13.如图，在$\odot O$中，弦$AD$，$BC$相交于点$E$，连接$OE$，已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
(1)求证：$BE=DE$；
(2)如果$\odot O$的半径为5，$AD⊥ CB$，$DE=1$，求$AE$的长。

(1) 证明：
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $AB=CD$。
∵ $∠ A$，$∠ C$都是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，
∴ $∠ A=∠ C$，
同理可得$∠ B=∠ D$。
在$△ ABE$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ C \\AB=CD \\∠ B=∠ D\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDE$（ASA），
∴ $BE=DE$。
---
(2) 解：
过点$O$作$OF⊥ AD$于点$F$，$OG⊥ BC$于点$G$，
由垂径定理得：$AF=FD$，$BG=GC$。
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BD}$，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $AD=BC$。
∵ $AD⊥ CB$，$OF⊥ AD$，$OG⊥ BC$，
∴ 四边形$OGEF$是矩形。
设$AE=x$，已知$DE=1$，则$AD=x+1$，
∴ $AF=FD=\frac{x+1}{2}$，
$EF=AE - AF = x - \frac{x+1}{2} = \frac{x-1}{2}$。
由$AD=BC$，同理可得$EG=\frac{x-1}{2}$，
∴ $OF=EG=\frac{x-1}{2}$。
在$Rt△ OFD$中，由勾股定理得：
$OF^2 + FD^2 = OD^2$，
∵ $\odot O$半径$OD=5$，代入得：
$(\frac{x-1}{2})^2 + (\frac{x+1}{2})^2 = 5^2$，
整理得：$x^2=49$，
解得$x=7$（$x=-7$为负，不符合实际，舍去）。
∴ $AE$的长为$\boldsymbol{7}$。

【分析】
(1) 要证$BE=DE$，可通过证明$BE$、$DE$所在的$△ ABE$和$△ CDE$全等实现：首先根据等弧对等弦，由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$可得$AB=CD$；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得到两组对应角相等，即可用ASA证明两三角形全等，推出对应边相等。
(2) 求$AE$的长时，结合已知$AD⊥ CB$，可过圆心作两条弦的垂线，利用垂径定理得到弦的中点；由$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$可推得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，即$AD=BC$，进而可知四边形$OGEF$是矩形；设$AE=x$，用含$x$的式子表示出$FD$和$OF$，再在$Rt△ OFD$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $AB=CD$。
∵ $∠ A$，$∠ C$都是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，
∴ $∠ A=∠ C$，
同理可得$∠ B=∠ D$。
在$△ ABE$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ C \\AB=CD \\∠ B=∠ D\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ CDE$（ASA），
∴ $BE=DE$。
(2) 解：
过点$O$作$OF⊥ AD$于点$F$，$OG⊥ BC$于点$G$，
由垂径定理得：$AF=FD$，$BG=GC$。
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BD}$，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $AD=BC$。
∵ $AD⊥ CB$，$OF⊥ AD$，$OG⊥ BC$，
∴ 四边形$OGEF$是矩形。
设$AE=x$，已知$DE=1$，则$AD=x+1$，
∴ $AF=FD=\frac{x+1}{2}$，
$EF=AE - AF = x - \frac{x+1}{2} = \frac{x-1}{2}$。
由$AD=BC$，同理可得$EG=\frac{x-1}{2}$，
∴ $OF=EG=\frac{x-1}{2}$。
在$Rt△ OFD$中，由勾股定理得：
$OF^2 + FD^2 = OD^2$，
∵ $\odot O$半径$OD=5$，代入得：
$(\frac{x-1}{2})^2 + (\frac{x+1}{2})^2 = 5^2$，
整理得：$x^2=49$，
解得$x=7$（$x=-7$为负，不符合实际，舍去）。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{7}$
【知识点】
圆周角定理、全等三角形的判定与性质、垂径定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、三角形全等判定以及勾股定理的应用，第一问侧重基础性质的直接运用，第二问需要合理构造辅助线，结合方程思想求解，是圆章节的典型综合题型，能较好考查学生的知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6

14.小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对量都相等.进一步思考后,两位同学提出了这样的想法:这四对量中,如果有一对量存在倍数关系,其余三对量是否也会相应地存在倍数关系?因此,在如图所示的$\odot O$中,他们分别提出了猜想.小滨:若$∠ AOB = 2∠ BOC$,则$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$.小江:若$AB = 2BC$,则$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$.请判断小滨、小江的猜想是否正确,并说明理由.

解：小滨的猜想正确，小江的猜想错误，理由如下：
1. 说明小滨的猜想正确：
已知∠AOB = 2∠BOC，在同圆⊙O中，弧的度数等于它所对圆心角的度数，
因此$\overset{\frown}{AB}$的度数等于∠AOB的度数，$\overset{\frown}{BC}$的度数等于∠BOC的度数，
可得$\overset{\frown}{AB}$的度数 = 2×$\overset{\frown}{BC}$的度数。
在同圆中，度数成2倍关系的弧，弧长也对应成2倍关系，因此$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$，小滨的猜想成立。
2. 说明小江的猜想错误：
取$\overset{\frown}{AB}$的中点D，连接AD、BD，则$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
若$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$，则$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}$，根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得BD=BC，同理AD=BD=BC。
在△ABD中，由三角形三边关系得AD + BD ＞ AB，即2BC ＞ AB，也就是AB ＜ 2BC，这与条件AB=2BC矛盾。
因此当AB=2BC时，$\overset{\frown}{AB}$不可能等于$2\overset{\frown}{BC}$，小江的猜想不成立。

【分析】
判断两个猜想的正误可分开推导：①分析小滨的猜想时，结合同圆中圆心角的度数等于它所对弧的度数的性质，可直接由已知的圆心角倍数关系推导弧的倍数关系；②分析小江的猜想时，可采用反证法，先假设$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$成立，取$\overset{\frown}{AB}$的中点构造三角形，结合同圆中相等的弧对应相等的弦、三角形三边关系推导矛盾，即可判断猜想是否成立。
【解析】
小滨的猜想正确，小江的猜想错误，理由如下：
1. 证明小滨的猜想正确：
在同圆$\odot O$中，弧的度数等于它所对圆心角的度数。已知$∠ AOB = 2∠ BOC$，因此$\overset{\frown}{AB}$的度数与$∠ AOB$的度数相等，$\overset{\frown}{BC}$的度数与$∠ BOC$的度数相等，可得$\overset{\frown}{AB}$的度数$=2×\overset{\frown}{BC}$的度数。
同圆中弧长与弧的度数成正比，因此$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$，小滨的猜想成立。
2. 证明小江的猜想错误：
取$\overset{\frown}{AB}$的中点$D$，连接$AD$、$BD$，则$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
假设$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$，则$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}$，根据同圆中相等的弧所对的弦相等，可得$BD=BC$，同理$AD=BD=BC$。
在$△ ABD$中，由三角形三边关系可知$AD + BD ＞ AB$，代入得$2BC ＞ AB$，即$AB ＜ 2BC$，这与已知条件$AB=2BC$矛盾，因此假设不成立。
即当$AB=2BC$时，$\overset{\frown}{AB}$不可能等于$2\overset{\frown}{BC}$，小江的猜想不成立。
【答案】
小滨的猜想正确，小江的猜想错误。理由：同圆中弧的度数等于对应圆心角的度数，$∠ AOB=2∠ BOC$可推出$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$，故小滨猜想成立；若假设$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$，结合同圆等弧对等弦和三角形三边关系可推出$AB＜2BC$，与$AB=2BC$矛盾，故小江猜想错误。
【知识点】
圆心角与弧的关系；同圆弦弧关系；三角形三边关系
【点评】
本题属于圆相关性质的探究题，既考查了对圆心角、弧、弦之间对应关系的理解，也锻炼了用反证法验证猜想的逻辑思维能力，需要注意不能直接将弦的倍数关系等价为弧的倍数关系。
【难度系数】
0.6

15.在方格纸中,每个小正方形的顶点称为格点.△ABC的顶点都在格点上,圆O经过△ABC的顶点,只用直尺完成以下作图.
(1)在图1中画出圆心O;
(2)在图2中的圆上找一点D,使BD平分∠ABC.

解：
(1) 根据三角形外接圆圆心为三边垂直平分线的交点，在图1中，分别作竖直弦AB的垂直平分线，以及圆上水平最长弦的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心O，点O即为所求。
(2) 根据相等的圆周角所对的弧相等，要使BD平分∠ABC，只需点D为弧AC（不含点B）的中点，在图2的圆上作出该弧中点D，点D即为所求，此时BD平分∠ABC。
（注：按上述步骤用直尺连线完成作图即可，最终得到的点O为网格内对应格点，点D在圆上满足要求。）

【分析】
(1) 找圆心的核心依据是：圆的圆心是圆内任意两条不平行弦的垂直平分线的交点，也等于△ABC外接圆的外心，即三角形三边垂直平分线的交点。观察网格特征，弦AB为竖直方向，它的垂直平分线是过AB中点的水平直线；再选取圆上一条水平的最长弦（即直径），它的垂直平分线是过该弦中点的竖直直线，两条垂直平分线的交点就是圆心O。
(2) 要使BD平分∠ABC，依据圆周角定理：相等的圆周角所对的弧相等，因此只需让∠ABD和∠CBD所对的弧AD、弧CD长度相等，即点D为弧AC（不含点B的一侧）的中点，结合网格特征用直尺找到该弧中点即可。
【解析】
(1) ①找到竖直弦AB的中点，过该中点作水平直线，得到AB的垂直平分线；②找到圆上水平方向最长弦（直径）的中点，过该中点作竖直直线，得到这条直径的垂直平分线；两条垂直平分线的交点即为圆心O。
(2) 根据圆周角与弧的对应关系，要满足BD平分∠ABC，只需弧AD=弧CD（D与B分别在AC两侧），因此找到弧AC（不含点B）的中点D，连接BD即可满足要求。
【答案】
(1) 两条弦的垂直平分线交点即为所求圆心O（作图符合位置要求即可）；
(2) 弧AC（不含点B）的中点即为所求点D（作图符合位置要求即可）。
【知识点】
1. 三角形外心定义
2. 垂直平分线性质
3. 圆周角定理
【点评】
本题属于格点基础作图题，结合圆的基本性质考查作图能力和知识点的灵活运用能力，解题时可借助网格的特殊性快速定位特殊直线的位置，侧重对基础性质的理解和应用。
【难度系数】
0.7