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1.如图,二次函数$y=x^2+bx+c$的图象与$x$轴交于$A$,$B$两点,与$y$轴交于点$C$,其中$B(1,0)$,$C(0,3)$.
(1)直接写出这个二次函数的解析式.
(2)在直线$AC$的下方,二次函数的图象上是否存在点$P$使得$S_{△ PAC}=S_{△ ABC}$?若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)直接写出这个二次函数的解析式.
(2)在直线$AC$的下方,二次函数的图象上是否存在点$P$使得$S_{△ PAC}=S_{△ ABC}$?若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)$y=x^2-4x+3$.
(2)当$y=0$时,$x^2-4x+3=0$,解得$x_1=1,x_2=3$,$\therefore A(3,0)$.
$\because C(0,3)$,$\therefore$ 直线$AC$的解析式为$y=-x+3$.
过点$B$作$AC$的平行线交抛物线于点$P$,则有$S_{△ PAC}=S_{△ ABC}$.
设$BP$的解析式为$y=-x+d$,将点$B(1,0)$代入得$-1+d=0$,解得$d=1$,
$\therefore$ 直线$BP$的解析式为$y=-x+1$.
与二次函数的解析式联立得$\begin{cases} y=-x+1,\\ y=x^2-4x+3, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=1,\\ y=0, \end{cases}$或$\begin{cases} x=2,\\ y=-1. \end{cases}$
$\therefore P(2,-1)$.
(2)当$y=0$时,$x^2-4x+3=0$,解得$x_1=1,x_2=3$,$\therefore A(3,0)$.
$\because C(0,3)$,$\therefore$ 直线$AC$的解析式为$y=-x+3$.
过点$B$作$AC$的平行线交抛物线于点$P$,则有$S_{△ PAC}=S_{△ ABC}$.
设$BP$的解析式为$y=-x+d$,将点$B(1,0)$代入得$-1+d=0$,解得$d=1$,
$\therefore$ 直线$BP$的解析式为$y=-x+1$.
与二次函数的解析式联立得$\begin{cases} y=-x+1,\\ y=x^2-4x+3, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=1,\\ y=0, \end{cases}$或$\begin{cases} x=2,\\ y=-1. \end{cases}$
$\therefore P(2,-1)$.
解析
【分析】
(1) 二次函数解析式仅含b、c两个未知参数，将已知的B、C两点坐标代入$y=x^2+bx+c$，即可解出参数值，得到解析式。
(2) 要使$S_{△PAC}=S_{△ABC}$，两个三角形共底AC，因此只需AC边上的高相等，即点B和点P到直线AC的距离相等。因此过点B作AC的平行线，该线与抛物线的交点（除B外）即为所求点P，联立直线与抛物线解析式即可求解。
【解析】
(1) 将$B(1,0)$、$C(0,3)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1 + b + c = 0\\c=3\end{cases}$
将$c=3$代入第一个方程，解得$b=-4$，因此二次函数解析式为$y=x^2-4x+3$。
(2) 存在，求解过程如下：
令$y=0$，即$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1,x_2=3$，因此$A(3,0)$。
设直线AC的解析式为$y=kx+m$，代入$A(3,0)$、$C(0,3)$得$\begin{cases}3k+m=0\\m=3\end{cases}$，解得$k=-1$，因此直线AC的解析式为$y=-x+3$。
过点B作AC的平行线，设其解析式为$y=-x+d$，将$B(1,0)$代入得$-1+d=0$，解得$d=1$，即该直线解析式为$y=-x+1$。
联立直线与二次函数解析式：
$\begin{cases} y=-x+1\\ y=x^2-4x+3 \end{cases}$
整理得$x^2-3x+2=0$，解得$x_1=1,x_2=2$。
$x=1$对应点B，将$x=2$代入$y=-x+1$得$y=-1$，因此点P坐标为$(2,-1)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2-4x+3}$
(2) 存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(2,-1)}$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，等积变形
【点评】
本题是二次函数与面积结合的常规题型，既考察了基础的函数解析式求解运算能力，也考察了将面积问题转化为平行线交点问题的转化思想，解题技巧性适中。
【难度系数】
0.7
(1) 二次函数解析式仅含b、c两个未知参数，将已知的B、C两点坐标代入$y=x^2+bx+c$，即可解出参数值，得到解析式。
(2) 要使$S_{△PAC}=S_{△ABC}$，两个三角形共底AC，因此只需AC边上的高相等，即点B和点P到直线AC的距离相等。因此过点B作AC的平行线，该线与抛物线的交点（除B外）即为所求点P，联立直线与抛物线解析式即可求解。
【解析】
(1) 将$B(1,0)$、$C(0,3)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1 + b + c = 0\\c=3\end{cases}$
将$c=3$代入第一个方程，解得$b=-4$，因此二次函数解析式为$y=x^2-4x+3$。
(2) 存在，求解过程如下：
令$y=0$，即$x^2-4x+3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1,x_2=3$，因此$A(3,0)$。
设直线AC的解析式为$y=kx+m$，代入$A(3,0)$、$C(0,3)$得$\begin{cases}3k+m=0\\m=3\end{cases}$，解得$k=-1$，因此直线AC的解析式为$y=-x+3$。
过点B作AC的平行线，设其解析式为$y=-x+d$，将$B(1,0)$代入得$-1+d=0$，解得$d=1$，即该直线解析式为$y=-x+1$。
联立直线与二次函数解析式：
$\begin{cases} y=-x+1\\ y=x^2-4x+3 \end{cases}$
整理得$x^2-3x+2=0$，解得$x_1=1,x_2=2$。
$x=1$对应点B，将$x=2$代入$y=-x+1$得$y=-1$，因此点P坐标为$(2,-1)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2-4x+3}$
(2) 存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(2,-1)}$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，等积变形
【点评】
本题是二次函数与面积结合的常规题型，既考察了基础的函数解析式求解运算能力，也考察了将面积问题转化为平行线交点问题的转化思想，解题技巧性适中。
【难度系数】
0.7
2.如图，已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过点$A(-2,0),B(4,0),C(0,-8)$，与直线$y=x-4$交于B，D两点。
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标。
(2)点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出$△ BDP$面积的最大值及此时点P的坐标。
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标。
(2)点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出$△ BDP$面积的最大值及此时点P的坐标。
答案
(1)将点$A$,$B$,$C$的坐标代入解析式得$\begin{cases} 4a-2b+c=0,\\ 16a+4b+c=0,\\ c=-8, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1,\\ b=-2,\\ c=-8, \end{cases}$
$\therefore$ 该抛物线的解析式为$y=x^2-2x-8$.
联立抛物线与直线的解析式得$\begin{cases} y=x^2-2x-8,\\ y=x-4, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_1=4,\\ y_1=0, \end{cases}$$\begin{cases} x_2=-1,\\ y_2=-5, \end{cases}$
点$D$的坐标是$(-1,-5)$.
(2)过点$P$作$PE// y$轴,交$BD$于点$E$.
设$P(x,x^2-2x-8)$,$E(x,x-4)$,则$PE=x-4-(x^2-2x-8)=-x^2+3x+4$,
$\therefore S_{△ BDP}=S_{△ DPE}+S_{△ BPE}=\frac{1}{2}PE·(x_P-x_D)+\frac{1}{2}PE·(x_B-x_E)=\frac{1}{2}PE·(x_B-x_D)$
$=\frac{5}{2}(-x^2+3x+4)=-\frac{5}{2}(x-\frac{3}{2})^2+\frac{125}{8}$.
$\therefore$ 当$x=\frac{3}{2}$时,$△ BDP$的面积的最大值为$\frac{125}{8}$.
$\because$ 当$x=\frac{3}{2}$时,$y=(\frac{3}{2})^2-2×\frac{3}{2}-8=-\frac{35}{4}$,
$\therefore P(\frac{3}{2},-\frac{35}{4})$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式可使用待定系数法，将已知的A、B、C三点坐标代入抛物线一般式，得到三元一次方程组，求解后即可得到解析式参数；求D点坐标需联立抛物线和直线BD的解析式，解方程组后排除已知的B点坐标，剩余解即为D点坐标。
(2) 求$△ BDP$的最大面积可采用铅垂高法：过P作平行于y轴的直线交BD于E，将$△ BDP$拆分为两个同底的小三角形，面积可表示为关于P点横坐标的二次函数，再利用二次函数的性质即可求出面积最大值和对应P点坐标。
【解析】
(1) 将点$A(-2,0)$、$B(4,0)$、$C(0,-8)$代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases} 4a-2b+c=0,\\ 16a+4b+c=0,\\ c=-8, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1,\\ b=-2,\\ c=-8, \end{cases}$
因此抛物线的解析式为$y=x^2-2x-8$。
联立抛物线与直线$y=x-4$的解析式：
$\begin{cases} y=x^2-2x-8,\\ y=x-4, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x_1=4,\\ y_1=0, \end{cases}$$\begin{cases} x_2=-1,\\ y_2=-5, \end{cases}$
其中$(4,0)$为点B，故点D的坐标为$(-1,-5)$。
(2) 过点P作$PE// y$轴，交BD于点E，如图所示：
设点P的坐标为$(x,x^2-2x-8)$（$-1＜x＜4$），则同横坐标的E点坐标为$(x,x-4)$，因此：
$PE=(x-4)-(x^2-2x-8)=-x^2+3x+4$
$△ BDP$的面积为两个小三角形面积之和：
$S_{△ BDP}=S_{△ DPE}+S_{△ BPE}=\frac{1}{2}PE·(x_P-x_D)+\frac{1}{2}PE·(x_B-x_E)$
因$x_P=x_E$，整理得：
$S_{△ BDP}=\frac{1}{2}PE·(x_B-x_D)=\frac{5}{2}(-x^2+3x+4)=-\frac{5}{2}(x-\frac{3}{2})^2+\frac{125}{8}$
由于二次项系数小于0，因此当$x=\frac{3}{2}$时，$△ BDP$面积取得最大值$\frac{125}{8}$。
将$x=\frac{3}{2}$代入抛物线解析式，得$y=(\frac{3}{2})^2-2×\frac{3}{2}-8=-\frac{35}{4}$，即此时P点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{35}{4})$。
【答案】
(1) 抛物线的解析式为$y=x^2-2x-8$，点D的坐标是$(-1,-5)$；
(2) $△ BDP$面积的最大值为$\frac{125}{8}$，此时点P的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{35}{4})$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数交点求解
3. 二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的常规综合题，第一问侧重基础运算，考查函数解析式和交点坐标的计算能力；第二问是二次函数面积类问题的典型考法，核心是掌握斜三角形面积的铅垂高求解法，结合二次函数性质求最值。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线解析式可使用待定系数法，将已知的A、B、C三点坐标代入抛物线一般式，得到三元一次方程组，求解后即可得到解析式参数；求D点坐标需联立抛物线和直线BD的解析式，解方程组后排除已知的B点坐标，剩余解即为D点坐标。
(2) 求$△ BDP$的最大面积可采用铅垂高法：过P作平行于y轴的直线交BD于E，将$△ BDP$拆分为两个同底的小三角形，面积可表示为关于P点横坐标的二次函数，再利用二次函数的性质即可求出面积最大值和对应P点坐标。
【解析】
(1) 将点$A(-2,0)$、$B(4,0)$、$C(0,-8)$代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases} 4a-2b+c=0,\\ 16a+4b+c=0,\\ c=-8, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1,\\ b=-2,\\ c=-8, \end{cases}$
因此抛物线的解析式为$y=x^2-2x-8$。
联立抛物线与直线$y=x-4$的解析式：
$\begin{cases} y=x^2-2x-8,\\ y=x-4, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x_1=4,\\ y_1=0, \end{cases}$$\begin{cases} x_2=-1,\\ y_2=-5, \end{cases}$
其中$(4,0)$为点B，故点D的坐标为$(-1,-5)$。
(2) 过点P作$PE// y$轴，交BD于点E，如图所示：
设点P的坐标为$(x,x^2-2x-8)$（$-1＜x＜4$），则同横坐标的E点坐标为$(x,x-4)$，因此：
$PE=(x-4)-(x^2-2x-8)=-x^2+3x+4$
$△ BDP$的面积为两个小三角形面积之和：
$S_{△ BDP}=S_{△ DPE}+S_{△ BPE}=\frac{1}{2}PE·(x_P-x_D)+\frac{1}{2}PE·(x_B-x_E)$
因$x_P=x_E$，整理得：
$S_{△ BDP}=\frac{1}{2}PE·(x_B-x_D)=\frac{5}{2}(-x^2+3x+4)=-\frac{5}{2}(x-\frac{3}{2})^2+\frac{125}{8}$
由于二次项系数小于0，因此当$x=\frac{3}{2}$时，$△ BDP$面积取得最大值$\frac{125}{8}$。
将$x=\frac{3}{2}$代入抛物线解析式，得$y=(\frac{3}{2})^2-2×\frac{3}{2}-8=-\frac{35}{4}$，即此时P点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{35}{4})$。
【答案】
(1) 抛物线的解析式为$y=x^2-2x-8$，点D的坐标是$(-1,-5)$；
(2) $△ BDP$面积的最大值为$\frac{125}{8}$，此时点P的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{35}{4})$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数交点求解
3. 二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的常规综合题，第一问侧重基础运算，考查函数解析式和交点坐标的计算能力；第二问是二次函数面积类问题的典型考法，核心是掌握斜三角形面积的铅垂高求解法，结合二次函数性质求最值。
【难度系数】
0.6
