D选项结论正确，不符合题意；
在同圆中，等弧所对的弦相等，
∵$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，
∴AE=BE，故B选项结论正确，不符合题意；
题干仅给出D是AB的中点，无法推导得出D是OE的中点，因此OD=DE不一定成立，故C选项结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理及推论；弧与弦的关系；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础题，核心考查垂径定理的应用，解题的关键是明确“过圆心、平分弦、垂直于弦、平分弦所对的弧”四个条件中满足两个即可推出另外两个，注意不要随意添加没有依据的结论。
【难度系数】
0.8
