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8.在平面直角坐标系中，将抛物线$L_1:y=ax^2+2ax+c$（$a,c$为常数，且$a＜0$）沿$x$轴向右平移3个单位长度得到抛物线$L_2$，点$A(m,y_1),B(m+2,y_2)$均在抛物线$L_2$上，且位于抛物线$L_2$对称轴的两侧，若$y_1＜y_2$，则$m$的取值范围为（
A.$1＜m＜2$
B.$0＜m＜1$
C.$0＜m＜2$
D.$-1＜m＜1$
B
）。A.$1＜m＜2$
B.$0＜m＜1$
C.$0＜m＜2$
D.$-1＜m＜1$
答案
8.B
解析
【分析】
解题可分三步推进：第一步先求平移后抛物线L₂的对称轴：先利用二次函数对称轴公式求出原抛物线L₁的对称轴，再根据“右移加”的平移规律得到L₂的对称轴；第二步根据两点在对称轴两侧的位置要求，列不等式求出m的初步取值范围；第三步结合a＜0可知抛物线开口向下，此时点离对称轴越近函数值越大，由y₁＜y₂可推出两点到对称轴的距离关系，列不等式求解后，和初步范围取交集即可得到最终m的取值范围。
【解析】
1. 求抛物线L₂的对称轴：
对于抛物线L₁:$y=ax^2+2ax+c$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入b=2a得：
$x=-\frac{2a}{2a}=-1$
将L₁沿x轴向右平移3个单位得到L₂，对称轴同步右移3个单位，因此L₂的对称轴为$x=-1+3=2$。
2. 根据两点在对称轴两侧列不等式：
点A$(m,y_1)$、B$(m+2,y_2)$在对称轴x=2两侧，说明一个在对称轴左侧、一个在右侧，因此：
$m ＜ 2 ＜ m+2$
解不等式组：
由$2 ＜ m+2$得$m＞0$，由$m＜2$得$m＜2$，即初步范围为$0＜m＜2$。
3. 根据函数值大小关系列不等式：
已知a＜0，因此抛物线L₂开口向下，离对称轴越近的点函数值越大。
因为$y_1＜y_2$，所以点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即：
$|(m+2)-2| ＜ |m-2|$
化简得$|m| ＜ |m-2|$，两边平方消去绝对值（两边均为非负数，平方后不等号方向不变）：
$m^2 ＜ (m-2)^2$
展开右边得$m^2 ＜ m^2 -4m +4$，消去两边的$m^2$后整理得：
$4m ＜ 4$，解得$m＜1$。
4. 取交集得最终范围：
结合初步范围$0＜m＜2$和$m＜1$，得$0＜m＜1$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的平移，二次函数的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题综合考查二次函数的平移规律、图象性质，以及不等式的求解，解题的核心是抓住开口向下的二次函数“点离对称轴越近，函数值越大”的性质，结合位置条件列不等式求解即可。
【难度系数】
0.6
解题可分三步推进：第一步先求平移后抛物线L₂的对称轴：先利用二次函数对称轴公式求出原抛物线L₁的对称轴，再根据“右移加”的平移规律得到L₂的对称轴；第二步根据两点在对称轴两侧的位置要求，列不等式求出m的初步取值范围；第三步结合a＜0可知抛物线开口向下，此时点离对称轴越近函数值越大，由y₁＜y₂可推出两点到对称轴的距离关系，列不等式求解后，和初步范围取交集即可得到最终m的取值范围。
【解析】
1. 求抛物线L₂的对称轴：
对于抛物线L₁:$y=ax^2+2ax+c$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入b=2a得：
$x=-\frac{2a}{2a}=-1$
将L₁沿x轴向右平移3个单位得到L₂，对称轴同步右移3个单位，因此L₂的对称轴为$x=-1+3=2$。
2. 根据两点在对称轴两侧列不等式：
点A$(m,y_1)$、B$(m+2,y_2)$在对称轴x=2两侧，说明一个在对称轴左侧、一个在右侧，因此：
$m ＜ 2 ＜ m+2$
解不等式组：
由$2 ＜ m+2$得$m＞0$，由$m＜2$得$m＜2$，即初步范围为$0＜m＜2$。
3. 根据函数值大小关系列不等式：
已知a＜0，因此抛物线L₂开口向下，离对称轴越近的点函数值越大。
因为$y_1＜y_2$，所以点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即：
$|(m+2)-2| ＜ |m-2|$
化简得$|m| ＜ |m-2|$，两边平方消去绝对值（两边均为非负数，平方后不等号方向不变）：
$m^2 ＜ (m-2)^2$
展开右边得$m^2 ＜ m^2 -4m +4$，消去两边的$m^2$后整理得：
$4m ＜ 4$，解得$m＜1$。
4. 取交集得最终范围：
结合初步范围$0＜m＜2$和$m＜1$，得$0＜m＜1$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的平移，二次函数的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题综合考查二次函数的平移规律、图象性质，以及不等式的求解，解题的核心是抓住开口向下的二次函数“点离对称轴越近，函数值越大”的性质，结合位置条件列不等式求解即可。
【难度系数】
0.6
9.抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$如图所示，对称轴为直线$x=1$.有下列结论:①$abc＜0$；②$a-b+c＜0$；③对于任意实数$m$，$a+b＞am^2+bm$都成立；④若$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$且$x_1≠x_2$，则$x_1+x_2=4$.
其中正确的有
其中正确的有
①②
(填序号).答案
9.①②
解析
【分析】
解题时首先从二次函数图像提取关键信息：开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置，再结合二次函数的性质逐一判断每个结论：
1. 先判断a、b、c的符号，验证结论①；
2. 明确a-b+c是x=-1时的函数值，结合抛物线交点的对称性判断x=-1时y的符号，验证结论②；
3. 利用二次函数的最值性质，结合x=1时函数取最大值的特点，注意等号成立的情况，验证结论③；
4. 对等式变形因式分解，结合对称轴与系数的关系求解x₁+x₂的值，验证结论④。
【解析】
从图像可得抛物线基本性质：
开口向下，故$a＜0$；
对称轴为直线$x=1$，即$-\frac{b}{2a}=1$，推导得$b=-2a$，结合$a＜0$得$b＞0$；
抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$。
逐一判断结论：
① 由$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，可得$abc＜0$，①正确；
② $a-b+c$是$x=-1$代入函数的函数值：抛物线对称轴为$x=1$，右侧与x轴交点横坐标在$(1,3)$之间，根据对称性，左侧与x轴交点横坐标在$(-1,0)$之间，因此$x=-1$时函数图像在x轴下方，即$y=a-b+c＜0$，②正确；
③ 抛物线开口向下，$x=1$处为顶点，函数取得最大值，因此对任意实数m，有$am^2+bm+c ≤a+b+c$，化简得$am^2+bm ≤a+b$，当$m=1$时等号成立，因此“$a+b＞am^2+bm$都成立”的表述错误，③错误；
④ 对$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$移项因式分解得：$(x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]=0$，因$x_1≠x_2$，故$a(x_1+x_2)+b=0$，即$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。结合对称轴$x=1=-\frac{b}{2a}$，得$-\frac{b}{a}=2$，故$x_1+x_2=2≠4$，④错误。
【答案】
①②
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数的对称性，二次函数的最值
【点评】
本题重点考查二次函数图像与性质的综合应用，需要熟练掌握二次函数开口、对称轴、交点对应的系数规律，结合对称性、最值等知识点逐一判断，解题时要注意等号是否成立等细节问题。
【难度系数】
0.65
解题时首先从二次函数图像提取关键信息：开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置，再结合二次函数的性质逐一判断每个结论：
1. 先判断a、b、c的符号，验证结论①；
2. 明确a-b+c是x=-1时的函数值，结合抛物线交点的对称性判断x=-1时y的符号，验证结论②；
3. 利用二次函数的最值性质，结合x=1时函数取最大值的特点，注意等号成立的情况，验证结论③；
4. 对等式变形因式分解，结合对称轴与系数的关系求解x₁+x₂的值，验证结论④。
【解析】
从图像可得抛物线基本性质：
开口向下，故$a＜0$；
对称轴为直线$x=1$，即$-\frac{b}{2a}=1$，推导得$b=-2a$，结合$a＜0$得$b＞0$；
抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$。
逐一判断结论：
① 由$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，可得$abc＜0$，①正确；
② $a-b+c$是$x=-1$代入函数的函数值：抛物线对称轴为$x=1$，右侧与x轴交点横坐标在$(1,3)$之间，根据对称性，左侧与x轴交点横坐标在$(-1,0)$之间，因此$x=-1$时函数图像在x轴下方，即$y=a-b+c＜0$，②正确；
③ 抛物线开口向下，$x=1$处为顶点，函数取得最大值，因此对任意实数m，有$am^2+bm+c ≤a+b+c$，化简得$am^2+bm ≤a+b$，当$m=1$时等号成立，因此“$a+b＞am^2+bm$都成立”的表述错误，③错误；
④ 对$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$移项因式分解得：$(x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]=0$，因$x_1≠x_2$，故$a(x_1+x_2)+b=0$，即$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。结合对称轴$x=1=-\frac{b}{2a}$，得$-\frac{b}{a}=2$，故$x_1+x_2=2≠4$，④错误。
【答案】
①②
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数的对称性，二次函数的最值
【点评】
本题重点考查二次函数图像与性质的综合应用，需要熟练掌握二次函数开口、对称轴、交点对应的系数规律，结合对称性、最值等知识点逐一判断，解题时要注意等号是否成立等细节问题。
【难度系数】
0.65
10.抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$如图所示，对称轴为直线$x=1$.有下列结论：①$abc＞0$；②$a-b+c＜0$；③$4a+2b+c＞0$；④$3a+c＞0$；⑤$n(an+b)＞a+b$（$n$为实数且$n≠1$）.
其中正确的有
其中正确的有
①④⑤
（填序号）.答案
10.①④⑤
解析
【分析】
解题时先根据二次函数图象特征确定a、b、c的符号，再结合对称轴公式得到b与a的数量关系，接着代入特殊x值判断对应函数值的符号，最后利用二次函数最值的性质判断不等式结论，逐一验证每个结论是否正确即可。
【解析】
1. 判断结论①：
抛物线开口向上，因此$a＞0$；
对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，可得$b=-2a$，结合$a＞0$得$b＜0$；
抛物线与y轴交于负半轴，因此$c＜0$；
故$abc=正×负×负=正$，即$abc＞0$，①正确。
2. 判断结论②：
当$x=-1$时，函数值$y=a·(-1)^2+b·(-1)+c=a-b+c$，由图象可知$x=-1$时抛物线在x轴上方，$y＞0$，因此$a-b+c＞0$，②错误。
3. 判断结论③：
由对称轴为$x=1$可知，$x=2$和$x=0$关于$x=1$对称，因此$x=2$的函数值等于$x=0$的函数值；
$x=0$时$y=c＜0$，因此$x=2$时$y=4a+2b+c=c＜0$，③错误。
4. 判断结论④：
将$b=-2a$代入$a-b+c$，得$a-(-2a)+c=3a+c$，结合步骤2中$a-b+c＞0$，可得$3a+c＞0$，④正确。
5. 判断结论⑤：
将$n(an+b)＞a+b$变形为$an^2+bn+c＞a+b+c$，即$x=n$时的函数值大于$x=1$时的函数值；
抛物线开口向上，$x=1$是对称轴，此时函数取最小值，因此当$n≠1$时，$x=n$对应的函数值都大于$x=1$的函数值，⑤正确。
【答案】
①④⑤
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数的性质，二次函数的最值
【点评】
本题重点考查二次函数图象和性质的综合应用，需要结合图象信息灵活转化系数关系、特殊点函数值等条件，能有效考查对二次函数核心性质的掌握程度。
【难度系数】
0.6
解题时先根据二次函数图象特征确定a、b、c的符号，再结合对称轴公式得到b与a的数量关系，接着代入特殊x值判断对应函数值的符号，最后利用二次函数最值的性质判断不等式结论，逐一验证每个结论是否正确即可。
【解析】
1. 判断结论①：
抛物线开口向上，因此$a＞0$；
对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，可得$b=-2a$，结合$a＞0$得$b＜0$；
抛物线与y轴交于负半轴，因此$c＜0$；
故$abc=正×负×负=正$，即$abc＞0$，①正确。
2. 判断结论②：
当$x=-1$时，函数值$y=a·(-1)^2+b·(-1)+c=a-b+c$，由图象可知$x=-1$时抛物线在x轴上方，$y＞0$，因此$a-b+c＞0$，②错误。
3. 判断结论③：
由对称轴为$x=1$可知，$x=2$和$x=0$关于$x=1$对称，因此$x=2$的函数值等于$x=0$的函数值；
$x=0$时$y=c＜0$，因此$x=2$时$y=4a+2b+c=c＜0$，③错误。
4. 判断结论④：
将$b=-2a$代入$a-b+c$，得$a-(-2a)+c=3a+c$，结合步骤2中$a-b+c＞0$，可得$3a+c＞0$，④正确。
5. 判断结论⑤：
将$n(an+b)＞a+b$变形为$an^2+bn+c＞a+b+c$，即$x=n$时的函数值大于$x=1$时的函数值；
抛物线开口向上，$x=1$是对称轴，此时函数取最小值，因此当$n≠1$时，$x=n$对应的函数值都大于$x=1$的函数值，⑤正确。
【答案】
①④⑤
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数的性质，二次函数的最值
【点评】
本题重点考查二次函数图象和性质的综合应用，需要结合图象信息灵活转化系数关系、特殊点函数值等条件，能有效考查对二次函数核心性质的掌握程度。
【难度系数】
0.6
11.在平面直角坐标系中,二次函数 $y=3x^2 -6x +d$ 的图象经过点 $M(3,y_1),N(-3,y_2),P(k,p)$.若 $y_1 ＜ p ＜ y_2$,求 $k$ 的取值范围.
答案
11.二次函数 $y=3x^2 -6x +d$ 的图象开口向上,对称轴为直线 $x=-\dfrac{-6}{2×3}=1$,
$\because$二次函数 $y=3x^2 -6x +d$ 的图象经过点 $M(3,y_1),N(-3,y_2),P(k,p)$,
$\therefore$点$(-1,y_1)$和$(5,y_2)$也在二次函数 $y=3x^2 -6x +d$ 的图象上,
$\because y_1 ＜ p ＜ y_2,\therefore 3＜k＜5$ 或 $-3＜k＜-1$.
解析
【分析】
首先解决本题需先明确二次函数的基本性质：先由二次项系数判断开口方向，再利用对称轴公式求出对称轴；其次利用二次函数的对称性，找到与点M、N函数值相等的对称点；最后结合开口向上时“点到对称轴距离越远，函数值越大”的性质，推导满足$y_1＜p＜y_2$时k的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=3x^2 -6x +d$：
1. 二次项系数$a=3＞0$，因此图象开口向上；
2. 由对称轴公式可得对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2×3}=1$；
3. 利用二次函数的对称性：点$M(3,y_1)$到对称轴$x=1$的距离为$3-1=2$，因此其关于对称轴的对称点为$(-1,y_1)$，即$x=-1$时函数值也为$y_1$；点$N(-3,y_2)$到对称轴$x=1$的距离为$1-(-3)=4$，因此其关于对称轴的对称点为$(5,y_2)$，即$x=5$时函数值也为$y_2$；
4. 开口向上的二次函数，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。已知$y_1 ＜ p ＜ y_2$，说明点$P(k,p)$到对称轴$x=1$的距离大于2且小于4：
当点P在对称轴左侧时：$1-4 ＜ k ＜ 1-2$，即$-3＜k＜-1$；
当点P在对称轴右侧时：$1+2 ＜ k ＜1+4$，即$3＜k＜5$。
【答案】
$3＜k＜5$ 或 $-3＜k＜-1$.
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数的增减性，二次函数对称轴计算
【点评】
本题核心考查二次函数图象与性质的应用，解题的突破口是利用对称性找到同函数值的对应横坐标，再结合开口方向判断函数值与横坐标的关系，需要注意不要漏解对称轴另一侧的取值区间。
【难度系数】
0.6
首先解决本题需先明确二次函数的基本性质：先由二次项系数判断开口方向，再利用对称轴公式求出对称轴；其次利用二次函数的对称性，找到与点M、N函数值相等的对称点；最后结合开口向上时“点到对称轴距离越远，函数值越大”的性质，推导满足$y_1＜p＜y_2$时k的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=3x^2 -6x +d$：
1. 二次项系数$a=3＞0$，因此图象开口向上；
2. 由对称轴公式可得对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2×3}=1$；
3. 利用二次函数的对称性：点$M(3,y_1)$到对称轴$x=1$的距离为$3-1=2$，因此其关于对称轴的对称点为$(-1,y_1)$，即$x=-1$时函数值也为$y_1$；点$N(-3,y_2)$到对称轴$x=1$的距离为$1-(-3)=4$，因此其关于对称轴的对称点为$(5,y_2)$，即$x=5$时函数值也为$y_2$；
4. 开口向上的二次函数，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。已知$y_1 ＜ p ＜ y_2$，说明点$P(k,p)$到对称轴$x=1$的距离大于2且小于4：
当点P在对称轴左侧时：$1-4 ＜ k ＜ 1-2$，即$-3＜k＜-1$；
当点P在对称轴右侧时：$1+2 ＜ k ＜1+4$，即$3＜k＜5$。
【答案】
$3＜k＜5$ 或 $-3＜k＜-1$.
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数的增减性，二次函数对称轴计算
【点评】
本题核心考查二次函数图象与性质的应用，解题的突破口是利用对称性找到同函数值的对应横坐标，再结合开口方向判断函数值与横坐标的关系，需要注意不要漏解对称轴另一侧的取值区间。
【难度系数】
0.6
