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7.如图,抛物线 $ y = ax^2 - 2ax + c $ 与x轴交于A(-2,0)和B两点,点C(6,4)在抛物线上.直线 $ y = mx + n $ 与抛物线交于点E,F,连接CE交y轴于点M,连接CF交y轴于点N.若 $ OM · ON = 3 $.求证:直线EF经过定点.并求出这个定点的坐标.
答案
7.将点 $A,C$ 的坐标代入抛物线的解析式,得$\begin{cases} 0=4a+4a+c,\\ 4=36a-12a+c, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=\frac{1}{4},\\ c=-2, \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2$.
设直线 $CE:y=kx+b$,将点 $C$ 的坐标代入得 $b=4-6k$,则点 $M(0,-6k+4)$,
令 $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2=kx-6k+4$,整理得 $\frac{1}{4}x^2-(\frac{1}{2}+k)x+6k-6=0$,
$\therefore x_C+x_E=2+4k,\therefore x_E=4k-4$.
设直线 $CF:y=tx-6t+4$,同理可得点 $N(0,-6t+4),x_F=4t-4$.
令 $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2=mx+n$,整理得 $\frac{1}{4}x^2-(\frac{1}{2}+m)x-2-n=0$,
$\therefore x_E+x_F=4m+2,x_E x_F=-8-4n$,将 $x_E,x_F$ 代入,得$\begin{cases} k+t=m+\frac{5}{2},\\ kt=m-\frac{1}{4}n+1, \end{cases}$
$\because OM· ON=3$,$\therefore (-6k+4)(6t-4)=-36kt+24(k+t)-16=3$,
$\therefore -36(m-\frac{1}{4}n+1)+24(m+\frac{5}{2})-16=3$,整理得 $n=\frac{4}{3}m-\frac{5}{9}$,
$\therefore y=mx+n=mx+\frac{4}{3}m-\frac{5}{9}=m(x+\frac{4}{3})-\frac{5}{9}$,当 $x=-\frac{4}{3}$ 时,$y=-\frac{5}{9}$.
$\therefore$ 直线 $EF$ 经过定点且定点坐标为 $(-\frac{4}{3},-\frac{5}{9})$.
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2$.
设直线 $CE:y=kx+b$,将点 $C$ 的坐标代入得 $b=4-6k$,则点 $M(0,-6k+4)$,
令 $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2=kx-6k+4$,整理得 $\frac{1}{4}x^2-(\frac{1}{2}+k)x+6k-6=0$,
$\therefore x_C+x_E=2+4k,\therefore x_E=4k-4$.
设直线 $CF:y=tx-6t+4$,同理可得点 $N(0,-6t+4),x_F=4t-4$.
令 $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2=mx+n$,整理得 $\frac{1}{4}x^2-(\frac{1}{2}+m)x-2-n=0$,
$\therefore x_E+x_F=4m+2,x_E x_F=-8-4n$,将 $x_E,x_F$ 代入,得$\begin{cases} k+t=m+\frac{5}{2},\\ kt=m-\frac{1}{4}n+1, \end{cases}$
$\because OM· ON=3$,$\therefore (-6k+4)(6t-4)=-36kt+24(k+t)-16=3$,
$\therefore -36(m-\frac{1}{4}n+1)+24(m+\frac{5}{2})-16=3$,整理得 $n=\frac{4}{3}m-\frac{5}{9}$,
$\therefore y=mx+n=mx+\frac{4}{3}m-\frac{5}{9}=m(x+\frac{4}{3})-\frac{5}{9}$,当 $x=-\frac{4}{3}$ 时,$y=-\frac{5}{9}$.
$\therefore$ 直线 $EF$ 经过定点且定点坐标为 $(-\frac{4}{3},-\frac{5}{9})$.
解析
【分析】
解题时首先利用抛物线上已知的A、C两点坐标求出抛物线的具体解析式，这是后续计算交点的基础。接下来设过点C的直线CE、CF的解析式，利用C点坐标将直线解析式的常数项用斜率表示，即可直接得到y轴上M、N两点的坐标；再分别联立两条直线与抛物线的解析式，利用韦达定理，结合C点的横坐标求出E、F两点的横坐标。之后联立直线EF与抛物线的解析式，再次用韦达定理得到E、F横坐标的和与积和直线EF参数m、n的关系，将前面得到的E、F横坐标代入，即可建立斜率k、t和m、n的关系。最后利用$OM·ON=3$的条件，代入M、N的坐标得到关于k、t的等式，将k、t替换为m、n的表达式，整理得到m和n的关系，再代入直线EF的解析式，将解析式变形为“参数m×含x的式子 + 不含参数的常数项”的形式，令含x的式子为0，即可求出定点的横纵坐标。
【解析】
1. 求抛物线解析式：
将$A(-2,0)$、$C(6,4)$代入$y=ax^2-2ax+c$，得：
$\begin{cases} 0=4a+4a+c\\ 4=36a-12a+c \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=\frac{1}{4}\\ c=-2 \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2$。
2. 求E点横坐标及M点坐标：
设直线$CE:y=kx+b$，将$C(6,4)$代入得$b=4-6k$，则CE与y轴交点$M(0,-6k+4)$。
联立CE与抛物线解析式：$\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2=kx-6k+4$，整理得$\frac{1}{4}x^2-(\frac{1}{2}+k)x+6k-6=0$。
由韦达定理，方程两根为C、E的横坐标，故$x_C+x_E=2+4k$，已知$x_C=6$，因此$x_E=4k-4$。
3. 同理求F点横坐标及N点坐标：
设直线$CF:y=tx-6t+4$，可得N点坐标为$N(0,-6t+4)$，F点横坐标$x_F=4t-4$。
4. 联立直线EF与抛物线建立参数关系：
设直线$EF:y=mx+n$，联立抛物线得$\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2=mx+n$，整理得$\frac{1}{4}x^2-(\frac{1}{2}+m)x-2-n=0$。
由韦达定理得$x_E+x_F=4m+2$，$x_E·x_F=-8-4n$。
将$x_E=4k-4$、$x_F=4t-4$代入，化简得：
$\begin{cases} k+t=m+\frac{5}{2}\\ kt=m-\frac{1}{4}n+1 \end{cases}$
5. 结合$OM·ON=3$推导m、n的关系：
$\because OM· ON=3$，$\therefore (-6k+4)(-6t+4)=3$，展开得$-36kt+24(k+t)-16=3$。
将$k+t=m+\frac{5}{2}$、$kt=m-\frac{1}{4}n+1$代入上式，整理得$n=\frac{4}{3}m-\frac{5}{9}$。
6. 求定点：
将$n=\frac{4}{3}m-\frac{5}{9}$代入直线EF解析式得：
$y=mx+\frac{4}{3}m-\frac{5}{9}=m(x+\frac{4}{3})-\frac{5}{9}$
当$x=-\frac{4}{3}$时，$y=-\frac{5}{9}$，与m的取值无关，因此直线EF过定点。
【答案】
直线EF经过定点，定点坐标为$\boldsymbol{(-\frac{4}{3},-\frac{5}{9})}$
【知识点】
1.二次函数解析式求解
2.韦达定理应用
3.一次函数过定点
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的定点问题，核心是通过设参数表示直线解析式与交点坐标，多次运用韦达定理建立不同参数间的关联，最后通过消参得到直线解析式的变形，找出不受参数影响的定点，对代数运算能力和转化思想的要求较高，掌握联立方程用韦达定理处理交点问题是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.3
解题时首先利用抛物线上已知的A、C两点坐标求出抛物线的具体解析式，这是后续计算交点的基础。接下来设过点C的直线CE、CF的解析式，利用C点坐标将直线解析式的常数项用斜率表示，即可直接得到y轴上M、N两点的坐标；再分别联立两条直线与抛物线的解析式，利用韦达定理，结合C点的横坐标求出E、F两点的横坐标。之后联立直线EF与抛物线的解析式，再次用韦达定理得到E、F横坐标的和与积和直线EF参数m、n的关系，将前面得到的E、F横坐标代入，即可建立斜率k、t和m、n的关系。最后利用$OM·ON=3$的条件，代入M、N的坐标得到关于k、t的等式，将k、t替换为m、n的表达式，整理得到m和n的关系，再代入直线EF的解析式，将解析式变形为“参数m×含x的式子 + 不含参数的常数项”的形式，令含x的式子为0，即可求出定点的横纵坐标。
【解析】
1. 求抛物线解析式：
将$A(-2,0)$、$C(6,4)$代入$y=ax^2-2ax+c$，得：
$\begin{cases} 0=4a+4a+c\\ 4=36a-12a+c \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=\frac{1}{4}\\ c=-2 \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2$。
2. 求E点横坐标及M点坐标：
设直线$CE:y=kx+b$，将$C(6,4)$代入得$b=4-6k$，则CE与y轴交点$M(0,-6k+4)$。
联立CE与抛物线解析式：$\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2=kx-6k+4$，整理得$\frac{1}{4}x^2-(\frac{1}{2}+k)x+6k-6=0$。
由韦达定理，方程两根为C、E的横坐标，故$x_C+x_E=2+4k$，已知$x_C=6$，因此$x_E=4k-4$。
3. 同理求F点横坐标及N点坐标：
设直线$CF:y=tx-6t+4$，可得N点坐标为$N(0,-6t+4)$，F点横坐标$x_F=4t-4$。
4. 联立直线EF与抛物线建立参数关系：
设直线$EF:y=mx+n$，联立抛物线得$\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x-2=mx+n$，整理得$\frac{1}{4}x^2-(\frac{1}{2}+m)x-2-n=0$。
由韦达定理得$x_E+x_F=4m+2$，$x_E·x_F=-8-4n$。
将$x_E=4k-4$、$x_F=4t-4$代入，化简得：
$\begin{cases} k+t=m+\frac{5}{2}\\ kt=m-\frac{1}{4}n+1 \end{cases}$
5. 结合$OM·ON=3$推导m、n的关系：
$\because OM· ON=3$，$\therefore (-6k+4)(-6t+4)=3$，展开得$-36kt+24(k+t)-16=3$。
将$k+t=m+\frac{5}{2}$、$kt=m-\frac{1}{4}n+1$代入上式，整理得$n=\frac{4}{3}m-\frac{5}{9}$。
6. 求定点：
将$n=\frac{4}{3}m-\frac{5}{9}$代入直线EF解析式得：
$y=mx+\frac{4}{3}m-\frac{5}{9}=m(x+\frac{4}{3})-\frac{5}{9}$
当$x=-\frac{4}{3}$时，$y=-\frac{5}{9}$，与m的取值无关，因此直线EF过定点。
【答案】
直线EF经过定点，定点坐标为$\boldsymbol{(-\frac{4}{3},-\frac{5}{9})}$
【知识点】
1.二次函数解析式求解
2.韦达定理应用
3.一次函数过定点
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的定点问题，核心是通过设参数表示直线解析式与交点坐标，多次运用韦达定理建立不同参数间的关联，最后通过消参得到直线解析式的变形，找出不受参数影响的定点，对代数运算能力和转化思想的要求较高，掌握联立方程用韦达定理处理交点问题是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.3
8.如图①，抛物线$C:y=ax^2+bx-3$的对称轴为直线$x=1$，抛物线与$x$轴的正半轴交于点$B$，与$y$轴交于点$C$，$OB=OC$.如图②，将抛物线$C$平移得到抛物线$C_1$，使$C_1$的顶点在原点，过点$P(t,-1)$的两条直线$PM$，$PN$与$y$轴不平行，且都与抛物线$C_1$只有一个公共点，分别为点$M$和点$N$，求证：直线$MN$过定点.
答案
8.$\because$ 抛物线 $C$ 的对称轴为直线 $x=1$,$\therefore x=-\frac{b}{2a}=1$,即 $b=-2a$,
$\because$ 抛物线 $C:y=ax^2+bx-3$ 与 $y$ 轴交于点 $C$,$\therefore C(0,-3)$,$OC=3$,
$\because OB=OC$,点 $B$ 在 $x$ 轴的正半轴上,$\therefore OB=3,B(3,0)$,
把 $B(3,0)$ 代入 $y=ax^2+bx-3$ 得 $9a+3b-3=0$,与 $b=-2a$ 联立,解得 $a=1,b=-2$.
$\therefore$ 抛物线 $C$ 的解析式为 $y=x^2-2x-3$.
根据题意,得抛物线 $C_1$ 的解析式为 $y=x^2$,
设 $M(m,m^2),N(n,n^2)$,
则直线 $PM$ 可设为 $y=k_1(x-m)+m^2$,直线 $PN$ 可设为 $y=k_2(x-n)+n^2$.
联立直线 $PM$ 与抛物线 $C_1$ 的解析式,整理得 $x^2-k_1x+k_1m-m^2=0$,
$\because$ 直线 $PM$ 与抛物线只有一个公共点,$\therefore \Delta=k_1{}^2-4(k_1m-m^2)=0$,解得 $k_1=2m$,
$\therefore$ 直线 $PM$ 的解析式为 $y=2m(x-m)+m^2=2mx-m^2$.
同理可得,直线 $PN$ 的解析式为 $y=2n(x-n)+n^2=2nx-n^2$.
联立 $PM$ 和 $PN$ 的解析式,解得 $P(\frac{m+n}{2},mn)$,
$\because$ 点 $P$ 的坐标为$(t,-1)$,$\therefore mn=-1$,
设直线 $MN$ 的解析式为 $y=kx+b$,
将 $M(m,m^2),N(n,n^2)$ 代入得 $y=(m+n)x-mn$,
$\therefore$ 直线 $MN$ 的解析式为 $y=(m+n)x+1$.
$\therefore$ 直线 $MN$ 过定点$(0,1)$.
$\because$ 抛物线 $C:y=ax^2+bx-3$ 与 $y$ 轴交于点 $C$,$\therefore C(0,-3)$,$OC=3$,
$\because OB=OC$,点 $B$ 在 $x$ 轴的正半轴上,$\therefore OB=3,B(3,0)$,
把 $B(3,0)$ 代入 $y=ax^2+bx-3$ 得 $9a+3b-3=0$,与 $b=-2a$ 联立,解得 $a=1,b=-2$.
$\therefore$ 抛物线 $C$ 的解析式为 $y=x^2-2x-3$.
根据题意,得抛物线 $C_1$ 的解析式为 $y=x^2$,
设 $M(m,m^2),N(n,n^2)$,
则直线 $PM$ 可设为 $y=k_1(x-m)+m^2$,直线 $PN$ 可设为 $y=k_2(x-n)+n^2$.
联立直线 $PM$ 与抛物线 $C_1$ 的解析式,整理得 $x^2-k_1x+k_1m-m^2=0$,
$\because$ 直线 $PM$ 与抛物线只有一个公共点,$\therefore \Delta=k_1{}^2-4(k_1m-m^2)=0$,解得 $k_1=2m$,
$\therefore$ 直线 $PM$ 的解析式为 $y=2m(x-m)+m^2=2mx-m^2$.
同理可得,直线 $PN$ 的解析式为 $y=2n(x-n)+n^2=2nx-n^2$.
联立 $PM$ 和 $PN$ 的解析式,解得 $P(\frac{m+n}{2},mn)$,
$\because$ 点 $P$ 的坐标为$(t,-1)$,$\therefore mn=-1$,
设直线 $MN$ 的解析式为 $y=kx+b$,
将 $M(m,m^2),N(n,n^2)$ 代入得 $y=(m+n)x-mn$,
$\therefore$ 直线 $MN$ 的解析式为 $y=(m+n)x+1$.
$\therefore$ 直线 $MN$ 过定点$(0,1)$.
解析
【分析】
解题时首先需要求出原抛物线C的解析式，再根据平移规则得到顶点在原点的抛物线C₁的解析式；接下来设出M、N两点坐标，利用“直线与抛物线只有一个公共点即联立后方程判别式为0”的性质，求出两条切线PM、PN的解析式，联立两条切线解析式得到点P的坐标，结合P点纵坐标为-1得到M、N横坐标的乘积关系；最后求出直线MN的解析式，根据解析式特征判断其过的定点即可。
【解析】
$\because$ 抛物线 $C$ 的对称轴为直线 $x=1$,
$\therefore x=-\frac{b}{2a}=1$,即 $b=-2a$,
$\because$ 抛物线 $C:y=ax^2+bx-3$ 与 $y$ 轴交于点 $C$,
$\therefore C(0,-3)$,$OC=3$,
$\because OB=OC$,点 $B$ 在 $x$ 轴的正半轴上,
$\therefore OB=3,B(3,0)$,
把 $B(3,0)$ 代入 $y=ax^2+bx-3$ 得 $9a+3b-3=0$,与 $b=-2a$ 联立,解得 $a=1,b=-2$.
$\therefore$ 抛物线 $C$ 的解析式为 $y=x^2-2x-3$.
根据题意,抛物线平移后顶点在原点,得抛物线 $C_1$ 的解析式为 $y=x^2$,
设 $M(m,m^2),N(n,n^2)$,
则直线 $PM$ 可设为 $y=k_1(x-m)+m^2$,直线 $PN$ 可设为 $y=k_2(x-n)+n^2$.
联立直线 $PM$ 与抛物线 $C_1$ 的解析式,整理得 $x^2-k_1x+k_1m-m^2=0$,
$\because$ 直线 $PM$ 与抛物线只有一个公共点,
$\therefore \Delta=k_1{}^2-4(k_1m-m^2)=0$,解得 $k_1=2m$,
$\therefore$ 直线 $PM$ 的解析式为 $y=2m(x-m)+m^2=2mx-m^2$.
同理可得,直线 $PN$ 的解析式为 $y=2n(x-n)+n^2=2nx-n^2$.
联立 $PM$ 和 $PN$ 的解析式,解得 $P(\frac{m+n}{2},mn)$,
$\because$ 点 $P$ 的坐标为$(t,-1)$,
$\therefore mn=-1$,
设直线 $MN$ 的解析式为 $y=kx+b$,
将 $M(m,m^2),N(n,n^2)$ 代入推导得直线 $MN$ 的解析式为 $y=(m+n)x-mn$,
代入$mn=-1$得 $y=(m+n)x+1$,当$x=0$时$y=1$,与$m+n$的取值无关。
【答案】
直线$MN$过定点$\boldsymbol{(0,1)}$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的平移；直线与抛物线的交点问题
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质与一次函数过定点的判定，解题的核心是利用直线与抛物线相切时判别式为0的性质，建立点P与点M、N坐标之间的关联，进而推导直线MN的解析式特征，对代数运算和逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
解题时首先需要求出原抛物线C的解析式，再根据平移规则得到顶点在原点的抛物线C₁的解析式；接下来设出M、N两点坐标，利用“直线与抛物线只有一个公共点即联立后方程判别式为0”的性质，求出两条切线PM、PN的解析式，联立两条切线解析式得到点P的坐标，结合P点纵坐标为-1得到M、N横坐标的乘积关系；最后求出直线MN的解析式，根据解析式特征判断其过的定点即可。
【解析】
$\because$ 抛物线 $C$ 的对称轴为直线 $x=1$,
$\therefore x=-\frac{b}{2a}=1$,即 $b=-2a$,
$\because$ 抛物线 $C:y=ax^2+bx-3$ 与 $y$ 轴交于点 $C$,
$\therefore C(0,-3)$,$OC=3$,
$\because OB=OC$,点 $B$ 在 $x$ 轴的正半轴上,
$\therefore OB=3,B(3,0)$,
把 $B(3,0)$ 代入 $y=ax^2+bx-3$ 得 $9a+3b-3=0$,与 $b=-2a$ 联立,解得 $a=1,b=-2$.
$\therefore$ 抛物线 $C$ 的解析式为 $y=x^2-2x-3$.
根据题意,抛物线平移后顶点在原点,得抛物线 $C_1$ 的解析式为 $y=x^2$,
设 $M(m,m^2),N(n,n^2)$,
则直线 $PM$ 可设为 $y=k_1(x-m)+m^2$,直线 $PN$ 可设为 $y=k_2(x-n)+n^2$.
联立直线 $PM$ 与抛物线 $C_1$ 的解析式,整理得 $x^2-k_1x+k_1m-m^2=0$,
$\because$ 直线 $PM$ 与抛物线只有一个公共点,
$\therefore \Delta=k_1{}^2-4(k_1m-m^2)=0$,解得 $k_1=2m$,
$\therefore$ 直线 $PM$ 的解析式为 $y=2m(x-m)+m^2=2mx-m^2$.
同理可得,直线 $PN$ 的解析式为 $y=2n(x-n)+n^2=2nx-n^2$.
联立 $PM$ 和 $PN$ 的解析式,解得 $P(\frac{m+n}{2},mn)$,
$\because$ 点 $P$ 的坐标为$(t,-1)$,
$\therefore mn=-1$,
设直线 $MN$ 的解析式为 $y=kx+b$,
将 $M(m,m^2),N(n,n^2)$ 代入推导得直线 $MN$ 的解析式为 $y=(m+n)x-mn$,
代入$mn=-1$得 $y=(m+n)x+1$,当$x=0$时$y=1$,与$m+n$的取值无关。
【答案】
直线$MN$过定点$\boldsymbol{(0,1)}$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的平移；直线与抛物线的交点问题
【点评】
本题综合考查二次函数的相关性质与一次函数过定点的判定，解题的核心是利用直线与抛物线相切时判别式为0的性质，建立点P与点M、N坐标之间的关联，进而推导直线MN的解析式特征，对代数运算和逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
