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1.如图，抛物线$y=-x^2 -2x +3$与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。点M为第二象限内抛物线上的一点，过点M作$MN // y$轴，MN交线段AC于点N，若$MN=2$，则点M的坐标是
$(-2,3)$或$(-1,4)$
。答案
1.点M的坐标为$(-2,3)$或$(-1,4)$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先求抛物线与坐标轴的交点A、C的坐标；第二步根据A、C坐标求出直线AC的解析式；第三步由于MN平行于y轴，可知点M和点N的横坐标相同，设横坐标为m，分别用抛物线和直线AC的解析式表示出M、N的纵坐标；第四步根据MN长度为2，列出关于m的方程，求解后结合M在第二象限的条件验证解的合理性，最后代入求出M的坐标。
【解析】
1. 求A、C两点坐标：
对于抛物线$y=-x^2 -2x +3$，
令$y=0$，则$-x^2 -2x +3=0$，整理得$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，因为点A在点B左侧，所以$A(-3,0)$；
令$x=0$，得$y=3$，所以$C(0,3)$。
2. 求直线AC的解析式：
设直线AC的解析式为$y=kx+b$，将$A(-3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases} b=3 \\ -3k+b=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=1 \\ b=3 \end{cases}$，所以直线AC的解析式为$y=x+3$。
3. 设点M的横坐标为$m$，因为$MN// y$轴，所以点N的横坐标也为$m$，
则$M(m, -m^2 -2m +3)$，$N(m, m+3)$，
因为点M在第二象限抛物线上，位于AC上方，所以$MN=y_M - y_N=2$，
列方程：$(-m^2 -2m +3)-(m+3)=2$，
化简得：$-m^2 -3m -2=0$，即$m^2+3m+2=0$，
因式分解得$(m+1)(m+2)=0$，解得$m_1=-1$，$m_2=-2$，两个解均满足$-3＜m＜0$，符合第二象限要求。
4. 求M的坐标：
当$m=-2$时，$y=-(-2)^2-2×(-2)+3=3$，即$M(-2,3)$；
当$m=-1$时，$y=-(-1)^2-2×(-1)+3=4$，即$M(-1,4)$。
【答案】
$(-2,3)$或$(-1,4)$
【知识点】
二次函数图像性质，一次函数解析式，坐标与线段长度
【点评】
本题是抛物线与线段结合的常规题型，核心是利用平行于y轴的点横坐标相等的性质，用参数表示两点坐标后根据线段长度列方程求解，求解后要注意结合点的位置验证解是否符合题意。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步先求抛物线与坐标轴的交点A、C的坐标；第二步根据A、C坐标求出直线AC的解析式；第三步由于MN平行于y轴，可知点M和点N的横坐标相同，设横坐标为m，分别用抛物线和直线AC的解析式表示出M、N的纵坐标；第四步根据MN长度为2，列出关于m的方程，求解后结合M在第二象限的条件验证解的合理性，最后代入求出M的坐标。
【解析】
1. 求A、C两点坐标：
对于抛物线$y=-x^2 -2x +3$，
令$y=0$，则$-x^2 -2x +3=0$，整理得$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，因为点A在点B左侧，所以$A(-3,0)$；
令$x=0$，得$y=3$，所以$C(0,3)$。
2. 求直线AC的解析式：
设直线AC的解析式为$y=kx+b$，将$A(-3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases} b=3 \\ -3k+b=0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=1 \\ b=3 \end{cases}$，所以直线AC的解析式为$y=x+3$。
3. 设点M的横坐标为$m$，因为$MN// y$轴，所以点N的横坐标也为$m$，
则$M(m, -m^2 -2m +3)$，$N(m, m+3)$，
因为点M在第二象限抛物线上，位于AC上方，所以$MN=y_M - y_N=2$，
列方程：$(-m^2 -2m +3)-(m+3)=2$，
化简得：$-m^2 -3m -2=0$，即$m^2+3m+2=0$，
因式分解得$(m+1)(m+2)=0$，解得$m_1=-1$，$m_2=-2$，两个解均满足$-3＜m＜0$，符合第二象限要求。
4. 求M的坐标：
当$m=-2$时，$y=-(-2)^2-2×(-2)+3=3$，即$M(-2,3)$；
当$m=-1$时，$y=-(-1)^2-2×(-1)+3=4$，即$M(-1,4)$。
【答案】
$(-2,3)$或$(-1,4)$
【知识点】
二次函数图像性质，一次函数解析式，坐标与线段长度
【点评】
本题是抛物线与线段结合的常规题型，核心是利用平行于y轴的点横坐标相等的性质，用参数表示两点坐标后根据线段长度列方程求解，求解后要注意结合点的位置验证解是否符合题意。
【难度系数】
0.7
2.如图，抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2$与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A.点P是第四象限内抛物线上的一点，$PK// BC$，PK交AB于点K，若$PK=2$，则点P的坐标是
$(2,-2)$
.答案
2.点P的坐标为$(2,-2)$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①先求出抛物线与坐标轴交点A、B的坐标，再推导直线AB的解析式；②根据PK平行于x轴（BC在x轴上），可知P、K两点纵坐标相同，设出点P的横坐标，分别表示出P、K两点的坐标；③根据PK的长度为2，利用横坐标差列方程求解，最后验证点P在第四象限即可。
【解析】
1. 求A、B点坐标：
对于抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2$：
令$x=0$，得$y=-2$，故$A(0,-2)$；
令$y=0$，则$\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2=0$，整理得$x^2-2x-8=0$，因式分解为$(x-4)(x+2)=0$，解得$x_1=4,x_2=-2$，故$B(4,0)$。
2. 求直线AB的解析式：
设直线AB解析式为$y=kx+b$，代入$A(0,-2)$、$B(4,0)$得：
$\begin{cases}b=-2 \\4k+b=0 \end{cases}$，解得$k=\frac{1}{2},b=-2$，故AB解析式为$y=\frac{1}{2}x -2$。
3. 设点坐标并列方程求解：
因为$PK// BC$，BC在x轴上，故PK平行于x轴，P、K纵坐标相等。
设点P的横坐标为$t$（$t＞0$，且P在第四象限，纵坐标小于0），则$P(t,\frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t - 2)$。
将K的纵坐标$y=\frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t - 2$代入直线AB解析式，求K的横坐标：
$\frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t - 2=\frac{1}{2}x -2$，解得$x=\frac{1}{2}t^2 - t$，即$K(\frac{1}{2}t^2 - t,\frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t - 2)$。
由图可知P在K右侧，故$PK=x_P - x_K=2$，代入得：
$t - (\frac{1}{2}t^2 - t)=2$，整理得$t^2-4t+4=0$，解得$t=2$。
将$t=2$代入P的坐标，得$y=\frac{1}{4}×2^2 - \frac{1}{2}×2 -2=1-1-2=-2$，故$P(2,-2)$，符合第四象限要求。
【答案】
$(2,-2)$
【知识点】
抛物线交点坐标求解；一次函数解析式求解；坐标与线段长度转化
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合基础题，解题关键是利用平行于x轴的直线上点纵坐标相等的性质，将线段长度转化为点的横坐标差列方程求解，掌握坐标与线段长度的互化方法是解决这类抛物线与线段问题的核心。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：①先求出抛物线与坐标轴交点A、B的坐标，再推导直线AB的解析式；②根据PK平行于x轴（BC在x轴上），可知P、K两点纵坐标相同，设出点P的横坐标，分别表示出P、K两点的坐标；③根据PK的长度为2，利用横坐标差列方程求解，最后验证点P在第四象限即可。
【解析】
1. 求A、B点坐标：
对于抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2$：
令$x=0$，得$y=-2$，故$A(0,-2)$；
令$y=0$，则$\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2=0$，整理得$x^2-2x-8=0$，因式分解为$(x-4)(x+2)=0$，解得$x_1=4,x_2=-2$，故$B(4,0)$。
2. 求直线AB的解析式：
设直线AB解析式为$y=kx+b$，代入$A(0,-2)$、$B(4,0)$得：
$\begin{cases}b=-2 \\4k+b=0 \end{cases}$，解得$k=\frac{1}{2},b=-2$，故AB解析式为$y=\frac{1}{2}x -2$。
3. 设点坐标并列方程求解：
因为$PK// BC$，BC在x轴上，故PK平行于x轴，P、K纵坐标相等。
设点P的横坐标为$t$（$t＞0$，且P在第四象限，纵坐标小于0），则$P(t,\frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t - 2)$。
将K的纵坐标$y=\frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t - 2$代入直线AB解析式，求K的横坐标：
$\frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t - 2=\frac{1}{2}x -2$，解得$x=\frac{1}{2}t^2 - t$，即$K(\frac{1}{2}t^2 - t,\frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t - 2)$。
由图可知P在K右侧，故$PK=x_P - x_K=2$，代入得：
$t - (\frac{1}{2}t^2 - t)=2$，整理得$t^2-4t+4=0$，解得$t=2$。
将$t=2$代入P的坐标，得$y=\frac{1}{4}×2^2 - \frac{1}{2}×2 -2=1-1-2=-2$，故$P(2,-2)$，符合第四象限要求。
【答案】
$(2,-2)$
【知识点】
抛物线交点坐标求解；一次函数解析式求解；坐标与线段长度转化
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合基础题，解题关键是利用平行于x轴的直线上点纵坐标相等的性质，将线段长度转化为点的横坐标差列方程求解，掌握坐标与线段长度的互化方法是解决这类抛物线与线段问题的核心。
【难度系数】
0.7
3.如图，点 P 是第一象限内在抛物线 $y=-x^2+4x$ 上的点，直线 $y=-x+4$ 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C.过点 P 作 $PD// y$ 轴，与直线 AC 交于点 D，当 $PD=\frac{1}{2}OC$ 时，设点 P 的横坐标为 m，求 m 的值.
答案
3.设点 P,D 的坐标分别为 $P(m,-m^2+4m),D(m,-m+4)$.
令 $y=-x^2+4x=0$,解得 $x_1=0,x_2=4,\therefore 0＜m＜4$.
$\because$ 点 C 的坐标为 $(0,4),\therefore OC=4,PD=\frac{1}{2}OC=2$.
当点 P 在直线 AC 上方时,$PD=-m^2+4m-(-m+4)=2$,解得 $m_1=2,m_2=3$；
当点 P 在直线 AC 下方时,$PD=-m+4-(-m^2+4m)=2$,解得 $m=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}$,
$\because 0＜m＜1,\therefore m=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$.
综上所述,$m$ 的值为 2 或 3 或 $\frac{5-\sqrt{17}}{2}$.
令 $y=-x^2+4x=0$,解得 $x_1=0,x_2=4,\therefore 0＜m＜4$.
$\because$ 点 C 的坐标为 $(0,4),\therefore OC=4,PD=\frac{1}{2}OC=2$.
当点 P 在直线 AC 上方时,$PD=-m^2+4m-(-m+4)=2$,解得 $m_1=2,m_2=3$；
当点 P 在直线 AC 下方时,$PD=-m+4-(-m^2+4m)=2$,解得 $m=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}$,
$\because 0＜m＜1,\therefore m=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$.
综上所述,$m$ 的值为 2 或 3 或 $\frac{5-\sqrt{17}}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先根据点P的横坐标为m，结合PD//y轴，可得P、D两点横坐标均为m，分别代入抛物线和直线解析式即可表示出两点坐标；再求出直线与y轴交点C的坐标得到OC长度，进而得到PD的长度；接下来PD是两点纵坐标差的绝对值，需分点P在直线AC上方、下方两种情况列方程求解，最后结合点P在第一象限抛物线的取值范围0＜m＜4对所得根进行取舍即可。
【解析】
解：
∵点P的横坐标为m，PD//y轴，
∴点P坐标为$(m,-m^2+4m)$，点D坐标为$(m,-m+4)$。
先求抛物线与x轴交点：令$y=-x^2+4x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$，
∵点P在第一象限的抛物线上，
∴$0＜m＜4$。
对于直线$y=-x+4$，令$x=0$，得$y=4$，
∴点C坐标为$(0,4)$，则$OC=4$，
由$PD=\frac{1}{2}OC$，得$PD=2$。
分两种情况讨论：
①当点P在直线AC上方时，PD等于P的纵坐标减D的纵坐标，即：
$-m^2+4m-(-m+4)=2$
整理得$m^2-5m+6=0$，解得$m_1=2$，$m_2=3$，均满足$0＜m＜4$，符合要求；
②当点P在直线AC下方时，PD等于D的纵坐标减P的纵坐标，即：
$-m+4-(-m^2+4m)=2$
整理得$m^2-5m+2=0$，解得$m=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}$，
其中$\frac{5+\sqrt{17}}{2}＞4$，不符合$0＜m＜4$的范围，舍去；$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$满足$0＜m＜4$，符合要求。
综上，m的值为2或3或$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$。
【答案】
2或3或$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题解题的关键是用横坐标m表示出P、D两点的坐标，再结合线段长度关系列方程，需要注意分类讨论点与直线的位置关系，同时要结合自变量的取值范围对所得的根进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.5
解题时首先根据点P的横坐标为m，结合PD//y轴，可得P、D两点横坐标均为m，分别代入抛物线和直线解析式即可表示出两点坐标；再求出直线与y轴交点C的坐标得到OC长度，进而得到PD的长度；接下来PD是两点纵坐标差的绝对值，需分点P在直线AC上方、下方两种情况列方程求解，最后结合点P在第一象限抛物线的取值范围0＜m＜4对所得根进行取舍即可。
【解析】
解：
∵点P的横坐标为m，PD//y轴，
∴点P坐标为$(m,-m^2+4m)$，点D坐标为$(m,-m+4)$。
先求抛物线与x轴交点：令$y=-x^2+4x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$，
∵点P在第一象限的抛物线上，
∴$0＜m＜4$。
对于直线$y=-x+4$，令$x=0$，得$y=4$，
∴点C坐标为$(0,4)$，则$OC=4$，
由$PD=\frac{1}{2}OC$，得$PD=2$。
分两种情况讨论：
①当点P在直线AC上方时，PD等于P的纵坐标减D的纵坐标，即：
$-m^2+4m-(-m+4)=2$
整理得$m^2-5m+6=0$，解得$m_1=2$，$m_2=3$，均满足$0＜m＜4$，符合要求；
②当点P在直线AC下方时，PD等于D的纵坐标减P的纵坐标，即：
$-m+4-(-m^2+4m)=2$
整理得$m^2-5m+2=0$，解得$m=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}$，
其中$\frac{5+\sqrt{17}}{2}＞4$，不符合$0＜m＜4$的范围，舍去；$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$满足$0＜m＜4$，符合要求。
综上，m的值为2或3或$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$。
【答案】
2或3或$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，一元二次方程的解法
【点评】
本题解题的关键是用横坐标m表示出P、D两点的坐标，再结合线段长度关系列方程，需要注意分类讨论点与直线的位置关系，同时要结合自变量的取值范围对所得的根进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.5
