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3.如图，抛物线$y=x^2 -2x -3$与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.
(1)直接写出点A,B,C的坐标.
(2)点D是第四象限内抛物线上的一点，连接DA,DB,DC，若$2S_{△ ACD}=S_{△ ABD}$，求点D的坐标.
(1)直接写出点A,B,C的坐标.
(2)点D是第四象限内抛物线上的一点，连接DA,DB,DC，若$2S_{△ ACD}=S_{△ ABD}$，求点D的坐标.
答案
(1)$A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)$.
(2)设点$D(d,d^2-2d-3)$,直线$AD$的解析式为$y=kx+k$,
点$D$的坐标代入解析式得$d^2-2d-3=kd+k$,整理得$(d+1)(d-3)=k(d+1)$,
由点$D$在第四象限知$d＞0$,$\therefore k=d-3$,
$\therefore$ 直线$AD$的解析式为$y=(d-3)x+d-3$.
$AD$与$y$轴的交点记为点$H$,则$H(0,d-3)$,$\therefore CH=d$,
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2}CH·(x_D-x_A)=\frac{1}{2}d(d+1)$.
$\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB·(-y_D)=2(-d^2+2d+3)=2S_{△ ACD}$,
$\therefore 2×\frac{1}{2}d(d+1)=2(-d^2+2d+3)$,解得$d_1=2$,$d_2=-1$(不合题意,舍去).
$\therefore$ 点$D$的坐标为$(2,-3)$.
(2)设点$D(d,d^2-2d-3)$,直线$AD$的解析式为$y=kx+k$,
点$D$的坐标代入解析式得$d^2-2d-3=kd+k$,整理得$(d+1)(d-3)=k(d+1)$,
由点$D$在第四象限知$d＞0$,$\therefore k=d-3$,
$\therefore$ 直线$AD$的解析式为$y=(d-3)x+d-3$.
$AD$与$y$轴的交点记为点$H$,则$H(0,d-3)$,$\therefore CH=d$,
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2}CH·(x_D-x_A)=\frac{1}{2}d(d+1)$.
$\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB·(-y_D)=2(-d^2+2d+3)=2S_{△ ACD}$,
$\therefore 2×\frac{1}{2}d(d+1)=2(-d^2+2d+3)$,解得$d_1=2$,$d_2=-1$(不合题意,舍去).
$\therefore$ 点$D$的坐标为$(2,-3)$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线与坐标轴交点坐标：与x轴交点令y=0，解一元二次方程即可得到A、B坐标；与y轴交点令x=0，代入解析式得到C坐标。
(2) 求解点D坐标的思路：首先设点D的横坐标为d，用抛物线解析式表示其纵坐标；再用割补法表示△ACD的面积，以AB为底、D到x轴距离为高表示△ABD的面积；根据题目给出的面积等量关系列方程，求解后结合D在第四象限的条件舍去不合理解，即可得到D的坐标。
【解析】
(1) 求A、B、C的坐标：
令y=0，得方程$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-1,0)$，$B(3,0)$；
令x=0，代入解析式得$y=-3$，
∴$C(0,-3)$。
(2) 设点D的横坐标为d，则D的坐标为$(d,d^2-2d-3)$，
∵点D在第四象限，
∴$d＞0$，$d^2-2d-3＜0$。
设直线AD的解析式为$y=k(x+1)$（过点A(-1,0)），即$y=kx+k$，
将D$(d,d^2-2d-3)$代入解析式得：$d^2-2d-3=kd+k$，
左边因式分解得$(d+1)(d-3)=k(d+1)$，
∵D与A不重合，
∴$d≠-1$，两边同时除以$(d+1)$得$k=d-3$，
∴直线AD的解析式为$y=(d-3)x+d-3$。
设直线AD与y轴交于点H，令x=0得$y=d-3$，即$H(0,d-3)$，
∴$CH=|-3-(d-3)|=d$，
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} · CH · (x_D - x_A)=\frac{1}{2}d(d+1)$。
AB的长度为$3-(-1)=4$，点D到x轴的距离为$-(d^2-2d-3)=-d^2+2d+3$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · AB · (-y_D)=\frac{1}{2} ×4 × (-d^2+2d+3)=2(-d^2+2d+3)$。
根据题意$2S_{△ ACD}=S_{△ ABD}$，代入得：
$2×\frac{1}{2}d(d+1)=2(-d^2+2d+3)$，
化简得$d^2+d=-2d^2+4d+6$，整理得$3d^2-3d-6=0$，即$d^2-d-2=0$，
解得$d_1=2$，$d_2=-1$，
∵$d＞0$，
∴舍去$d=-1$，将$d=2$代入D的纵坐标得$y=2^2-2×2-3=-3$，
∴点D的坐标为$(2,-3)$。
【答案】
(1)$A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)$；
(2)$(2,-3)$
【知识点】
1. 抛物线与坐标轴交点求解
2. 坐标系中三角形面积计算
3. 二次函数动点问题求解
【点评】
本题是二次函数与几何面积结合的常规题型，第一问考查基础的抛物线交点求法，属于送分题；第二问核心是用坐标法表示三角形面积，通过面积等量关系列方程求解动点坐标，解题时注意结合点所在的象限对解进行取舍，合理运用割补法简化不规则三角形的面积计算是解题关键。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线与坐标轴交点坐标：与x轴交点令y=0，解一元二次方程即可得到A、B坐标；与y轴交点令x=0，代入解析式得到C坐标。
(2) 求解点D坐标的思路：首先设点D的横坐标为d，用抛物线解析式表示其纵坐标；再用割补法表示△ACD的面积，以AB为底、D到x轴距离为高表示△ABD的面积；根据题目给出的面积等量关系列方程，求解后结合D在第四象限的条件舍去不合理解，即可得到D的坐标。
【解析】
(1) 求A、B、C的坐标：
令y=0，得方程$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-1,0)$，$B(3,0)$；
令x=0，代入解析式得$y=-3$，
∴$C(0,-3)$。
(2) 设点D的横坐标为d，则D的坐标为$(d,d^2-2d-3)$，
∵点D在第四象限，
∴$d＞0$，$d^2-2d-3＜0$。
设直线AD的解析式为$y=k(x+1)$（过点A(-1,0)），即$y=kx+k$，
将D$(d,d^2-2d-3)$代入解析式得：$d^2-2d-3=kd+k$，
左边因式分解得$(d+1)(d-3)=k(d+1)$，
∵D与A不重合，
∴$d≠-1$，两边同时除以$(d+1)$得$k=d-3$，
∴直线AD的解析式为$y=(d-3)x+d-3$。
设直线AD与y轴交于点H，令x=0得$y=d-3$，即$H(0,d-3)$，
∴$CH=|-3-(d-3)|=d$，
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} · CH · (x_D - x_A)=\frac{1}{2}d(d+1)$。
AB的长度为$3-(-1)=4$，点D到x轴的距离为$-(d^2-2d-3)=-d^2+2d+3$，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · AB · (-y_D)=\frac{1}{2} ×4 × (-d^2+2d+3)=2(-d^2+2d+3)$。
根据题意$2S_{△ ACD}=S_{△ ABD}$，代入得：
$2×\frac{1}{2}d(d+1)=2(-d^2+2d+3)$，
化简得$d^2+d=-2d^2+4d+6$，整理得$3d^2-3d-6=0$，即$d^2-d-2=0$，
解得$d_1=2$，$d_2=-1$，
∵$d＞0$，
∴舍去$d=-1$，将$d=2$代入D的纵坐标得$y=2^2-2×2-3=-3$，
∴点D的坐标为$(2,-3)$。
【答案】
(1)$A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)$；
(2)$(2,-3)$
【知识点】
1. 抛物线与坐标轴交点求解
2. 坐标系中三角形面积计算
3. 二次函数动点问题求解
【点评】
本题是二次函数与几何面积结合的常规题型，第一问考查基础的抛物线交点求法，属于送分题；第二问核心是用坐标法表示三角形面积，通过面积等量关系列方程求解动点坐标，解题时注意结合点所在的象限对解进行取舍，合理运用割补法简化不规则三角形的面积计算是解题关键。
【难度系数】
0.6
4.已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象的对称轴为直线 $ x = \frac{1}{2} $，图象交 $ x $ 轴于 $ A,B $ 两点，交 $ y $ 轴于点 $ C(0,3) $，且 $ AB=5 $，直线 $ y = kx + m(k ＜ 0) $ 与二次函数的图象交于点 $ M,N $（点 $ M $ 在点 $ N $ 的右边），交 $ y $ 轴于点 $ P $。
(1)求二次函数的解析式。
(2)若 $ m=5 $，点 $ M,N $ 均在第一象限，且 $ △ CMN $ 的面积为 3，求 $ k $ 的值。
(1)求二次函数的解析式。
(2)若 $ m=5 $，点 $ M,N $ 均在第一象限，且 $ △ CMN $ 的面积为 3，求 $ k $ 的值。
答案
(1)不妨设点$B$在点$A$的右侧,设点$A(x,0)$,
$\because AB=5$,$\therefore B(x+5,0)$,
则图象对称轴为$x=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x+x+5)$,解得$x=-2$,
故点$A$,$B$的坐标为$(-2,0)$,$(3,0)$,
则抛物线的解析式为$y=a(x-3)(x+2)$,代入$C(0,3)$得$-6a=3$,解得$a=-\frac{1}{2}$.
故二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3$.
(2)$\because m=5$,$\therefore$ 直线$y=kx+m$交$y$轴于点$P(0,5)$,$\therefore PC=2$.
则$S_{△ CMN}=S_{△ PCM}-S_{△ PCN}=\frac{1}{2}PC·(x_M-x_N)=\frac{1}{2}×2(x_M-x_N)=3$,即$x_M-x_N=3$.
联立二次函数的解析式与直线的解析式,整理得$x^2+(2k-1)x+4=0$.
$\because$ 点$M$,$N$在抛物线上又在直线上,$\therefore x_M+x_N=1-2k$,$x_Mx_N=4$,
$\because (x_M-x_N)^2=(x_M+x_N)^2-4x_Mx_N$,$\therefore (1-2k)^2-4×4=3^2$,解得$k=-2$或$3$.
$\because k＜0$,$\therefore k=-2$.
$\because AB=5$,$\therefore B(x+5,0)$,
则图象对称轴为$x=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x+x+5)$,解得$x=-2$,
故点$A$,$B$的坐标为$(-2,0)$,$(3,0)$,
则抛物线的解析式为$y=a(x-3)(x+2)$,代入$C(0,3)$得$-6a=3$,解得$a=-\frac{1}{2}$.
故二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3$.
(2)$\because m=5$,$\therefore$ 直线$y=kx+m$交$y$轴于点$P(0,5)$,$\therefore PC=2$.
则$S_{△ CMN}=S_{△ PCM}-S_{△ PCN}=\frac{1}{2}PC·(x_M-x_N)=\frac{1}{2}×2(x_M-x_N)=3$,即$x_M-x_N=3$.
联立二次函数的解析式与直线的解析式,整理得$x^2+(2k-1)x+4=0$.
$\because$ 点$M$,$N$在抛物线上又在直线上,$\therefore x_M+x_N=1-2k$,$x_Mx_N=4$,
$\because (x_M-x_N)^2=(x_M+x_N)^2-4x_Mx_N$,$\therefore (1-2k)^2-4×4=3^2$,解得$k=-2$或$3$.
$\because k＜0$,$\therefore k=-2$.
解析
【分析】
(1) 要求二次函数解析式，已知对称轴、x轴两交点距离AB=5、y轴交点C(0,3)。首先利用二次函数的对称性，对称轴是A、B两点横坐标的中点，结合AB长度求出A、B的坐标，再用交点式代入C点坐标即可求出系数，得到解析式。
(2) 当m=5时，先确定直线与y轴交点P的坐标，算出PC的长度。将△CMN的面积转化为△PCM与△PCN的面积差，两个三角形同底PC，高对应M、N的横坐标差，由此求出$x_M-x_N$的值。再联立直线和二次函数解析式，得到一元二次方程，利用韦达定理结合根的差与和、积的关系列方程求解k，最后根据$k＜0$的条件舍去不符合的解。
【解析】
(1) 不妨设点B在点A的右侧，设点$A(x,0)$，
$\because AB=5$，$\therefore B(x+5,0)$，
$\because$ 二次函数对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，即A、B横坐标的中点为$\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{1}{2}=\frac{x+x+5}{2}$，解得$x=-2$，
$\therefore$ 点A、B的坐标为$(-2,0)$、$(3,0)$，
设抛物线交点式为$y=a(x-3)(x+2)$，代入$C(0,3)$得：
$-6a=3$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-3)(x+2)=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3$。
(2) $\because m=5$，$\therefore$ 直线$y=kx+m$交y轴于点$P(0,5)$，$\therefore PC=5-3=2$，
$\because S_{△ CMN}=S_{△ PCM}-S_{△ PCN}=\frac{1}{2}PC·x_M-\frac{1}{2}PC·x_N=\frac{1}{2}×2(x_M-x_N)=x_M-x_N$，
由题知$S_{△ CMN}=3$，$\therefore x_M-x_N=3$，
联立直线与二次函数解析式：
$\begin{cases}y=kx+5 \\ y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3 \end{cases}$
消去y整理得：$x^2+(2k-1)x+4=0$，
由韦达定理得：$x_M+x_N=1-2k$，$x_Mx_N=4$，
$\because (x_M-x_N)^2=(x_M+x_N)^2-4x_Mx_N$，
$\therefore 3^2=(1-2k)^2-4×4$，
解得$k=-2$或$k=3$，
$\because k＜0$，$\therefore k=3$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3}$
(2) $\boldsymbol{k=-2}$
【知识点】
二次函数解析式确定；韦达定理；坐标系面积计算
【点评】
本题综合考查二次函数性质、函数交点与一元二次方程的关联，以及坐标系中三角形面积的转化技巧，利用对称性求交点坐标、将面积转化为横坐标差的思路能大幅简化计算，解题时要注意题干对参数的限制条件，避免多解漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 要求二次函数解析式，已知对称轴、x轴两交点距离AB=5、y轴交点C(0,3)。首先利用二次函数的对称性，对称轴是A、B两点横坐标的中点，结合AB长度求出A、B的坐标，再用交点式代入C点坐标即可求出系数，得到解析式。
(2) 当m=5时，先确定直线与y轴交点P的坐标，算出PC的长度。将△CMN的面积转化为△PCM与△PCN的面积差，两个三角形同底PC，高对应M、N的横坐标差，由此求出$x_M-x_N$的值。再联立直线和二次函数解析式，得到一元二次方程，利用韦达定理结合根的差与和、积的关系列方程求解k，最后根据$k＜0$的条件舍去不符合的解。
【解析】
(1) 不妨设点B在点A的右侧，设点$A(x,0)$，
$\because AB=5$，$\therefore B(x+5,0)$，
$\because$ 二次函数对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，即A、B横坐标的中点为$\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{1}{2}=\frac{x+x+5}{2}$，解得$x=-2$，
$\therefore$ 点A、B的坐标为$(-2,0)$、$(3,0)$，
设抛物线交点式为$y=a(x-3)(x+2)$，代入$C(0,3)$得：
$-6a=3$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-3)(x+2)=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3$。
(2) $\because m=5$，$\therefore$ 直线$y=kx+m$交y轴于点$P(0,5)$，$\therefore PC=5-3=2$，
$\because S_{△ CMN}=S_{△ PCM}-S_{△ PCN}=\frac{1}{2}PC·x_M-\frac{1}{2}PC·x_N=\frac{1}{2}×2(x_M-x_N)=x_M-x_N$，
由题知$S_{△ CMN}=3$，$\therefore x_M-x_N=3$，
联立直线与二次函数解析式：
$\begin{cases}y=kx+5 \\ y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3 \end{cases}$
消去y整理得：$x^2+(2k-1)x+4=0$，
由韦达定理得：$x_M+x_N=1-2k$，$x_Mx_N=4$，
$\because (x_M-x_N)^2=(x_M+x_N)^2-4x_Mx_N$，
$\therefore 3^2=(1-2k)^2-4×4$，
解得$k=-2$或$k=3$，
$\because k＜0$，$\therefore k=3$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3}$
(2) $\boldsymbol{k=-2}$
【知识点】
二次函数解析式确定；韦达定理；坐标系面积计算
【点评】
本题综合考查二次函数性质、函数交点与一元二次方程的关联，以及坐标系中三角形面积的转化技巧，利用对称性求交点坐标、将面积转化为横坐标差的思路能大幅简化计算，解题时要注意题干对参数的限制条件，避免多解漏解。
【难度系数】
0.6
