1.在平面直角坐标系中，抛物线$y=x^2 -1$的顶点坐标为（）.

A.$(1,0)$
B.$(-1,0)$
C.$(0,1)$
D.$(0,-1)$

1.D

【分析】
要确定二次函数的顶点坐标，有两种常用思路：一是直接利用二次函数顶点坐标公式求解，二是观察函数形式，结合平移规律判断。本题中抛物线解析式为$y=x^2-1$，属于$y=ax^2+k$的特殊形式，两种方法都可以快速算出结果。
【解析】
方法1：利用顶点坐标公式计算
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
在$y=x^2-1$中，$a=1$，$b=0$，$c=-1$，代入得：
横坐标：$-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×1}=0$
纵坐标：$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(-1)-0^2}{4×1}=\frac{-4}{4}=-1$
因此顶点坐标为$(0,-1)$。
方法2：结合平移规律判断
$y=x^2-1$是由基础二次函数$y=x^2$向下平移1个单位得到的，$y=x^2$的顶点为$(0,0)$，平移后顶点坐标对应变为$(0,-1)$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点坐标计算、二次函数图象性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握顶点坐标公式或二次函数平移规律即可快速得出答案，是二次函数性质部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.9

2.在平面直角坐标系中,二次函数$y=-x^2+3$的图象大致是().

2.C

【分析】
判断二次函数图象可从三个核心特征逐步推导：首先看二次项系数的正负判断开口方向，排除不符合的选项；再根据解析式的形式确定对称轴位置；最后结合顶点位置锁定正确选项。本题先通过开口方向排除开口向上的选项，再根据对称轴为y轴的特征排除剩余错误选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+3$：
1. 判定开口方向：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，选项A、B均为开口向上的抛物线，故排除A、B；
2. 判定对称轴与顶点：该函数无一次项，即$b=0$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得对称轴为$x=0$，也就是y轴，顶点坐标为$(0,3)$，在y轴正半轴；
3. 对比剩余选项：选项D的对称轴不在y轴上，顶点位于第二象限，不符合特征；选项C开口向下，对称轴为y轴，顶点在y轴正半轴，完全符合函数的图象特征。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，开口方向判断，对称轴判定
【点评】
本题是二次函数图象的基础考查题型，核心考查$y=ax^2+k$型二次函数的图象特征，只要掌握开口、对称轴、顶点的基本判断方法，就能快速解题，属于二次函数性质的基础应用。
【难度系数】
0.85

3.关于二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$和$y=\frac{1}{2}x^2 -2$，下列结论不正确的是（）。

A.图象的开口方向相同
B.图象的形状相同
C.图象的顶点坐标相同
D.当$x＜0$时，$y$随着$x$的增大而减小

3.C

【分析】
解决这道题需要结合二次函数的基本性质和平移规律逐个判断选项。首先明确$y=\frac{1}{2}x^2$和$y=\frac{1}{2}x^2-2$的二次项系数相同，属于上下平移得到的两个函数：二次项系数$a$决定开口方向和图象形状，上下平移仅改变顶点位置，不改变开口方向、形状和对称轴两侧的增减性，按照这个逻辑逐一验证选项即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$，我们逐项分析：
1. 验证A、B选项：两个函数的二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，$a$的符号决定开口方向，因此图象都向上开口；$a$的绝对值决定图象形状，两个函数$a$值完全相同，因此图象形状相同，A、B结论正确。
2. 验证C选项：$y=\frac{1}{2}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，$y=\frac{1}{2}x^2-2$是前者向下平移2个单位得到的，顶点坐标为$(0,-2)$，二者顶点坐标不相同，C结论错误。
3. 验证D选项：两个函数的对称轴均为$x=0$（y轴），且开口向上，因此在对称轴左侧即$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，D结论正确。
题目要求选择不正确的结论，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数的平移规律
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题核心是明确二次项系数$a$的作用，以及上下平移对函数性质的影响，牢记平移口诀“上加下减常数项”就能快速判断顶点变化。
【难度系数】
0.8

4.在平面直角坐标系中，将抛物线$y=2x^2$向平移个单位长度，得到抛物线$y=2x^2 -1$；将抛物线$y=3x^2 +2$向平移个单位长度，得到抛物线$y=3x^2$.

4.下 1 下 2

【分析】
拿到本题首先回忆二次函数图象平移的相关规律：二次函数上下平移仅改变解析式的常数项，遵循“上加下减”的原则，即平移后常数项比原来大就是向上平移，比原来小就是向下平移，平移的单位长度为两个解析式常数项差值的绝对值。接下来分别对比两组抛物线的常数项，即可快速得到平移方向和单位长度。
【解析】
二次函数图象上下平移的规律为“上加下减”：对于抛物线$y=ax^2+k$，向下平移$m(m＞0)$个单位后解析式变为$y=ax^2+(k-m)$，向上平移$m(m＞0)$个单位后解析式变为$y=ax^2+(k+m)$。
1. 对比$y=2x^2$（常数项为$0$）和$y=2x^2-1$（常数项为$-1$）：后者常数项$=-1=0-1$，符合向下平移的变化规律，平移单位为$\vert -1-0\vert=1$，即向下平移1个单位。
2. 对比$y=3x^2+2$（常数项为$2$）和$y=3x^2$（常数项为$0$）：后者常数项$=0=2-2$，符合向下平移的变化规律，平移单位为$\vert0-2\vert=2$，即向下平移2个单位。
【答案】
下；1；下；2
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，核心考查二次函数上下平移的变换规则，熟记“上加下减”的平移口诀即可快速求解，是对基础知识点掌握程度的常规考查。
【难度系数】
0.9

5.在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为$(0,4)$，且经过点$(-1,0)$，求此抛物线的解析式.

5.设抛物线的解析式为 $y=a(x-h)^2+k$,
$\because$ 抛物线的顶点为$(0,4)$,$\therefore h=0,k=4$,
将$(-1,0)$代入抛物线的解析式得 $0=a(-1-0)^2+4$,解得 $a=-4$,
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-4x^2+4$.

【分析】
已知抛物线的顶点坐标，求解解析式时优先选用二次函数的顶点式，可减少未知量、简化计算。首先根据顶点式的结构设出解析式，将顶点坐标代入确定h、k的值，此时解析式仅含未知系数a，再将抛物线经过的点的坐标代入，即可求出a的值，最终整理得到抛物线的解析式。
【解析】
设抛物线的解析式为 $y=a(x-h)^2+k$，
$\because$ 抛物线的顶点为$(0,4)$，
$\therefore h=0$，$k=4$，此时解析式为$y=ax^2+4$，
将点$(-1,0)$代入解析式得：
$0=a×(-1)^2+4$，
解得 $a=-4$，
$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-4x^2+4$。
【答案】
$y=-4x^2+4$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题，解题关键是根据已知的顶点坐标选择顶点式简化计算，熟练掌握待定系数法的应用即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6.若$a＞0,c＜0$,则二次函数$y=ax^2+c$的图象大致是().

6.A

【分析】
要判断二次函数$y=ax^2+c$的图象，可按两步推导：第一步先通过二次项系数$a$的符号判断抛物线开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；第二步结合函数结构分析：$y=ax^2+c$不含一次项，因此对称轴为$y$轴（$x=0$），顶点坐标为$(0,c)$，$c$是抛物线与$y$轴交点的纵坐标，$c＜0$说明顶点在$y$轴负半轴。结合两个特征逐一排除错误选项即可。
【解析】
1. 判定开口方向：已知$a＞0$，因此二次函数图象开口向上，选项B、D开口向下，不符合要求，直接排除；
2. 判定对称轴和顶点位置：二次函数$y=ax^2+c$无一次项，因此对称轴为$x=0$（即$y$轴），顶点坐标为$(0,c)$；又已知$c＜0$，因此顶点位于$y$轴负半轴，图象关于$y$轴对称。选项C的顶点不在$y$轴上，不符合对称轴为$y$轴的特征，排除；选项A满足开口向上、对称轴为$y$轴、顶点在$y$轴负半轴的全部特征。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数开口方向；二次函数对称轴与顶点
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，解题核心是掌握$a$对开口方向的影响，以及特殊形式二次函数$y=ax^2+c$的对称轴、顶点特征，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8