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4.如图，抛物线$y=-x^2-2x+3$与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，抛物线上的点M的横坐标为m，且$-3＜m＜-1$，过点M作$MN⊥AC$于点N，当$MN=\sqrt{2}$时，求点M的坐标。
答案
4.如图,过点 M 作 $ME⊥ x$ 轴于点 E,与直线 AC 交于点 F.
分别令 $x=0,y=0$,求得 $A(-3,0),C(0,3),\therefore OA=OC=3$,
$\because ∠ AOC=90°,\therefore ∠ OAC=45°$,
$\because ∠ AFE=45°=∠ OAC,\therefore EF=AE$.
设 $M(m,-m^2-2m+3),E(m,0)$,则 $EF=AE=m-(-3)=m+3$,
$\therefore F(m,m+3),\therefore FM=(-m^2-2m+3)-(m+3)=-m^2-3m$.
在 $\mathrm{Rt}△ FMN$ 中 $∠ MFN=45°,\therefore FM=\sqrt{2}MN=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$,
$\therefore -m^2-3m=2$,解得 $m_1=-2,m_2=-1$(舍去).
$\therefore$ 点 M 的坐标为$(-2,3)$.
解析
【分析】
解题时首先求出抛物线与坐标轴交点A、C的坐标，判断△AOC为等腰直角三角形得到∠OAC=45°；再作辅助线ME⊥x轴交AC于F，推导得出△MFN为等腰直角三角形，得到FM和MN的数量关系；接着用含m的式子表示M、F的坐标，写出FM的表达式，结合MN的长度列方程求解m，最后根据m的取值范围舍去不符合的解，即可得到点M的坐标。
【解析】
1. 求A、C两点坐标：
对于抛物线$y=-x^2-2x+3$，令$y=0$，得$-x^2-2x+3=0$，解得$x_1=-3,x_2=1$，因点A在点B左侧，故$A(-3,0)$；令$x=0$，得$y=3$，故$C(0,3)$。
可得$OA=OC=3$，又$∠AOC=90°$，故$∠OAC=45°$。
2. 作辅助线设点坐标：
过点M作$ME⊥x$轴于点E，与直线AC交于点F。设点M横坐标为m（$-3＜m＜-1$），则$M(m,-m^2-2m+3)$，$E(m,0)$。
因$∠OAC=45°$，$∠AEF=90°$，故$△AEF$为等腰直角三角形，$EF=AE=m-(-3)=m+3$，因此$F(m,m+3)$。
3. 列方程求解：
FM的长度为M、F纵坐标之差：$FM=(-m^2-2m+3)-(m+3)=-m^2-3m$。
因$MN⊥AC$，$∠MFN=∠AFE=45°$，故$Rt△FMN$为等腰直角三角形，$FM=\sqrt{2}MN$。
代入$MN=\sqrt{2}$，得$FM=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，因此列方程：$-m^2-3m=2$，整理得$m^2+3m+2=0$，解得$m_1=-2,m_2=-1$。
4. 筛选符合条件的解：
因$-3＜m＜-1$，故$m=-1$舍去，取$m=-2$，代入M的坐标表达式得纵坐标为$-(-2)^2-2×(-2)+3=3$。
【答案】
点M的坐标为$\boldsymbol{(-2,3)}$
【知识点】
1. 二次函数图象与坐标轴交点
2. 等腰直角三角形性质
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，通过构造辅助线将垂线段长度转化为坐标差，结合等腰直角三角形的边角关系建立方程求解，考查了数形结合思想和方程思想，解题时要注意结合自变量范围对解进行取舍。
【难度系数】
0.6
解题时首先求出抛物线与坐标轴交点A、C的坐标，判断△AOC为等腰直角三角形得到∠OAC=45°；再作辅助线ME⊥x轴交AC于F，推导得出△MFN为等腰直角三角形，得到FM和MN的数量关系；接着用含m的式子表示M、F的坐标，写出FM的表达式，结合MN的长度列方程求解m，最后根据m的取值范围舍去不符合的解，即可得到点M的坐标。
【解析】
1. 求A、C两点坐标：
对于抛物线$y=-x^2-2x+3$，令$y=0$，得$-x^2-2x+3=0$，解得$x_1=-3,x_2=1$，因点A在点B左侧，故$A(-3,0)$；令$x=0$，得$y=3$，故$C(0,3)$。
可得$OA=OC=3$，又$∠AOC=90°$，故$∠OAC=45°$。
2. 作辅助线设点坐标：
过点M作$ME⊥x$轴于点E，与直线AC交于点F。设点M横坐标为m（$-3＜m＜-1$），则$M(m,-m^2-2m+3)$，$E(m,0)$。
因$∠OAC=45°$，$∠AEF=90°$，故$△AEF$为等腰直角三角形，$EF=AE=m-(-3)=m+3$，因此$F(m,m+3)$。
3. 列方程求解：
FM的长度为M、F纵坐标之差：$FM=(-m^2-2m+3)-(m+3)=-m^2-3m$。
因$MN⊥AC$，$∠MFN=∠AFE=45°$，故$Rt△FMN$为等腰直角三角形，$FM=\sqrt{2}MN$。
代入$MN=\sqrt{2}$，得$FM=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，因此列方程：$-m^2-3m=2$，整理得$m^2+3m+2=0$，解得$m_1=-2,m_2=-1$。
4. 筛选符合条件的解：
因$-3＜m＜-1$，故$m=-1$舍去，取$m=-2$，代入M的坐标表达式得纵坐标为$-(-2)^2-2×(-2)+3=3$。
【答案】
点M的坐标为$\boldsymbol{(-2,3)}$
【知识点】
1. 二次函数图象与坐标轴交点
2. 等腰直角三角形性质
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，通过构造辅助线将垂线段长度转化为坐标差，结合等腰直角三角形的边角关系建立方程求解，考查了数形结合思想和方程思想，解题时要注意结合自变量范围对解进行取舍。
【难度系数】
0.6
5.如图,抛物线$y=ax^2+bx$与$x$轴交于原点$O$和另一点$A(4,0)$,点$B(-2,3)$在此抛物线上,过点$B$作直线$l$交$y$轴于点$C$,直线$l$与抛物线有且只有一个公共点$B$.
(1)①直接写出此抛物线的函数解析式.
②求直线$l$的函数解析式.
(2)设抛物线的对称轴交$x$轴于点$D$,交直线$l$于点$E$,若点$P$在点$A$右侧的抛物线上,且$PB=PE$,求点$P$的坐标.
(1)①直接写出此抛物线的函数解析式.
②求直线$l$的函数解析式.
(2)设抛物线的对称轴交$x$轴于点$D$,交直线$l$于点$E$,若点$P$在点$A$右侧的抛物线上,且$PB=PE$,求点$P$的坐标.
答案
5.(1)①$y=\frac{1}{4}x^2-x$.
②设直线 $l$ 的解析式为 $y=kx+n$,点 $B(-2,3)$代入解析式得 $3=-2k+n$,
$\therefore$ 直线 $l$ 的解析式为 $y=kx+3+2k$.
联立$\begin{cases}y=kx+3+2k,\\y=\frac{1}{4}x^2-x,\end{cases}$ 整理得 $\frac{1}{4}x^2-(k+1)x-(3+2k)=0$,
$\because$ 直线 $l$ 与抛物线有且只有一个公共点 $B$,
$\therefore \Delta=[-(k+1)]^2-4×\frac{1}{4}×[-(3+2k)]=k^2+4k+4=0$,解得 $k=-2$,
$\therefore$ 直线 $l$ 的解析式为 $y=-2x-1$.
(2)$\because$ 抛物线的对称轴为直线 $x=2$,直线 $l$ 的解析式为 $y=-2x-1$,
$\therefore D(2,0),E(2,-5),C(0,-1)$.
连接 $DB,DE$.
$\because B(-2,3),\therefore$ 点 $C(0,-1)$是线段 $BE$ 的中点,
又$\because DE=5=DB=\sqrt{(2+2)^2+3^2}=5,\therefore CD$ 垂直平分 $BE$.
$\because PB=PE,\therefore$ 点 $P$ 是抛物线与直线 $CD$ 的交点.
设直线 $CD$ 的解析式为 $y=k'x+n'$,则$\begin{cases}-1=n',\\0=2k'+n',\end{cases}$ 解得$\begin{cases}n'=-1,\\k'=\frac{1}{2},\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $CD$ 的解析式为 $y=\frac{1}{2}x-1$,
联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x-1,\\y=\frac{1}{4}x^2-x,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x_1=3+\sqrt{5},\\y_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\end{cases}\begin{cases}x_2=3-\sqrt{5},\\y_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{cases}$(不合题意,舍去).
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(3+\sqrt{5},\frac{1+\sqrt{5}}{2})$.
②设直线 $l$ 的解析式为 $y=kx+n$,点 $B(-2,3)$代入解析式得 $3=-2k+n$,
$\therefore$ 直线 $l$ 的解析式为 $y=kx+3+2k$.
联立$\begin{cases}y=kx+3+2k,\\y=\frac{1}{4}x^2-x,\end{cases}$ 整理得 $\frac{1}{4}x^2-(k+1)x-(3+2k)=0$,
$\because$ 直线 $l$ 与抛物线有且只有一个公共点 $B$,
$\therefore \Delta=[-(k+1)]^2-4×\frac{1}{4}×[-(3+2k)]=k^2+4k+4=0$,解得 $k=-2$,
$\therefore$ 直线 $l$ 的解析式为 $y=-2x-1$.
(2)$\because$ 抛物线的对称轴为直线 $x=2$,直线 $l$ 的解析式为 $y=-2x-1$,
$\therefore D(2,0),E(2,-5),C(0,-1)$.
连接 $DB,DE$.
$\because B(-2,3),\therefore$ 点 $C(0,-1)$是线段 $BE$ 的中点,
又$\because DE=5=DB=\sqrt{(2+2)^2+3^2}=5,\therefore CD$ 垂直平分 $BE$.
$\because PB=PE,\therefore$ 点 $P$ 是抛物线与直线 $CD$ 的交点.
设直线 $CD$ 的解析式为 $y=k'x+n'$,则$\begin{cases}-1=n',\\0=2k'+n',\end{cases}$ 解得$\begin{cases}n'=-1,\\k'=\frac{1}{2},\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $CD$ 的解析式为 $y=\frac{1}{2}x-1$,
联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x-1,\\y=\frac{1}{4}x^2-x,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x_1=3+\sqrt{5},\\y_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\end{cases}\begin{cases}x_2=3-\sqrt{5},\\y_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{cases}$(不合题意,舍去).
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(3+\sqrt{5},\frac{1+\sqrt{5}}{2})$.
解析
【分析】
(1)①已知抛物线解析式为$y=ax^2+bx$，且过点$A(4,0)$和$B(-2,3)$，将两点坐标代入解析式得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线解析式。
②设直线$l$的解析式为$y=kx+n$，先代入点$B$坐标得到$k$和$n$的关系，再将直线与抛物线解析式联立得到一元二次方程，由直线与抛物线只有一个公共点可知判别式$\Delta=0$，由此求出$k$的值即可得到直线$l$的解析式。
(2)先根据抛物线解析式求出对称轴，得到$D$、$E$两点坐标；由$PB=PE$可知点$P$在$BE$的垂直平分线上，求出$BE$的垂直平分线解析式后与抛物线联立求解，最后根据“点$P$在$A$右侧”的条件筛选出符合要求的坐标即可。
【解析】
(1)①将$A(4,0)$、$B(-2,3)$代入$y=ax^2+bx$得：
$\begin{cases}0=16a+4b\\3=4a-2b\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{1}{4}\\b=-1\end{cases}$，
∴抛物线的函数解析式为$y=\frac{1}{4}x^2-x$。
②设直线$l$的解析式为$y=kx+n$，将$B(-2,3)$代入得$3=-2k+n$，即$n=2k+3$，
∴直线$l$的解析式为$y=kx+2k+3$，
联立$\begin{cases}y=kx+2k+3\\y=\frac{1}{4}x^2-x\end{cases}$，整理得$\frac{1}{4}x^2-(k+1)x-(2k+3)=0$，
∵直线$l$与抛物线只有一个公共点$B$，
∴$\Delta=[-(k+1)]^2-4×\frac{1}{4}×[-(2k+3)]=k^2+4k+4=0$，解得$k=-2$，
∴$n=2×(-2)+3=-1$，
∴直线$l$的函数解析式为$y=-2x-1$。
(2)抛物线$y=\frac{1}{4}x^2-x$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=2$，
∴对称轴与$x$轴交点$D$的坐标为$(2,0)$，
将$x=2$代入$y=-2x-1$得$y=-5$，即$E(2,-5)$，
∵$PB=PE$，
∴点$P$在线段$BE$的垂直平分线上，
$BE$的中点坐标为$(\frac{-2+2}{2},\frac{3-5}{2})=(0,-1)$，即$C(0,-1)$是$BE$中点，
又$DB=\sqrt{(2+2)^2+(0-3)^2}=5$，$DE=|0-(-5)|=5$，即$DB=DE$，
∴直线$CD$是$BE$的垂直平分线，
设直线$CD$的解析式为$y=k'x+n'$，代入$C(0,-1)$、$D(2,0)$得：
$\begin{cases}n'=-1\\2k'+n'=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k'=\frac{1}{2}\\n'=-1\end{cases}$，
∴直线$CD$的解析式为$y=\frac{1}{2}x-1$，
联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x-1\\y=\frac{1}{4}x^2-x\end{cases}$，整理得$x^2-6x+4=0$，解得$x=3\pm\sqrt{5}$，
∵点$P$在$A(4,0)$右侧的抛物线上，
∴$x＞4$，
$x=3-\sqrt{5}＜4$，不合题意舍去；$x=3+\sqrt{5}＞4$，符合要求，
将$x=3+\sqrt{5}$代入$y=\frac{1}{2}x-1$得$y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴点$P$的坐标为$(3+\sqrt{5},\frac{1+\sqrt{5}}{2})$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=\frac{1}{4}x^2-x}$；②$\boldsymbol{y=-2x-1}$；(2)$\boldsymbol{(3+\sqrt{5},\frac{1+\sqrt{5}}{2})}$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点判别式应用，垂直平分线的性质
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了函数解析式求解、判别式的应用、垂直平分线的性质等内容，需要学生掌握数形结合思想，具备联立方程求解的运算能力，解题的关键是将$PB=PE$的条件转化为点在垂直平分线上的几何特征。
【难度系数】
0.6
(1)①已知抛物线解析式为$y=ax^2+bx$，且过点$A(4,0)$和$B(-2,3)$，将两点坐标代入解析式得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线解析式。
②设直线$l$的解析式为$y=kx+n$，先代入点$B$坐标得到$k$和$n$的关系，再将直线与抛物线解析式联立得到一元二次方程，由直线与抛物线只有一个公共点可知判别式$\Delta=0$，由此求出$k$的值即可得到直线$l$的解析式。
(2)先根据抛物线解析式求出对称轴，得到$D$、$E$两点坐标；由$PB=PE$可知点$P$在$BE$的垂直平分线上，求出$BE$的垂直平分线解析式后与抛物线联立求解，最后根据“点$P$在$A$右侧”的条件筛选出符合要求的坐标即可。
【解析】
(1)①将$A(4,0)$、$B(-2,3)$代入$y=ax^2+bx$得：
$\begin{cases}0=16a+4b\\3=4a-2b\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{1}{4}\\b=-1\end{cases}$，
∴抛物线的函数解析式为$y=\frac{1}{4}x^2-x$。
②设直线$l$的解析式为$y=kx+n$，将$B(-2,3)$代入得$3=-2k+n$，即$n=2k+3$，
∴直线$l$的解析式为$y=kx+2k+3$，
联立$\begin{cases}y=kx+2k+3\\y=\frac{1}{4}x^2-x\end{cases}$，整理得$\frac{1}{4}x^2-(k+1)x-(2k+3)=0$，
∵直线$l$与抛物线只有一个公共点$B$，
∴$\Delta=[-(k+1)]^2-4×\frac{1}{4}×[-(2k+3)]=k^2+4k+4=0$，解得$k=-2$，
∴$n=2×(-2)+3=-1$，
∴直线$l$的函数解析式为$y=-2x-1$。
(2)抛物线$y=\frac{1}{4}x^2-x$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=2$，
∴对称轴与$x$轴交点$D$的坐标为$(2,0)$，
将$x=2$代入$y=-2x-1$得$y=-5$，即$E(2,-5)$，
∵$PB=PE$，
∴点$P$在线段$BE$的垂直平分线上，
$BE$的中点坐标为$(\frac{-2+2}{2},\frac{3-5}{2})=(0,-1)$，即$C(0,-1)$是$BE$中点，
又$DB=\sqrt{(2+2)^2+(0-3)^2}=5$，$DE=|0-(-5)|=5$，即$DB=DE$，
∴直线$CD$是$BE$的垂直平分线，
设直线$CD$的解析式为$y=k'x+n'$，代入$C(0,-1)$、$D(2,0)$得：
$\begin{cases}n'=-1\\2k'+n'=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k'=\frac{1}{2}\\n'=-1\end{cases}$，
∴直线$CD$的解析式为$y=\frac{1}{2}x-1$，
联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x-1\\y=\frac{1}{4}x^2-x\end{cases}$，整理得$x^2-6x+4=0$，解得$x=3\pm\sqrt{5}$，
∵点$P$在$A(4,0)$右侧的抛物线上，
∴$x＞4$，
$x=3-\sqrt{5}＜4$，不合题意舍去；$x=3+\sqrt{5}＞4$，符合要求，
将$x=3+\sqrt{5}$代入$y=\frac{1}{2}x-1$得$y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴点$P$的坐标为$(3+\sqrt{5},\frac{1+\sqrt{5}}{2})$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{y=\frac{1}{4}x^2-x}$；②$\boldsymbol{y=-2x-1}$；(2)$\boldsymbol{(3+\sqrt{5},\frac{1+\sqrt{5}}{2})}$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点判别式应用，垂直平分线的性质
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了函数解析式求解、判别式的应用、垂直平分线的性质等内容，需要学生掌握数形结合思想，具备联立方程求解的运算能力，解题的关键是将$PB=PE$的条件转化为点在垂直平分线上的几何特征。
【难度系数】
0.6
