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1.如图,二次函数$y=x^2+bx+c$的图象与$x$轴交于$A$,$B$两点,与$y$轴交于点$C$,其中$B(1,0)$,$C(0,3)$.
(1)直接写出这个二次函数的解析式.
(2)在直线$AC$的下方,二次函数的图象上是否存在点$P$使得$S_{△ PAC}=S_{△ ABC}$?若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)直接写出这个二次函数的解析式.
(2)在直线$AC$的下方,二次函数的图象上是否存在点$P$使得$S_{△ PAC}=S_{△ ABC}$?若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)$y=x^2-4x+3$.
(2)当$y=0$时,$x^2-4x+3=0$,解得$x_1=1,x_2=3$,$\therefore A(3,0)$.
$\because C(0,3)$,$\therefore$ 直线$AC$的解析式为$y=-x+3$.
过点$B$作$AC$的平行线交抛物线于点$P$,则有$S_{△ PAC}=S_{△ ABC}$.
设$BP$的解析式为$y=-x+d$,将点$B(1,0)$代入得$-1+d=0$,解得$d=1$,
$\therefore$ 直线$BP$的解析式为$y=-x+1$.
与二次函数的解析式联立得$\begin{cases} y=-x+1,\\ y=x^2-4x+3, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=1,\\ y=0, \end{cases}$或$\begin{cases} x=2,\\ y=-1. \end{cases}$
$\therefore P(2,-1)$.
(2)当$y=0$时,$x^2-4x+3=0$,解得$x_1=1,x_2=3$,$\therefore A(3,0)$.
$\because C(0,3)$,$\therefore$ 直线$AC$的解析式为$y=-x+3$.
过点$B$作$AC$的平行线交抛物线于点$P$,则有$S_{△ PAC}=S_{△ ABC}$.
设$BP$的解析式为$y=-x+d$,将点$B(1,0)$代入得$-1+d=0$,解得$d=1$,
$\therefore$ 直线$BP$的解析式为$y=-x+1$.
与二次函数的解析式联立得$\begin{cases} y=-x+1,\\ y=x^2-4x+3, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=1,\\ y=0, \end{cases}$或$\begin{cases} x=2,\\ y=-1. \end{cases}$
$\therefore P(2,-1)$.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数为一般式，含两个未知参数b、c，且图象过B、C两个已知点，将两点坐标代入解析式得到关于b、c的方程组，解方程组即可求出参数，得到二次函数解析式。
(2) 要使$S_{△ PAC}=S_{△ ABC}$，两个三角形共底AC，面积相等则点B和点P到直线AC的距离相等，且P在AC下方，因此过点B作AC的平行线，该平行线与抛物线的交点（除B点外）即为所求P。先求A点坐标和直线AC的解析式，再求平行于AC的直线BP的解析式，联立直线与抛物线方程求解，排除B点即可得P点坐标。
【解析】
(1) 将$B(1,0)$、$C(0,3)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1+b+c=0\\c=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-4\\c=3\end{cases}$
因此二次函数的解析式为$y=x^2-4x+3$。
(2) 存在，求解过程如下：
令$y=x^2-4x+3$中$y=0$，即$x^2-4x+3=0$，
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，
结合$B(1,0)$得$A(3,0)$。
设直线$AC$的解析式为$y=kx+m$，将$A(3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}3k+m=0\\m=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\m=3\end{cases}$
因此直线$AC$的解析式为$y=-x+3$。
$△ PAC$和$△ ABC$共底AC，面积相等则点P、B到直线AC的距离相等，因此过B作$BP// AC$，直线BP与抛物线的交点即为满足条件的点P。
两直线平行则k值相等，设直线BP的解析式为$y=-x+d$，将$B(1,0)$代入得$-1+d=0$，解得$d=1$，因此直线BP的解析式为$y=-x+1$。
联立直线BP与二次函数解析式：
$\begin{cases}y=-x+1\\y=x^2-4x+3\end{cases}$
消去y整理得$x^2-3x+2=0$，解得$x_1=1$，$x_2=2$。
$x=1$对应点B，舍去；当$x=2$时，$y=-2+1=-1$，因此点P坐标为$(2,-1)$。
【答案】
(1) $y=x^2-4x+3$
(2) 存在，点P的坐标为$(2,-1)$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，同底等高三角形面积性质
【点评】
本题是二次函数与面积结合的常见题型，核心是将面积相等的条件转化为直线平行的位置关系，通过待定系数法求解析式、联立方程求解交点，既考查函数基础计算能力，也考查几何条件的转化思维。
【难度系数】
0.7
(1) 已知二次函数为一般式，含两个未知参数b、c，且图象过B、C两个已知点，将两点坐标代入解析式得到关于b、c的方程组，解方程组即可求出参数，得到二次函数解析式。
(2) 要使$S_{△ PAC}=S_{△ ABC}$，两个三角形共底AC，面积相等则点B和点P到直线AC的距离相等，且P在AC下方，因此过点B作AC的平行线，该平行线与抛物线的交点（除B点外）即为所求P。先求A点坐标和直线AC的解析式，再求平行于AC的直线BP的解析式，联立直线与抛物线方程求解，排除B点即可得P点坐标。
【解析】
(1) 将$B(1,0)$、$C(0,3)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1+b+c=0\\c=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-4\\c=3\end{cases}$
因此二次函数的解析式为$y=x^2-4x+3$。
(2) 存在，求解过程如下：
令$y=x^2-4x+3$中$y=0$，即$x^2-4x+3=0$，
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，
结合$B(1,0)$得$A(3,0)$。
设直线$AC$的解析式为$y=kx+m$，将$A(3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases}3k+m=0\\m=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\m=3\end{cases}$
因此直线$AC$的解析式为$y=-x+3$。
$△ PAC$和$△ ABC$共底AC，面积相等则点P、B到直线AC的距离相等，因此过B作$BP// AC$，直线BP与抛物线的交点即为满足条件的点P。
两直线平行则k值相等，设直线BP的解析式为$y=-x+d$，将$B(1,0)$代入得$-1+d=0$，解得$d=1$，因此直线BP的解析式为$y=-x+1$。
联立直线BP与二次函数解析式：
$\begin{cases}y=-x+1\\y=x^2-4x+3\end{cases}$
消去y整理得$x^2-3x+2=0$，解得$x_1=1$，$x_2=2$。
$x=1$对应点B，舍去；当$x=2$时，$y=-2+1=-1$，因此点P坐标为$(2,-1)$。
【答案】
(1) $y=x^2-4x+3$
(2) 存在，点P的坐标为$(2,-1)$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，同底等高三角形面积性质
【点评】
本题是二次函数与面积结合的常见题型，核心是将面积相等的条件转化为直线平行的位置关系，通过待定系数法求解析式、联立方程求解交点，既考查函数基础计算能力，也考查几何条件的转化思维。
【难度系数】
0.7
2.如图，已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过点$A(-2,0),B(4,0),C(0,-8)$，与直线$y=x-4$交于B，D两点。
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标。
(2)点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出$△ BDP$面积的最大值及此时点P的坐标。
(1)求抛物线的解析式和点D的坐标。
(2)点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出$△ BDP$面积的最大值及此时点P的坐标。
答案
(1)将点$A$,$B$,$C$的坐标代入解析式得$\begin{cases} 4a-2b+c=0,\\ 16a+4b+c=0,\\ c=-8, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1,\\ b=-2,\\ c=-8, \end{cases}$
$\therefore$ 该抛物线的解析式为$y=x^2-2x-8$.
联立抛物线与直线的解析式得$\begin{cases} y=x^2-2x-8,\\ y=x-4, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_1=4,\\ y_1=0, \end{cases}$$\begin{cases} x_2=-1,\\ y_2=-5, \end{cases}$
点$D$的坐标是$(-1,-5)$.
(2)过点$P$作$PE// y$轴,交$BD$于点$E$.
设$P(x,x^2-2x-8)$,$E(x,x-4)$,则$PE=x-4-(x^2-2x-8)=-x^2+3x+4$,
$\therefore S_{△ BDP}=S_{△ DPE}+S_{△ BPE}=\frac{1}{2}PE·(x_P-x_D)+\frac{1}{2}PE·(x_B-x_E)=\frac{1}{2}PE·(x_B-x_D)$
$=\frac{5}{2}(-x^2+3x+4)=-\frac{5}{2}(x-\frac{3}{2})^2+\frac{125}{8}$.
$\therefore$ 当$x=\frac{3}{2}$时,$△ BDP$的面积的最大值为$\frac{125}{8}$.
$\because$ 当$x=\frac{3}{2}$时,$y=(\frac{3}{2})^2-2×\frac{3}{2}-8=-\frac{35}{4}$,
$\therefore P(\frac{3}{2},-\frac{35}{4})$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线经过A、B、C三个定点，可将三点坐标代入抛物线一般式$y=ax^2+bx+c$，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组即可得到系数，确定抛物线解析式；求点D坐标时，D是直线与抛物线除B外的另一个交点，联立两个函数的解析式，解方程组即可得到D点坐标。
(2) 求$△ BDP$的最大面积时，BD为定线段，可采用“铅垂高法”简化计算：过P作平行于y轴的直线交BD于E，将$△ BDP$拆分为$△ DPE$和$△ BPE$，两个三角形共底PE，高的和为B、D两点的横坐标之差，因此面积可表示为关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数的性质即可求出面积最大值和对应P点坐标。
【解析】
(1) 将点$A(-2,0)$、$B(4,0)$、$C(0,-8)$代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} 4a-2b+c=0\\ 16a+4b+c=0\\ c=-8 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1\\ b=-2\\ c=-8 \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=x^2-2x-8$。
联立抛物线与直线$y=x-4$的解析式，得：
$\begin{cases} y=x^2-2x-8\\ y=x-4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x_1=4\\ y_1=0 \end{cases}$（对应点B），$\begin{cases} x_2=-1\\ y_2=-5 \end{cases}$
$\therefore$ 点D的坐标为$(-1,-5)$。
(2) 过点P作$PE// y$轴，交BD于点E，如图：
设点P的横坐标为$x$，则$P(x,x^2-2x-8)$，E点在直线BD上，横坐标也为$x$，故$E(x,x-4)$。
$\because$ P在直线BD下方，$\therefore PE$的长度为E点纵坐标减P点纵坐标：
$PE=(x-4)-(x^2-2x-8)=-x^2+3x+4$
$△ BDP$的面积可拆分为$△ DPE$和$△ BPE$的面积和：
$S_{△ BDP}=S_{△ DPE}+S_{△ BPE}=\frac{1}{2}PE· (x_P-x_D)+\frac{1}{2}PE· (x_B-x_P)=\frac{1}{2}PE· (x_B-x_D)$
代入$x_B=4$，$x_D=-1$，得$x_B-x_D=5$，因此：
$S_{△ BDP}=\frac{1}{2}×5×(-x^2+3x+4)=-\frac{5}{2}(x-\frac{3}{2})^2+\frac{125}{8}$
$\because -\frac{5}{2}＜0$，$\therefore$ 当$x=\frac{3}{2}$时，$S_{△ BDP}$取得最大值$\frac{125}{8}$。
将$x=\frac{3}{2}$代入抛物线解析式，得$y=(\frac{3}{2})^2-2×\frac{3}{2}-8=-\frac{35}{4}$
$\therefore$ 此时点P的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{35}{4})$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-8}$，点D坐标为$\boldsymbol{(-1,-5)}$；
(2) $△ BDP$面积最大值为$\boldsymbol{\frac{125}{8}}$，此时点P坐标为$\boldsymbol{(\frac{3}{2},-\frac{35}{4})}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数的常见综合题型，第一问属于基础题，考查代入法求函数解析式和联立方程求交点的基本运算能力；第二问是抛物线上动点的面积最值问题，核心是掌握铅垂高法分割三角形，将面积转化为二次函数求最值的思路，对转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线经过A、B、C三个定点，可将三点坐标代入抛物线一般式$y=ax^2+bx+c$，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组即可得到系数，确定抛物线解析式；求点D坐标时，D是直线与抛物线除B外的另一个交点，联立两个函数的解析式，解方程组即可得到D点坐标。
(2) 求$△ BDP$的最大面积时，BD为定线段，可采用“铅垂高法”简化计算：过P作平行于y轴的直线交BD于E，将$△ BDP$拆分为$△ DPE$和$△ BPE$，两个三角形共底PE，高的和为B、D两点的横坐标之差，因此面积可表示为关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数的性质即可求出面积最大值和对应P点坐标。
【解析】
(1) 将点$A(-2,0)$、$B(4,0)$、$C(0,-8)$代入抛物线解析式$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} 4a-2b+c=0\\ 16a+4b+c=0\\ c=-8 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1\\ b=-2\\ c=-8 \end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=x^2-2x-8$。
联立抛物线与直线$y=x-4$的解析式，得：
$\begin{cases} y=x^2-2x-8\\ y=x-4 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x_1=4\\ y_1=0 \end{cases}$（对应点B），$\begin{cases} x_2=-1\\ y_2=-5 \end{cases}$
$\therefore$ 点D的坐标为$(-1,-5)$。
(2) 过点P作$PE// y$轴，交BD于点E，如图：
设点P的横坐标为$x$，则$P(x,x^2-2x-8)$，E点在直线BD上，横坐标也为$x$，故$E(x,x-4)$。
$\because$ P在直线BD下方，$\therefore PE$的长度为E点纵坐标减P点纵坐标：
$PE=(x-4)-(x^2-2x-8)=-x^2+3x+4$
$△ BDP$的面积可拆分为$△ DPE$和$△ BPE$的面积和：
$S_{△ BDP}=S_{△ DPE}+S_{△ BPE}=\frac{1}{2}PE· (x_P-x_D)+\frac{1}{2}PE· (x_B-x_P)=\frac{1}{2}PE· (x_B-x_D)$
代入$x_B=4$，$x_D=-1$，得$x_B-x_D=5$，因此：
$S_{△ BDP}=\frac{1}{2}×5×(-x^2+3x+4)=-\frac{5}{2}(x-\frac{3}{2})^2+\frac{125}{8}$
$\because -\frac{5}{2}＜0$，$\therefore$ 当$x=\frac{3}{2}$时，$S_{△ BDP}$取得最大值$\frac{125}{8}$。
将$x=\frac{3}{2}$代入抛物线解析式，得$y=(\frac{3}{2})^2-2×\frac{3}{2}-8=-\frac{35}{4}$
$\therefore$ 此时点P的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{35}{4})$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-8}$，点D坐标为$\boldsymbol{(-1,-5)}$；
(2) $△ BDP$面积最大值为$\boldsymbol{\frac{125}{8}}$，此时点P坐标为$\boldsymbol{(\frac{3}{2},-\frac{35}{4})}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数的常见综合题型，第一问属于基础题，考查代入法求函数解析式和联立方程求交点的基本运算能力；第二问是抛物线上动点的面积最值问题，核心是掌握铅垂高法分割三角形，将面积转化为二次函数求最值的思路，对转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
