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8.在平面直角坐标系中，将抛物线$L_1:y=ax^2+2ax+c$（$a,c$为常数，且$a＜0$）沿$x$轴向右平移3个单位长度得到抛物线$L_2$，点$A(m,y_1),B(m+2,y_2)$均在抛物线$L_2$上，且位于抛物线$L_2$对称轴的两侧，若$y_1＜y_2$，则$m$的取值范围为（
A.$1＜m＜2$
B.$0＜m＜1$
C.$0＜m＜2$
D.$-1＜m＜1$
B
）。A.$1＜m＜2$
B.$0＜m＜1$
C.$0＜m＜2$
D.$-1＜m＜1$
答案
8.B
解析
【分析】首先先求出原抛物线$L_1$的对称轴，再根据平移规律得到平移后抛物线$L_2$的对称轴；接着根据A、B两点在对称轴两侧，且B点横坐标大于A点横坐标，得到m的初步范围；再结合$a＜0$抛物线开口向下，函数值越小说明点到对称轴的距离越大，列出距离不等式求解，最后综合两个条件得到m的取值范围。
【解析】
1. 求抛物线$L_1$的对称轴
对于抛物线$y=ax^2+2ax+c$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=2a$，得：
$x=-\frac{2a}{2a}=-1$
2. 求平移后抛物线$L_2$的对称轴
抛物线沿x轴向右平移3个单位，对称轴也向右平移3个单位，因此$L_2$的对称轴为：
$x=-1+3=2$
3. 根据A、B在对称轴两侧列不等式
点A横坐标为$m$，点B横坐标为$m+2$，显然$m+2＞m$，要使两点在对称轴$x=2$两侧，需满足：
$\begin{cases}m＜2 \\ m+2＞2\end{cases}$
解得$0＜m＜2$
4. 根据$y_1＜y_2$列不等式
已知$a＜0$，抛物线$L_2$开口向下，此时抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大。
因为$y_1＜y_2$，所以点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，即：
$|m-2| ＞ |(m+2)-2|$
化简得$|m-2|＞|m|$
两边同时平方（两边均为非负数，平方后不等号方向不变）：
$(m-2)^2 ＞ m^2$
展开得：$m^2-4m+4＞m^2$
化简得：$-4m+4＞0$，解得$m＜1$
5. 综合两个条件
结合$0＜m＜2$和$m＜1$，最终得$0＜m＜1$
【答案】B
【知识点】二次函数的平移、二次函数的性质、绝对值不等式求解
【点评】本题核心考查二次函数平移规律和开口方向与函数值变化的关系，解题的关键是先确定平移后的对称轴，再结合两点位置和函数值大小关系列不等式，易错点是容易忽略两点在对称轴两侧的限制条件。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 求抛物线$L_1$的对称轴
对于抛物线$y=ax^2+2ax+c$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=2a$，得：
$x=-\frac{2a}{2a}=-1$
2. 求平移后抛物线$L_2$的对称轴
抛物线沿x轴向右平移3个单位，对称轴也向右平移3个单位，因此$L_2$的对称轴为：
$x=-1+3=2$
3. 根据A、B在对称轴两侧列不等式
点A横坐标为$m$，点B横坐标为$m+2$，显然$m+2＞m$，要使两点在对称轴$x=2$两侧，需满足：
$\begin{cases}m＜2 \\ m+2＞2\end{cases}$
解得$0＜m＜2$
4. 根据$y_1＜y_2$列不等式
已知$a＜0$，抛物线$L_2$开口向下，此时抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大。
因为$y_1＜y_2$，所以点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，即：
$|m-2| ＞ |(m+2)-2|$
化简得$|m-2|＞|m|$
两边同时平方（两边均为非负数，平方后不等号方向不变）：
$(m-2)^2 ＞ m^2$
展开得：$m^2-4m+4＞m^2$
化简得：$-4m+4＞0$，解得$m＜1$
5. 综合两个条件
结合$0＜m＜2$和$m＜1$，最终得$0＜m＜1$
【答案】B
【知识点】二次函数的平移、二次函数的性质、绝对值不等式求解
【点评】本题核心考查二次函数平移规律和开口方向与函数值变化的关系，解题的关键是先确定平移后的对称轴，再结合两点位置和函数值大小关系列不等式，易错点是容易忽略两点在对称轴两侧的限制条件。
【难度系数】0.6
9.抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$如图所示，对称轴为直线$x=1$.有下列结论:①$abc＜0$；②$a-b+c＜0$；③对于任意实数$m$，$a+b＞am^2+bm$都成立；④若$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$且$x_1≠x_2$，则$x_1+x_2=4$.
其中正确的有
其中正确的有
①②
(填序号).答案
9.①②
解析
【分析】
首先从抛物线图像提取核心信息：由开口方向得a的符号，由对称轴公式推导b与a的关系，由与y轴交点得c的符号，再利用对称性得到x=-1时的函数值符号，最后逐个验证4个结论：①结合a、b、c的符号判断乘积正负；②a-b+c是x=-1时的函数值，结合左交点位置判断符号；③顶点为函数最大值点，注意等号的存在；④整理等式后结合对称轴公式计算x₁+x₂的值。
【解析】
解：根据图像和已知条件分析：
1. 抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
2. 对称轴为直线$x=1$，即$-\frac{b}{2a}=1$，推导得$b=-2a$，结合$a＜0$可知$b＞0$；
3. 抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$；
4. 抛物线右交点在$(1,3)$之间，由对称性可知左交点横坐标为$2-x_右$，因$x_右＜3$，故左交点横坐标大于$-1$，即左交点在$(-1,0)$之间。
逐个判断结论：
①$abc＜0$：$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，三者乘积为负，①正确；
②$a-b+c＜0$：$x=-1$时，函数值$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c$，$x=-1$在左交点左侧，对应图像在x轴下方，故$y＜0$，即$a-b+c＜0$，②正确；
③对任意实数$m$，$a+b＞am^2+bm$：抛物线开口向下，顶点$x=1$处取最大值，故对任意$m$有$a×1^2+b×1+c≥ am^2+bm+c$，化简得$a+b≥ am^2+bm$，$m=1$时等号成立，因此“$a+b＞am^2+bm$恒成立”错误，③错误；
④若$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$且$x_1≠x_2$：移项因式分解得$(x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]=0$，因$x_1≠x_2$，故$a(x_1+x_2)+b=0$，得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入$b=-2a$得$x_1+x_2=2≠4$，④错误。
【答案】
①②
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称性，二次函数与不等式
【点评】
本题重点考查二次函数图象与系数的关系，需要结合开口、对称轴、交点等性质，通过特殊点函数值、对称性判断结论，是二次函数的经典考法。
【难度系数】
0.6
首先从抛物线图像提取核心信息：由开口方向得a的符号，由对称轴公式推导b与a的关系，由与y轴交点得c的符号，再利用对称性得到x=-1时的函数值符号，最后逐个验证4个结论：①结合a、b、c的符号判断乘积正负；②a-b+c是x=-1时的函数值，结合左交点位置判断符号；③顶点为函数最大值点，注意等号的存在；④整理等式后结合对称轴公式计算x₁+x₂的值。
【解析】
解：根据图像和已知条件分析：
1. 抛物线开口向下，
∴$a＜0$；
2. 对称轴为直线$x=1$，即$-\frac{b}{2a}=1$，推导得$b=-2a$，结合$a＜0$可知$b＞0$；
3. 抛物线与y轴交于正半轴，
∴$c＞0$；
4. 抛物线右交点在$(1,3)$之间，由对称性可知左交点横坐标为$2-x_右$，因$x_右＜3$，故左交点横坐标大于$-1$，即左交点在$(-1,0)$之间。
逐个判断结论：
①$abc＜0$：$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，三者乘积为负，①正确；
②$a-b+c＜0$：$x=-1$时，函数值$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c$，$x=-1$在左交点左侧，对应图像在x轴下方，故$y＜0$，即$a-b+c＜0$，②正确；
③对任意实数$m$，$a+b＞am^2+bm$：抛物线开口向下，顶点$x=1$处取最大值，故对任意$m$有$a×1^2+b×1+c≥ am^2+bm+c$，化简得$a+b≥ am^2+bm$，$m=1$时等号成立，因此“$a+b＞am^2+bm$恒成立”错误，③错误；
④若$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$且$x_1≠x_2$：移项因式分解得$(x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]=0$，因$x_1≠x_2$，故$a(x_1+x_2)+b=0$，得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，代入$b=-2a$得$x_1+x_2=2≠4$，④错误。
【答案】
①②
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称性，二次函数与不等式
【点评】
本题重点考查二次函数图象与系数的关系，需要结合开口、对称轴、交点等性质，通过特殊点函数值、对称性判断结论，是二次函数的经典考法。
【难度系数】
0.6
10.抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$如图所示，对称轴为直线$x=1$.有下列结论：①$abc＞0$；②$a-b+c＜0$；③$4a+2b+c＞0$；④$3a+c＞0$；⑤$n(an+b)＞a+b$（$n$为实数且$n≠1$）.
其中正确的有
其中正确的有
①④⑤
（填序号）.答案
10.①④⑤
解析
【分析】
解题时先从二次函数图像提取关键信息：开口方向确定a的符号，对称轴公式得到b与a的数量关系，与y轴交点确定c的符号，再结合特殊点的函数值、二次函数的最值性质逐一验证各个结论：①用a、b、c的符号判断乘积符号；②取x=-1，结合图像判断对应函数值的符号；③取x=2，利用对称轴的对称性判断对应函数值的符号；④结合b=-2a和x=-1的函数值推导；⑤利用二次函数开口向上时顶点为最小值点的性质判断。
【解析】
由函数图象可得：
1. 抛物线开口向上，$\therefore a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a＜0$；
3. 抛物线与y轴交于负半轴，$\therefore c＜0$。
对各结论逐一判断：
① $a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，则$abc＞0$，故①正确；
② $a-b+c$是$x=-1$时的函数值，由图象可知$x=-1$时，抛物线在x轴上方，即$y=a-b+c＞0$，故②错误；
③ $4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，由对称轴为$x=1$可知，$x=2$与$x=0$关于$x=1$对称，$x=0$时$y=c＜0$，则$x=2$时$y=4a+2b+c=c＜0$，故③错误；
④ 将$b=-2a$代入$x=-1$的函数值$a-b+c＞0$，得$a-(-2a)+c=3a+c＞0$，故④正确；
⑤ 抛物线开口向上，对称轴为$x=1$，因此$x=1$时函数取得最小值，对任意实数$n\ne1$，都有$an^2+bn+c＞a+b+c$，两边同时减去$c$得$an^2+bn＞a+b$，即$n(an+b)＞a+b$，故⑤正确。
【答案】
①④⑤
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数图像与性质的综合应用，解题关键是能结合图像提取有效信息，灵活运用对称轴、特殊点函数值、最值等性质进行推导，是二次函数的典型考题。
【难度系数】
0.6
解题时先从二次函数图像提取关键信息：开口方向确定a的符号，对称轴公式得到b与a的数量关系，与y轴交点确定c的符号，再结合特殊点的函数值、二次函数的最值性质逐一验证各个结论：①用a、b、c的符号判断乘积符号；②取x=-1，结合图像判断对应函数值的符号；③取x=2，利用对称轴的对称性判断对应函数值的符号；④结合b=-2a和x=-1的函数值推导；⑤利用二次函数开口向上时顶点为最小值点的性质判断。
【解析】
由函数图象可得：
1. 抛物线开口向上，$\therefore a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a＜0$；
3. 抛物线与y轴交于负半轴，$\therefore c＜0$。
对各结论逐一判断：
① $a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，则$abc＞0$，故①正确；
② $a-b+c$是$x=-1$时的函数值，由图象可知$x=-1$时，抛物线在x轴上方，即$y=a-b+c＞0$，故②错误；
③ $4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，由对称轴为$x=1$可知，$x=2$与$x=0$关于$x=1$对称，$x=0$时$y=c＜0$，则$x=2$时$y=4a+2b+c=c＜0$，故③错误；
④ 将$b=-2a$代入$x=-1$的函数值$a-b+c＞0$，得$a-(-2a)+c=3a+c＞0$，故④正确；
⑤ 抛物线开口向上，对称轴为$x=1$，因此$x=1$时函数取得最小值，对任意实数$n\ne1$，都有$an^2+bn+c＞a+b+c$，两边同时减去$c$得$an^2+bn＞a+b$，即$n(an+b)＞a+b$，故⑤正确。
【答案】
①④⑤
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题考查二次函数图像与性质的综合应用，解题关键是能结合图像提取有效信息，灵活运用对称轴、特殊点函数值、最值等性质进行推导，是二次函数的典型考题。
【难度系数】
0.6
11.在平面直角坐标系中,二次函数 $y=3x^2 -6x +d$ 的图象经过点 $M(3,y_1),N(-3,y_2),P(k,p)$.若 $y_1 ＜ p ＜ y_2$,求 $k$ 的取值范围.
答案
11.二次函数 $y=3x^2 -6x +d$ 的图象开口向上,对称轴为直线 $x=-\dfrac{-6}{2×3}=1$,
$\because$二次函数 $y=3x^2 -6x +d$ 的图象经过点 $M(3,y_1),N(-3,y_2),P(k,p)$,
$\therefore$点$(-1,y_1)$和$(5,y_2)$也在二次函数 $y=3x^2 -6x +d$ 的图象上,
$\because y_1 ＜ p ＜ y_2,\therefore 3＜k＜5$ 或 $-3＜k＜-1$.
解析
【分析】
解决这类二次函数中根据函数值大小求自变量范围的问题，第一步先确定二次函数的开口方向和对称轴，这是分析函数值大小关系的基础；第二步利用二次函数的对称性，找到已知点M、N关于对称轴的对称点，得到和$y_1$、$y_2$函数值相等的所有横坐标；第三步结合开口向上时“点到对称轴的距离越大，函数值越大”的性质，根据$y_1＜p＜y_2$的条件推导k需要满足的距离要求，最终解出k的取值范围即可。
【解析】
1. 确定开口方向和对称轴：
二次函数$y=3x^2 -6x +d$中$a=3＞0$，因此图象开口向上，
对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2×3}=1$。
2. 利用对称性找等函数值的对应点：
点$M(3,y_1)$到对称轴$x=1$的距离为$3-1=2$，因此其关于对称轴的对称点横坐标为$1-2=-1$，即$x=-1$时函数值也为$y_1$；
点$N(-3,y_2)$到对称轴$x=1$的距离为$1-(-3)=4$，因此其关于对称轴的对称点横坐标为$1+4=5$，即$x=5$时函数值也为$y_2$。
3. 结合函数值大小求k的范围：
开口向上时，函数值随点到对称轴的距离增大而增大，由$y_1＜p＜y_2$可知，点$P(k,p)$到对称轴的距离大于2且小于4，即$2＜|k-1|＜4$：
当$k＞1$时，$2＜k-1＜4$，解得$3＜k＜5$；
当$k＜1$时，$2＜1-k＜4$，解得$-3＜k＜-1$。
【答案】
11.二次函数 $y=3x^2 -6x +d$ 的图象开口向上,对称轴为直线 $x=-\dfrac{-6}{2×3}=1$,
$\because$二次函数 $y=3x^2 -6x +d$ 的图象经过点 $M(3,y_1),N(-3,y_2),P(k,p)$,
$\therefore$点$(-1,y_1)$和$(5,y_2)$也在二次函数 $y=3x^2 -6x +d$ 的图象上,
$\because y_1 ＜ p ＜ y_2,\therefore 3＜k＜5$ 或 $-3＜k＜-1$.
【知识点】
二次函数对称轴计算，二次函数对称性，二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用考题，核心考查对称性与增减性的结合使用，解题关键是利用对称性找到等函数值的对应横坐标，再结合开口方向推导自变量的取值范围，熟练掌握该类方法可以快速解决同类函数值比较问题。
【难度系数】
0.6
解决这类二次函数中根据函数值大小求自变量范围的问题，第一步先确定二次函数的开口方向和对称轴，这是分析函数值大小关系的基础；第二步利用二次函数的对称性，找到已知点M、N关于对称轴的对称点，得到和$y_1$、$y_2$函数值相等的所有横坐标；第三步结合开口向上时“点到对称轴的距离越大，函数值越大”的性质，根据$y_1＜p＜y_2$的条件推导k需要满足的距离要求，最终解出k的取值范围即可。
【解析】
1. 确定开口方向和对称轴：
二次函数$y=3x^2 -6x +d$中$a=3＞0$，因此图象开口向上，
对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-6}{2×3}=1$。
2. 利用对称性找等函数值的对应点：
点$M(3,y_1)$到对称轴$x=1$的距离为$3-1=2$，因此其关于对称轴的对称点横坐标为$1-2=-1$，即$x=-1$时函数值也为$y_1$；
点$N(-3,y_2)$到对称轴$x=1$的距离为$1-(-3)=4$，因此其关于对称轴的对称点横坐标为$1+4=5$，即$x=5$时函数值也为$y_2$。
3. 结合函数值大小求k的范围：
开口向上时，函数值随点到对称轴的距离增大而增大，由$y_1＜p＜y_2$可知，点$P(k,p)$到对称轴的距离大于2且小于4，即$2＜|k-1|＜4$：
当$k＞1$时，$2＜k-1＜4$，解得$3＜k＜5$；
当$k＜1$时，$2＜1-k＜4$，解得$-3＜k＜-1$。
【答案】
11.二次函数 $y=3x^2 -6x +d$ 的图象开口向上,对称轴为直线 $x=-\dfrac{-6}{2×3}=1$,
$\because$二次函数 $y=3x^2 -6x +d$ 的图象经过点 $M(3,y_1),N(-3,y_2),P(k,p)$,
$\therefore$点$(-1,y_1)$和$(5,y_2)$也在二次函数 $y=3x^2 -6x +d$ 的图象上,
$\because y_1 ＜ p ＜ y_2,\therefore 3＜k＜5$ 或 $-3＜k＜-1$.
【知识点】
二次函数对称轴计算，二次函数对称性，二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用考题，核心考查对称性与增减性的结合使用，解题关键是利用对称性找到等函数值的对应横坐标，再结合开口方向推导自变量的取值范围，熟练掌握该类方法可以快速解决同类函数值比较问题。
【难度系数】
0.6
