14.如图,点O在∠MAN的边AN上,以O为圆心的圆交AM于B,C两点,交AN于D,E两点,若$AO=2\sqrt{3}$,$AB=2$,$∠ BOC=60°$,求$\odot O$的半径$r$.

解：过点O作OF⊥BC于点F，
根据垂径定理，得$BF = CF = \frac{1}{2}BC$。
∵ $OB = OC = r$，$∠ BOC = 60°$，
∴ $△ BOC$是等边三角形，$BC = r$，
∴ $BF = \frac{1}{2}r$，$∠ BOF = \frac{1}{2}∠ BOC = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△ BOF$中，$OF = \sqrt{OB^2 - BF^2} = \sqrt{r^2 - (\frac{r}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}r$。
∵ $AF = AB + BF$，$AB = 2$，
∴ $AF = 2 + \frac{1}{2}r$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理得：
$AF^2 + OF^2 = AO^2$，
代入$AO = 2\sqrt{3}$，得：
$(2 + \frac{r}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}r)^2 = (2\sqrt{3})^2$
展开整理得：$r^2 + 2r - 8 = 0$，
解得$r_1 = 2$，$r_2 = -4$（半径为正数，舍去）。
∴ $\odot O$的半径$r$为$\boldsymbol{2}$。

【分析】
求解本题时，先明确已知条件与所求量的关系：已知AO、AB的长度和圆心角∠BOC的度数，要求⊙O的半径r。首先，圆中涉及弦的计算通常用垂径定理，因此过O作OF⊥BC于F，可将弦BC拆分；其次，OB=OC=r且∠BOC=60°，可知△BOC是等边三角形，进而能用r表示出BF、OF的长度；最后AF可表示为AB与BF的和，在Rt△AOF中利用勾股定理列关于r的方程，求解后舍去负根即可得到半径。
【解析】
过点O作OF⊥BC于点F，
根据垂径定理，得$BF = CF = \frac{1}{2}BC$。
∵ $OB = OC = r$，$∠ BOC = 60°$，
∴ $△ BOC$是等边三角形，$BC = r$，
∴ $BF = \frac{1}{2}r$，$∠ BOF = \frac{1}{2}∠ BOC = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△ BOF$中，由勾股定理得$OF = \sqrt{OB^2 - BF^2} = \sqrt{r^2 - (\frac{r}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}r$。
∵ $AF = AB + BF$，$AB = 2$，
∴ $AF = 2 + \frac{1}{2}r$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理得：
$AF^2 + OF^2 = AO^2$，
代入$AO = 2\sqrt{3}$，得：
$(2 + \frac{r}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2}r)^2 = (2\sqrt{3})^2$
展开整理得：$r^2 + 2r - 8 = 0$，
解得$r_1 = 2$，$r_2 = -4$（半径为正数，舍去）。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
垂径定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的常规题型，解题的关键是掌握圆中弦相关计算的常用辅助线作法——过圆心作弦的垂线，结合垂径定理、特殊三角形性质和勾股定理，用方程思想求解未知量，这类方法在圆的计算类问题中应用十分广泛。
【难度系数】
0.7

15. 根据素材解决问题.
设计货船通过圆弧拱桥的方案
素材1 图1是某圆弧形拱桥的示意图,测得水面宽$AB=16\ \mathrm{m}$,拱顶离水面的距离$CD=4\ \mathrm{m}$
素材2 如图2,一艘货船露出水面部分的纵截面为矩形$EFGH$,测得$EF=3\ \mathrm{m}$,$EH=10\ \mathrm{m}$.因水深足够,货船可以根据需要运载货物.据调查,船身下降的高度$y(\mathrm{m})$与货船增加的质量$x(\mathrm{t})$满足函数关系式$y=\frac{1}{100}x$
(注:本题中若货船与拱桥刚好挨住,此时可以通过,但生活中要注意安全,货船在此种临界状态时绝对不应该通过.)
问题解决
任务1 确定拱桥半径 求圆弧形拱桥的半径
任务2 拟定设计方案 货船能否通过圆弧形拱桥? 若能,最多还能卸载多少吨货物? 若不能,至少要增加多少吨货物,货船才能通过?

解：任务1：
设圆弧所在圆的圆心为$O$，半径为$r\ \mathrm{m}$。
由垂径定理，$CD ⊥ AB$，得$AD = \frac{1}{2}AB = 8\ \mathrm{m}$。
点$O$在$CD$的延长线上，连接$OA$，则$OA=r$，$OD = r - 4$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理：
$OA^2 = AD^2 + OD^2$
代入得：
$r^2 = 8^2 + (r-4)^2$
解得$r=10$。
即圆弧形拱桥的半径为$10\ \mathrm{m}$。
任务2：
设拱桥内平行于$AB$且长度等于$EH=10\ \mathrm{m}$的弦到水面$AB$的距离为$h\ \mathrm{m}$。
该弦的一半长度为$5\ \mathrm{m}$，圆心$O$到水面$AB$的距离为$OD=10-4=6\ \mathrm{m}$。
由垂径定理和勾股定理：
$5^2 + (h + 6)^2 = 10^2$
解得$h=5\sqrt{3}-6 \approx 2.66\ \mathrm{m}$。
$\because EF=3\ \mathrm{m} ＞ 2.66\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 货船当前不能通过拱桥。
要使货船安全通过，需船身下降$y\ \mathrm{m}$后，货船露出水面的高度小于$h$，即：
$3 - y ＜ 5\sqrt{3} - 6$
解得$y ＞ 9 - 5\sqrt{3}$。
将$y=\frac{1}{100}x$代入得：
$x ＞ 100(9 - 5\sqrt{3}) \approx 34$
答：货船不能通过圆弧形拱桥，至少要增加约34吨货物，货船才能安全通过。

【分析】
任务1解题思路：要求圆弧拱桥的半径，首先利用垂径定理，可知CD垂直平分AB，得到AD的长度，设圆弧半径为r，可表示出圆心O到水面AB的距离OD，再在Rt△AOD中运用勾股定理列方程，即可求解半径。
任务2解题思路：要判断货船能否通过，先计算当拱桥内弦长等于货船宽度EH=10m时，该弦距离水面的最大允许高度，将其与货船露出水面的高度EF=3m比较。若允许高度小于3m，说明货船当前无法通过，需要增加货物让船身下降，结合船身下降高度和增加货物质量的函数关系，即可求出至少需要增加的货物质量。
【解析】
任务1：求圆弧形拱桥的半径
设圆弧所在圆的圆心为$O$，半径为$r\ \mathrm{m}$。
根据垂径定理，$CD ⊥ AB$，因此$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×16=8\ \mathrm{m}$。
圆心$O$在$CD$的延长线上，连接$OA$，则$OA=r$，$OD = r - CD = r-4$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得：
$OA^2 = AD^2 + OD^2$
代入数值：
$r^2 = 8^2 + (r-4)^2$
展开计算：$r^2=64+r^2-8r+16$，化简得$8r=80$，解得$r=10$。
任务2：判断货船能否通过并计算需要增减的货物质量
设拱桥内平行于$AB$且长度等于$EH=10\ \mathrm{m}$的弦到水面$AB$的距离为$h\ \mathrm{m}$。
该弦的一半长度为$\frac{10}{2}=5\ \mathrm{m}$，由任务1可知圆心$O$到水面$AB$的距离$OD=10-4=6\ \mathrm{m}$。
由垂径定理和勾股定理得：
$5^2 + (h + 6)^2 = 10^2$
计算得：$(h+6)^2=75$，解得$h=5\sqrt{3}-6 \approx 2.66\ \mathrm{m}$（距离为正，舍去负解）。
$\because EF=3\ \mathrm{m} ＞ 2.66\ \mathrm{m}$，$\therefore$ 货船当前不能通过拱桥。
要使货船安全通过，需船身下降$y\ \mathrm{m}$后，货船露出水面的高度小于$h$，即：
$3 - y ＜ 5\sqrt{3} - 6$
解得$y ＞ 9 - 5\sqrt{3}$。
将$y=\frac{1}{100}x$代入得：
$x ＞ 100(9 - 5\sqrt{3}) \approx 34$
【答案】
任务1：圆弧形拱桥的半径为$\boxed{10\ \mathrm{m}}$；
任务2：货船不能通过圆弧形拱桥，至少要增加约$\boxed{34}$吨货物，货船才能安全通过。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、一次函数的应用
【点评】
本题以货船过拱桥的生活实际问题为载体，融合了圆的性质、方程思想和函数知识，既考查了基础几何定理的运用，也考查了将实际问题转化为数学模型的能力，实用性较强。
【难度系数】
0.6