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7.如图，AB是$\odot O$的直径，$AD⊥ AB$于点A，$OD$交$\odot O$于点C，$AE⊥ OD$于点E，交$\odot O$于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若$CD＝4$，则$PE＋PF$的最小值是 （）
A.4
B.$2\sqrt{7}$
C.6
D.$4\sqrt{3}$
A.4
B.$2\sqrt{7}$
C.6
D.$4\sqrt{3}$
答案
C
解析
【分析】
本题是圆的性质与最短路径（将军饮马）结合的综合题型，解题思路分为三步：①先利用垂径定理、弧中点的性质推导相等的弧，进而得到圆心角的度数，求出圆的半径；②结合直角三角形的性质求出点E对应的线段长度；③利用轴对称性质将PE+PF转化为两点之间的线段长度，用勾股定理计算最小值。
【解析】
1. 推导圆心角度数：
∵AE⊥OD，OD是⊙O的半径，由垂径定理可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}$。
又
∵F是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FB}$，
因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FB}$，三个弧对应的圆心角之和为平角∠AOB=180°，
故∠AOC=∠COF=∠FOB=60°。
2. 求⊙O的半径：
设⊙O半径为$r$，则$OA=OC=r$，$OD=OC+CD=r+4$。
∵AD⊥AB，
∴△OAD为直角三角形，∠OAD=90°，
结合∠AOD=60°，可得∠ADO=30°，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半，得$OD=2OA$，
即$r+4=2r$，解得$r=4$，因此$OA=OF=4$。
3. 求OE的长度：
在$Rt△ OAE$中，∠AEO=90°，∠AOE=60°，OA=4，
∴$OE=OA·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$。
4. 计算PE+PF的最小值：
作点E关于AB的对称点$E'$，由轴对称性质得$PE=PE'$，
因此$PE+PF=PE'+PF$，当$E'$、P、F三点共线时，$PE'+PF$取最小值，即线段$E'F$的长度。
建平面直角坐标系辅助计算：设O为原点，AB所在直线为x轴，可得$E'(-1,-\sqrt{3})$，$F(2,2\sqrt{3})$，
由勾股定理得：
$E'F=\sqrt{(2+1)^2+(2\sqrt{3}+\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+27}=6$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，将军饮马模型，直角三角形性质
【点评】
本题综合考察圆的基本性质、直角三角形性质和最短路径问题，解题的核心是先通过弧的等量关系求出圆心角度数，再利用轴对称转化线段，最后用勾股定理计算结果，对学生的知识点整合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是圆的性质与最短路径（将军饮马）结合的综合题型，解题思路分为三步：①先利用垂径定理、弧中点的性质推导相等的弧，进而得到圆心角的度数，求出圆的半径；②结合直角三角形的性质求出点E对应的线段长度；③利用轴对称性质将PE+PF转化为两点之间的线段长度，用勾股定理计算最小值。
【解析】
1. 推导圆心角度数：
∵AE⊥OD，OD是⊙O的半径，由垂径定理可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}$。
又
∵F是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FB}$，
因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{FB}$，三个弧对应的圆心角之和为平角∠AOB=180°，
故∠AOC=∠COF=∠FOB=60°。
2. 求⊙O的半径：
设⊙O半径为$r$，则$OA=OC=r$，$OD=OC+CD=r+4$。
∵AD⊥AB，
∴△OAD为直角三角形，∠OAD=90°，
结合∠AOD=60°，可得∠ADO=30°，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半，得$OD=2OA$，
即$r+4=2r$，解得$r=4$，因此$OA=OF=4$。
3. 求OE的长度：
在$Rt△ OAE$中，∠AEO=90°，∠AOE=60°，OA=4，
∴$OE=OA·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$。
4. 计算PE+PF的最小值：
作点E关于AB的对称点$E'$，由轴对称性质得$PE=PE'$，
因此$PE+PF=PE'+PF$，当$E'$、P、F三点共线时，$PE'+PF$取最小值，即线段$E'F$的长度。
建平面直角坐标系辅助计算：设O为原点，AB所在直线为x轴，可得$E'(-1,-\sqrt{3})$，$F(2,2\sqrt{3})$，
由勾股定理得：
$E'F=\sqrt{(2+1)^2+(2\sqrt{3}+\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+27}=6$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，将军饮马模型，直角三角形性质
【点评】
本题综合考察圆的基本性质、直角三角形性质和最短路径问题，解题的核心是先通过弧的等量关系求出圆心角度数，再利用轴对称转化线段，最后用勾股定理计算结果，对学生的知识点整合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
8.如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了A，B，C，D四个观景位。已知观景台边缘$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，观景位A与B之间的距离为24，观景位C与D之间的距离为13，则这座圆形观景台的半径是。
答案
解：设圆形观景台的圆心为O，取$\overset{\frown}{AB}$的中点E，连接OE交AB于点F，连接OA，AE。
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，E是$\overset{\frown}{AB}$中点，
$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$，
根据同圆中相等的弧所对的弦相等，得$AE=CD=13$。
$\because$ E是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OE是半径，
$\therefore OE⊥ AB$，$AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
设观景台的半径为R，则$OF=OE-EF=R-5$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理得：
$R^2=12^2+(R-5)^2$，
展开得$R^2=144+R^2-10R+25$，
化简得$10R=169$，
解得$R=\frac{169}{10}$。
$\frac{169}{10}$（或16.9）
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，E是$\overset{\frown}{AB}$中点，
$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$，
根据同圆中相等的弧所对的弦相等，得$AE=CD=13$。
$\because$ E是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OE是半径，
$\therefore OE⊥ AB$，$AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
设观景台的半径为R，则$OF=OE-EF=R-5$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理得：
$R^2=12^2+(R-5)^2$，
展开得$R^2=144+R^2-10R+25$，
化简得$10R=169$，
解得$R=\frac{169}{10}$。
$\frac{169}{10}$（或16.9）
解析
【分析】
要解决本题，首先利用已知的弧的倍数关系，将$\overset{\frown}{AB}$等分，得到和$\overset{\frown}{CD}$相等的弧，从而转化得到相等的弦长；再结合垂径定理，过圆心作弦AB的垂线，构造出直角三角形；最后设半径为未知数，利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
设圆形观景台的圆心为O，取$\overset{\frown}{AB}$的中点E，连接OE交AB于点F，连接OA，AE。
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，E是$\overset{\frown}{AB}$中点，
$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$，
根据同圆中相等的弧所对的弦相等，得$AE=CD=13$。
$\because$ E是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OE是半径，
$\therefore OE⊥ AB$，$AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
设观景台的半径为R，则$OF=OE-EF=R-5$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理得：
$R^2=12^2+(R-5)^2$，
展开得$R^2=144+R^2-10R+25$，
化简得$10R=169$，
解得$R=\frac{169}{10}=16.9$。
【答案】
$\frac{169}{10}$（或16.9）
【知识点】
弧弦的关系、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆中求半径的典型题型，解题关键是通过弧的等量关系转化弦长，结合垂径定理构造直角三角形，运用方程思想求解，能有效考查对圆的基本性质的掌握和综合应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先利用已知的弧的倍数关系，将$\overset{\frown}{AB}$等分，得到和$\overset{\frown}{CD}$相等的弧，从而转化得到相等的弦长；再结合垂径定理，过圆心作弦AB的垂线，构造出直角三角形；最后设半径为未知数，利用勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
设圆形观景台的圆心为O，取$\overset{\frown}{AB}$的中点E，连接OE交AB于点F，连接OA，AE。
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，E是$\overset{\frown}{AB}$中点，
$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$，
根据同圆中相等的弧所对的弦相等，得$AE=CD=13$。
$\because$ E是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OE是半径，
$\therefore OE⊥ AB$，$AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$。
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得：$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$。
设观景台的半径为R，则$OF=OE-EF=R-5$。
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中，由勾股定理得：
$R^2=12^2+(R-5)^2$，
展开得$R^2=144+R^2-10R+25$，
化简得$10R=169$，
解得$R=\frac{169}{10}=16.9$。
【答案】
$\frac{169}{10}$（或16.9）
【知识点】
弧弦的关系、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆中求半径的典型题型，解题关键是通过弧的等量关系转化弦长，结合垂径定理构造直角三角形，运用方程思想求解，能有效考查对圆的基本性质的掌握和综合应用能力。
【难度系数】
0.6
9.“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地.如图是醴陵生产的某种瓷碗正面的形状示意图.$\overset{\frown}{AB}$是$\odot O$的一部分，D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB.已知AB=24 cm，碗深CD=8 cm，则$\odot O$的半径OA为.
答案
解：
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OD是$\odot O$的半径，
∴ 根据垂径定理，$OD⊥ AB$，$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
∵ $AB=24\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC=12\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径$OA=r\ \mathrm{cm}$，则$OD=r\ \mathrm{cm}$，
∵ $CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $OC=OD-CD=(r-8)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2=AC^2+OC^2$，
即$r^2=12^2+(r-8)^2$，
展开得：$r^2=144 + r^2 -16r +64$，
整理得：$16r=208$，
解得：$r=13$。
∴ $\odot O$的半径$OA$为$\boldsymbol{13\ \mathrm{cm}}$。
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OD是$\odot O$的半径，
∴ 根据垂径定理，$OD⊥ AB$，$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
∵ $AB=24\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC=12\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径$OA=r\ \mathrm{cm}$，则$OD=r\ \mathrm{cm}$，
∵ $CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $OC=OD-CD=(r-8)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2=AC^2+OC^2$，
即$r^2=12^2+(r-8)^2$，
展开得：$r^2=144 + r^2 -16r +64$，
整理得：$16r=208$，
解得：$r=13$。
∴ $\odot O$的半径$OA$为$\boldsymbol{13\ \mathrm{cm}}$。
解析
【分析】
本题是圆中求半径的典型问题，解题思路如下：1. 首先根据弧中点与半径的条件，联想到垂径定理，可得到OD垂直AB且平分AB，由此求出AC的长度；2. 设圆的半径为r，用含r的式子表示出OC的长度；3. 发现△OAC是直角三角形，利用勾股定理列出关于r的方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OD是$\odot O$的半径，
∴ 根据垂径定理，$OD⊥ AB$，$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
∵ $AB=24\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC=12\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径$OA=r\ \mathrm{cm}$，则$OD=r\ \mathrm{cm}$，
∵ $CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $OC=OD-CD=(r-8)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2=AC^2+OC^2$，
即$r^2=12^2+(r-8)^2$，
展开得：$r^2=144 + r^2 -16r +64$，
整理得：$16r=208$，
解得：$r=13$。
【答案】
$\boldsymbol{13\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理应用的经典题型，常结合勾股定理通过设未知数列方程的方式求解圆的相关线段长度，这类解题方法在圆的线段计算问题中非常常用，要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题是圆中求半径的典型问题，解题思路如下：1. 首先根据弧中点与半径的条件，联想到垂径定理，可得到OD垂直AB且平分AB，由此求出AC的长度；2. 设圆的半径为r，用含r的式子表示出OC的长度；3. 发现△OAC是直角三角形，利用勾股定理列出关于r的方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
∵ D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OD是$\odot O$的半径，
∴ 根据垂径定理，$OD⊥ AB$，$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
∵ $AB=24\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC=12\ \mathrm{cm}$。
设$\odot O$的半径$OA=r\ \mathrm{cm}$，则$OD=r\ \mathrm{cm}$，
∵ $CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $OC=OD-CD=(r-8)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2=AC^2+OC^2$，
即$r^2=12^2+(r-8)^2$，
展开得：$r^2=144 + r^2 -16r +64$，
整理得：$16r=208$，
解得：$r=13$。
【答案】
$\boldsymbol{13\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理应用的经典题型，常结合勾股定理通过设未知数列方程的方式求解圆的相关线段长度，这类解题方法在圆的线段计算问题中非常常用，要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
10.如图，AB，CD为$\odot O$的直径，点E为$\overset{\frown}{AD}$的中点，连接DE，BC，若$∠ B=36°$，则$∠ D$的度数为。
答案
$\boldsymbol{63°}$
解析
【分析】
解题时首先利用同圆半径相等得到△OBC为等腰三角形，结合已知∠B的度数求出圆心角∠COB的度数；再利用对顶角相等得到∠AOD的度数；接着根据弧中点的性质，推出弧DE对应的圆心角∠EOD的度数；最后在等腰△ODE中利用三角形内角和定理即可求出∠D的度数。
【解析】
1. 因为OC、OB均为$\odot O$的半径，所以$OC=OB$，$△ OBC$为等腰三角形，故$∠ OCB=∠ B=36°$。根据三角形内角和定理，$∠ COB=180°-∠ B-∠ OCB=180°-36°-36°=108°$。
2. $∠ AOD$与$∠ COB$是对顶角，因此$∠ AOD=∠ COB=108°$。
3. 因为点E为$\overset{\frown}{AD}$的中点，所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{ED}$，同圆中等弧对应的圆心角相等，故$∠ EOD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×108°=54°$。
4. 又因为OE、OD均为$\odot O$的半径，所以$OE=OD$，$△ ODE$为等腰三角形，因此$∠ D=∠ OED$。根据三角形内角和定理，$∠ D=\frac{180°-∠ EOD}{2}=\frac{180°-54°}{2}=63°$。
【答案】
$\boldsymbol{63°}$
【知识点】
等腰三角形性质，圆心角与弧的关系，对顶角性质
【点评】
本题属于基础类考题，综合考查了圆的基本性质与三角形的相关性质，解题关键是通过弧中点的性质得到对应圆心角的度数，理清角度之间的转化关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用同圆半径相等得到△OBC为等腰三角形，结合已知∠B的度数求出圆心角∠COB的度数；再利用对顶角相等得到∠AOD的度数；接着根据弧中点的性质，推出弧DE对应的圆心角∠EOD的度数；最后在等腰△ODE中利用三角形内角和定理即可求出∠D的度数。
【解析】
1. 因为OC、OB均为$\odot O$的半径，所以$OC=OB$，$△ OBC$为等腰三角形，故$∠ OCB=∠ B=36°$。根据三角形内角和定理，$∠ COB=180°-∠ B-∠ OCB=180°-36°-36°=108°$。
2. $∠ AOD$与$∠ COB$是对顶角，因此$∠ AOD=∠ COB=108°$。
3. 因为点E为$\overset{\frown}{AD}$的中点，所以$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{ED}$，同圆中等弧对应的圆心角相等，故$∠ EOD=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×108°=54°$。
4. 又因为OE、OD均为$\odot O$的半径，所以$OE=OD$，$△ ODE$为等腰三角形，因此$∠ D=∠ OED$。根据三角形内角和定理，$∠ D=\frac{180°-∠ EOD}{2}=\frac{180°-54°}{2}=63°$。
【答案】
$\boldsymbol{63°}$
【知识点】
等腰三角形性质，圆心角与弧的关系，对顶角性质
【点评】
本题属于基础类考题，综合考查了圆的基本性质与三角形的相关性质，解题关键是通过弧中点的性质得到对应圆心角的度数，理清角度之间的转化关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
11.若$\odot O$内的一条弦把圆周分为$3:1$的两段弧，$\odot O$的半径为$R$，那么这条弦的长为________.
答案
$\sqrt{2}R$
解析
【分析】
解题时首先明确整个圆周的度数为360°，根据弦分圆周的比例先求出弦所对的劣弧的度数，弧的度数等于它所对圆心角的度数，即可得到弦与两条半径构成的三角形的顶角大小，再结合半径相等判断三角形的形状，最后用勾股定理即可求出弦长。
【解析】
解：
∵整个圆周的度数为360°，弦把圆周分为3:1的两段弧
∴较短弧的度数为$360° × \frac{1}{3+1}=90°$
∴这条弦所对的圆心角为90°
设弦的两个端点为A、B，圆心为O，则OA=OB=R，∠AOB=90°
∴△AOB为等腰直角三角形
由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$
【答案】
$\sqrt{2}R$
【知识点】
弧与圆心角的关系，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题，解题的核心是先根据弧的比例求出对应圆心角的度数，再结合特殊三角形的性质计算弦长，解题时注意不要混淆弧的比例对应的圆心角大小。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确整个圆周的度数为360°，根据弦分圆周的比例先求出弦所对的劣弧的度数，弧的度数等于它所对圆心角的度数，即可得到弦与两条半径构成的三角形的顶角大小，再结合半径相等判断三角形的形状，最后用勾股定理即可求出弦长。
【解析】
解：
∵整个圆周的度数为360°，弦把圆周分为3:1的两段弧
∴较短弧的度数为$360° × \frac{1}{3+1}=90°$
∴这条弦所对的圆心角为90°
设弦的两个端点为A、B，圆心为O，则OA=OB=R，∠AOB=90°
∴△AOB为等腰直角三角形
由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$
【答案】
$\sqrt{2}R$
【知识点】
弧与圆心角的关系，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题，解题的核心是先根据弧的比例求出对应圆心角的度数，再结合特殊三角形的性质计算弦长，解题时注意不要混淆弧的比例对应的圆心角大小。
【难度系数】
0.8
12.如图，$CD⊥ OA$于点$D$，$CE⊥ OB$于点$E$，若$OD=OE$，求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
答案
证明：连接OC。
∵ $CD⊥OA$，$CE⊥OB$，
∴ $∠ CDO = ∠ CEO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$和$\mathrm{Rt}△ CEO$中，
$\begin{cases}OD = OE \\OC = OC\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ CDO ≌ \mathrm{Rt}△ CEO$（HL），
∴ $∠ AOC = ∠ BOC$。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
∵ $CD⊥OA$，$CE⊥OB$，
∴ $∠ CDO = ∠ CEO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$和$\mathrm{Rt}△ CEO$中，
$\begin{cases}OD = OE \\OC = OC\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ CDO ≌ \mathrm{Rt}△ CEO$（HL），
∴ $∠ AOC = ∠ BOC$。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
解析
【分析】
要证明同圆中$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据圆的基本性质，只需证明两段弧对应的圆心角$∠ AOC=∠ BOC$即可。已知$CD⊥ OA$、$CE⊥ OB$，可得$△ CDO$和$△ CEO$均为直角三角形，结合已知$OD=OE$，且$OC$为两个直角三角形的公共斜边，可通过HL定理证明两三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得到$∠ AOC=∠ BOC$，最终推得弧相等。
【解析】
证明：连接$OC$。
$\because CD⊥ OA$，$CE⊥ OB$，
$\therefore ∠ CDO = ∠ CEO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$和$\mathrm{Rt}△ CEO$中，
$\begin{cases}OD = OE \\OC = OC\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CDO ≌ \mathrm{Rt}△ CEO$（HL），
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC$。
$\because$ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
【答案】
证明：连接$OC$。
$\because CD⊥ OA$，$CE⊥ OB$，
$\therefore ∠ CDO = ∠ CEO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$和$\mathrm{Rt}△ CEO$中，
$\begin{cases}OD = OE \\OC = OC\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CDO ≌ \mathrm{Rt}△ CEO$（HL），
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC$。
$\because$ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
【知识点】
HL证全等、全等三角形性质、圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的基础证明题，解题关键是通过添加辅助线构造全等三角形，将弧相等的证明转化为圆心角相等的证明，需熟练掌握全等三角形判定和圆的基本性质。
【难度系数】
0.8
要证明同圆中$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，根据圆的基本性质，只需证明两段弧对应的圆心角$∠ AOC=∠ BOC$即可。已知$CD⊥ OA$、$CE⊥ OB$，可得$△ CDO$和$△ CEO$均为直角三角形，结合已知$OD=OE$，且$OC$为两个直角三角形的公共斜边，可通过HL定理证明两三角形全等，利用全等三角形对应角相等即可得到$∠ AOC=∠ BOC$，最终推得弧相等。
【解析】
证明：连接$OC$。
$\because CD⊥ OA$，$CE⊥ OB$，
$\therefore ∠ CDO = ∠ CEO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$和$\mathrm{Rt}△ CEO$中，
$\begin{cases}OD = OE \\OC = OC\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CDO ≌ \mathrm{Rt}△ CEO$（HL），
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC$。
$\because$ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
【答案】
证明：连接$OC$。
$\because CD⊥ OA$，$CE⊥ OB$，
$\therefore ∠ CDO = ∠ CEO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$和$\mathrm{Rt}△ CEO$中，
$\begin{cases}OD = OE \\OC = OC\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CDO ≌ \mathrm{Rt}△ CEO$（HL），
$\therefore ∠ AOC = ∠ BOC$。
$\because$ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
【知识点】
HL证全等、全等三角形性质、圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的基础证明题，解题关键是通过添加辅助线构造全等三角形，将弧相等的证明转化为圆心角相等的证明，需熟练掌握全等三角形判定和圆的基本性质。
【难度系数】
0.8
