1.已知二次函数$y=(m-5)x^{m^2-23}$，则$m$的值是（）。

A.$-5$
B.$\pm5$
C.$5$
D.$\pm\sqrt{5}$

1.A

【分析】
要确定m的值，需结合二次函数的定义分析：二次函数需要满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们可以先根据次数要求列方程求出m的可能取值，再根据系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，可列出两个约束条件：
1. 自变量x的次数为2：$m^2 - 23 = 2$
解方程得：$m^2 = 25$，即$m = \pm5$
2. 二次项系数不为0：$m - 5 ≠ 0$，即$m ≠ 5$
结合上述两个条件，排除$m=5$，因此$m=-5$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；解一元二次方程；不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础考查题，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，直接根据次数为2误选B，做题时要牢记定义的双重限制，避免漏解错解。
【难度系数】
0.7

2.抛物线$y=-(x+1)^2-1$的顶点坐标是().

A.$(1,1)$
B.$(-1,1)$
C.$(1,-1)$
D.$(-1,-1)$

2.D

【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关知识，解题时首先回忆二次函数顶点式的结构特征：形如$ y=a(x-h)^2 +k $（$ a≠0 $）的二次函数，顶点坐标直接对应为$(h,k)$。需要注意式子里的$x+1$实际是$x$减去$-1$，不要把$h$的符号搞反，找到对应的$h$和$k$的值就能确定顶点坐标，进而选出正确选项。
【解析】
二次函数的顶点式为$ y = a(x-h)^2 + k $（$ a≠0 $），该形式下函数的顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中的抛物线解析式$ y=-(x+1)^2 -1 $变形为顶点式的标准形式：$ y = -[x - (-1)]^2 + (-1) $，对应可得$ h=-1 $，$ k=-1 $，因此该抛物线的顶点坐标为$(-1,-1)$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查对顶点式中参数意义的掌握，解题时要特别注意顶点横坐标的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9

3.下列性质抛物线$y=2x^2 -1$具有的是().

A.开口向下
B.对称轴是x轴
C.有最高点
D.对称轴是y轴

3.D

【分析】
解题时首先明确该抛物线属于$y=ax^2+k$形式的二次函数，我们可以结合二次函数的性质，从开口方向、对称轴、最值点三个维度逐一判断选项：第一步先由二次项系数$a$的正负判断开口方向，进而判断是否有最高点；第二步用对称轴公式或者$y=ax^2+k$的对称轴规律判断对称轴，最终选出正确选项。
【解析】
对于抛物线$y=2x^2 -1$：
1. 判断开口方向：二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，A选项错误；
2. 判断最值点：开口向上的抛物线存在最低点，不存在最高点，C选项错误；
3. 判断对称轴：二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，该函数中一次项系数$b=0$，代入得对称轴为$x=0$，也就是y轴，因此B选项错误，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数对称轴判断
【点评】
本题属于基础题，主要考查无一次项的二次函数的基本性质，熟练掌握相关性质即可快速得出答案，出错概率较低。
【难度系数】
0.9

4.把抛物线$y=-2x^2$向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的新的抛物线的解析式是。

4.$y=-2(x+1)^2-5$

【分析】
解决二次函数图象平移问题的核心是掌握平移运算规则：针对自变量x遵循“左加右减”，针对函数整体遵循“上加下减”，注意加减运算直接作用在x本身而非带系数的x上。解题时先处理左右平移：将原解析式中的x替换为x加平移单位（左移），再处理上下平移：在第一次平移后的解析式末尾减平移单位（下移），即可得到最终结果。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=-2x^2$：
1. 向左平移1个单位长度：根据“左加右减”的平移规则，将解析式中的$x$替换为$x+1$，得到第一次平移后的解析式为$y=-2(x+1)^2$；
2. 再向下平移5个单位长度：根据“上加下减”的平移规则，在上述解析式的基础上减去5，得到最终的新抛物线解析式。
【答案】
$y=-2(x+1)^2-5$
【知识点】
二次函数图象平移、函数平移法则
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，主要考查对二次函数图象平移规律的理解与应用，解题时需注意“左加右减”是针对自变量x本身进行操作，不要漏加括号导致计算错误，熟练掌握规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5.抛物线$y=x^2 -4x +3$与x轴的交点坐标是.

5.$(1,0),(3,0)$

【分析】
要求抛物线与x轴的交点坐标，首先回忆x轴上点的坐标特征：x轴上所有点的纵坐标都为0。因此我们可以令抛物线解析式中的y=0，将问题转化为求解一元二次方程$x^2-4x+3=0$，方程的解就是交点的横坐标，纵坐标固定为0，即可得到交点坐标。
【解析】
解：
∵抛物线与x轴相交时，交点的纵坐标为0
∴令$y=0$，代入抛物线解析式得：
$x^2 -4x +3 = 0$
对等式左边因式分解，得：
$(x-1)(x-3)=0$
∴$x-1=0$ 或 $x-3=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=3$
∴抛物线与x轴的交点坐标为$(1,0)$，$(3,0)$
【答案】
$(1,0),(3,0)$
【知识点】
二次函数与x轴交点求解；一元二次方程的解法；坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程根的对应关系，只要掌握“求函数与x轴交点坐标即令y=0解方程”的方法即可快速求解，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9

6.已知二次函数$y=-x^2+8x-3$，当$-2＜x＜5$时，求$y$的取值范围.

6.$\because y=-x^2+8x-3=-(x-4)^2+13,\therefore$抛物线的开口向下,顶点为$(4,13)$.
令$x=-2,y=-23$;令$x=5,y=12.\therefore$当$-2＜x＜5$时,$-23＜y≤13$.

【分析】
求解二次函数在指定区间的取值范围，首先要将一般式配方为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，判断对称轴是否在给定区间内；再根据开口方向确定最值位置：开口向下时，顶点处可取最大值；接着比较区间两端点到对称轴的距离，距离越远函数值越小，即可得到取值下限；最后结合区间的开闭属性，判断边界值能否取到，最终得到y的取值范围。
【解析】
首先对二次函数解析式配方：
$y=-x^2+8x-3=-(x^2-8x)-3=-(x-4)^2+13$
可得抛物线开口向下，对称轴为直线$x=4$，顶点坐标为$(4,13)$。
由于对称轴$x=4$在$-2＜x＜5$范围内，因此当$x=4$时，$y$取得最大值13。
分别计算区间端点对应的函数值：
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2+8×(-2)-3=-23$；
当$x=5$时，$y=-5^2+8×5-3=12$。
因为抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，且区间为开区间，$x$不能取到$-2$，因此$y$不能取到$-23$，可得$y$的取值范围为$-23＜y≤13$。
【答案】
$-23＜y≤13$
【知识点】
二次函数配方；二次函数图象与性质；区间值域求解
【点评】
本题属于二次函数的基础应用题型，解题关键是掌握通过配方分析抛物线特征的方法，结合函数增减性判断区间内的最值，解题时需注意开区间的端点值无法取到，避免范围边界判断错误。
【难度系数】
0.65

7.已知二次函数$y=-ax^2+ax-4(a＞0)$的图象过点$A(-1,y_1),B(1,y_2),C(3,y_3)$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为().

A.$y_1＜y_3＜y_2$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_2＜y_1＜y_3$

7.B

【分析】
要比较三个点的函数值大小，首先需明确二次函数的开口方向和对称轴：①首先由a＞0可判断二次项系数的符号，确定抛物线开口方向，开口方向决定了点到对称轴的距离与函数值大小的对应关系；②再利用对称轴公式求出抛物线的对称轴，作为计算各点距离的基准；③分别计算三个点到对称轴的水平距离；④最后根据开口向下时“离对称轴越远，函数值越小”的性质，即可比较出$y_1、y_2、y_3$的大小。
【解析】
解：
∵$a＞0$，
∴二次函数$y=-ax^2+ax-4$的二次项系数$-a＜0$，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴为：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{a}{2×(-a)}=\frac{1}{2}$。
开口向下的抛物线上的点，到对称轴的水平距离越大，对应的函数值越小。
分别计算三个点到对称轴$x=\frac{1}{2}$的距离：
点A(-1)的距离：$\left|-1-\frac{1}{2}\right|=\frac{3}{2}$；
点B(1)的距离：$\left|1-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$；
点C(3)的距离：$\left|3-\frac{1}{2}\right|=\frac{5}{2}$。
∵$\frac{5}{2}＞\frac{3}{2}＞\frac{1}{2}$，
∴对应的函数值满足$y_3＜y_1＜y_2$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，二次函数对称轴计算，函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数部分的常考题型，核心考查抛物线的对称性和增减性的应用，不需要代入计算具体函数值，通过距离比较就能快速得出结果，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

8.加工爆米花时，爆开且不煳的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率$y$与加工时间$x(\mathrm{min})$满足函数解析式$y=-0.2x^2 +1.5x -2$，则最佳加工时间为min.

8.3.75

【分析】
要找到最佳加工时间，本质是求可食用率y取得最大值时对应的加工时间x。题目给出的y与x的函数关系是二次函数，二次项系数为-0.2＜0，因此抛物线开口向下，顶点处y取得最大值，我们只需要用二次函数顶点横坐标公式计算即可得到结果。
【解析】
由题意可知，当可食用率y最大时，对应的加工时间就是最佳加工时间。
已知函数解析式为$y=-0.2x^2 +1.5x -2$，这是二次函数，其中$a=-0.2$，$b=1.5$。
因为$a=-0.2＜0$，所以抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取得最大值。
将a、b代入公式计算：
$x=-\frac{1.5}{2×(-0.2)}=\frac{1.5}{0.4}=3.75$
【答案】
3.75
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数最值；二次函数顶点公式
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的相关性质，解题的关键是将“最佳加工时间”转化为二次函数取最大值时的自变量取值，熟练掌握二次函数顶点的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

9.已知抛物线$y=ax^2+2ax-a$与平行于$x$轴的直线交于$A$，$B$两点，若点$A$的纵坐标为$-a$，则线段$AB$的长为。

9.2

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先利用抛物线一般式的对称轴公式求出该抛物线的对称轴；第二步，将点A的纵坐标代入抛物线解析式，求解得到A、B两点的横坐标；第三步，根据平行于x轴的直线上两点的距离等于横坐标差的绝对值，计算出线段AB的长度。也可结合抛物线的对称性，利用交点到对称轴的距离快速推导AB的长度。
【解析】
1. 求抛物线的对称轴：
对于抛物线$y=ax^2+2ax-a$，二次项系数为$a$，一次项系数为$2a$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得：
$x=-\frac{2a}{2a}=-1$，即抛物线对称轴为直线$x=-1$。
2. 求A、B两点的横坐标：
已知点A纵坐标为$-a$，将$y=-a$代入抛物线解析式得：
$ax^2+2ax-a=-a$
移项化简得：$ax^2+2ax=0$
提取公因式得：$ax(x+2)=0$
∵该函数是抛物线，
∴$a≠0$，解得$x=0$或$x=-2$，即A、B两点的横坐标为0和-2。
3. 计算线段AB的长度：
∵A、B在平行于x轴的直线上，纵坐标相同，
∴$AB=|0-(-2)|=2$。
【答案】
2
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数图象上点的坐标特征；平行于x轴的线段长度计算
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，解题方法灵活，既可以通过解方程求交点坐标计算长度，也可以利用抛物线的对称性快速推导，是二次函数章节的典型基础题，熟练掌握抛物线对称轴的求法和对称点的坐标特点是解题关键。
【难度系数】
0.7

10.函数$y=x^2 -4x +3$的图象如图所示.
(1)方程$x^2 -4x +3=0$的解是.
(2)当x满足时,函数值大于0.
(3)当$0＜x＜5$时,y的取值范围是.

10.(1)$x_1=1,x_2=3$
(2)$x＜1$或$x＞3$
(3)$-1≤ y＜8$

【分析】
解题时结合二次函数图象性质与数形结合思想求解：
1. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，也可直接解方程验证；
2. 函数值大于0对应图象在x轴上方的部分，直接读取对应x的取值范围即可；
3. 求区间内y的取值范围，先找二次函数的顶点确定最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较得到最大值，结合区间端点是否可取确定y的范围。
【解析】
(1) 方法1：观察图象可知，二次函数$y=x^2-4x+3$与x轴交点为$(1,0)$、$(3,0)$，因此方程$x^2-4x+3=0$的解为$x_1=1,x_2=3$；
方法2：因式分解方程得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x=1$或$x=3$。
(2) 函数值大于0即$y＞0$，对应图象位于x轴上方的部分，观察图象可得，当$x＜1$或$x＞3$时，图象在x轴上方，$y＞0$。
(3) 先求二次函数的对称轴：对于$y=x^2-4x+3$，$a=1,b=-4$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$，因为$a=1＞0$，函数开口向上，所以顶点为最小值点，将$x=2$代入函数得$y=2^2-4×2+3=-1$，即y的最小值为-1。
再计算区间端点的函数值：当$x=0$时，$y=0-0+3=3$；当$x=5$时，$y=5^2-4×5+3=8$，比较得区间内最大值为8，又因为$0＜x＜5$，$x=5$取不到，故$y＜8$，因此y的取值范围是$-1≤ y＜8$。
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=3$
(2)$x＜1$或$x＞3$
(3)$-1≤ y＜8$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象性质，二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础应用类题目，核心考查数形结合思想的运用，需要熟练掌握二次函数图象与对应方程、不等式的关联，能结合图象和函数性质求解区间内的函数取值范围，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7