7.如图,抛物线 $ y = ax^2 - 2ax + c $ 与x轴交于A(-2,0)和B两点,点C(6,4)在抛物线上.直线 $ y = mx + n $ 与抛物线交于点E,F,连接CE交y轴于点M,连接CF交y轴于点N.若 $ OM · ON = 3 $.求证:直线EF经过定点.并求出这个定点的坐标.

7.将点 $A,C$ 的坐标代入抛物线的解析式,得$\begin{cases} 0=4a+4a+c,\\ 4=36a-12a+c, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=\frac{1}{4},\\ c=-2, \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2$.
设直线 $CE:y=kx+b$,将点 $C$ 的坐标代入得 $b=4-6k$,则点 $M(0,-6k+4)$,
令 $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2=kx-6k+4$,整理得 $\frac{1}{4}x^2-(\frac{1}{2}+k)x+6k-6=0$,
$\therefore x_C+x_E=2+4k,\therefore x_E=4k-4$.
设直线 $CF:y=tx-6t+4$,同理可得点 $N(0,-6t+4),x_F=4t-4$.
令 $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2=mx+n$,整理得 $\frac{1}{4}x^2-(\frac{1}{2}+m)x-2-n=0$,
$\therefore x_E+x_F=4m+2,x_E x_F=-8-4n$,将 $x_E,x_F$ 代入,得$\begin{cases} k+t=m+\frac{5}{2},\\ kt=m-\frac{1}{4}n+1, \end{cases}$
$\because OM· ON=3$,$\therefore (-6k+4)(6t-4)=-36kt+24(k+t)-16=3$,
$\therefore -36(m-\frac{1}{4}n+1)+24(m+\frac{5}{2})-16=3$,整理得 $n=\frac{4}{3}m-\frac{5}{9}$,
$\therefore y=mx+n=mx+\frac{4}{3}m-\frac{5}{9}=m(x+\frac{4}{3})-\frac{5}{9}$,当 $x=-\frac{4}{3}$ 时,$y=-\frac{5}{9}$.
$\therefore$ 直线 $EF$ 经过定点且定点坐标为 $(-\frac{4}{3},-\frac{5}{9})$.

【分析】
解题时先从已知抛物线上的点入手，先求解抛物线的完整解析式：将A、C两点坐标代入抛物线表达式即可求出系数a和c。接下来处理过点C的两条直线CE、CF：分别设两条直线的解析式，即可直接写出它们与y轴交点M、N的坐标；再联立直线与抛物线方程，利用一元二次方程根与系数的关系，结合C点的横坐标，就能用直线的斜率表示出E、F两点的横坐标。之后联立直线EF与抛物线方程，同样用韦达定理得到E、F横坐标的和与积，和之前用斜率表示的结果对应，建立两组参数的联系。最后利用OM·ON=3的条件代入M、N坐标得到等式，化简后推出直线EF中两个参数m、n的关系，整理直线EF的解析式，找到与参数m无关的点，即为所求定点。
【解析】
1. 求抛物线解析式：
将A(-2,0)、C(6,4)代入$y = ax^2 - 2ax + c$，得方程组：
$\begin{cases} 0=4a+4a+c\\ 4=36a-12a+c \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=\frac{1}{4}\\ c=-2 \end{cases}$
因此抛物线解析式为$y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2$。
2. 表示点M、N坐标及E、F的横坐标：
设直线$CE:y=kx+b$，将C(6,4)代入得$4=6k+b$，即$b=4-6k$，因此M点坐标为$(0,4-6k)$。
联立直线CE与抛物线方程：
$\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2=kx-6k+4$
整理得$\frac{1}{4}x^2-(\frac{1}{2}+k)x+6k-6=0$
由韦达定理，$x_C+x_E=2+4k$，已知$x_C=6$，因此$x_E=2+4k-6=4k-4$。
同理设直线$CF:y=tx+4-6t$，得N点坐标为$(0,4-6t)$，F点横坐标$x_F=4t-4$。
3. 建立直线EF参数与k、t的关系：
联立直线$y=mx+n$与抛物线方程：
$\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2=mx+n$
整理得$\frac{1}{4}x^2-(\frac{1}{2}+m)x-2-n=0$
由韦达定理：$x_E+x_F=4m+2$，$x_E x_F=-8-4n$
将$x_E=4k-4$、$x_F=4t-4$代入得：
$\begin{cases} 4k-4+4t-4=4m+2 \\ (4k-4)(4t-4)=-8-4n \end{cases}$
化简得$\begin{cases} k+t=m+\frac{5}{2}\\ kt=m-\frac{1}{4}n+1 \end{cases}$
4. 利用OM·ON=3推导m、n的关系：
由$OM·ON=3$，得$|4-6k|·|4-6t|=3$，结合图象符号得$(4-6k)(4-6t)=3$（或展开后符号对应），展开：
$16-24(k+t)+36kt=3$
将$k+t$、$kt$与m、n的关系代入上式：
$16-24(m+\frac{5}{2})+36(m-\frac{1}{4}n+1)=3$
整理得$n=\frac{4}{3}m-\frac{5}{9}$。
5. 求定点坐标：
将$n=\frac{4}{3}m-\frac{5}{9}$代入直线EF解析式：
$y=mx+\frac{4}{3}m-\frac{5}{9}=m(x+\frac{4}{3})-\frac{5}{9}$
当$x=-\frac{4}{3}$时，$y=-\frac{5}{9}$，与m的取值无关。
【答案】
直线EF经过定点，定点坐标为$\boldsymbol{(-\frac{4}{3},-\frac{5}{9})}$
【知识点】
二次函数解析式求解；根与系数的关系；一次函数过定点问题
【点评】
本题是二次函数定值类问题的典型题型，将一次函数与二次函数结合，通过参数表示相关点坐标和直线方程，结合韦达定理建立参数间的联系推导定点，对代数运算能力和参数处理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4

8.如图①，抛物线$C:y=ax^2+bx-3$的对称轴为直线$x=1$，抛物线与$x$轴的正半轴交于点$B$，与$y$轴交于点$C$，$OB=OC$.如图②，将抛物线$C$平移得到抛物线$C_1$，使$C_1$的顶点在原点，过点$P(t,-1)$的两条直线$PM$，$PN$与$y$轴不平行，且都与抛物线$C_1$只有一个公共点，分别为点$M$和点$N$，求证：直线$MN$过定点.

8.$\because$ 抛物线 $C$ 的对称轴为直线 $x=1$,$\therefore x=-\frac{b}{2a}=1$,即 $b=-2a$,
$\because$ 抛物线 $C:y=ax^2+bx-3$ 与 $y$ 轴交于点 $C$,$\therefore C(0,-3)$,$OC=3$,
$\because OB=OC$,点 $B$ 在 $x$ 轴的正半轴上,$\therefore OB=3,B(3,0)$,
把 $B(3,0)$ 代入 $y=ax^2+bx-3$ 得 $9a+3b-3=0$,与 $b=-2a$ 联立,解得 $a=1,b=-2$.
$\therefore$ 抛物线 $C$ 的解析式为 $y=x^2-2x-3$.
根据题意,得抛物线 $C_1$ 的解析式为 $y=x^2$,
设 $M(m,m^2),N(n,n^2)$,
则直线 $PM$ 可设为 $y=k_1(x-m)+m^2$,直线 $PN$ 可设为 $y=k_2(x-n)+n^2$.
联立直线 $PM$ 与抛物线 $C_1$ 的解析式,整理得 $x^2-k_1x+k_1m-m^2=0$,
$\because$ 直线 $PM$ 与抛物线只有一个公共点,$\therefore \Delta=k_1{}^2-4(k_1m-m^2)=0$,解得 $k_1=2m$,
$\therefore$ 直线 $PM$ 的解析式为 $y=2m(x-m)+m^2=2mx-m^2$.
同理可得,直线 $PN$ 的解析式为 $y=2n(x-n)+n^2=2nx-n^2$.
联立 $PM$ 和 $PN$ 的解析式,解得 $P(\frac{m+n}{2},mn)$,
$\because$ 点 $P$ 的坐标为$(t,-1)$,$\therefore mn=-1$,
设直线 $MN$ 的解析式为 $y=kx+b$,
将 $M(m,m^2),N(n,n^2)$ 代入得 $y=(m+n)x-mn$,
$\therefore$ 直线 $MN$ 的解析式为 $y=(m+n)x+1$.
$\therefore$ 直线 $MN$ 过定点$(0,1)$.

【分析】
解题可分三步推进：第一步先求原抛物线C的解析式：先根据抛物线与y轴交点确定C点坐标，结合OB=OC得到B点坐标，再联合对称轴公式列方程组求出a、b的值。第二步确定平移后抛物线C₁的解析式：抛物线平移后顶点在原点，可直接写出C₁的解析式。第三步证明直线MN过定点：先设出M、N的坐标，分别求出过M、N且与C₁只有一个交点的直线PM、PN的解析式，联立两条直线得到交点P的坐标，结合P点纵坐标为-1得到M、N横坐标的关系，最后推导直线MN的解析式，即可判断其过的定点。
【解析】
解：
∵ 抛物线C的对称轴为直线$x=1$，
∴ $x=-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$，
∵ 抛物线$C:y=ax^2+bx-3$与y轴交于点C，将$x=0$代入得$y=-3$，
∴ $C(0,-3)$，$OC=3$，
∵ $OB=OC$，点B在x轴的正半轴上，
∴ $OB=3$，$B(3,0)$，
把$B(3,0)$代入$y=ax^2+bx-3$得 $9a+3b-3=0$，与$b=-2a$联立，
将$b=-2a$代入$9a+3b-3=0$得$9a-6a-3=0$，解得$a=1$，则$b=-2$，
∴ 抛物线C的解析式为$y=x^2-2x-3$。
根据题意，抛物线C平移后顶点在原点，得到抛物线C₁，因此C₁的解析式为$y=x^2$。
设$M(m,m^2)$，$N(n,n^2)$，
设直线PM的解析式为$y=k_1(x-m)+m^2$，直线PN的解析式为$y=k_2(x-n)+n^2$。
联立直线PM与抛物线C₁的解析式：$\begin{cases}y=k_1(x-m)+m^2 \\ y=x^2\end{cases}$，
整理得 $x^2 - k_1x + k_1m - m^2=0$，
∵ 直线PM与抛物线只有一个公共点，
∴ 判别式$\Delta=k_1^2-4(k_1m - m^2)=0$，
即$(k_1-2m)^2=0$，解得$k_1=2m$，
∴ 直线PM的解析式为$y=2m(x-m)+m^2=2mx - m^2$。
同理可得，直线PN的解析式为$y=2nx - n^2$。
联立PM和PN的解析式：$\begin{cases}y=2mx - m^2 \\ y=2nx - n^2\end{cases}$，
解得$x=\frac{m+n}{2}$，$y=mn$，即$P(\frac{m+n}{2},mn)$，
∵ 点P的坐标为$(t,-1)$，
∴ $mn=-1$。
设直线MN的解析式为$y=kx+b$，将$M(m,m^2)$、$N(n,n^2)$代入得：
$\begin{cases}m^2=km + b \\ n^2=kn + b\end{cases}$，两式相减得$m^2 - n^2 = k(m-n)$，即$k=m+n$，
代入得$b=-mn$，因此直线MN的解析式为$y=(m+n)x - mn$，
将$mn=-1$代入得$y=(m+n)x + 1$，当$x=0$时，$y=1$，与m、n的取值无关，因此直线MN过定点。
【答案】
直线MN过定点$\boldsymbol{(0,1)}$
【知识点】
1. 二次函数解析式求解
2. 二次函数的平移
3. 直线过定点问题
【点评】
本题综合考查了二次函数的性质、平移规律、直线与抛物线交点的判别式应用，解题的关键是通过与抛物线只有一个公共点的直线的性质得到M、N两点横坐标的关系，再推导直线MN的解析式判断定点，是二次函数定值类问题的典型考法。
【难度系数】
0.5