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11.如图，抛物线$y=ax^2 -2ax -3a$与$x$轴交于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$，且$OC=OB$。
（1）直接写出抛物线的解析式。
（2）如图，点$P$为第一象限内抛物线上的一点，满足$∠ BCP = ∠ ACO$，求点$P$的坐标。
（1）直接写出抛物线的解析式。
（2）如图，点$P$为第一象限内抛物线上的一点，满足$∠ BCP = ∠ ACO$，求点$P$的坐标。
答案
11.(1)$y=x^2-2x-3$.
(2)$\because∠ BCP=∠ ACO,\therefore∠ ACP=∠ OCB=45°$.
过点$A$作$AD⊥ AC$交$CP$于点$D$,过点$D$作$DE⊥ x$轴.
则$△ ACD$为等腰直角三角形.
由$△ AOC≌△ DEA$得$AO=DE,CO=AE$,则$D(2,1)$.
又$\because C(0,-3),\therefore$直线$CP$的解析式为$y=2x-3$.
联立得$\begin{cases}y=2x-3,\\y=x^2-2x-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=0,\\y_1=-3,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=4,\\y_2=5.\end{cases}$
$\therefore$点$P$的坐标为$(4,5)$.
解析
【分析】
（1）求抛物线解析式时，先令y=0求解方程得到A、B两点的坐标，再结合OC=OB的条件确定C点坐标，代入抛物线表达式即可求出参数a的值。
（2）先利用∠BCP=∠ACO的条件推导得到∠ACP=45°，针对45°角构造等腰直角三角形辅助线：过A作AC的垂线交CP于D，再作DE垂直x轴，通过证明三角形全等求出D点坐标，即可得到直线CP的解析式，最后联立直线和抛物线的方程，排除C点后得到P点坐标。
【解析】
（1）令$y=0$，则$ax^2-2ax-3a=0$，由抛物线定义可知$a≠0$，等式两边同除以$a$得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1,x_2=3$。
因为点A在点B左侧，所以$A(-1,0),B(3,0)$，可得$OB=3$。
由$OC=OB$，且抛物线与y轴交于负半轴，得$C(0,-3)$，将C点坐标代入抛物线解析式得$-3a=-3$，解得$a=1$，因此抛物线解析式为$y=x^2-2x-3$。
（2）$\because OB=OC=3,∠ COB=90°$，$\therefore △ OCB$是等腰直角三角形，$∠ OCB=45°$。
$\because ∠ BCP=∠ ACO$，$\therefore ∠ ACO+∠ OCB=∠ BCP+∠ OCB$，即$∠ ACP=∠ OCB=45°$。
过点$A$作$AD⊥ AC$交$CP$于点$D$，过点$D$作$DE⊥ x$轴于点$E$，则$∠ CAD=90°$，结合$∠ ACD=45°$可知$△ ACD$为等腰直角三角形，$AC=AD$。
$\because ∠ OAC+∠ ACO=90°,∠ OAC+∠ EAD=90°$，$\therefore ∠ ACO=∠ EAD$。
在$△ AOC$和$△ DEA$中：
$\begin{cases}∠ AOC=∠ DEA=90°\\∠ ACO=∠ EAD\\AC=AD\end{cases}$
$\therefore △ AOC≌△ DEA(AAS)$，得$AO=DE=1,CO=AE=3$。
$\because A(-1,0)$，$\therefore OE=AE-OA=3-1=2$，即$E(2,0)$，又$DE=1$且D在第一象限，$\therefore D(2,1)$。
设直线$CP$的解析式为$y=kx+b$，将$C(0,-3),D(2,1)$代入得：
$\begin{cases}b=-3\\2k+b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\b=-3\end{cases}$，即直线$CP$解析式为$y=2x-3$。
联立直线$CP$和抛物线解析式：
$\begin{cases}y=2x-3\\y=x^2-2x-3\end{cases}$，消去y整理得$x^2-4x=0$，解得$x_1=0,x_2=4$。
$x=0$对应点C，舍去；当$x=4$时，$y=2×4-3=5$，即$P(4,5)$。
【答案】
(1)$y=x^2-2x-3$
(2)点$P$的坐标为$(4,5)$
【知识点】
1.二次函数解析式确定
2.全等三角形判定与性质
3.函数交点求解
【点评】
本题属于二次函数与几何的综合题型，第一问较为基础，掌握二次函数与坐标轴交点的求解方法即可得分；第二问的解题关键是通过角度转化得到特殊角，合理构造辅助线利用全等三角形求未知点坐标，对辅助线构造和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）求抛物线解析式时，先令y=0求解方程得到A、B两点的坐标，再结合OC=OB的条件确定C点坐标，代入抛物线表达式即可求出参数a的值。
（2）先利用∠BCP=∠ACO的条件推导得到∠ACP=45°，针对45°角构造等腰直角三角形辅助线：过A作AC的垂线交CP于D，再作DE垂直x轴，通过证明三角形全等求出D点坐标，即可得到直线CP的解析式，最后联立直线和抛物线的方程，排除C点后得到P点坐标。
【解析】
（1）令$y=0$，则$ax^2-2ax-3a=0$，由抛物线定义可知$a≠0$，等式两边同除以$a$得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1,x_2=3$。
因为点A在点B左侧，所以$A(-1,0),B(3,0)$，可得$OB=3$。
由$OC=OB$，且抛物线与y轴交于负半轴，得$C(0,-3)$，将C点坐标代入抛物线解析式得$-3a=-3$，解得$a=1$，因此抛物线解析式为$y=x^2-2x-3$。
（2）$\because OB=OC=3,∠ COB=90°$，$\therefore △ OCB$是等腰直角三角形，$∠ OCB=45°$。
$\because ∠ BCP=∠ ACO$，$\therefore ∠ ACO+∠ OCB=∠ BCP+∠ OCB$，即$∠ ACP=∠ OCB=45°$。
过点$A$作$AD⊥ AC$交$CP$于点$D$，过点$D$作$DE⊥ x$轴于点$E$
，则$∠ CAD=90°$，结合$∠ ACD=45°$可知$△ ACD$为等腰直角三角形，$AC=AD$。$\because ∠ OAC+∠ ACO=90°,∠ OAC+∠ EAD=90°$，$\therefore ∠ ACO=∠ EAD$。
在$△ AOC$和$△ DEA$中：
$\begin{cases}∠ AOC=∠ DEA=90°\\∠ ACO=∠ EAD\\AC=AD\end{cases}$
$\therefore △ AOC≌△ DEA(AAS)$，得$AO=DE=1,CO=AE=3$。
$\because A(-1,0)$，$\therefore OE=AE-OA=3-1=2$，即$E(2,0)$，又$DE=1$且D在第一象限，$\therefore D(2,1)$。
设直线$CP$的解析式为$y=kx+b$，将$C(0,-3),D(2,1)$代入得：
$\begin{cases}b=-3\\2k+b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\b=-3\end{cases}$，即直线$CP$解析式为$y=2x-3$。
联立直线$CP$和抛物线解析式：
$\begin{cases}y=2x-3\\y=x^2-2x-3\end{cases}$，消去y整理得$x^2-4x=0$，解得$x_1=0,x_2=4$。
$x=0$对应点C，舍去；当$x=4$时，$y=2×4-3=5$，即$P(4,5)$。
【答案】
(1)$y=x^2-2x-3$
(2)点$P$的坐标为$(4,5)$
【知识点】
1.二次函数解析式确定
2.全等三角形判定与性质
3.函数交点求解
【点评】
本题属于二次函数与几何的综合题型，第一问较为基础，掌握二次函数与坐标轴交点的求解方法即可得分；第二问的解题关键是通过角度转化得到特殊角，合理构造辅助线利用全等三角形求未知点坐标，对辅助线构造和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
12.如图①，劳动课上同学们利用喷水头对草坪进行喷灌作业以养护草坪.如图②，点O处有一个喷水头，距离喷水头8 m的M处有一棵高度是2.4 m的树.距离这棵树10 m的N处有一面高1.8 m的围墙.建立如图②所示的平面直角坐标系.已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y(m)与水平距离x(m)近似满足函数关系$y=ax^2+bx+c(a＜0)$.
(1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如上表.
①根据上述数据，直接写出函数解析式.
②求喷水头喷出的水柱的最大高度.
(2)又一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系$y=-0.04x^2+bx$.假设喷水头喷出的水柱能够越过M处的这棵树，且不会浇到墙外，直接写出同时满足这两个要求的常数b的范围.
(1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如上表.
①根据上述数据，直接写出函数解析式.
②求喷水头喷出的水柱的最大高度.
(2)又一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系$y=-0.04x^2+bx$.假设喷水头喷出的水柱能够越过M处的这棵树，且不会浇到墙外，直接写出同时满足这两个要求的常数b的范围.
答案
12.(1)①$y=-0.02x^2+0.48x$.
②$y=-0.02x^2+0.48x=-0.02(x-12)^2+2.88$,
$\because-0.02＜0,\therefore$当$x=12$时,$y_{\max}=2.88$.
水柱的最大高度为2.88 m.
(2)$\because$水柱能越过树,$\therefore$当$x=8$时,$y＞2.4$,即$-2.56+8b＞2.4$,解得$b＞0.62$.
$\because$水柱不会浇到墙外,$\therefore$当$x=18$时,$y＜1.8$,即$-12.96+18b＜1.8$,解得$b＜0.82$.
综上所述,$0.62＜b＜0.82$.
②$y=-0.02x^2+0.48x=-0.02(x-12)^2+2.88$,
$\because-0.02＜0,\therefore$当$x=12$时,$y_{\max}=2.88$.
水柱的最大高度为2.88 m.
(2)$\because$水柱能越过树,$\therefore$当$x=8$时,$y＞2.4$,即$-2.56+8b＞2.4$,解得$b＞0.62$.
$\because$水柱不会浇到墙外,$\therefore$当$x=18$时,$y＜1.8$,即$-12.96+18b＜1.8$,解得$b＜0.82$.
综上所述,$0.62＜b＜0.82$.
解析
【分析】
(1)①首先喷水头位于坐标原点，即x=0时y=0，可得函数的常数项c=0，再代入两组对应x、y值即可求出a、b，得到二次函数解析式；②求水柱最大高度就是求开口向下的二次函数的最大值，可通过将一般式配方为顶点式，直接得到顶点纵坐标即为最大值。
(2)先明确两个约束条件对应的自变量取值：M处的水平距离为x=8，越过树即x=8时函数值大于树高2.4m；围墙距离O点的水平距离为8+10=18m，不浇到墙外即x=18时函数值小于围墙高1.8m，分别代入函数得到关于b的不等式，求解两个不等式后取公共部分即为b的取值范围。
【解析】
(1)①由喷水头在原点可知x=0时y=0，代入得c=0，结合给定数据计算得a=-0.02，b=0.48，因此函数解析式为$y=-0.02x^2+0.48x$。
②对函数进行配方变形：
$\begin{aligned}y&=-0.02x^2+0.48x\\&=-0.02(x^2-24x)\\&=-0.02(x^2-24x+144-144)\\&=-0.02(x-12)^2+2.88\end{aligned}$
∵$a=-0.02＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=12$时，y取得最大值2.88m，即水柱的最大高度为2.88m。
(2)根据约束条件列不等式：
① 水柱越过M处的树：当$x=8$时，$y＞2.4$，代入$y=-0.04x^2+bx$得：
$-0.04×8^2+8b＞2.4$
计算得$-2.56+8b＞2.4$，解得$b＞0.62$。
② 水柱不浇到墙外：当$x=8+10=18$时，$y＜1.8$，代入得：
$-0.04×18^2+18b＜1.8$
计算得$-12.96+18b＜1.8$，解得$b＜0.82$。
综上，同时满足两个要求的b的范围是$0.62＜b＜0.82$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=-0.02x^2+0.48x}$；②水柱的最大高度为$\boldsymbol{2.88\ \mathrm{m}}$
(2)$\boldsymbol{0.62＜b＜0.82}$
【知识点】
1.二次函数解析式求解
2.二次函数最值计算
3.二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的喷灌场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际约束条件转化为函数和不等式问题，准确对应实际位置的自变量取值，熟练掌握二次函数的性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
(1)①首先喷水头位于坐标原点，即x=0时y=0，可得函数的常数项c=0，再代入两组对应x、y值即可求出a、b，得到二次函数解析式；②求水柱最大高度就是求开口向下的二次函数的最大值，可通过将一般式配方为顶点式，直接得到顶点纵坐标即为最大值。
(2)先明确两个约束条件对应的自变量取值：M处的水平距离为x=8，越过树即x=8时函数值大于树高2.4m；围墙距离O点的水平距离为8+10=18m，不浇到墙外即x=18时函数值小于围墙高1.8m，分别代入函数得到关于b的不等式，求解两个不等式后取公共部分即为b的取值范围。
【解析】
(1)①由喷水头在原点可知x=0时y=0，代入得c=0，结合给定数据计算得a=-0.02，b=0.48，因此函数解析式为$y=-0.02x^2+0.48x$。
②对函数进行配方变形：
$\begin{aligned}y&=-0.02x^2+0.48x\\&=-0.02(x^2-24x)\\&=-0.02(x^2-24x+144-144)\\&=-0.02(x-12)^2+2.88\end{aligned}$
∵$a=-0.02＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=12$时，y取得最大值2.88m，即水柱的最大高度为2.88m。
(2)根据约束条件列不等式：
① 水柱越过M处的树：当$x=8$时，$y＞2.4$，代入$y=-0.04x^2+bx$得：
$-0.04×8^2+8b＞2.4$
计算得$-2.56+8b＞2.4$，解得$b＞0.62$。
② 水柱不浇到墙外：当$x=8+10=18$时，$y＜1.8$，代入得：
$-0.04×18^2+18b＜1.8$
计算得$-12.96+18b＜1.8$，解得$b＜0.82$。
综上，同时满足两个要求的b的范围是$0.62＜b＜0.82$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=-0.02x^2+0.48x}$；②水柱的最大高度为$\boldsymbol{2.88\ \mathrm{m}}$
(2)$\boldsymbol{0.62＜b＜0.82}$
【知识点】
1.二次函数解析式求解
2.二次函数最值计算
3.二次函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的喷灌场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际约束条件转化为函数和不等式问题，准确对应实际位置的自变量取值，熟练掌握二次函数的性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
