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7.若圆的半径为2 cm，圆中一条弦长$2\sqrt{3}$ cm，则此弦中点与此弦所对弧的中点之间的距离是 cm.
答案
1或3
解析
【分析】
解题时先结合垂径定理分析：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，因此弦的中点、弦所对的两条弧的中点、圆心四点在同一条直线上。首先构造辅助线求出圆心到弦的距离，再分弦所对的劣弧、优弧两种情况，分别计算弦中点到对应弧中点的距离即可，注意不要漏解。
【解析】
设圆的圆心为O，弦为AB，AB的中点为C，AB所对的劣弧中点为D，优弧中点为E。
根据垂径定理可知，O、C、D、E四点共线，且直线DE垂直于AB。
已知圆的半径OA=2cm，弦AB=2√3 cm，因此AC=1/2 AB=√3 cm。
在Rt△OAC中，由勾股定理可得：
OC=√(OA² - AC²)=√(2² - (√3)²)=√(4-3)=1 cm。
① 求弦中点C到劣弧中点D的距离：
OD为圆的半径，长度为2cm，因此CD=OD - OC=2 - 1=1 cm；
② 求弦中点C到优弧中点E的距离：
OE为圆的半径，长度为2cm，因此CE=OC + OE=1 + 2=3 cm。
综上，此弦中点与此弦所对弧的中点之间的距离为1cm或3cm。
【答案】
1或3
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题考查圆中弦与弧的相关计算，是垂径定理的基础应用题型，易错点是忽略弦所对的弧有劣弧和优弧两种情况，导致漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先结合垂径定理分析：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，因此弦的中点、弦所对的两条弧的中点、圆心四点在同一条直线上。首先构造辅助线求出圆心到弦的距离，再分弦所对的劣弧、优弧两种情况，分别计算弦中点到对应弧中点的距离即可，注意不要漏解。
【解析】
设圆的圆心为O，弦为AB，AB的中点为C，AB所对的劣弧中点为D，优弧中点为E。
根据垂径定理可知，O、C、D、E四点共线，且直线DE垂直于AB。
已知圆的半径OA=2cm，弦AB=2√3 cm，因此AC=1/2 AB=√3 cm。
在Rt△OAC中，由勾股定理可得：
OC=√(OA² - AC²)=√(2² - (√3)²)=√(4-3)=1 cm。
① 求弦中点C到劣弧中点D的距离：
OD为圆的半径，长度为2cm，因此CD=OD - OC=2 - 1=1 cm；
② 求弦中点C到优弧中点E的距离：
OE为圆的半径，长度为2cm，因此CE=OC + OE=1 + 2=3 cm。
综上，此弦中点与此弦所对弧的中点之间的距离为1cm或3cm。
【答案】
1或3
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题考查圆中弦与弧的相关计算，是垂径定理的基础应用题型，易错点是忽略弦所对的弧有劣弧和优弧两种情况，导致漏解。
【难度系数】
0.6
8. 水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车模型的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降。如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点A处放空水，同时有1个水斗刚好在点B处接触水面，A，B之间还有2个水斗，已知外围轮盘的半径OA为5 cm，点A到水面的距离为7 cm，则水面的宽度CB为（）
A.6 cm
B.7 cm
C.7 cm或9 cm
D.6 cm或8 cm
A.6 cm
B.7 cm
C.7 cm或9 cm
D.6 cm或8 cm
答案
D
解析
【分析】
解题时首先根据12个水斗均匀分布的特点，算出相邻水斗对应的圆心角为30°，结合A、B间有2个水斗可得∠AOB=90°；再过圆心O作水面CB的垂线，利用垂径定理可知CB等于2倍的垂足到B的距离；接下来结合半径长度、点A到水面的距离，通过勾股定理建立方程，分类讨论两种位置情况即可求出CB的长度，注意不要漏解。
【解析】
1. 计算圆心角：圆周上均匀分布12个水斗，相邻水斗对应的圆心角为$360°÷12=30°$，A、B之间有2个水斗，因此$∠ AOB=3×30°=90°$。
2. 作辅助线：过点O作$OD⊥ CB$于点D，根据垂径定理，D为CB中点，故$CB=2BD$。
3. 设$OD=d$（O到水面的距离），$BD=x$，在$Rt△ ODB$中，$OB=OA=5\mathrm{cm}$，由勾股定理得：$x^2+d^2=5^2=25$ ①。
4. 由$∠ AOB=90°$、点A到水面距离为7cm，可得$|d-x|=7$，等式两边平方得：$(d-x)^2=49$，即$d^2-2dx+x^2=49$ ②。
5. 将①代入②得：$25-2dx=49$，解得$dx=-12$。再计算$(x+d)^2=x^2+2dx+d^2=25+2×(-12)=1$，因此$x+d=\pm1$。
6. 分类讨论：
情况1：联立$\begin{cases}d-x=7 \\ x+d=1\end{cases}$，解得$d=4$，$x=-3$，则$BD=|x|=3\mathrm{cm}$，$CB=2×3=6\mathrm{cm}$。
情况2：联立$\begin{cases}d-x=7 \\ x+d=-1\end{cases}$，解得$d=3$，$x=-4$，则$BD=|x|=4\mathrm{cm}$，$CB=2×4=8\mathrm{cm}$。
综上，水面宽度CB为6cm或8cm。
【答案】D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合传统农具水车的实际背景考查圆的性质应用，解题关键是准确计算圆心角、合理运用垂径定理，同时需要注意分类讨论两种可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据12个水斗均匀分布的特点，算出相邻水斗对应的圆心角为30°，结合A、B间有2个水斗可得∠AOB=90°；再过圆心O作水面CB的垂线，利用垂径定理可知CB等于2倍的垂足到B的距离；接下来结合半径长度、点A到水面的距离，通过勾股定理建立方程，分类讨论两种位置情况即可求出CB的长度，注意不要漏解。
【解析】
1. 计算圆心角：圆周上均匀分布12个水斗，相邻水斗对应的圆心角为$360°÷12=30°$，A、B之间有2个水斗，因此$∠ AOB=3×30°=90°$。
2. 作辅助线：过点O作$OD⊥ CB$于点D，根据垂径定理，D为CB中点，故$CB=2BD$。
3. 设$OD=d$（O到水面的距离），$BD=x$，在$Rt△ ODB$中，$OB=OA=5\mathrm{cm}$，由勾股定理得：$x^2+d^2=5^2=25$ ①。
4. 由$∠ AOB=90°$、点A到水面距离为7cm，可得$|d-x|=7$，等式两边平方得：$(d-x)^2=49$，即$d^2-2dx+x^2=49$ ②。
5. 将①代入②得：$25-2dx=49$，解得$dx=-12$。再计算$(x+d)^2=x^2+2dx+d^2=25+2×(-12)=1$，因此$x+d=\pm1$。
6. 分类讨论：
情况1：联立$\begin{cases}d-x=7 \\ x+d=1\end{cases}$，解得$d=4$，$x=-3$，则$BD=|x|=3\mathrm{cm}$，$CB=2×3=6\mathrm{cm}$。
情况2：联立$\begin{cases}d-x=7 \\ x+d=-1\end{cases}$，解得$d=3$，$x=-4$，则$BD=|x|=4\mathrm{cm}$，$CB=2×4=8\mathrm{cm}$。
综上，水面宽度CB为6cm或8cm。
【答案】D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题结合传统农具水车的实际背景考查圆的性质应用，解题关键是准确计算圆心角、合理运用垂径定理，同时需要注意分类讨论两种可能的位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9. ⊙O的直径为26，AB是⊙O的弦，AB=24，点P在弦AB上运动，则线段OP长的范围是.
答案
解：
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
∵⊙O的直径为26，
∴OA=13。
由垂径定理得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
由垂线段最短可知：当点P与点C重合时，OP取得最小值5；
当点P与点A（或点B）重合时，OP取得最大值13。
∴线段OP长的范围是$\boldsymbol{5≤ OP≤13}$。
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
∵⊙O的直径为26，
∴OA=13。
由垂径定理得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
由垂线段最短可知：当点P与点C重合时，OP取得最小值5；
当点P与点A（或点B）重合时，OP取得最大值13。
∴线段OP长的范围是$\boldsymbol{5≤ OP≤13}$。
解析
【分析】
要确定线段OP的取值范围，需明确定点O到线段AB上动点P的距离规律：最短距离是点O到AB的垂线段长度，最长距离是点O到弦AB端点的距离（即圆的半径）。解题时先根据圆的直径求出半径长度，再利用垂径定理求出弦长的一半，随后用勾股定理计算O到AB的垂线段长度，最后结合最值情况即可得到OP的取值范围。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
∵⊙O的直径为26，
∴半径OA=26÷2=13。
由垂径定理得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
由垂线段最短可知：当点P与点C重合时，OP取得最小值5；
当点P与点A（或点B）重合时，OP为圆的半径，取得最大值13。
∴线段OP长的范围是$5≤ OP≤13$。
【答案】
$5≤ OP≤13$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题是圆中线段最值的基础常考题，解题关键是掌握定点到线段上动点的距离最值规律，结合圆的基本性质、垂径定理和勾股定理即可快速求解，需熟练掌握垂径定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
要确定线段OP的取值范围，需明确定点O到线段AB上动点P的距离规律：最短距离是点O到AB的垂线段长度，最长距离是点O到弦AB端点的距离（即圆的半径）。解题时先根据圆的直径求出半径长度，再利用垂径定理求出弦长的一半，随后用勾股定理计算O到AB的垂线段长度，最后结合最值情况即可得到OP的取值范围。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
∵⊙O的直径为26，
∴半径OA=26÷2=13。
由垂径定理得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
由垂线段最短可知：当点P与点C重合时，OP取得最小值5；
当点P与点A（或点B）重合时，OP为圆的半径，取得最大值13。
∴线段OP长的范围是$5≤ OP≤13$。
【答案】
$5≤ OP≤13$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题是圆中线段最值的基础常考题，解题关键是掌握定点到线段上动点的距离最值规律，结合圆的基本性质、垂径定理和勾股定理即可快速求解，需熟练掌握垂径定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
10.在$\odot O$中，直径$CD=10$，弦$AB⊥ CD$，且$AB=8$，则弦$AC=\_\_\_\_\_\_$。
答案
解：连接OA，设AB⊥CD，垂足为点E。
∵ CD是⊙O的直径，CD=10，
∴ OA=OC=5。
∵ AB⊥CD，AB=8，由垂径定理得：
AE = $\frac{1}{2}$AB = 4。
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
OE = $\sqrt{OA^2 - AE^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = 3。
分两种情况：
1. 当点C与点A在圆心O的同侧时，
CE = OC - OE = 5 - 3 = 2，
在Rt△ACE中，AC = $\sqrt{AE^2 + CE^2}$ = $\sqrt{4^2 + 2^2}$ = $2\sqrt{5}$；
2. 当点C与点A在圆心O的异侧时，
CE = OC + OE = 5 + 3 = 8，
在Rt△ACE中，AC = $\sqrt{AE^2 + CE^2}$ = $\sqrt{4^2 + 8^2}$ = $4\sqrt{5}$。
综上，弦$AC$的长为$2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$。
∵ CD是⊙O的直径，CD=10，
∴ OA=OC=5。
∵ AB⊥CD，AB=8，由垂径定理得：
AE = $\frac{1}{2}$AB = 4。
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
OE = $\sqrt{OA^2 - AE^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = 3。
分两种情况：
1. 当点C与点A在圆心O的同侧时，
CE = OC - OE = 5 - 3 = 2，
在Rt△ACE中，AC = $\sqrt{AE^2 + CE^2}$ = $\sqrt{4^2 + 2^2}$ = $2\sqrt{5}$；
2. 当点C与点A在圆心O的异侧时，
CE = OC + OE = 5 + 3 = 8，
在Rt△ACE中，AC = $\sqrt{AE^2 + CE^2}$ = $\sqrt{4^2 + 8^2}$ = $4\sqrt{5}$。
综上，弦$AC$的长为$2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$。
解析
【分析】
解题时首先根据弦与直径垂直的特征，优先考虑运用垂径定理，先连接OA构造直角三角形，先求出圆的半径、弦AB的一半长度，再用勾股定理求出圆心到弦AB的距离OE；由于点C的位置存在两种可能（与点A在圆心同侧或异侧），因此需要分类讨论计算CE的长度，最后再次运用勾股定理求出AC的长度即可。
【解析】
连接OA，设AB⊥CD，垂足为点E。
∵ CD是⊙O的直径，CD=10，
∴ OA=OC=5。
∵ AB⊥CD，AB=8，由垂径定理得：
AE = $\frac{1}{2}$AB = 4。
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
OE = $\sqrt{OA^2 - AE^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = 3。
分两种情况：
1. 当点C与点A在圆心O的同侧时，
CE = OC - OE = 5 - 3 = 2，
在Rt△ACE中，AC = $\sqrt{AE^2 + CE^2}$ = $\sqrt{4^2 + 2^2}$ = $2\sqrt{5}$；
2. 当点C与点A在圆心O的异侧时，
CE = OC + OE = 5 + 3 = 8，
在Rt△ACE中，AC = $\sqrt{AE^2 + CE^2}$ = $\sqrt{4^2 + 8^2}$ = $4\sqrt{5}$。
综上，弦AC的长为$2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求弦长的典型题型，解题关键是熟练运用垂径定理和勾股定理，易错点是容易忽略点C的两种位置情况导致漏解，解题时需注意结合图形分类讨论，全面考虑所有可能的位置情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据弦与直径垂直的特征，优先考虑运用垂径定理，先连接OA构造直角三角形，先求出圆的半径、弦AB的一半长度，再用勾股定理求出圆心到弦AB的距离OE；由于点C的位置存在两种可能（与点A在圆心同侧或异侧），因此需要分类讨论计算CE的长度，最后再次运用勾股定理求出AC的长度即可。
【解析】
连接OA，设AB⊥CD，垂足为点E。
∵ CD是⊙O的直径，CD=10，
∴ OA=OC=5。
∵ AB⊥CD，AB=8，由垂径定理得：
AE = $\frac{1}{2}$AB = 4。
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
OE = $\sqrt{OA^2 - AE^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = 3。
分两种情况：
1. 当点C与点A在圆心O的同侧时，
CE = OC - OE = 5 - 3 = 2，
在Rt△ACE中，AC = $\sqrt{AE^2 + CE^2}$ = $\sqrt{4^2 + 2^2}$ = $2\sqrt{5}$；
2. 当点C与点A在圆心O的异侧时，
CE = OC + OE = 5 + 3 = 8，
在Rt△ACE中，AC = $\sqrt{AE^2 + CE^2}$ = $\sqrt{4^2 + 8^2}$ = $4\sqrt{5}$。
综上，弦AC的长为$2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中求弦长的典型题型，解题关键是熟练运用垂径定理和勾股定理，易错点是容易忽略点C的两种位置情况导致漏解，解题时需注意结合图形分类讨论，全面考虑所有可能的位置情况。
【难度系数】
0.6
11.已知$\odot O$的半径为13，弦$AB// CD$，$AB=24$，$CD=10$，则两弦之间的距离为.
答案
解：
过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA、OC。
∵ AB//CD，
∴ OF⊥CD。
由垂径定理得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$，
$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$。
在Rt△OAE中，OA=13，AE=12，
∴ $OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
在Rt△OCF中，OC=13，CF=5，
∴ $OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
分两种情况：
1. 当弦AB、CD在圆心O的两侧时，两弦距离$EF=OE+OF=5+12=17$；
2. 当弦AB、CD在圆心O的同侧时，两弦距离$EF=OF-OE=12-5=7$。
综上，两弦之间的距离为$\boldsymbol{7或17}$。
过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA、OC。
∵ AB//CD，
∴ OF⊥CD。
由垂径定理得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$，
$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$。
在Rt△OAE中，OA=13，AE=12，
∴ $OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
在Rt△OCF中，OC=13，CF=5，
∴ $OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
分两种情况：
1. 当弦AB、CD在圆心O的两侧时，两弦距离$EF=OE+OF=5+12=17$；
2. 当弦AB、CD在圆心O的同侧时，两弦距离$EF=OF-OE=12-5=7$。
综上，两弦之间的距离为$\boldsymbol{7或17}$。
解析
【分析】
解决本题首先需要结合圆的性质思考平行弦距离的求解方法：要求两条平行弦的距离，可过圆心作其中一条弦的垂线，根据平行线的性质，该垂线同时垂直于另一条弦；再利用垂径定理得到两条弦的半弦长，结合勾股定理分别计算两条弦到圆心的距离；最后注意分类讨论两条弦的位置：即两条弦在圆心的同侧或两侧，两种情况分别计算两弦间距即可。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA、OC。
∵ AB//CD，
∴ OF⊥CD。
由垂径定理得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$，
$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$。
在Rt△OAE中，OA=13，AE=12，
∴ $OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
在Rt△OCF中，OC=13，CF=5，
∴ $OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
分两种情况：
1. 当弦AB、CD在圆心O的两侧时，两弦距离$EF=OE+OF=5+12=17$；
2. 当弦AB、CD在圆心O的同侧时，两弦距离$EF=OF-OE=12-5=7$。
综上，两弦之间的距离为7或17。
【答案】
7或17
【知识点】
垂径定理、勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题是圆中平行弦距离计算的典型题型，易错点是遗漏两条弦在圆心同侧的情况导致漏解，解题时要全面考虑两条弦的所有位置关系，熟练结合垂径定理和勾股定理完成计算。
【难度系数】
0.6
解决本题首先需要结合圆的性质思考平行弦距离的求解方法：要求两条平行弦的距离，可过圆心作其中一条弦的垂线，根据平行线的性质，该垂线同时垂直于另一条弦；再利用垂径定理得到两条弦的半弦长，结合勾股定理分别计算两条弦到圆心的距离；最后注意分类讨论两条弦的位置：即两条弦在圆心的同侧或两侧，两种情况分别计算两弦间距即可。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA、OC。
∵ AB//CD，
∴ OF⊥CD。
由垂径定理得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$，
$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$。
在Rt△OAE中，OA=13，AE=12，
∴ $OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
在Rt△OCF中，OC=13，CF=5，
∴ $OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
分两种情况：
1. 当弦AB、CD在圆心O的两侧时，两弦距离$EF=OE+OF=5+12=17$；
2. 当弦AB、CD在圆心O的同侧时，两弦距离$EF=OF-OE=12-5=7$。
综上，两弦之间的距离为7或17。
【答案】
7或17
【知识点】
垂径定理、勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题是圆中平行弦距离计算的典型题型，易错点是遗漏两条弦在圆心同侧的情况导致漏解，解题时要全面考虑两条弦的所有位置关系，熟练结合垂径定理和勾股定理完成计算。
【难度系数】
0.6
12.“圆”是中国文化的一个重要元素，在古典园林建筑中尤为常见，如圆形门洞的设计.图(1)展示了一处圆弧形门洞的实例，其对应的数学模型如图(2)所示.已知该圆弧形门洞的地面跨度$AB=120\ \mathrm{cm}$，$D$为圆弧上一点，$DC⊥ AB$于点$C$，且$CD=BC=60\ \mathrm{cm}$，则门洞所在圆的半径为$\mathrm{cm}$.
答案
60\sqrt{5}}$
解析
【分析】
要求圆弧所在圆的半径，可利用圆的半径处处相等的性质，结合垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）构造直角三角形，设出未知数后根据勾股定理列方程求解即可。解题时先明确圆心在AB的垂直平分线上，再结合点D在圆上、到圆心的距离等于半径，建立等量关系即可计算。
【解析】
设门洞所在圆$O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$。
根据垂径定理，$E$为$AB$的中点，因此$BE=AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×120=60\ \mathrm{cm}$。
设$OE=x\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$OA^2=OE^2+AE^2$，即$r^2=x^2+60^2$ ①。
过点$D$作$DF⊥ OE$于点$F$，因为$DC⊥ AB$，所以四边形$DFEC$是矩形。
已知$BC=60\ \mathrm{cm}$，$CD=60\ \mathrm{cm}$，因此$DF=EC=BE+BC=60+60=120\ \mathrm{cm}$，$OF=OE-CD=(x-60)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，由勾股定理得：
$OD^2=DF^2+OF^2$，即$r^2=120^2+(x-60)^2$ ②。
联立①②，得$x^2+60^2=120^2+(x-60)^2$，
展开化简：$x^2+3600=14400+x^2-120x+3600$，
消去同类项得：$120x=14400$，解得$x=120$。
将$x=120$代入①，得$r^2=120^2+60^2=18000$，
所以$r=\sqrt{18000}=60\sqrt{5}$（半径为正数，舍去负根）。
【答案】
$60\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合古典园林建筑的实际场景，考查圆的性质与勾股定理的综合应用，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，结合方程思想求解，是几何实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
要求圆弧所在圆的半径，可利用圆的半径处处相等的性质，结合垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）构造直角三角形，设出未知数后根据勾股定理列方程求解即可。解题时先明确圆心在AB的垂直平分线上，再结合点D在圆上、到圆心的距离等于半径，建立等量关系即可计算。
【解析】
设门洞所在圆$O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$。
根据垂径定理，$E$为$AB$的中点，因此$BE=AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×120=60\ \mathrm{cm}$。
设$OE=x\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：
$OA^2=OE^2+AE^2$，即$r^2=x^2+60^2$ ①。
过点$D$作$DF⊥ OE$于点$F$，因为$DC⊥ AB$，所以四边形$DFEC$是矩形。
已知$BC=60\ \mathrm{cm}$，$CD=60\ \mathrm{cm}$，因此$DF=EC=BE+BC=60+60=120\ \mathrm{cm}$，$OF=OE-CD=(x-60)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，由勾股定理得：
$OD^2=DF^2+OF^2$，即$r^2=120^2+(x-60)^2$ ②。
联立①②，得$x^2+60^2=120^2+(x-60)^2$，
展开化简：$x^2+3600=14400+x^2-120x+3600$，
消去同类项得：$120x=14400$，解得$x=120$。
将$x=120$代入①，得$r^2=120^2+60^2=18000$，
所以$r=\sqrt{18000}=60\sqrt{5}$（半径为正数，舍去负根）。
【答案】
$60\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合古典园林建筑的实际场景，考查圆的性质与勾股定理的综合应用，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，结合方程思想求解，是几何实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
13. 如图，AB是⊙O的直径，半径OC与弦BD平行，CE⊥AB于点E. 求证：OE = $\frac{1}{2}$BD.
答案
证明：
过点O作OF⊥BD于点F，
由垂径定理可得：$BF = FD = \frac{1}{2}BD$。
∵ $OC // BD$，
∴ $∠ COE = ∠ OBF$。
∵ $CE ⊥ AB$，$OF ⊥ BD$，
∴ $∠ CEO = ∠ OFB = 90°$。
又∵ $OC$、$OB$都是$\odot O$的半径，
∴ $OC = OB$。
∴ $△ OCE ≌ △ BOF$（AAS）。
∴ $OE = BF$。
结合$BF = \frac{1}{2}BD$，可得：$OE = \frac{1}{2}BD$。
过点O作OF⊥BD于点F，
由垂径定理可得：$BF = FD = \frac{1}{2}BD$。
∵ $OC // BD$，
∴ $∠ COE = ∠ OBF$。
∵ $CE ⊥ AB$，$OF ⊥ BD$，
∴ $∠ CEO = ∠ OFB = 90°$。
又∵ $OC$、$OB$都是$\odot O$的半径，
∴ $OC = OB$。
∴ $△ OCE ≌ △ BOF$（AAS）。
∴ $OE = BF$。
结合$BF = \frac{1}{2}BD$，可得：$OE = \frac{1}{2}BD$。
解析
【分析】
要证$OE=\frac{1}{2}BD$，首先考虑通过垂径定理构造出$\frac{1}{2}BD$：过点$O$作$OF⊥ BD$于点$F$，可得$BF=\frac{1}{2}BD$，接下来只需证明$OE=BF$即可。观察发现$OE$、$BF$分别在$Rt△ OCE$和$Rt△ BOF$中，结合$OC// BD$可得到一组对应角相等，两个三角形均为直角三角形，再结合$OC$、$OB$都是圆的半径、长度相等，可通过AAS证明两个三角形全等，得到$OE=BF$，进而推导出待证结论。
【解析】
证明：
过点$O$作$OF⊥ BD$于点$F$，
由垂径定理可得：$BF = FD = \frac{1}{2}BD$。
∵ $OC // BD$，
∴ $∠COE = ∠OBF$。
∵ $CE ⊥ AB$，$OF ⊥ BD$，
∴ $∠CEO = ∠OFB = 90°$。
又
∵ $OC$、$OB$都是$\odot O$的半径，
∴ $OC = OB$。
∴ $△ OCE ≌ △ BOF$（AAS）。
∴ $OE = BF$。
结合$BF = \frac{1}{2}BD$，可得：$OE = \frac{1}{2}BD$。
【答案】
$OE = \frac{1}{2}BD$，得证。
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，解题关键是合理作出辅助线，利用垂径定理得到线段的半长关系，再通过全等三角形完成线段的等量转化，能很好地考查对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要证$OE=\frac{1}{2}BD$，首先考虑通过垂径定理构造出$\frac{1}{2}BD$：过点$O$作$OF⊥ BD$于点$F$，可得$BF=\frac{1}{2}BD$，接下来只需证明$OE=BF$即可。观察发现$OE$、$BF$分别在$Rt△ OCE$和$Rt△ BOF$中，结合$OC// BD$可得到一组对应角相等，两个三角形均为直角三角形，再结合$OC$、$OB$都是圆的半径、长度相等，可通过AAS证明两个三角形全等，得到$OE=BF$，进而推导出待证结论。
【解析】
证明：
过点$O$作$OF⊥ BD$于点$F$，
由垂径定理可得：$BF = FD = \frac{1}{2}BD$。
∵ $OC // BD$，
∴ $∠COE = ∠OBF$。
∵ $CE ⊥ AB$，$OF ⊥ BD$，
∴ $∠CEO = ∠OFB = 90°$。
又
∵ $OC$、$OB$都是$\odot O$的半径，
∴ $OC = OB$。
∴ $△ OCE ≌ △ BOF$（AAS）。
∴ $OE = BF$。
结合$BF = \frac{1}{2}BD$，可得：$OE = \frac{1}{2}BD$。
【答案】
$OE = \frac{1}{2}BD$，得证。
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，解题关键是合理作出辅助线，利用垂径定理得到线段的半长关系，再通过全等三角形完成线段的等量转化，能很好地考查对基础定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
