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11.如图，抛物线$y=ax^2 -2ax -3a$与$x$轴交于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$，且$OC=OB$。
（1）直接写出抛物线的解析式。
（2）如图，点$P$为第一象限内抛物线上的一点，满足$∠ BCP = ∠ ACO$，求点$P$的坐标。
（1）直接写出抛物线的解析式。
（2）如图，点$P$为第一象限内抛物线上的一点，满足$∠ BCP = ∠ ACO$，求点$P$的坐标。
答案
11.(1)$y=x^2-2x-3$.
(2)$\because∠ BCP=∠ ACO,\therefore∠ ACP=∠ OCB=45°$.
过点$A$作$AD⊥ AC$交$CP$于点$D$,过点$D$作$DE⊥ x$轴.
则$△ ACD$为等腰直角三角形.
由$△ AOC≌△ DEA$得$AO=DE,CO=AE$,则$D(2,1)$.
又$\because C(0,-3),\therefore$直线$CP$的解析式为$y=2x-3$.
联立得$\begin{cases}y=2x-3,\\y=x^2-2x-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=0,\\y_1=-3,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=4,\\y_2=5.\end{cases}$
$\therefore$点$P$的坐标为$(4,5)$.
解析
【分析】
（1）先令抛物线解析式中y=0，求解一元二次方程得到A、B两点坐标，得到OB的长度，结合OC=OB得到点C的坐标，代入抛物线解析式求出参数a，即可得到抛物线解析式。
（2）首先由OC=OB推出△OBC为等腰直角三角形，得到∠OCB=45°，结合∠BCP=∠ACO可推出∠ACP=45°；构造过点A且垂直于AC的直线，交CP于点D，得到等腰直角△ACD，再通过证明△AOC和△DEA全等，求出点D的坐标，进而得到直线CP的解析式，最后联立直线CP和抛物线的解析式，求解得到第一象限内的交点即为点P。
【解析】
（1）令$y=0$，则$ax^2 -2ax -3a=0$，由抛物线定义可知$a≠0$，方程两边同时除以a得：$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
因为点A在点B左侧，所以$A(-1,0)$，$B(3,0)$，则$OB=3$。
已知$OC=OB$，所以$OC=3$，抛物线与y轴交于点C，令$x=0$，得$y=-3a$，点C在y轴负半轴，故$-3a=-3$，解得$a=1$。
因此抛物线的解析式为$y=x^2-2x-3$。
（2）由（1）知$C(0,-3)$，所以$OC=OB=3$，又$∠COB=90°$，故△OCB为等腰直角三角形，$∠OCB=45°$。
因为$∠BCP=∠ACO$，所以$∠ACO+∠OCB=∠BCP+∠OCB$，即$∠ACP=∠OCB=45°$。
过点$A$作$AD⊥ AC$交$CP$于点$D$,过点$D$作$DE⊥ x$轴于点E，
则$∠CAD=90°$，结合$∠ACP=45°$，可知△ACD为等腰直角三角形，$AC=AD$。
因为$∠CAO+∠ACO=90°$，$∠CAO+∠DAE=90°$，所以$∠ACO=∠DAE$。
在△AOC和△DEA中：
$\begin{cases}∠AOC=∠DEA=90° \\∠ACO=∠DAE \\AC=AD\end{cases}$
所以△AOC≌△DEA（AAS），因此$AO=DE=1$，$CO=AE=3$。
因为$A(-1,0)$，所以$OE=AE-OA=3-1=2$，即点E的横坐标为2，又DE⊥x轴，$DE=1$，故$D(2,1)$。
设直线CP的解析式为$y=kx+b$，将$C(0,-3)$、$D(2,1)$代入得：
$\begin{cases}b=-3 \\2k+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2 \\b=-3\end{cases}$，所以直线CP的解析式为$y=2x-3$。
联立直线CP与抛物线解析式：
$\begin{cases}y=2x-3 \\y=x^2-2x-3\end{cases}$
消去y得$x^2-2x-3=2x-3$，整理得$x^2-4x=0$，解得$\begin{cases}x_1=0 \\y_1=-3\end{cases}$（为点C，舍去），$\begin{cases}x_2=4 \\y_2=5\end{cases}$。
所以点P的坐标为$(4,5)$。
【答案】
(1)$y=x^2-2x-3$
(2)点P的坐标为$(4,5)$
【知识点】
二次函数解析式求解，全等三角形判定与性质，函数交点计算
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，既考查了二次函数基础的解析式求解，也需要结合角度关系构造辅助线，通过全等三角形得到关键点坐标，再联立函数求交点，对代数与几何结合的解题能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）先令抛物线解析式中y=0，求解一元二次方程得到A、B两点坐标，得到OB的长度，结合OC=OB得到点C的坐标，代入抛物线解析式求出参数a，即可得到抛物线解析式。
（2）首先由OC=OB推出△OBC为等腰直角三角形，得到∠OCB=45°，结合∠BCP=∠ACO可推出∠ACP=45°；构造过点A且垂直于AC的直线，交CP于点D，得到等腰直角△ACD，再通过证明△AOC和△DEA全等，求出点D的坐标，进而得到直线CP的解析式，最后联立直线CP和抛物线的解析式，求解得到第一象限内的交点即为点P。
【解析】
（1）令$y=0$，则$ax^2 -2ax -3a=0$，由抛物线定义可知$a≠0$，方程两边同时除以a得：$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
因为点A在点B左侧，所以$A(-1,0)$，$B(3,0)$，则$OB=3$。
已知$OC=OB$，所以$OC=3$，抛物线与y轴交于点C，令$x=0$，得$y=-3a$，点C在y轴负半轴，故$-3a=-3$，解得$a=1$。
因此抛物线的解析式为$y=x^2-2x-3$。
（2）由（1）知$C(0,-3)$，所以$OC=OB=3$，又$∠COB=90°$，故△OCB为等腰直角三角形，$∠OCB=45°$。
因为$∠BCP=∠ACO$，所以$∠ACO+∠OCB=∠BCP+∠OCB$，即$∠ACP=∠OCB=45°$。
过点$A$作$AD⊥ AC$交$CP$于点$D$,过点$D$作$DE⊥ x$轴于点E，
则$∠CAD=90°$，结合$∠ACP=45°$，可知△ACD为等腰直角三角形，$AC=AD$。
因为$∠CAO+∠ACO=90°$，$∠CAO+∠DAE=90°$，所以$∠ACO=∠DAE$。
在△AOC和△DEA中：
$\begin{cases}∠AOC=∠DEA=90° \\∠ACO=∠DAE \\AC=AD\end{cases}$
所以△AOC≌△DEA（AAS），因此$AO=DE=1$，$CO=AE=3$。
因为$A(-1,0)$，所以$OE=AE-OA=3-1=2$，即点E的横坐标为2，又DE⊥x轴，$DE=1$，故$D(2,1)$。
设直线CP的解析式为$y=kx+b$，将$C(0,-3)$、$D(2,1)$代入得：
$\begin{cases}b=-3 \\2k+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2 \\b=-3\end{cases}$，所以直线CP的解析式为$y=2x-3$。
联立直线CP与抛物线解析式：
$\begin{cases}y=2x-3 \\y=x^2-2x-3\end{cases}$
消去y得$x^2-2x-3=2x-3$，整理得$x^2-4x=0$，解得$\begin{cases}x_1=0 \\y_1=-3\end{cases}$（为点C，舍去），$\begin{cases}x_2=4 \\y_2=5\end{cases}$。
所以点P的坐标为$(4,5)$。
【答案】
(1)$y=x^2-2x-3$
(2)点P的坐标为$(4,5)$
【知识点】
二次函数解析式求解，全等三角形判定与性质，函数交点计算
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，既考查了二次函数基础的解析式求解，也需要结合角度关系构造辅助线，通过全等三角形得到关键点坐标，再联立函数求交点，对代数与几何结合的解题能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
12.如图①，劳动课上同学们利用喷水头对草坪进行喷灌作业以养护草坪.如图②，点O处有一个喷水头，距离喷水头8 m的M处有一棵高度是2.4 m的树.距离这棵树10 m的N处有一面高1.8 m的围墙.建立如图②所示的平面直角坐标系.已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y(m)与水平距离x(m)近似满足函数关系$y=ax^2+bx+c(a＜0)$.
(1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如上表.
①根据上述数据，直接写出函数解析式.
②求喷水头喷出的水柱的最大高度.
(2)又一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系$y=-0.04x^2+bx$.假设喷水头喷出的水柱能够越过M处的这棵树，且不会浇到墙外，直接写出同时满足这两个要求的常数b的范围.
(1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如上表.
①根据上述数据，直接写出函数解析式.
②求喷水头喷出的水柱的最大高度.
(2)又一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系$y=-0.04x^2+bx$.假设喷水头喷出的水柱能够越过M处的这棵树，且不会浇到墙外，直接写出同时满足这两个要求的常数b的范围.
答案
12.(1)①$y=-0.02x^2+0.48x$.
②$y=-0.02x^2+0.48x=-0.02(x-12)^2+2.88$,
$\because-0.02＜0,\therefore$当$x=12$时,$y_{\max}=2.88$.
水柱的最大高度为2.88 m.
(2)$\because$水柱能越过树,$\therefore$当$x=8$时,$y＞2.4$,即$-2.56+8b＞2.4$,解得$b＞0.62$.
$\because$水柱不会浇到墙外,$\therefore$当$x=18$时,$y＜1.8$,即$-12.96+18b＜1.8$,解得$b＜0.82$.
综上所述,$0.62＜b＜0.82$.
②$y=-0.02x^2+0.48x=-0.02(x-12)^2+2.88$,
$\because-0.02＜0,\therefore$当$x=12$时,$y_{\max}=2.88$.
水柱的最大高度为2.88 m.
(2)$\because$水柱能越过树,$\therefore$当$x=8$时,$y＞2.4$,即$-2.56+8b＞2.4$,解得$b＞0.62$.
$\because$水柱不会浇到墙外,$\therefore$当$x=18$时,$y＜1.8$,即$-12.96+18b＜1.8$,解得$b＜0.82$.
综上所述,$0.62＜b＜0.82$.
解析
【分析】
(1)①已知喷水头位于坐标原点，因此x=0时y=0，可得c=0，再选取两组对应x、y值代入二次函数解析式，解二元一次方程组即可求得a、b的值，得到函数解析式。②求水柱最大高度即求开口向下的二次函数的顶点纵坐标，可通过配方法将解析式转化为顶点式，结合二次函数开口方向即可求得最大值。
(2)先明确两个约束条件对应的自变量取值：M处水平距离为8m，要越过树即x=8时y＞2.4；围墙距离O点的水平距离为8+10=18m，不会浇到墙外即x=18时y＜1.8。将两个条件分别代入给定函数解析式，得到关于b的不等式，求解后取公共解集即可得到b的取值范围。
【解析】
(1)①
∵喷水头在原点(0,0)，代入$y=ax^2+bx+c$得$c=0$，代入已知数据解得$a=-0.02$，$b=0.48$，因此函数解析式为$y=-0.02x^2+0.48x$。
②将解析式配方得：
$y=-0.02x^2+0.48x=-0.02(x-12)^2+2.88$
$\because a=-0.02＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当$x=12$时，$y$取得最大值，最大值为2.88m。
(2)根据题意列不等式：
①水柱能越过树：当$x=8$时，$y＞2.4$，代入$y=-0.04x^2+bx$得：
$-0.04×8^2+8b＞2.4$
即$-2.56+8b＞2.4$，解得$b＞0.62$。
②水柱不会浇到墙外：当$x=18$时，$y＜1.8$，代入解析式得：
$-0.04×18^2+18b＜1.8$
即$-12.96+18b＜1.8$，解得$b＜0.82$。
综上，两个条件同时满足时$b$的取值范围为$0.62＜b＜0.82$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=-0.02x^2+0.48x}$；②水柱的最大高度为2.88 m；
(2)$\boldsymbol{0.62＜b＜0.82}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的相关应用，需要将实际限制条件转化为数学中的函数与不等式关系，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键，同时要注意自变量在实际场景中的取值意义。
【难度系数】
0.65
(1)①已知喷水头位于坐标原点，因此x=0时y=0，可得c=0，再选取两组对应x、y值代入二次函数解析式，解二元一次方程组即可求得a、b的值，得到函数解析式。②求水柱最大高度即求开口向下的二次函数的顶点纵坐标，可通过配方法将解析式转化为顶点式，结合二次函数开口方向即可求得最大值。
(2)先明确两个约束条件对应的自变量取值：M处水平距离为8m，要越过树即x=8时y＞2.4；围墙距离O点的水平距离为8+10=18m，不会浇到墙外即x=18时y＜1.8。将两个条件分别代入给定函数解析式，得到关于b的不等式，求解后取公共解集即可得到b的取值范围。
【解析】
(1)①
∵喷水头在原点(0,0)，代入$y=ax^2+bx+c$得$c=0$，代入已知数据解得$a=-0.02$，$b=0.48$，因此函数解析式为$y=-0.02x^2+0.48x$。
②将解析式配方得：
$y=-0.02x^2+0.48x=-0.02(x-12)^2+2.88$
$\because a=-0.02＜0$，二次函数开口向下，
$\therefore$当$x=12$时，$y$取得最大值，最大值为2.88m。
(2)根据题意列不等式：
①水柱能越过树：当$x=8$时，$y＞2.4$，代入$y=-0.04x^2+bx$得：
$-0.04×8^2+8b＞2.4$
即$-2.56+8b＞2.4$，解得$b＞0.62$。
②水柱不会浇到墙外：当$x=18$时，$y＜1.8$，代入解析式得：
$-0.04×18^2+18b＜1.8$
即$-12.96+18b＜1.8$，解得$b＜0.82$。
综上，两个条件同时满足时$b$的取值范围为$0.62＜b＜0.82$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=-0.02x^2+0.48x}$；②水柱的最大高度为2.88 m；
(2)$\boldsymbol{0.62＜b＜0.82}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的相关应用，需要将实际限制条件转化为数学中的函数与不等式关系，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键，同时要注意自变量在实际场景中的取值意义。
【难度系数】
0.65
