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1.如图，抛物线$y=-x^2 -2x +3$与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。点M为第二象限内抛物线上的一点，过点M作$MN // y$轴，MN交线段AC于点N，若$MN=2$，则点M的坐标是
$(-2,3)$或$(-1,4)$
。答案
1.点M的坐标为$(-2,3)$或$(-1,4)$
解析
【分析】
解题时先求出抛物线与x轴交点A、与y轴交点C的坐标，再求出直线AC的解析式；由于MN//y轴，可知点M和点N横坐标相同，设横坐标为m，分别用抛物线和直线AC的解析式表示出M、N的纵坐标，根据MN的长度为2列出关于m的方程，求解后结合点M在第二象限的范围筛选符合条件的解，即可得到点M的坐标。
【解析】
1. 求A、C两点坐标
令抛物线$y=-x^2 -2x +3$中$y=0$，得：
$-x^2 -2x +3=0$，整理为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，因点A在点B左侧，故$A(-3,0)$
令$x=0$，得$y=3$，故$C(0,3)$
2. 求直线AC的解析式
设直线AC的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(-3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases} b=3 \\ -3k + b =0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=1 \\ b=3 \end{cases}$
即直线AC的解析式为$y=x+3$
3. 设点并列方程求解
因$MN// y$轴，设点M的横坐标为$m$（$-3＜m＜0$，符合M在第二象限抛物线上的范围），则：
$M(m, -m^2 -2m +3)$，$N(m, m+3)$
由MN=2且M在N上方，得：
$(-m^2 -2m +3) - (m+3) = 2$
化简得：$m^2 +3m +2=0$，因式分解得$(m+1)(m+2)=0$
解得$m_1=-1$，$m_2=-2$，均符合取值范围
4. 计算点M坐标
当$m=-2$时，$y=-(-2)^2 -2×(-2)+3=3$，即$M(-2,3)$
当$m=-1$时，$y=-(-1)^2 -2×(-1)+3=4$，即$M(-1,4)$
【答案】
$(-2,3)$或$(-1,4)$
【知识点】
二次函数交点求法，一次函数解析式确定，竖直线段长度计算
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合基础题，核心是利用平行于y轴的直线上点横坐标相等的特点，将线段长度转化为纵坐标之差建立方程求解，是抛物线与线段结合的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先求出抛物线与x轴交点A、与y轴交点C的坐标，再求出直线AC的解析式；由于MN//y轴，可知点M和点N横坐标相同，设横坐标为m，分别用抛物线和直线AC的解析式表示出M、N的纵坐标，根据MN的长度为2列出关于m的方程，求解后结合点M在第二象限的范围筛选符合条件的解，即可得到点M的坐标。
【解析】
1. 求A、C两点坐标
令抛物线$y=-x^2 -2x +3$中$y=0$，得：
$-x^2 -2x +3=0$，整理为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，因点A在点B左侧，故$A(-3,0)$
令$x=0$，得$y=3$，故$C(0,3)$
2. 求直线AC的解析式
设直线AC的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(-3,0)$、$C(0,3)$代入得：
$\begin{cases} b=3 \\ -3k + b =0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=1 \\ b=3 \end{cases}$
即直线AC的解析式为$y=x+3$
3. 设点并列方程求解
因$MN// y$轴，设点M的横坐标为$m$（$-3＜m＜0$，符合M在第二象限抛物线上的范围），则：
$M(m, -m^2 -2m +3)$，$N(m, m+3)$
由MN=2且M在N上方，得：
$(-m^2 -2m +3) - (m+3) = 2$
化简得：$m^2 +3m +2=0$，因式分解得$(m+1)(m+2)=0$
解得$m_1=-1$，$m_2=-2$，均符合取值范围
4. 计算点M坐标
当$m=-2$时，$y=-(-2)^2 -2×(-2)+3=3$，即$M(-2,3)$
当$m=-1$时，$y=-(-1)^2 -2×(-1)+3=4$，即$M(-1,4)$
【答案】
$(-2,3)$或$(-1,4)$
【知识点】
二次函数交点求法，一次函数解析式确定，竖直线段长度计算
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合基础题，核心是利用平行于y轴的直线上点横坐标相等的特点，将线段长度转化为纵坐标之差建立方程求解，是抛物线与线段结合的常考题型。
【难度系数】
0.7
2.如图，抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2$与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A.点P是第四象限内抛物线上的一点，$PK// BC$，PK交AB于点K，若$PK=2$，则点P的坐标是
$(2,-2)$
.答案
2.点P的坐标为$(2,-2)$
解析
【分析】
解题首先要先求出抛物线与坐标轴交点A、B的坐标，再推导直线AB的解析式；由于BC在x轴上，PK平行于BC说明PK是水平线段，P、K两点纵坐标相同，结合PK长度为2可设出点P坐标，进而表示出点K的坐标，最后将K坐标代入直线AB解析式列方程，求解即可得到点P的坐标。
【解析】
1. 求A、B两点坐标
对于抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2$：
令$x=0$，得$y=-2$，因此$A(0,-2)$；
令$y=0$，则$\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2=0$，整理得$x^2-2x-8=0$，因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-2$，因此$B(4,0)$。
2. 求直线AB的解析式
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(0,-2)$、$B(4,0)$代入解析式：
$\begin{cases} b=-2 \\ 4k + b = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=\frac{1}{2} \\ b=-2 \end{cases}$，即直线AB的解析式为$y=\frac{1}{2}x -2$。
3. 设点坐标并列方程求解
因为$PK// BC$，BC在x轴上，所以PK为水平线段，P、K纵坐标相等，且$PK=2$，K在P左侧。
设点P的横坐标为$t$，则$P(t, \frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t - 2)$，K点坐标为$(t-2, \frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t - 2)$。
由于K在直线AB上，将K坐标代入$y=\frac{1}{2}x -2$得：
$\frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t - 2 = \frac{1}{2}(t-2) -2$
整理方程：
$\frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t -2 = \frac{1}{2}t -3$
$\frac{1}{4}t^2 - t +1 =0$
两边同乘4得$t^2 -4t +4=0$，即$(t-2)^2=0$，解得$t=2$。
将$t=2$代入P点坐标，得纵坐标为$\frac{1}{4}× 2^2 - \frac{1}{2}×2 -2 =-2$，因此$P(2,-2)$。
【答案】
$(2,-2)$
【知识点】
抛物线交点求法；一次函数解析式；平行于坐标轴的线段特征
【点评】
本题属于二次函数与一次函数的综合基础题，核心是利用平行于x轴的线段纵坐标相等的特征建立两点坐标的关联，再结合点在直线上的性质列方程求解，是抛物线与线段类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
解题首先要先求出抛物线与坐标轴交点A、B的坐标，再推导直线AB的解析式；由于BC在x轴上，PK平行于BC说明PK是水平线段，P、K两点纵坐标相同，结合PK长度为2可设出点P坐标，进而表示出点K的坐标，最后将K坐标代入直线AB解析式列方程，求解即可得到点P的坐标。
【解析】
1. 求A、B两点坐标
对于抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2$：
令$x=0$，得$y=-2$，因此$A(0,-2)$；
令$y=0$，则$\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 2=0$，整理得$x^2-2x-8=0$，因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-2$，因此$B(4,0)$。
2. 求直线AB的解析式
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(0,-2)$、$B(4,0)$代入解析式：
$\begin{cases} b=-2 \\ 4k + b = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k=\frac{1}{2} \\ b=-2 \end{cases}$，即直线AB的解析式为$y=\frac{1}{2}x -2$。
3. 设点坐标并列方程求解
因为$PK// BC$，BC在x轴上，所以PK为水平线段，P、K纵坐标相等，且$PK=2$，K在P左侧。
设点P的横坐标为$t$，则$P(t, \frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t - 2)$，K点坐标为$(t-2, \frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t - 2)$。
由于K在直线AB上，将K坐标代入$y=\frac{1}{2}x -2$得：
$\frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t - 2 = \frac{1}{2}(t-2) -2$
整理方程：
$\frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}t -2 = \frac{1}{2}t -3$
$\frac{1}{4}t^2 - t +1 =0$
两边同乘4得$t^2 -4t +4=0$，即$(t-2)^2=0$，解得$t=2$。
将$t=2$代入P点坐标，得纵坐标为$\frac{1}{4}× 2^2 - \frac{1}{2}×2 -2 =-2$，因此$P(2,-2)$。
【答案】
$(2,-2)$
【知识点】
抛物线交点求法；一次函数解析式；平行于坐标轴的线段特征
【点评】
本题属于二次函数与一次函数的综合基础题，核心是利用平行于x轴的线段纵坐标相等的特征建立两点坐标的关联，再结合点在直线上的性质列方程求解，是抛物线与线段类问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
3.如图，点 P 是第一象限内在抛物线 $y=-x^2+4x$ 上的点，直线 $y=-x+4$ 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C.过点 P 作 $PD// y$ 轴，与直线 AC 交于点 D，当 $PD=\frac{1}{2}OC$ 时，设点 P 的横坐标为 m，求 m 的值.
答案
3.设点 P,D 的坐标分别为 $P(m,-m^2+4m),D(m,-m+4)$.
令 $y=-x^2+4x=0$,解得 $x_1=0,x_2=4,\therefore 0＜m＜4$.
$\because$ 点 C 的坐标为 $(0,4),\therefore OC=4,PD=\frac{1}{2}OC=2$.
当点 P 在直线 AC 上方时,$PD=-m^2+4m-(-m+4)=2$,解得 $m_1=2,m_2=3$；
当点 P 在直线 AC 下方时,$PD=-m+4-(-m^2+4m)=2$,解得 $m=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}$,
$\because 0＜m＜1,\therefore m=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$.
综上所述,$m$ 的值为 2 或 3 或 $\frac{5-\sqrt{17}}{2}$.
令 $y=-x^2+4x=0$,解得 $x_1=0,x_2=4,\therefore 0＜m＜4$.
$\because$ 点 C 的坐标为 $(0,4),\therefore OC=4,PD=\frac{1}{2}OC=2$.
当点 P 在直线 AC 上方时,$PD=-m^2+4m-(-m+4)=2$,解得 $m_1=2,m_2=3$；
当点 P 在直线 AC 下方时,$PD=-m+4-(-m^2+4m)=2$,解得 $m=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}$,
$\because 0＜m＜1,\therefore m=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$.
综上所述,$m$ 的值为 2 或 3 或 $\frac{5-\sqrt{17}}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先根据点P的横坐标为m，结合抛物线与直线AC的解析式，可分别表示出点P和点D的坐标；再求出直线AC与y轴交点C的坐标，得到OC的长度，进而推出PD的长度为2；由于点P可能在直线AC上方，也可能在直线AC下方，因此PD为两点纵坐标差的绝对值，需要分两种情况列一元二次方程求解；最后结合点P在第一象限抛物线上的限制，确定m的取值范围，舍去不符合范围的解，即可得到最终符合要求的m的值。
【解析】
1. 表示点坐标、确定m的取值范围
已知点P的横坐标为m，点P在抛物线$y=-x^2+4x$上，且$PD// y$轴，点D在直线$y=-x+4$上，因此可得：$P(m,-m^2+4m)$，$D(m,-m+4)$。
令抛物线$y=-x^2+4x=0$，解得$x_1=0,x_2=4$，因为点P是第一象限内抛物线上的点，因此$0＜m＜4$。
2. 计算PD的长度
直线$y=-x+4$交y轴于点C，令$x=0$，得$y=4$，因此$C(0,4)$，$OC=4$。
由题意得$PD=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×4=2$。
3. 分类讨论求解
① 当点P在直线AC上方时，点P纵坐标大于点D纵坐标：
$PD=(-m^2+4m)-(-m+4)=2$
整理得$m^2-5m+6=0$，因式分解得$(m-2)(m-3)=0$，解得$m_1=2,m_2=3$，两个解均满足$0＜m＜4$，符合题意。
② 当点P在直线AC下方时，点D纵坐标大于点P纵坐标：
$PD=(-m+4)-(-m^2+4m)=2$
整理得$m^2-5m+2=0$，由求根公式得$m=\frac{5\pm\sqrt{25-8}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}$。
其中$\frac{5+\sqrt{17}}{2}\approx4.56＞4$，不符合$0＜m＜4$的范围，舍去；$\frac{5-\sqrt{17}}{2}\approx0.44$，满足$0＜m＜4$，符合题意。
【答案】
$m$的值为$2$或$3$或$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象性质，一元二次方程解法
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的典型题型，解题核心是掌握函数图象上的点坐标满足对应函数解析式，易错点为忽略分类讨论点与直线的位置关系、忘记对求解结果进行范围验证，解题时要注意避免漏解、错解。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据点P的横坐标为m，结合抛物线与直线AC的解析式，可分别表示出点P和点D的坐标；再求出直线AC与y轴交点C的坐标，得到OC的长度，进而推出PD的长度为2；由于点P可能在直线AC上方，也可能在直线AC下方，因此PD为两点纵坐标差的绝对值，需要分两种情况列一元二次方程求解；最后结合点P在第一象限抛物线上的限制，确定m的取值范围，舍去不符合范围的解，即可得到最终符合要求的m的值。
【解析】
1. 表示点坐标、确定m的取值范围
已知点P的横坐标为m，点P在抛物线$y=-x^2+4x$上，且$PD// y$轴，点D在直线$y=-x+4$上，因此可得：$P(m,-m^2+4m)$，$D(m,-m+4)$。
令抛物线$y=-x^2+4x=0$，解得$x_1=0,x_2=4$，因为点P是第一象限内抛物线上的点，因此$0＜m＜4$。
2. 计算PD的长度
直线$y=-x+4$交y轴于点C，令$x=0$，得$y=4$，因此$C(0,4)$，$OC=4$。
由题意得$PD=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×4=2$。
3. 分类讨论求解
① 当点P在直线AC上方时，点P纵坐标大于点D纵坐标：
$PD=(-m^2+4m)-(-m+4)=2$
整理得$m^2-5m+6=0$，因式分解得$(m-2)(m-3)=0$，解得$m_1=2,m_2=3$，两个解均满足$0＜m＜4$，符合题意。
② 当点P在直线AC下方时，点D纵坐标大于点P纵坐标：
$PD=(-m+4)-(-m^2+4m)=2$
整理得$m^2-5m+2=0$，由求根公式得$m=\frac{5\pm\sqrt{25-8}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}$。
其中$\frac{5+\sqrt{17}}{2}\approx4.56＞4$，不符合$0＜m＜4$的范围，舍去；$\frac{5-\sqrt{17}}{2}\approx0.44$，满足$0＜m＜4$，符合题意。
【答案】
$m$的值为$2$或$3$或$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象性质，一元二次方程解法
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的典型题型，解题核心是掌握函数图象上的点坐标满足对应函数解析式，易错点为忽略分类讨论点与直线的位置关系、忘记对求解结果进行范围验证，解题时要注意避免漏解、错解。
【难度系数】
0.6
