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3.如图，抛物线$y=x^2 -2x -3$与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.
(1)直接写出点A,B,C的坐标.
(2)点D是第四象限内抛物线上的一点，连接DA,DB,DC，若$2S_{△ ACD}=S_{△ ABD}$，求点D的坐标.
(1)直接写出点A,B,C的坐标.
(2)点D是第四象限内抛物线上的一点，连接DA,DB,DC，若$2S_{△ ACD}=S_{△ ABD}$，求点D的坐标.
答案
(1)$A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)$.
(2)设点$D(d,d^2-2d-3)$,直线$AD$的解析式为$y=kx+k$,
点$D$的坐标代入解析式得$d^2-2d-3=kd+k$,整理得$(d+1)(d-3)=k(d+1)$,
由点$D$在第四象限知$d＞0$,$\therefore k=d-3$,
$\therefore$ 直线$AD$的解析式为$y=(d-3)x+d-3$.
$AD$与$y$轴的交点记为点$H$,则$H(0,d-3)$,$\therefore CH=d$,
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2}CH·(x_D-x_A)=\frac{1}{2}d(d+1)$.
$\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB·(-y_D)=2(-d^2+2d+3)=2S_{△ ACD}$,
$\therefore 2×\frac{1}{2}d(d+1)=2(-d^2+2d+3)$,解得$d_1=2$,$d_2=-1$(不合题意,舍去).
$\therefore$ 点$D$的坐标为$(2,-3)$.
(2)设点$D(d,d^2-2d-3)$,直线$AD$的解析式为$y=kx+k$,
点$D$的坐标代入解析式得$d^2-2d-3=kd+k$,整理得$(d+1)(d-3)=k(d+1)$,
由点$D$在第四象限知$d＞0$,$\therefore k=d-3$,
$\therefore$ 直线$AD$的解析式为$y=(d-3)x+d-3$.
$AD$与$y$轴的交点记为点$H$,则$H(0,d-3)$,$\therefore CH=d$,
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2}CH·(x_D-x_A)=\frac{1}{2}d(d+1)$.
$\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB·(-y_D)=2(-d^2+2d+3)=2S_{△ ACD}$,
$\therefore 2×\frac{1}{2}d(d+1)=2(-d^2+2d+3)$,解得$d_1=2$,$d_2=-1$(不合题意,舍去).
$\therefore$ 点$D$的坐标为$(2,-3)$.
解析
【分析】
(1)求抛物线与坐标轴交点：求与x轴交点时，令y=0，解一元二次方程即可得到A、B坐标；求与y轴交点时，令x=0，代入抛物线解析式就能得到C点坐标。
(2)求解D点坐标思路：因为D在抛物线上，可设横坐标为d，用d表示出D的纵坐标。计算△ACD的面积时，先求直线AD的解析式，找到AD与y轴的交点，用割补法以y轴上的线段为底，将△ACD拆分为两个同底三角形，用A、D两点的水平距离作为高表示面积；△ABD的底是AB的长度，高是D点到x轴的距离（即D纵坐标的绝对值），再根据题给的面积等量关系列方程，求解后结合D在第四象限的范围舍去不符合的解，即可得到D的坐标。
【解析】
(1)求A、B坐标：令$y=0$，即$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-1,0)$，$B(3,0)$。
求C点坐标：令$x=0$，代入解析式得$y=0-0-3=-3$，
∴$C(0,-3)$。
(2)设点D的横坐标为d，
∵D在第四象限的抛物线上，
∴D的坐标为$(d,d^2-2d-3)$（$d＞0$，且$d^2-2d-3＜0$）。
设直线AD的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,0)$代入得$0=-k+b$，即$b=k$，
∴直线AD解析式为$y=kx+k$。
将$D(d,d^2-2d-3)$代入直线AD解析式：$d^2-2d-3=kd+k$，整理得$(d+1)(d-3)=k(d+1)$，
∵D在第四象限，$d≠-1$，两边同时除以$(d+1)$得$k=d-3$，
∴直线AD的解析式为$y=(d-3)x+d-3$。
设直线AD与y轴交于点H，令$x=0$，得$y=d-3$，即$H(0,d-3)$，
∴$CH$的长度为$|-3-(d-3)|=d$。
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}·CH·(x_D-x_A)=\frac{1}{2}d(d+1)$。
AB的长度为$3-(-1)=4$，D在第四象限，纵坐标为负，故△ABD中AB边上的高为$-(d^2-2d-3)$，
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}·AB·(-y_D)=\frac{1}{2}×4×(-d^2+2d+3)=2(-d^2+2d+3)$。
根据题意$2S_{△ACD}=S_{△ABD}$，代入得：
$2×\frac{1}{2}d(d+1)=2(-d^2+2d+3)$
整理得$3d^2-3d-6=0$，化简为$d^2-d-2=0$，解得$d_1=2$，$d_2=-1$。
∵D在第四象限，$d＞0$，故$d=-1$舍去，将$d=2$代入D点坐标得$y=2^2-2×2-3=-3$，
∴D点坐标为$(2,-3)$。
【答案】
(1)$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,-3)$
(2)$D(2,-3)$
【知识点】
1.抛物线与坐标轴交点求解
2.坐标系中三角形面积计算
3.二次函数动点问题
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，第一问属于基础题型，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征即可求解；第二问的核心是灵活运用割补法表示不规则三角形的面积，结合面积关系建立方程求解，解题时需注意点所在象限的坐标符号限制，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
(1)求抛物线与坐标轴交点：求与x轴交点时，令y=0，解一元二次方程即可得到A、B坐标；求与y轴交点时，令x=0，代入抛物线解析式就能得到C点坐标。
(2)求解D点坐标思路：因为D在抛物线上，可设横坐标为d，用d表示出D的纵坐标。计算△ACD的面积时，先求直线AD的解析式，找到AD与y轴的交点，用割补法以y轴上的线段为底，将△ACD拆分为两个同底三角形，用A、D两点的水平距离作为高表示面积；△ABD的底是AB的长度，高是D点到x轴的距离（即D纵坐标的绝对值），再根据题给的面积等量关系列方程，求解后结合D在第四象限的范围舍去不符合的解，即可得到D的坐标。
【解析】
(1)求A、B坐标：令$y=0$，即$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x+1)(x-3)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-1,0)$，$B(3,0)$。
求C点坐标：令$x=0$，代入解析式得$y=0-0-3=-3$，
∴$C(0,-3)$。
(2)设点D的横坐标为d，
∵D在第四象限的抛物线上，
∴D的坐标为$(d,d^2-2d-3)$（$d＞0$，且$d^2-2d-3＜0$）。
设直线AD的解析式为$y=kx+b$，将$A(-1,0)$代入得$0=-k+b$，即$b=k$，
∴直线AD解析式为$y=kx+k$。
将$D(d,d^2-2d-3)$代入直线AD解析式：$d^2-2d-3=kd+k$，整理得$(d+1)(d-3)=k(d+1)$，
∵D在第四象限，$d≠-1$，两边同时除以$(d+1)$得$k=d-3$，
∴直线AD的解析式为$y=(d-3)x+d-3$。
设直线AD与y轴交于点H，令$x=0$，得$y=d-3$，即$H(0,d-3)$，
∴$CH$的长度为$|-3-(d-3)|=d$。
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}·CH·(x_D-x_A)=\frac{1}{2}d(d+1)$。
AB的长度为$3-(-1)=4$，D在第四象限，纵坐标为负，故△ABD中AB边上的高为$-(d^2-2d-3)$，
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}·AB·(-y_D)=\frac{1}{2}×4×(-d^2+2d+3)=2(-d^2+2d+3)$。
根据题意$2S_{△ACD}=S_{△ABD}$，代入得：
$2×\frac{1}{2}d(d+1)=2(-d^2+2d+3)$
整理得$3d^2-3d-6=0$，化简为$d^2-d-2=0$，解得$d_1=2$，$d_2=-1$。
∵D在第四象限，$d＞0$，故$d=-1$舍去，将$d=2$代入D点坐标得$y=2^2-2×2-3=-3$，
∴D点坐标为$(2,-3)$。
【答案】
(1)$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,-3)$
(2)$D(2,-3)$
【知识点】
1.抛物线与坐标轴交点求解
2.坐标系中三角形面积计算
3.二次函数动点问题
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，第一问属于基础题型，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征即可求解；第二问的核心是灵活运用割补法表示不规则三角形的面积，结合面积关系建立方程求解，解题时需注意点所在象限的坐标符号限制，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
4.已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象的对称轴为直线 $ x = \frac{1}{2} $，图象交 $ x $ 轴于 $ A,B $ 两点，交 $ y $ 轴于点 $ C(0,3) $，且 $ AB=5 $，直线 $ y = kx + m(k ＜ 0) $ 与二次函数的图象交于点 $ M,N $（点 $ M $ 在点 $ N $ 的右边），交 $ y $ 轴于点 $ P $。
(1)求二次函数的解析式。
(2)若 $ m=5 $，点 $ M,N $ 均在第一象限，且 $ △ CMN $ 的面积为 3，求 $ k $ 的值。
(1)求二次函数的解析式。
(2)若 $ m=5 $，点 $ M,N $ 均在第一象限，且 $ △ CMN $ 的面积为 3，求 $ k $ 的值。
答案
(1)不妨设点$B$在点$A$的右侧,设点$A(x,0)$,
$\because AB=5$,$\therefore B(x+5,0)$,
则图象对称轴为$x=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x+x+5)$,解得$x=-2$,
故点$A$,$B$的坐标为$(-2,0)$,$(3,0)$,
则抛物线的解析式为$y=a(x-3)(x+2)$,代入$C(0,3)$得$-6a=3$,解得$a=-\frac{1}{2}$.
故二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3$.
(2)$\because m=5$,$\therefore$ 直线$y=kx+m$交$y$轴于点$P(0,5)$,$\therefore PC=2$.
则$S_{△ CMN}=S_{△ PCM}-S_{△ PCN}=\frac{1}{2}PC·(x_M-x_N)=\frac{1}{2}×2(x_M-x_N)=3$,即$x_M-x_N=3$.
联立二次函数的解析式与直线的解析式,整理得$x^2+(2k-1)x+4=0$.
$\because$ 点$M$,$N$在抛物线上又在直线上,$\therefore x_M+x_N=1-2k$,$x_Mx_N=4$,
$\because (x_M-x_N)^2=(x_M+x_N)^2-4x_Mx_N$,$\therefore (1-2k)^2-4×4=3^2$,解得$k=-2$或$3$.
$\because k＜0$,$\therefore k=-2$.
$\because AB=5$,$\therefore B(x+5,0)$,
则图象对称轴为$x=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x+x+5)$,解得$x=-2$,
故点$A$,$B$的坐标为$(-2,0)$,$(3,0)$,
则抛物线的解析式为$y=a(x-3)(x+2)$,代入$C(0,3)$得$-6a=3$,解得$a=-\frac{1}{2}$.
故二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3$.
(2)$\because m=5$,$\therefore$ 直线$y=kx+m$交$y$轴于点$P(0,5)$,$\therefore PC=2$.
则$S_{△ CMN}=S_{△ PCM}-S_{△ PCN}=\frac{1}{2}PC·(x_M-x_N)=\frac{1}{2}×2(x_M-x_N)=3$,即$x_M-x_N=3$.
联立二次函数的解析式与直线的解析式,整理得$x^2+(2k-1)x+4=0$.
$\because$ 点$M$,$N$在抛物线上又在直线上,$\therefore x_M+x_N=1-2k$,$x_Mx_N=4$,
$\because (x_M-x_N)^2=(x_M+x_N)^2-4x_Mx_N$,$\therefore (1-2k)^2-4×4=3^2$,解得$k=-2$或$3$.
$\because k＜0$,$\therefore k=-2$.
解析
【分析】
(1) 要求二次函数解析式，已知对称轴、x轴交点距离AB=5、y轴交点C(0,3)。首先利用对称轴和AB长度确定A、B两点的坐标：对称轴为$x=\frac{1}{2}$，AB=5，所以A、B到对称轴的距离均为2.5，即可算出A、B坐标，再用交点式设抛物线解析式，代入C点坐标即可求出参数a，得到解析式。
(2) 已知m=5，先确定直线与y轴交点P的坐标，求出PC的长度。将$△ CMN$的面积转化为$△ PCM$与$△ PCN$的面积差，两个三角形同底PC，高分别为M、N的横坐标，因此面积可表示为$\frac{1}{2}·PC·(x_M - x_N)$，结合面积为3可求出$x_M - x_N$的值。再联立直线与二次函数解析式，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到两根之和、两根之积，结合$(x_M - x_N)^2=(x_M + x_N)^2 - 4x_Mx_N$列方程求解k，最后根据$k＜0$舍去不符合的解。
【解析】
(1) 设点B在点A右侧，
∵二次函数对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，$AB=5$，
∴A、B两点到对称轴的距离均为$\frac{5}{2}=2.5$，
∴点A的横坐标为$\frac{1}{2} - 2.5 = -2$，点B的横坐标为$\frac{1}{2} + 2.5 = 3$，即$A(-2,0)$，$B(3,0)$。
设二次函数的解析式为$y=a(x+2)(x-3)$，将$C(0,3)$代入解析式得：
$a×2×(-3)=3$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
∴二次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+2)(x-3)= -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 3$。
(2) 当$m=5$时，直线$y=kx+5$交y轴于点$P(0,5)$，
∴$PC=5-3=2$，
∵$S_{△ CMN} = S_{△ PCM} - S_{△ PCN} = \frac{1}{2}·PC·x_M - \frac{1}{2}·PC·x_N = \frac{1}{2}×2×(x_M - x_N) = x_M - x_N$，
已知$S_{△ CMN}=3$，
∴$x_M - x_N=3$。
联立直线与二次函数解析式：
$\begin{cases} y=kx+5 \\ y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3 \end{cases}$
消去y整理得：$x^2 + (2k - 1)x + 4 = 0$，
由韦达定理得：$x_M + x_N = 1 - 2k$，$x_Mx_N = 4$，
∵$(x_M - x_N)^2 = (x_M + x_N)^2 - 4x_Mx_N$，
∴$3^2 = (1 - 2k)^2 - 4×4$，
即$9 = 1 - 4k + 4k^2 - 16$，
整理得$4k^2 - 4k - 24 = 0$，即$k^2 - k - 6 = 0$，
解得$k=3$或$k=-2$，
∵$k＜0$，
∴$k=-2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+3}$
(2) $\boldsymbol{k=-2}$
【知识点】
二次函数解析式确定，坐标系中三角形面积计算，一元二次方程根与系数关系
【点评】
本题综合考查二次函数与一次函数的综合应用，解题的关键是利用转化思想巧算三角形面积，结合韦达定理建立方程求解，做题时要注意题目给出的参数限制条件，避免增解。
【难度系数】
0.6
(1) 要求二次函数解析式，已知对称轴、x轴交点距离AB=5、y轴交点C(0,3)。首先利用对称轴和AB长度确定A、B两点的坐标：对称轴为$x=\frac{1}{2}$，AB=5，所以A、B到对称轴的距离均为2.5，即可算出A、B坐标，再用交点式设抛物线解析式，代入C点坐标即可求出参数a，得到解析式。
(2) 已知m=5，先确定直线与y轴交点P的坐标，求出PC的长度。将$△ CMN$的面积转化为$△ PCM$与$△ PCN$的面积差，两个三角形同底PC，高分别为M、N的横坐标，因此面积可表示为$\frac{1}{2}·PC·(x_M - x_N)$，结合面积为3可求出$x_M - x_N$的值。再联立直线与二次函数解析式，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到两根之和、两根之积，结合$(x_M - x_N)^2=(x_M + x_N)^2 - 4x_Mx_N$列方程求解k，最后根据$k＜0$舍去不符合的解。
【解析】
(1) 设点B在点A右侧，
∵二次函数对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，$AB=5$，
∴A、B两点到对称轴的距离均为$\frac{5}{2}=2.5$，
∴点A的横坐标为$\frac{1}{2} - 2.5 = -2$，点B的横坐标为$\frac{1}{2} + 2.5 = 3$，即$A(-2,0)$，$B(3,0)$。
设二次函数的解析式为$y=a(x+2)(x-3)$，将$C(0,3)$代入解析式得：
$a×2×(-3)=3$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
∴二次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+2)(x-3)= -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x + 3$。
(2) 当$m=5$时，直线$y=kx+5$交y轴于点$P(0,5)$，
∴$PC=5-3=2$，
∵$S_{△ CMN} = S_{△ PCM} - S_{△ PCN} = \frac{1}{2}·PC·x_M - \frac{1}{2}·PC·x_N = \frac{1}{2}×2×(x_M - x_N) = x_M - x_N$，
已知$S_{△ CMN}=3$，
∴$x_M - x_N=3$。
联立直线与二次函数解析式：
$\begin{cases} y=kx+5 \\ y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+3 \end{cases}$
消去y整理得：$x^2 + (2k - 1)x + 4 = 0$，
由韦达定理得：$x_M + x_N = 1 - 2k$，$x_Mx_N = 4$，
∵$(x_M - x_N)^2 = (x_M + x_N)^2 - 4x_Mx_N$，
∴$3^2 = (1 - 2k)^2 - 4×4$，
即$9 = 1 - 4k + 4k^2 - 16$，
整理得$4k^2 - 4k - 24 = 0$，即$k^2 - k - 6 = 0$，
解得$k=3$或$k=-2$，
∵$k＜0$，
∴$k=-2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+3}$
(2) $\boldsymbol{k=-2}$
【知识点】
二次函数解析式确定，坐标系中三角形面积计算，一元二次方程根与系数关系
【点评】
本题综合考查二次函数与一次函数的综合应用，解题的关键是利用转化思想巧算三角形面积，结合韦达定理建立方程求解，做题时要注意题目给出的参数限制条件，避免增解。
【难度系数】
0.6
