1.已知$AB = t - 3$，$CD = -t + 6$，则$AB + CD =$ .

1.3

【分析】
题目要求计算AB与CD的和，已知AB、CD均为含参数t的一次代数式，解题时直接将两个代数式代入求和式，再通过去括号、合并同类项化简即可。观察两个代数式中t的系数互为相反数，合并后含t的项会抵消，最终得到定值结果。
【解析】
解：将$AB = t - 3$，$CD = -t + 6$代入$AB+CD$，可得：
$\begin{aligned}AB + CD&=(t - 3)+(-t + 6)\\&=t - 3 - t + 6\\&=(t-t)+(-3+6)\\&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
整式的加减运算，合并同类项
【点评】
本题是基础的代数式运算题，核心考查整式加减的运算法则，解题时注意去括号的符号变化，熟练掌握合并同类项的方法即可快速得出结果，也是定值类问题的基础题型。
【难度系数】
0.9

2.已知$AB = t - 3 ≠ 0$，$CD = 2t - 6$，则$\frac{CD}{AB}=$.

2.2

【分析】
解题时首先观察两个代数式的结构关系，发现CD的表达式可以提取公因式化简，且已知AB≠0，满足分式约分的条件，因此先对CD进行因式分解，再将AB、CD代入比值中约去公因式即可求出结果。
【解析】
首先对CD的表达式因式分解：
$CD=2t-6=2(t-3)$
已知$AB=t-3≠0$，将AB和化简后的CD代入分式得：
$\frac{CD}{AB}=\frac{2(t-3)}{t-3}$
因为$t-3≠0$，可以约去分子分母的公因式$t-3$，因此$\frac{CD}{AB}=2$
【答案】
2
【知识点】
因式分解、分式约分、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是发现两个代数式的倍数关系，通过因式分解后整体约分求解，避免盲目代入数值计算，同时要注意分式约分的前提是分母不为0，本题已明确给出该条件，可直接约分。
【难度系数】
0.9

3.已知直线的解析式为 $ y = k(x + 2) + 3 $，则该直线必经过定点 .

3.$(-2,3)$

【分析】
要确定直线恒过的定点，核心是该点坐标不受参数k取值的影响，无论k取何值都满足直线解析式。观察解析式$y = k(x + 2) + 3$，其中仅$(x+2)$与参数k相乘，只要令k的系数为0，含k的项就会恒为0，此时即可求出不受k影响的x、y值，也就是定点坐标。
【解析】
对于直线解析式$y = k(x + 2) + 3$，若要式子对任意k都成立，需令k的系数为0：
1. 令$x+2=0$，解得$x=-2$；
2. 将$x=-2$代入解析式，得$y=k×0+3=3$。
因此无论k取何值，点$(-2,3)$都满足直线解析式，即该直线必经过这个定点。
【答案】
$(-2,3)$
【知识点】
一次函数的性质；定点问题求解
【点评】
本题是一次函数过定点的基础题型，解题关键是抓住“定点不受参数取值影响”的特点，通过令参数的系数为0消去参数的影响，就能快速求出定点坐标。
【难度系数】
0.8

4.已知动点P(2－t，3＋2t)在直线y＝kx＋b上，则该直线解析式为

4.$y=-2x+7$

【分析】
已知动点P的坐标含参数t，且P在直线$y=kx+b$上，说明点P的横纵坐标满足直线解析式。解题有两种常见思路：一是将$x=2-t$、$y=3+2t$代入解析式，通过消去参数t得到x和y的关系式，即直线解析式；二是取两个不同的t值，得到直线上两个具体点的坐标，再用待定系数法求出k和b的值，进而得到直线解析式，两种方法均符合九年级知识要求。
【解析】
方法一（消参法）：
因为动点$P(2－t，3＋2t)$在直线$y＝kx＋b$上，所以点P的横纵坐标满足：
$x = 2 - t$ ①，
$y = 3 + 2t$ ②，
由①变形得：$t = 2 - x$，将其代入②得：
$y = 3 + 2(2 - x)$，
化简得：$y = 3 + 4 - 2x = -2x + 7$。
方法二（特殊值+待定系数法）：
取$t=0$，得点P坐标为$(2, 3)$；取$t=1$，得点P坐标为$(1, 5)$，
将两个点坐标代入$y=kx+b$得方程组：
$\begin{cases}2k + b = 3 \\k + b = 5 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得：$k = -2$，
将$k=-2$代入$k + b = 5$，解得$b=7$，
因此直线解析式为$y=-2x+7$。
【答案】
$y=-2x+7$
【知识点】
一次函数点坐标特征；待定系数法求解析式；代入消元法
【点评】
本题考查一次函数的基础性质，解题核心是理解直线上的点坐标一定满足直线解析式，可灵活选择消参法或待定系数法求解，解题思路多样，容易掌握。
【难度系数】
0.8

5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=x^2+(1-m)x-m$与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.若直线$y=(1-m)x+b(b＞0)$与抛物线交于点M,N(点M在对称轴左侧),直线AM交y轴于点E,直线AN交y轴于点D.求$DC:CE$的值.

5.解 $x^2+(1-m)x-m=0$,得 $x_1=-1,x_2=m$.
不妨设 $A(m,0)(m≤-1)$,直线 $AN$ 的解析式为 $y=k(x-m)$,
令 $x=0,y=-km$,则点 $D$ 的坐标为$(0,-km)$.
联立 $\begin{cases} y=x^2+(1-m)x-m,\\ y=k(x-m), \end{cases}$ 整理得 $x^2+(1-m-k)x-m(1-k)=0$,
$\therefore x_A+x_N=k+m-1,\therefore x_N=k+m$.
设直线 $AM$ 的解析式为 $y=t(x-m)$,则 $E(0,-tm)$,同理可得 $x_M=t+m$.
令 $x=0,y=x^2+(1-m)x-m=-m$,$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为$(0,-m)$.
$\therefore DC=|m-km|,CE=|m-tm|$.
联立 $\begin{cases} y=x^2+(1-m)x-m,\\ y=(1-m)x+b, \end{cases}$ 整理得 $x^2-m-b=0$,
$\therefore x_M+x_N=0,\therefore k-1+t-1=0$,即 $k-1=-(t-1)$.
$\therefore$ 等式两边乘 $m$ 并平方得 $(m-km)^2=(m-tm)^2$,$\therefore |m-km|=|m-tm|$,$\therefore DC=CE$.
即 $DC:CE=1$.

【分析】
解题思路可分为四步：第一步先求解抛物线与x轴的交点方程，确定点A的坐标；第二步分别设过点A的直线AN、AM的解析式，求出y轴上D、E两点的坐标，再将直线与抛物线联立，利用根与系数的关系求出M、N两点的横坐标表达式；第三步求出抛物线与y轴交点C的坐标，用参数表示出DC、CE的长度；第四步将直线MN与抛物线联立，再次用根与系数的关系得到M、N横坐标的和为0，进而推导两条过A直线的参数关系，最终得到DC和CE的长度关系，求出比值。
【解析】
1. 求抛物线与x轴交点：解方程$x^2+(1-m)x-m=0$，因式分解得$(x+1)(x-m)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=m$。
因点A在点B左侧，不妨设$A(m,0)(m≤-1)$。
2. 求D点坐标与N点横坐标：
设直线$AN$的解析式为$y=k(x-m)$，令$x=0$，得$y=-km$，故$D(0,-km)$。
联立$\begin{cases} y=x^2+(1-m)x-m\\ y=k(x-m) \end{cases}$，整理得$x^2+(1-m-k)x-m(1-k)=0$。
由根与系数的关系得$x_A+x_N=k+m-1$，代入$x_A=m$，得$x_N=k-1$。
3. 求E点坐标与M点横坐标：
设直线$AM$的解析式为$y=t(x-m)$，令$x=0$，得$y=-tm$，故$E(0,-tm)$，同理可得$x_M=t-1$。
4. 表示DC、CE的长度：
抛物线与y轴交点C：令$x=0$，得$y=-m$，故$C(0,-m)$。
因此$DC=|-km - (-m)|=|m - km|$，$CE=|-m - (-tm)|=|m - tm|$。
5. 推导参数关系：
联立$\begin{cases} y=x^2+(1-m)x-m\\ y=(1-m)x+b \end{cases}$，整理得$x^2 - m - b=0$，由根与系数的关系得$x_M+x_N=0$。
将$x_N=k-1$、$x_M=t-1$代入得：$(k-1)+(t-1)=0$，即$k-1=-(t-1)$。
6. 求比值：
将$k-1=-(t-1)$两边同乘$m$得$m(k-1)=-m(t-1)$，即$m - km = -(m - tm)$，取绝对值得$|m - km|=|m - tm|$，故$DC=CE$，即$DC:CE=1$。
【答案】
$\boxed{1}$
【知识点】
根与系数的关系，二次函数的交点，一次函数解析式
【点评】
本题属于二次函数定值类问题，解题核心是通过联立函数解析式，结合根与系数的关系推导参数间的联系，无需计算具体参数值即可得到定值，重点考察代数推导能力和数形结合思想，合理设参可有效简化运算。
【难度系数】
0.3

6.如图,过点$(1,4)$的直线与抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$交于$C,D$两点,直线$PC,PD$与$y$轴不平行,且与抛物线均只有一个交点.点$P$是否在一条定直线上?若是,求该直线的解析式;若不是,请说明理由.

6.点 $P$ 是在一条定直线上,理由如下：
设 $C(c,\frac{1}{4}c^2),D(d,\frac{1}{4}d^2)$.
设直线 $CP$ 的解析式为 $y=mx-mc+\frac{1}{4}c^2$,
与 $y=\frac{1}{4}x^2$ 联立,整理得 $\frac{1}{4}x^2-mx+mc-\frac{1}{4}c^2=0$,
$\because CP$ 与抛物线有唯一公共点,$\therefore c+c=-\frac{-m}{\frac{1}{4}}$,$\therefore m=\frac{c}{2}$,
$\therefore$ 直线 $CP$ 的解析式为 $y=\frac{c}{2}x-\frac{1}{4}c^2$.
同理可得,直线 $DP$ 的解析式为 $y=\frac{d}{2}x-\frac{1}{4}d^2$.
联立 $CP$ 与 $DP$ 的解析式,解得 $x=\frac{1}{2}(c+d),y=\frac{1}{4}cd$,即 $P(\frac{c+d}{2},\frac{cd}{4})$.
$\because$ 直线 $CD$ 过点$(1,4)$,$\therefore$ 可设直线 $CD$ 的解析式为 $y=kx+4-k$,
与 $y=\frac{1}{4}x^2$ 联立,整理得 $\frac{1}{4}x^2-kx-4+k=0$,
$\therefore c+d=4k,cd=4k-16$,$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(2k,k-4)$,
$\therefore$ 点 $P$ 在定直线 $y=\frac{1}{2}x-4$ 上.

【分析】
要判断点P是否在定直线上，可按以下思路推导：1. 先设C、D两点的坐标，求出过C、D且与抛物线仅有一个交点的切线PC、PD的解析式；2. 联立两条切线解析式，得到交点P的坐标（用C、D的横坐标作为参数表示）；3. 结合直线CD过定点(1,4)的条件，联立直线CD与抛物线解析式，通过韦达定理得到C、D横坐标的和与积的关系；4. 将P点横纵坐标用同一个参数表示，消去参数即可得到P点满足的直线方程，判断其为定直线。
【解析】
点P在一条定直线上，理由如下：
设$C(c,\frac{1}{4}c^2)$，$D(d,\frac{1}{4}d^2)$。
1. 求切线PC的解析式：
设直线$CP$的解析式为$y=mx-mc+\frac{1}{4}c^2$，与$y=\frac{1}{4}x^2$联立，整理得$\frac{1}{4}x^2-mx+mc-\frac{1}{4}c^2=0$。
因为$CP$与抛物线有唯一公共点，方程有两个相等的实根$x=c$，由韦达定理得$c+c=-\frac{-m}{\frac{1}{4}}$，解得$m=\frac{c}{2}$，因此直线$CP$的解析式为$y=\frac{c}{2}x-\frac{1}{4}c^2$。
2. 同理可得直线$DP$的解析式为$y=\frac{d}{2}x-\frac{1}{4}d^2$。
3. 求交点P的坐标：
联立$CP$与$DP$的解析式，解得$x=\frac{1}{2}(c+d)$，$y=\frac{1}{4}cd$，即$P(\frac{c+d}{2},\frac{cd}{4})$。
4. 结合CD过定点的条件推导参数关系：
设直线$CD$的解析式为$y=kx+4-k$（过点$(1,4)$），与$y=\frac{1}{4}x^2$联立整理得$\frac{1}{4}x^2-kx-4+k=0$。
由韦达定理得$c+d=4k$，$cd=4k-16$，代入P点坐标得$P(2k,k-4)$。
5. 消参得定直线：
由$x=2k$得$k=\frac{x}{2}$，代入$y=k-4$得$y=\frac{1}{2}x-4$。
【答案】
点$P$在定直线$y=\frac{1}{2}x-4$上。
【知识点】
二次函数切线求解，韦达定理应用，消参求定值
【点评】
本题是二次函数定值问题的典型题型，核心方法是通过参数表示点与直线的相关量，结合交点性质得到参数关系，最终消去参数得到定值结论，可有效考查代数运算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4