4.如图，抛物线$y=-x^2-2x+3$与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且$-3＜m＜-1$，过点M作$MN⊥AC$于点N，当$MN=\sqrt{2}$时，求点M的坐标。

4.如图,过点 M 作 $ME⊥ x$ 轴于点 E,与直线 AC 交于点 F.
分别令 $x=0,y=0$,求得 $A(-3,0),C(0,3),\therefore OA=OC=3$,
$\because ∠ AOC=90°,\therefore ∠ OAC=45°$,
$\because ∠ AFE=45°=∠ OAC,\therefore EF=AE$.
设 $M(m,-m^2-2m+3),E(m,0)$,则 $EF=AE=m-(-3)=m+3$,
$\therefore F(m,m+3),\therefore FM=(-m^2-2m+3)-(m+3)=-m^2-3m$.
在 $\mathrm{Rt}△ FMN$ 中 $∠ MFN=45°,\therefore FM=\sqrt{2}MN=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$,
$\therefore -m^2-3m=2$,解得 $m_1=-2,m_2=-1$(舍去).
$\therefore$ 点 M 的坐标为$(-2,3)$.

【分析】
要确定点M的坐标，已知M在抛物线上且横坐标为m，只需先求出m的值即可。解题思路如下：首先求出抛物线与x轴、y轴的交点A、C的坐标，判断△AOC为等腰直角三角形，得到∠OAC=45°；再作辅助线ME⊥x轴，交直线AC于点F，构造等腰直角△FMN，利用等腰直角三角形的三边关系得到MN和FM的数量关系；最后用含m的代数式表示FM的长度，结合MN=√2列方程求解，舍去不符合取值范围的m值，即可得到点M的坐标。
【解析】
过点M作$ME⊥ x$轴于点E，与直线AC交于点F。
对于抛物线$y=-x^2-2x+3$：
令$y=0$，得$-x^2-2x+3=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-3,0)$；
令$x=0$，得$y=3$，
∴$C(0,3)$。
∴$OA=OC=3$，又$∠AOC=90°$，
∴$∠OAC=45°$。
∵$ME⊥x$轴，
∴$∠AEF=90°$，
∴$∠AFE=∠OAC=45°$，即$EF=AE$。
设点$M$的坐标为$(m,-m^2-2m+3)$，则$E(m,0)$，
$AE = m - (-3) = m + 3$，故$EF=AE=m+3$，即点F的坐标为$(m,m+3)$。
∴$FM = y_M - y_F = (-m^2-2m+3) - (m+3) = -m^2 -3m$。
∵$MN⊥AC$，$∠MFN=∠AFE=45°$，
∴$Rt△FMN$为等腰直角三角形，
∴$FM = \sqrt{2} MN$，将$MN=\sqrt{2}$代入得：$FM=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$。
列方程：$-m^2 -3m = 2$，整理得$m^2+3m+2=0$，解得$m_1=-2$，$m_2=-1$。
∵已知$-3＜m＜-1$，
∴$m=-1$不符合取值范围，舍去，取$m=-2$。
将$m=-2$代入M的纵坐标表达式，得$y=-(-2)^2 -2×(-2)+3=3$。
【答案】
点M的坐标为$\boldsymbol{(-2,3)}$
【知识点】
二次函数图象与坐标轴交点，等腰直角三角形性质，一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数与线段结合的典型题型，通过构造辅助线将未知垂线段转化为可用参数表示的线段，利用特殊角的三角形性质建立等量关系列方程求解，解题的关键是发现图中的等腰直角三角形，找到MN和FM的数量关系。
【难度系数】
0.6

5.如图,抛物线$y=ax^2+bx$与$x$轴交于原点$O$和另一点$A(4,0)$,点$B(-2,3)$在此抛物线上,过点$B$作直线$l$交$y$轴于点$C$,直线$l$与抛物线有且只有一个公共点$B$.
(1)①直接写出此抛物线的函数解析式.
②求直线$l$的函数解析式.
(2)设抛物线的对称轴交$x$轴于点$D$,交直线$l$于点$E$,若点$P$在点$A$右侧的抛物线上,且$PB=PE$,求点$P$的坐标.

5.(1)①$y=\frac{1}{4}x^2-x$.
②设直线 $l$ 的解析式为 $y=kx+n$,点 $B(-2,3)$代入解析式得 $3=-2k+n$,
$\therefore$ 直线 $l$ 的解析式为 $y=kx+3+2k$.
联立$\begin{cases}y=kx+3+2k,\\y=\frac{1}{4}x^2-x,\end{cases}$ 整理得 $\frac{1}{4}x^2-(k+1)x-(3+2k)=0$,
$\because$ 直线 $l$ 与抛物线有且只有一个公共点 $B$,
$\therefore \Delta=[-(k+1)]^2-4×\frac{1}{4}×[-(3+2k)]=k^2+4k+4=0$,解得 $k=-2$,
$\therefore$ 直线 $l$ 的解析式为 $y=-2x-1$.
(2)$\because$ 抛物线的对称轴为直线 $x=2$,直线 $l$ 的解析式为 $y=-2x-1$,
$\therefore D(2,0),E(2,-5),C(0,-1)$.
连接 $DB,DE$.
$\because B(-2,3),\therefore$ 点 $C(0,-1)$是线段 $BE$ 的中点,
又$\because DE=5=DB=\sqrt{(2+2)^2+3^2}=5,\therefore CD$ 垂直平分 $BE$.
$\because PB=PE,\therefore$ 点 $P$ 是抛物线与直线 $CD$ 的交点.
设直线 $CD$ 的解析式为 $y=k'x+n'$,则$\begin{cases}-1=n',\\0=2k'+n',\end{cases}$ 解得$\begin{cases}n'=-1,\\k'=\frac{1}{2},\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $CD$ 的解析式为 $y=\frac{1}{2}x-1$,
联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x-1,\\y=\frac{1}{4}x^2-x,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x_1=3+\sqrt{5},\\y_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\end{cases}\begin{cases}x_2=3-\sqrt{5},\\y_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{cases}$(不合题意,舍去).
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(3+\sqrt{5},\frac{1+\sqrt{5}}{2})$.

【分析】
(1)①求抛物线的解析式，已知抛物线过A(4,0)和B(-2,3)，可将两点坐标直接代入$y=ax^2+bx$，解二元一次方程组即可得到a、b的值，确定解析式。②求直线l的解析式时，先设出一次函数一般式，代入B点坐标得到参数关系，再联立直线与抛物线解析式，根据“直线与抛物线只有一个公共点”可知联立后的一元二次方程判别式$\Delta=0$，由此求解直线斜率，最终得到直线l的解析式。
(2)由$PB=PE$可知点P在线段BE的垂直平分线上，因此先根据抛物线对称轴和直线l的解析式求出D、E两点坐标，再确定BE的垂直平分线的解析式，将其与抛物线解析式联立求解，结合“P在A右侧”的条件筛选符合要求的解，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1)①将$A(4,0)$、$B(-2,3)$代入$y=ax^2+bx$，得：
$\begin{cases}0=16a+4b\\3=4a-2b\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{1}{4}\\b=-1\end{cases}$
∴抛物线的函数解析式为$y=\frac{1}{4}x^2-x$。
②设直线l的解析式为$y=kx+n$，将$B(-2,3)$代入得$3=-2k+n$，即$n=2k+3$，
∴直线l的解析式为$y=kx+2k+3$。
联立直线与抛物线解析式：
$\begin{cases}y=kx+2k+3\\y=\frac{1}{4}x^2-x\end{cases}$
整理得$\frac{1}{4}x^2-(k+1)x-(2k+3)=0$，
∵直线l与抛物线有且只有一个公共点B，
∴$\Delta=[-(k+1)]^2-4×\frac{1}{4}×[-(2k+3)]=0$，
化简得$k^2+4k+4=0$，解得$k=-2$，
代入$n=2k+3$得$n=-1$，
∴直线l的解析式为$y=-2x-1$。
(2)抛物线$y=\frac{1}{4}x^2-x$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=2$，
∴对称轴与x轴交点D的坐标为$(2,0)$，
将$x=2$代入直线l的解析式$y=-2x-1$，得$y=-5$，即$E(2,-5)$。
∵$PB=PE$，
∴点P在线段BE的垂直平分线上。
由$B(-2,3)$、$E(2,-5)$，可得BE的中点坐标为$(0,-1)$，即点$C(0,-1)$，
计算得$DB=\sqrt{(2+2)^2+(0-3)^2}=5$，$DE=|0-(-5)|=5$，即$DB=DE$，
∴直线CD垂直平分BE。
设直线CD的解析式为$y=k'x+n'$，将$C(0,-1)$、$D(2,0)$代入得：
$\begin{cases}n'=-1\\2k'+n'=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}k'=\frac{1}{2}\\n'=-1\end{cases}$
∴直线CD的解析式为$y=\frac{1}{2}x-1$。
联立直线CD与抛物线解析式：
$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x-1\\y=\frac{1}{4}x^2-x\end{cases}$
整理得$x^2-6x+4=0$，解得$x_1=3+\sqrt{5}$，$x_2=3-\sqrt{5}$，
∵点P在$A(4,0)$右侧的抛物线上，即$x＞4$，$3-\sqrt{5}＜4$不符合要求，舍去，
将$x=3+\sqrt{5}$代入$y=\frac{1}{2}x-1$得$y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴点P的坐标为$(3+\sqrt{5},\frac{1+\sqrt{5}}{2})$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=\frac{1}{4}x^2-x}$；②$\boldsymbol{y=-2x-1}$
(2)$\boldsymbol{(3+\sqrt{5},\frac{1+\sqrt{5}}{2})}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一元二次方程根的判别式，垂直平分线的性质
【点评】
本题属于二次函数与一次函数的综合题，考查了函数解析式的求解、直线与抛物线交点问题、垂直平分线的性质应用等内容，解题的关键是将“$PB=PE$”的代数条件转化为“点在垂直平分线上”的几何结论，实现数形结合快速求解，是二次函数综合类的典型题型。
【难度系数】
0.6